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1、一、平面图形的面积一、平面图形的面积 二、由平行截面面积求体积二、由平行截面面积求体积 第十章第十章 定定积分的分的应用（一）用（一）由平行截面面积求体积直接应用求旋转体的体积面积公式（直角坐标，极坐标）一、平面图形的面积一、平面图形的面积 如果函数yf(x)( f(x)0)在区间a, b上连续，则由曲线yf(x)、x轴与直线xa、xb所围成的曲边梯形的面积为 复习：Ox yab yf (x) 由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线xa、xb所围成的图形的面积 S 如何求？考虑如下问题：Ox y 1、若图形在x轴上方，ab yf (x) yg(x) yg(x)注意图形的形成ab
2、 yf(x) yg(x)Ox y 2、若图形不在x轴上方， yf(x)+m yg(x)+mm将图形平移到x轴的上方 由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线xa、xb所围成的图形的面积 S 如何求？考虑如下问题： 1、若图形在x轴上方， 结论：由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线Sxa、xb所围成的图形的面积为注： (1)当曲线f(x)0或g(x)0时，上述公式也成立。Ox yab yf(x)g(x)0Ox yab yg(x)f(x)0Ox yab yf(x)g(x)0ab yf(x)g(x)0Ox yab yf(x)g(x)0 (2)当左右两边缩为一点时，上述
3、公式也成立。 (3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。 结论：由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线Sxa、xb所围成的图形的面积为注： (1)当曲线f(x)0或g(x)0时，上述公式也成立。 (4)如果 yf(x)有分段点 c，则需把图形分割后计算。Ox yab yf(x)g(x)0 yf1(x) yf2(x)c结论：由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线Sxa、xb所围成的图形的面积为注： (1)当曲线f(x)0或g(x)0时，上述公式也成立。 (2)当左右两边缩为一点时，上述公式也成立。 (3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。讨论： 由左右两条连续曲
4、线xy(y)、xj(y)与上下两条直线yc、 yd所围成的图形的面积 S 如何求？Ox ycdxy(y)xj(y)答案： 结论：由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线Sxa、xb所围成的图形的面积为abxyOS1结论：由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线Sxa、xb所围成的图形的面积为 例1. 求椭圆 所围成的图形面积。 解：设椭圆在第一象限的面积为S1，则椭圆的面积为 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 S 2 例2 求曲线y21x2、y211x+与直线x3、 xO-1 1 y 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 S 2 2 )2
5、33(31+p 2.11 例2 求曲线y21x2、y211x+与直线x3、 例3 计算抛物线y22x 与直线xy4所围成的图形的面积。8 y-2 2 x2O444(8, 4)(2, 2) 解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。 18。思考：为什么不向x轴投影？ S1861421)214(4232242+yyydyyy 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应 从 0 变例
6、例5. 计算阿基米德螺线解解:到 2 所围图形面积 . 例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:(利用对称性)二、由平行截面面积求体积二、由平行截面面积求体积 设一立体在x轴上的投影区间为a, b ，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。 (3)令lmaxDxi，则立体体积为 (1) 在a, b内插入分点： ax0x1x2 xn1xnb， (2)过xi(i1, 2, , n1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)Dxi。 将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值xOax1xi1xixnbV ni 10limlS(
7、 )Dxi baS(x)dx。 垂直 x 轴的截面是椭圆例例7. 计算由曲面所围立体(椭球体)解解:它的面积为因此椭球体体积为特别当 a = b = c 时就是球体体积 .的体积.例例8. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角,解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?提示提示:Oxba y区间a, b上截面积为S(x)的立体体积：右图为由连续曲线 yf(x)、直线 xa 、 xb 及 x 轴所围
8、成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。 yf (x)关键是确定截面面积当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 截面面积为于是有 例例9 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x轴围成一个直角三角形。将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。 所求圆锥体的体积为 hrxyO曲线yf(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：区间a, b上截面积为 S(x) 的立体体积：例例10. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程则截面面积(利用对称性)于是方法方法2 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积例例11. 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限 !注意分段点！分部积分注注(利用“偶倍奇零”)例例12. 求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,故旋转体体积为在第一象限 分部积分注注(利用“偶倍奇零”) 作业：作业：P242 T1，5，P246 T2 预习：预习：第三节第三节 平面曲线的弧长与曲率平面曲线的弧长与曲率
