第第1212章章 二叉树模型介绍二叉树模型介绍1二叉树模型入门 本章主要内容•二叉树模型的基本思想•12.1利用二叉树给期权定价•12.2风险中性定价•12.3两步二叉树•12.4看跌期权•12.5美式期权•12.6Dalta•12.7u和d的确定•12.8二叉树其他问题•课堂练习2二叉树模型入门 二项式期权定价模型p要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何变动p简单但非常有力的一个模型是二项式模型p- 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能有两个可能的取值•- 当时间间隔足够短，这是很好的近似•- 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理•- 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价 3二叉树模型入门 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，并假设在每一个时间间隔，并假设在每一个时间间隔 内证券价格内证券价格只有两种运动的可能：只有两种运动的可能：1、从开始的、从开始的 上升到原先的上升到原先的 倍，即到倍，即到达达 ； 2、下降到原先的、下降到原先的 倍，即倍，即 相应地，期权价值也会有所不同，相应地，期权价值也会有所不同，分别为分别为 和和4二叉树模型入门 相同期相同期限下步限下步长越小长越小精确度精确度越高越高5二叉树模型的思想实际二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动续的资产价格运动 5二叉树模型入门 此时此时 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得将将 代入上式就可得到：代入上式就可得到：其中其中 6无套利定价法：无套利定价法：构造投资组合包括构造投资组合包括 份股票多头和份股票多头和1份看涨期权空头份看涨期权空头当当 时时,股票价格的变动对组合无影响则组合为无股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合风险组合6二叉树模型入门 本章主要内容•二叉树模型的基本思想•12.1利用二叉树给期权定价•12.2风险中性定价•12.3两步二叉树•12.4看跌期权•12.5美式期权•12.6Dalta•12.7u和d的确定•12.8二叉树其他问题•课堂练习7二叉树模型入门 •假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。
•假设股票三个月内不付红利•欧式看涨期权执行价格$21，有效期为三个月后以买入股票的进行估值8二叉树模型入门 单步二叉树模型9二叉树模型入门 定价思路：•构造一个股票和期权的组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的•它的收益率一定等于无风险收益率•由此得出该期权的价格构造组合：•该组合包含一个Δ股股票多头头寸 和一个看涨期权的空头头寸10二叉树模型入门 •上升时：股票价格从$20上升到$22，期权的价值为$l，该证券组合的总价值为22Δ-1；•下降时：股票价格从$20下降到$18，期权的价值为零，该证券组合的总价值为18Δ•如果选取某个Δ值，以使得该组合的终值对两个股票价格都是相等的，则该组合就是无风险的• 22Δ—1=18Δ•Δ=0.2511二叉树模型入门 一个无风险的组合是：•多头：0.25股股票•空头：一个期权定价：•如果股票价格上升到$22，该组合的价值为： 22×0.25-1＝4.5•如果股票价格下跌到$18，该组合的价值为：18×0.25＝4.5•无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。
12二叉树模型入门 在无套利均衡的情况下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率•假设在这种情况下，无风险利率为年率12％•该组合现在价值一定是$4.5的现值•即：4.5e-0.12×0.25=4.3674•股票现在的价格已知为$20•假设期权的价格由f来表示•现在该组合的价值：20×0.25－f=5－f=4.3674 即f=0.63313二叉树模型入门 偏离均衡价格时的套利：•如果期权的价值超过了$0.633，构造该组合的成本就有可能低于$4.367，并将获得超过无风险利率的额外收益；•如果期权的价值低于$0.633，那么卖空该证券组合将获得低于无风险利率的资金14二叉树模型入门 单步二叉树的一般结论假设：期权的期限为假设：期权的期限为T，，U>1,d<1 股票上涨的比率为股票上涨的比率为u-1 股票下跌的比率为股票下跌的比率为1-d u+d=215二叉树模型入门 •组合•△股股票多头•期权空头•当股票上升，有效期末组合价值S0u△-fu•当股票下降，有效期末组合价值S0d△-fd•得S0u△-fu=S0d△-fd16二叉树模型入门 •T0•成本S0△-f•组合现值•得•得17二叉树模型入门 •已知•u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25，fu=1，fd=018二叉树模型入门 本章主要内容•二叉树模型的基本思想•12.1利用二叉树给期权定价•12.2风险中性定价•12.3两步二叉树•12.4看跌期权•12.5美式期权•12.6Dalta•12.7u和d的确定•12.8二叉树其他问题•课堂练习19二叉树模型入门 风险中性•上述期权定价是根据标的股票的价格估计期权的价值，未来上升和下降的概率已包括在股票价格中，说明，当根据股票的价格为期权定价时，不需要股票价格上升和下降的概率。
