参数估计课件学习教案

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1、会计学1参数估计课件参数估计课件第一页，共75页。XP(),XE(),XN(,2)用所获得(hud)的样本值去估计参数取值称为参数估计.参参数数估估计计点估计点估计区间区间(q jin)估计估计用某一数值用某一数值(shz)作为参数作为参数的近似值的近似值在要求的精度范围内在要求的精度范围内指出参数所在的区间指出参数所在的区间 参数估计的基本思想参数估计的基本思想第1页/共74页第二页，共75页。1 参数参数(cnsh)的点估计的点估计第2页/共74页第三页，共75页。1.1 矩估计矩估计(gj)法法 设设(X1,X2,Xn)(X1,X2,Xn)是来自是来自(li z)(li z)总体总体X

2、X的一个样的一个样本本, ,根据大数定律根据大数定律, ,对任意对任意0,0,有有并且对于任何并且对于任何k,k,只要只要E(Xk)E(Xk)存在存在(cnzi),(cnzi),同样同样有有因此因此, ,很自然地想到用样本矩来代替总体矩很自然地想到用样本矩来代替总体矩, ,从而得到总体从而得到总体分布中参数的一种估计分布中参数的一种估计. .第3页/共74页第四页，共75页。 定义：用样本矩来代替总体矩定义：用样本矩来代替总体矩, ,从而得到总体分布中从而得到总体分布中参数的一种估计参数的一种估计. .这种估计方法这种估计方法(fngf)(fngf)称为矩法估计称为矩法估计. .它它的思想实质

3、是用样本的经验分布和样本矩去替换总体的分的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替换总体的分布和总体矩布和总体矩. .今后称之为替换原则今后称之为替换原则. . 设总体设总体X X具有已知类型具有已知类型(lixng)(lixng)的概率函数的概率函数p(x;1,k), (1,k)p(x;1,k), (1,k)是是k k个未知参数个未知参数.(X1,X2,Xn).(X1,X2,Xn)是来自总体是来自总体X X的一个样本的一个样本. .假若假若X X的的k k阶矩阶矩k=E(Xk)k=E(Xk)存在存在, ,则对于则对于ik, E(Xi)ik, E(Xi)都存在都存在, ,并且是并且是(1,k)(

4、1,k)的函数的函数i (1,k).i (1,k).第4页/共74页第五页，共75页。得到含有得到含有(hn yu)(hn yu)未知参数未知参数(1,k)(1,k)的的k k个个方程方程. .解这解这k k个联立方程组就可以得到个联立方程组就可以得到(1,k)(1,k)的一组解的一组解: :用上面的解来估计参数用上面的解来估计参数(cnsh)i(cnsh)i就是矩法估就是矩法估计计. .第5页/共74页第六页，共75页。解解 总体(zngt)X的期望为 从而得到(d do)方程 所以(suy)的矩估计量为 第6页/共74页第七页，共75页。解解 其概率密度函数为 总体(zngt)X的期望为

5、从而(cng r)得到方程 所以(suy)的矩估计量为 第7页/共74页第八页，共75页。解解 由于(yuy) 故令 第8页/共74页第九页，共75页。例例 : 设某炸药厂一天中发生着火设某炸药厂一天中发生着火(zho hu)现象的次现象的次数数X服从服从 解解 第9页/共74页第十页，共75页。 矩法的优点是简单易行矩法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体是什么并不需要事先知道总体是什么(shn me)分布。分布。缺缺点点(qudin)是是，当当总总体体类类型型已已知知时时，没没有有充充分分利利用用分分布布提提供供的的信信息息。一一般般场场合合下下, 矩矩估估计计量量不不具有唯一性。具有

6、唯一性。其主要原因其主要原因(yunyn)在于建立矩法方程时，选取在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性。那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性。第10页/共74页第十一页，共75页。它它是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用(shyng)的的一种参数估计方法一种参数估计方法 。它首先是由德国数学家高斯它首先是由德国数学家高斯(o s)在在1821年提出的。年提出的。GaussFisher 然而然而, 这个方法这个方法(fngf)常归功于英国统计学家费常归功于英国统计学家费歇。歇。 费歇费歇在在1922年重新发现了这一方年重新发现了这一方法，并首先

7、研究了这种方法的一些法，并首先研究了这种方法的一些性质。性质。最大似然法最大似然法第11页/共74页第十二页，共75页。最大似然法的基本最大似然法的基本(jbn)思思想想先先看看一一个个(y )简简单单例子：例子：是谁打中的呢？是谁打中的呢？某位同学与一位猎人某位同学与一位猎人(li rn)(li rn)一一起外出打猎。一只野兔从前方窜起外出打猎。一只野兔从前方窜过。过。如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢? ?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下 。第12页/共74页第十三页，共75页。你就会想，只发一枪便打中，猎人命中的概率一般你就会想，只发一枪便打中，猎人

