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1、三、换面法的四个基本作图三、换面法的四个基本作图四、应用及举例四、应用及举例一、投影变换及换面法的基本概念一、投影变换及换面法的基本概念二、点的换面作图规则二、点的换面作图规则返回第三章第三章 投影变换投影变换换面法换面法 aabb 两点之间距离aabbcc 三角形实形aabbccdd 直线 与平面的交点求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析abcdabcd 两平面夹角返回返回一一. 换面法的基本概念换面法的基本概念a1c1 b1V1c1b1a1X1X1换面法换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧
2、的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H V/H 体系变为体系变为V V1 1/H /H 体系体系旧面旧面新面新面不变面不变面旧轴旧轴新轴新轴返回1. 点的一次变换点的一次变换X1V1a1 返回返回二、点的换面及规律二、点的换面及规律a22. 点的两次变换点的两次变换H2a2返回新新不变不变旧旧旧旧新新不变不变 X2V1 H2 新与旧是相对的新与旧是相对的水平书写好水平书写好X2a1. 把一般位置直线变为把一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线2. 把把一
3、般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线3. 把一般位置平把一般位置平面面变为变为投影面垂直面投影面垂直面4. 把一般位置平把一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面三、换面法的四个基本作图三、换面法的四个基本作图返回返回VHAB a b ab1. 把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，AB/P1。X1HP1P1a1 b1 空间分析空间分析： 换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。 a b abXVH新投影轴的
4、位置？新投影轴的位置？a1 b1 与与ab平行。平行。 .a1 b1 VH a aXB b bA2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1H1P1P1P2X2作图：作图：X1P1a1 b1 X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？轴的位置？a2 b2ax2a2 b2 .与与a1 b1 垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线； 一般位置直线变换一般位置直线变换成投影面垂直线，需经成投影面垂直线，需经几次变换？几次变换？ a b c ab
5、cdVHABCDX d 3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 P1X1c1 b1 a1 d1空间分析：空间分析： 在平面内在平面内取一条取一条投影面平行线投影面平行线，经一，经一次换面后变换成新投次换面后变换成新投影面的垂直线，则该影面的垂直线，则该平面变成新投影面的平面变成新投影面的垂直面。垂直面。作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只
6、进行一次变换？ 思考：思考：若变换若变换H面，需在面内面，需在面内取什么位置直线？取什么位置直线？正平线！正平线！ a b c acbXVH例：把例：把三角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 图图 过过 程：程： 在平面内取一条水平在平面内取一条水平 线线AD。d d 将将AD变换成新投影变换成新投影 面的垂直线。面的垂直线。b1 a1 d1c1 反映平面对哪反映平面对哪个投影面的夹角？个投影面的夹角？.a1 b1需经几次变换？需经几次变换？一次换面一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影
7、面的平行面。二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P24. 把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面ab a c b XVHc作作 图：图：AB是水平是水平线线空间分析：空间分析：a2c2b2c1 X2轴轴的位置？的位置？平面的实形平面的实形.X1HP1.与其平行与其平行b1 距离距离dd1X1HV1X2V1H2c2 d 例例1：求点：求点C到直线到直线AB的距离，并求垂足的距离，并求垂足D。c c b a abXVH 四、换面法的应用四、换面法的应用 如下图：当直线如下图：当直线AB垂直于投影面时，垂直于投影面时，CD平平行于投影面，其投影反映行于投影面，其投影
8、反映实长。实长。APBDCca b d作图作图: 求求C点到直线点到直线AB的距离，的距离，就是求垂线就是求垂线CD的实长。的实长。空间及投影分析：空间及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 过过c1作线平行于作线平行于x2轴。轴。.如何确定如何确定d1点的位置？点的位置？X1H1V1a2b2d2c2b1a1d1c1112121b211222例例2. 求两直线求两直线AB与与CD的公垂线的公垂线 。 X2V1 H2返回返回空间及投影分析空间及投影分析：AB与与CD都平行于投影面时，其投影都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（的夹角才反映实大（60），因此需将），因此需将AB与与C点所确定
9、的平点所确定的平面变换成投影面平行面。面变换成投影面平行面。例例3: 过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角。角。 d X1HV1X2V1H2ab a c b XVHc作作 图：图：c2c1a1 b1a2d2db2 几个解？几个解？两个解！两个解！ 已知点已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，上，求等边三角形的投影。求等边三角形的投影。（用基本法和换面法分别求解）（用基本法和换面法分别求解）思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D点的投影点的投影如何返回？如何返回？.例例4 已知已知E点点在平面在平面ABC上，距离上
10、，距离A、B为为15，求点，求点E的投影的投影。 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2小小 结结本章主要介绍了投影变换的一种常用方法本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法换面法。一、一、 换面法就是换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给物，使它与所给物 体或其几何元素处于体或其几何元素处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。二、二、 换面法的关键是要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件新投影面的选择条件， 即必须使即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能
11、使正投影规同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。律继续有效。三、三、点的变换规律是换面法的作图基础点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。换面法的四个基本问题：换面法的四个基本问题： 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线把一般位置直线变成投影面垂直线1. 把一般位置直线变成投影面平行线把一般位置直线变成投影面平行线3. 把一般位置平面变成投影面垂直面把一般位置平面变成投影面垂直面4. 把一般位置平面变成投影面平行面把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变
12、换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线需先在面内作一条投影面平行线四、解题时一般要注意下面几个问题：四、解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体物体 与原投影面的相对位置与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。何元素（点、线、面等）。 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新对新 投影面应处于什么样的特殊位置投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。据此选择正确的解题思路与方法。 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变 换前后的关系，换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地既要在新投影体系中正确无误地 求得结果，又能将结果求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。返回到原投影体系中去。4. 涉及直线与平面垂直、两平面垂直问题，不要求掌握，可涉及直线与平面垂直、两平面垂直问题，不要求掌握，可以自学。以自学。看书：看书：P41P47 作业：作业：34、8、9、10、11、12