20二叉树模型入门 •E（f）=pfu+（1-p）fd，期权的预期收益•根据p的解释，p是上升的概率，（1-p）下降的概率•得，f的价值是其未来预期收益按照无风险利率的贴现值21二叉树模型入门 风险中性•变量p解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p，就是股票价格下降的概率•①在T时刻预期的股票价格ST：• E（ST）=pS0u+(1-p)S0d•即E（ST）=pS0（u-d）+S0d •将 代入上式，化简得：•E（ST）=S0erT•即：平均来说，股票价格以无风险利率增长•因此，设定上升运动的概率等于p就是等价于假设股票收益等于无风险利率22二叉树模型入门 风险中性的例子•S0=20S0u=22，S0d=18K=21fu=1，fd=0r=0.12，T=0.25E（（f））=pfu+（（1-p））fd23二叉树模型入门 12.2•用单步二叉树图说明无套利和风险中性估值方法如何为欧式期权估值•解：在无套利方法中，我们通过期权及股票建立无风险资产组合，使组合收益率等价于无风险利率，从而对期权估值•在风险中性估值方法中，我们选取二叉树概率，以使股票的期望收益率等价于无风险利率，而后通过计算期权的期望收益并以无风险利率贴现得到期权价值。
24二叉树模型入门 12.4•某个股票现价为$50已知6个月后将为$45或$55无风险年利率为10％（连续复利）执行价格为$50，6个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？ -f+50△=-26.16 -f+50△=-26.16所以，所以，f =-50*0.5+26.16=1.16f =-50*0.5+26.16=1.16看跌期权的价值看跌期权的价值f=f=（（0*0.7564+5*0.24360*0.7564+5*0.2436））e e-0.1*0.5 -0.1*0.5 =1.16=1.1625二叉树模型入门 12.16•某个股票现价为$50已知在6个月后，股价将变为$60或$42无风险年利率为12％（连续复利）计算执行价格为$48，有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少证明无套利原理和风险中性估价原理得出相同的答案26二叉树模型入门 12.1627二叉树模型入门 12.1628二叉树模型入门 12.1•股票现价为$40已知在一个月后股价为$42或$38无风险年利率为8％（连续复利）执行价格为$39的1个月期欧式看涨期权的价值为多少？•解：考虑一资产组合：卖空1份看涨期权；买入Δ份股票。
若股价为$42，组合价值则为42Δ－3；若股价为$38，组合价值则为38Δ•当42Δ－3＝38Δ，即Δ＝0.75时，组合价值在任何情况下均为$28.5，其现值为：28.5e−0.08*0.08333=28.31•即：－f＋40Δ＝28.31其中f为看涨期权价格•所以，f＝40×0.75-28.31=$1.69•另解：（计算风险中性概率p）•42p+38(1-p)=40erT=40e0.08*0.08333•4p=40e0.08*0.08333-38•P=0.5669.期权的价值应是其预期收益以无风险利率的贴现值•f=(3*0.5669+0*0.4331)e-0.08*0.08333=1.69美元29二叉树模型入门 本章主要内容•二叉树模型的基本思想•12.1利用二叉树给期权定价•12.2风险中性定价•12.3两步二叉树•12.4看跌期权•12.5美式期权•12.6Dalta•12.7u和d的确定•12.8二叉树其他问题•课堂练习30二叉树模型入门 •两步二叉树图的例子•1）条件：•开始的股票价格为$20，并在两步二叉树图的每个单步二叉树图中，股票价格可以上升10％或者下降10％。
•我们假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无风险利率是年率12％•期权的执行价格为$2131二叉树模型入门 32二叉树模型入门 33二叉树模型入门 34二叉树模型入门 计算在节点B的期权价格：•u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523.•节点B的期权价格为： e-0.12×0.25(0.6523×3.2十0.3477×0)=2.0257 同理求出节点C的期权价格为：0计算节点A的期权价格:•知道在节点B的期权价值为2.0257;以及在节点C的期权价值为零•因此，节点A的期权价值：•e-0.12×0.25(0.6523×2.0257十0.3477×0)=1.2823•于是期权的价格为:$1.2823 35二叉树模型入门 二叉树的一般结论•无风险利率是r每个单步二叉树的时间长度△t36二叉树模型入门 •因为•所以•将1式，2式，带入3式，得到37二叉树模型入门 •p2, 2p(1-p), (1-p)2是达到最后上、中、下三个节点的概率•衍生证券的价格等于它在它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值38二叉树模型入门 12.5•某个股票现价为$100。