8、命中的概率一般大于这位同学大于这位同学(tng xu)命中的概率。看来这一枪命中的概率。看来这一枪是猎人射中的。是猎人射中的。 这个例子所作的推断已经体现了最大似然法的基本思想这个例子所作的推断已经体现了最大似然法的基本思想 ：一次试验就出现的事件有较大：一次试验就出现的事件有较大(jio d)的概率。的概率。 第13页/共74页第十四页，共75页。第14页/共74页第十五页，共75页。第15页/共74页第十六页，共75页。令第16页/共74页第十七页，共75页。第17页/共74页第十八页，共75页。求极大似然估计(gj)的一般步骤归纳如下： 第18页/共74页第十九页，共75页。 例例:设随

9、机变量设随机变量X服从服从(fcng)泊松泊松分布分布:其中0是一未知参数,求的极大(j d)似然估计.解解 设设(x1,x2,xn)是样本是样本(yngbn) (X1,X2,Xn)的的一组观测值一组观测值.于是似然函数于是似然函数两边取对数得第19页/共74页第二十页，共75页。从而得出(d ch)的极大似然估计量为 解这一方程(fngchng)得第20页/共74页第二十一页，共75页。解解 总体(zngt)X服从参数为的指数分布，则有 所以(suy)似然函数为 第21页/共74页第二十二页，共75页。取对数(du sh) 令 解得的极大(j d)似然估计值为 极大(j d)似然估计量为 第

10、22页/共74页第二十三页，共75页。 例:设(X1,X2,Xn)是来自正态总体N(,2)的一个样本,其中,2是未知参数,参数空间(kngjin)=- 0.求与2的极大似然估计.解解 正态分布的似正态分布的似 然函数然函数(hnsh)为为两边(lingbin)取对数得第23页/共74页第二十四页，共75页。由微积分知识(zh shi)易验证以上所求为与2的极大似然估计.分别(fnbi)求关于与2的偏导数,得似然方程组解这一方程组得第24页/共74页第二十五页，共75页。 例例:设总体设总体(zngt)X具有均匀分布具有均匀分布,其概率密度函其概率密度函数为数为求未知参数(cnsh)的极大似然估

11、计.解解 设设 (X1,X2,Xn)是来自总体是来自总体(zngt)X的一个样本的一个样本.似然函数为似然函数为 要使L(; x1,x2,xn)达到最大,就要使达到最小,由于所以的极大似然估计值为：参数的极大似然估计量为：第25页/共74页第二十六页，共75页。2估计量的评选估计量的评选(pngxun)标准标准 n n对于总体的同一个(y )未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量。这就提出了一个(y )问题，当总体的同一个(y )参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个(y )更好？这涉及到用什么样的标准来评价估计量的好坏问题，对此，我们介绍几个常用的评价标准：无偏性、有效

12、性和一致性。第26页/共74页第二十七页，共75页。无偏性无偏性 在评价一个估计量的好坏时,我们当然希望估计量与被估参数越接近(jijn)越好.但估计量是一个随机变量,它的取值随样本的观测值而变,有时与被估参数的真值近些,有时远些,我们只能从平均意义上看估计量是否与被估参数尽量接近(jijn),最好是等于被估参数.于是有无偏估计量的概念.第27页/共74页第二十八页，共75页。 例例:设总体设总体(zngt)X具有均匀分布具有均匀分布,其密度函数为其密度函数为解解用矩法估计(gj)得求的无偏(w pin)估计.总体X的均值第28页/共74页第二十九页，共75页。 例例:设总体设总体(zngt)

13、X的的k阶矩阶矩E(Xk)存在存在,证明样证明样本的本的k阶矩是阶矩是E(Xk)的无偏估计的无偏估计.证明证明(zhngmng)所以,证明样本(yngbn)的k阶矩是E(Xk)的无偏估计.因为第29页/共74页第三十页，共75页。 例例:设总体设总体(zngt)的方差的方差D(X)存在存在,试证样本二试证样本二阶中心矩阶中心矩B2是总体是总体(zngt)方差方差D(X)的有偏估计的有偏估计.证明证明(zhngmng)所以,B2是总体方差(fn ch)D(X)的有偏估计. 注注:第30页/共74页第三十一页，共75页。有效性有效性 一个参数的无偏估计量不是唯一的,假若参数有两个无偏估计量 ,我们

14、认为其观测值更密集在参数真值附近的一个较为理想.由于方差是随机变量取值与其(yq)数学期望的偏离程度的度量,所以无偏估计以方差小者为好.这就引出了估计量的有效性这一概念. 第31页/共74页第三十二页，共75页。证明证明(zhngmng) 由于(yuy)总体服从泊松分布，故 于是(ysh)有 第32页/共74页第三十三页，共75页。同理 但是(dnsh) 第33页/共74页第三十四页，共75页。 例例:设设(X1,X2, X3)是来自是来自(li z)总体总体X的一个样本的一个样本,证明下面证明下面的三个估计量都是总体均值的三个估计量都是总体均值E(X)的无偏估计量的无偏估计量证明证明(zhn

15、gmng)第34页/共74页第三十五页，共75页。一致性一致性 估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的前提下提出(t ch)的.我们自然希望随着样本容量的增大,一个估计量的值稳定于待估参数的真值.这就对估计量提出(t ch)了一致性的要求.第35页/共74页第三十六页，共75页。第36页/共74页第三十七页，共75页。3参数参数(cnsh)的区间估计的区间估计 点估计有使用方便、直观等优点点估计有使用方便、直观等优点, ,但他并没有但他并没有(mi yu)(mi yu)提供关于估计精度的任何信息提供关于估计精度的任何信息, ,为此提为此提出了未知参数的区间估计法出了未知参数的区间估计法.