有连续2个时间步，每个时间步的步长为6个月，每个单步二叉树预期上涨10％，或下降10％无风险年利率为8％（连续复利）执行价格为$100的一年期欧式看涨期权的价值为多少？39二叉树模型入门 40二叉树模型入门 12.6•考虑习题12.5中的情况，执行价格为$100的一年期欧式看跌期权的价值为多少？证明欧式看涨期权和欧式看跌期权满足看涨看跌期权的平价关系41二叉树模型入门 12.642二叉树模型入门 本章主要内容•二叉树模型的基本思想•12.1利用二叉树给期权定价•12.2风险中性定价•12.3两步二叉树•12.4看跌期权•12.5美式期权•12.6Dalta•12.7u和d的确定•12.8二叉树其他问题•课堂练习43二叉树模型入门 看跌期权的例子P203•两年欧式看跌期权，K=52,S0=50,t=1，股票价格或者按比例 （+-）=20%,u=1.2,d=0.8,r=0.05，风险中性概率p44二叉树模型入门 12.9•某个股票现价为$50已知在两个月后，股票价格为$53或$48无风险年利率为10％（连续复利）请用无套利原理说明，执行价格为$49的两个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？45二叉树模型入门 12.9•u>1,d<1•股票上涨的比率为u-1=0.06•股票下跌的比率为1-d=0.04•u+d=2•3/50=0.06,2/50=0.0446二叉树模型入门 12.10•某个股票现价为$80。
已知在4个月后，股票价格为$75或$85无风险年利率为5％（连续复利）请用无套利原理说明，执行价格为$80的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？47二叉树模型入门 12.1048二叉树模型入门 12.12•某个股票现价为$50有连续2个时间步，每个时间步的步长为3个月，每个单步二叉树的股价或者上涨6％或者下跌5％无风险年利率为5％（连续复利）执行价格为$51,有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少？49二叉树模型入门 12.13•考虑习题12.12中的情况，执行价格为$51，有效期为6个月的欧式看跌期权的价值为多少？证明欧式看涨期权和看跌期权满足看涨看跌期权平价关系如果看跌期权是美式期权，在树图上的任何节点，提前执行期权是否会更优呢？•解：（1）如上题u=1.06,d=0.95,p=0.5689•计算二叉树图的结果如下•50二叉树模型入门 •如上图，当到达中间的终节点时，期权的损益为51－50.35＝0.65；当到达最低的终节点时，期权的损益为51－45.125＝5.875•因此，期权的价值为： （（3）为确定提前执行是否会更优，我们要计算比较每一节点处立即执行期）为确定提前执行是否会更优，我们要计算比较每一节点处立即执行期权的损益。
权的损益 在在C节点处，立即执行期权的损益为节点处，立即执行期权的损益为51－－47.5＝＝3.5，大于，大于2.8664因此，期权必须在此节点处被执行，在期权必须在此节点处被执行，在A、、B节点处均不执行节点处均不执行 51二叉树模型入门 12.17•某个股票现价为$40有连续2个时间步，每个时间步的步长为3个月，每个单位二叉树的股价或者上涨10％或者下跌10％无风险年利率为12％（连续复利） •(A)执行价格为$42的6个月期限的欧式看跌期权的价值为多少？ •(B)执行价格为$42的6个月期限的美式看跌期权的价值为多少？ 52二叉树模型入门 53二叉树模型入门 12.1754二叉树模型入门 12.18•用“试错法”来估算习题12.17中的期权的执行价格为多高时，立即执行期权是最佳的？在此在此C节点处，立即执行期权的损益为节点处，立即执行期权的损益为37-36=1，小于，小于1.552.因此美式看跌期权不会在此节点处被执行因此美式看跌期权不会在此节点处被执行55二叉树模型入门 •（2）假设美式看跌期权的执行价格为$38，计算股价二叉树图的结果如下：•在此C节点处，立即执行期权的损益为38－36＝2，比1.890多0.11收益。
因此，美式看跌期权必须在此节点处被执行从以上分析可得，当执行价格高于或等于$38时，提前执行美式看跌期权都是更优的选择56二叉树模型入门 本章主要内容•二叉树模型的基本思想•12.1利用二叉树给期权定价•12.2风险中性定价•12.3两步二叉树•12.4看跌期权•12.5美式期权•12.6Dalta•12.7u和d的确定•12.8二叉树其他问题•课堂练习57二叉树模型入门 Dalta----期权价格变化与股票价格变化之间的比率58二叉树模型入门 •结论•△随着时间而变化•Delta是为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有的股票数目•构造无风险对冲有时就称之为Delta对冲(deltahedging)•看涨期权的Delta是正值，而看跌期权的Delta是负值•意味着利用期权和标的股票来保持一个无风险组合，我们需要定期调整我们持有的股票数量，59二叉树模型入门 本章主要内容•二叉树模型的基本思想•12.1利用二叉树给期权定价•12.2风险中性定价•12.3两步二叉树•12.4看跌期权•12.5美式期权•12.6Dalta•12.7u和d的确定•12.8二叉树其他问题•课堂练习60二叉树模型入门 二叉树实际中的应用•多步如何算61二叉树模型入门 课堂练习•作业：•1,4,5,6,16,1762二叉树模型入门 。