16、.例例 对明年小麦对明年小麦(xiomi)的亩产量作出估计为的亩产量作出估计为:即即若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为P(800X1000)=80%明年小麦亩产量八成为明年小麦亩产量八成为800-1000斤斤.区间估计区间估计第37页/共74页第三十八页，共75页。第38页/共74页第三十九页，共75页。第39页/共74页第四十页，共75页。第40页/共74页第四十一页，共75页。第41页/共74页第四十二页，共75页。第42页/共74页第四十三页，共75页。第43页/共74页第四十四页，共75页。这时必有 第44页/共74页第四十五页，共75页。正态总体正态总体(zngt)均值均值的区间

17、估计的区间估计 第45页/共74页第四十六页，共75页。方差方差(fn ch)已知时均值的区间估计已知时均值的区间估计由总体(zngt)服从正态分布可得 0a/2za/2a/2-za/2第46页/共74页第四十七页，共75页。得到(d do) 从而(cng r) 第47页/共74页第四十八页，共75页。 例例:设轴承内环的锻压设轴承内环的锻压(duny)零件的平均高度零件的平均高度X服从服从正态分布正态分布2).现在从中抽取现在从中抽取20只内环只内环,其平均高度为毫米其平均高度为毫米.求内环平均高度的置信度为求内环平均高度的置信度为95%的置信区间的置信区间.解解第48页/共74页第四十九页

18、，共75页。解解 经计算(j sun)可得 查表得 从而 故所求置信区间为 第49页/共74页第五十页，共75页。例例: 已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中岁的幼儿中随机随机(su j)地抽查了地抽查了9人，其高度分别为：人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;解解 第50页/共74页第五十一页，共75页。方差未知时均值方差未知时均值(jn zh)的区间估计的区间估计第51页/共74页第五十二页，共75页。0a/2a/2-ta/2(n-1)ta/2(n-1)第52页/共74页第五十三页，共75页。解

19、解 经计算(j sun)得 查表可得 从而(cng r)所以(suy)的置信度为置信区间是第53页/共74页第五十四页，共75页。例例: 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 设温度解解 第54页/共74页第五十五页，共75页。正态总体方差正态总体方差(fn ch)的区间估计的区间估计 均值均值(jn zh)已知时方差的区间估计已知时方差的区间估计第55页/共74页第五十六页，共75页。a/2a/2第56页/共74页第五十七页，共75页。均值未知时方差均值未知时方差(fn ch)的区间估计的区间估计第57页

20、/共74页第五十八页，共75页。a/2a/2第58页/共74页第五十九页，共75页。解解 由题意(t y)得 查表得 算得 所求置信区间为(0.038,0.506)第59页/共74页第六十页，共75页。例例: 设某机床加工的零件长度今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间.解解第60页/共74页第六十一页，共75页。两个正态总

21、体两个正态总体(zngt)均值差的区间均值差的区间估计估计 第61页/共74页第六十二页，共75页。由于样本(yngbn)函数 其中(qzhng) 对于(duy)给定的置信度1-有即 置信区间为 第62页/共74页第六十三页，共75页。第63页/共74页第六十四页，共75页。解解 求得 第64页/共74页第六十五页，共75页。由于样本(yngbn)函数 第65页/共74页第六十六页，共75页。第66页/共74页第六十七页，共75页。解解 求得 第67页/共74页第六十八页，共75页。3.4 两个正态总体方差两个正态总体方差(fn ch)之比的之比的区间估计区间估计 第68页/共74页第六十九页

22、，共75页。第69页/共74页第七十页，共75页。解解 求得 查表得 计算(j sun)得第70页/共74页第七十一页，共75页。3.5 单侧置信区间单侧置信区间 第71页/共74页第七十二页，共75页。第72页/共74页第七十三页，共75页。解解 此时(c sh) 于是(ysh) 第73页/共74页第七十四页，共75页。内容(nirng)总结会计学。在要求的精度范围内指出参数所在的区间。第2页/共74页。用上面的解来估计参数i就是矩法估计.。缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息。费歇在1922年重新发现了这一方法(fngf)，并首先研究了这种方法(fngf)的一些性质。例:设随机变量X服从泊松分布:。其中0是一未知参数,求的极大似然估计.。所以,证明样本的k阶矩是E(Xk)的无偏估计.。P(800X1000)=80%。-ta/2(n-1)。于是第七十五页，共75页。