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1、第九章 拉普拉斯变换1.拉普拉斯变换（双向的）的定义2.拉普拉斯变换和他们的收敛域（ROCs）3.收敛域的性质拉普拉斯变换连续系统傅里叶变换让我们能做很多事：分析LTI系统的频率响应；抽样；调制。我们为什么还需要其他变换对于拉普拉斯变换的一种观点是为了分析更多种类信号的系统而对傅里叶变换做的拓展实际上，傅里叶变换不能分析很大一类（重要）信号和不稳定系统，比如拉普拉斯变换的作用（接上）在很多的应用中，我们确实需要处理不稳定系统 稳定一个倒立摆 稳定飞机或者航天飞机 在一些应用中需要不稳定，比如振荡器和激光我们如何分析以下信号/系统，LTI系统的本征函数性质（双向）拉普拉斯变换基本想法要求绝对可积
2、绝对可积条件例例9.19.1：不稳定：无傅里叶变换有拉普拉斯变换例例9.29.2图形显示的收敛域有理变换很多（但绝不是全部）拉普拉斯变换对我们来说，感兴趣的是s的有理函数（比如例1、例2）一般来说，LTI系统的脉冲响应可用线性常微分方程来表示例例9.39.3都要求收敛域有交集拉普拉斯变换和收敛域有些信号没有拉普拉斯变换（没有收敛域）收敛域（ROC）的性质收敛域只取少量的几种不同形式收敛域是右半平面（RHP）收敛域是左半平面（LHP）例例9.7利用例利用例9.19.1和例和例9.29.2：性 质例子：例子：傅立叶变换是否存在？4.4.拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换5.5.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯
3、变换的性质6.6.线性时不变系统的系统函数线性时不变系统的系统函数7.7.拉普拉斯变换及其频率响应的几何求值拉普拉斯变换及其频率响应的几何求值拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换通过部分分式展开和性质计算拉普拉斯逆变换通过部分分式展开和性质计算拉普拉斯逆变换ROC：左边信号ROC：双边信号，有傅里叶变换ROC：右边信号拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质许多性质类似于连续时间傅里叶变换，但我们需要确定ROC（拉斯变换收敛域）的含义。 线性性质线性性质 时移时移时域微分时域微分s-域微分域微分卷积性质卷积性质Y(s)=H(s)X(s)的收敛域：包括H(s)&X(s)的收敛域的交集；如果与H(s)&X(s
4、)的收敛域无重叠，那么Y(s)的收敛域必是空集。 例如：收敛域可以比二者重叠的部分更大些,如:线性时不变系统的系统函数线性时不变系统的系统函数 系统函数描绘了系统 系统的性质与H(s)的性质及其收敛域相对应。例子：有理拉普拉斯变换的几何求值有理拉普拉斯变换的几何求值给定一点 ， ： 做复数 和复数 表示的向量，然后做向量 与 的和。例例#2#2：一个一阶极点：一个一阶极点例例#3：一个高阶有理拉普拉斯变换：一个高阶有理拉普拉斯变换（阶跃响应）（阶跃响应）一阶系统的波特图一阶系统的波特图二阶系统二阶系统演示：零极点图表，频率响应，以及一阶演示：零极点图表，频率响应，以及一阶和二阶连续时间因果系统
5、的阶跃响应和二阶连续时间因果系统的阶跃响应一个二阶系统的波特图一个二阶系统的波特图一个二阶系统的单位脉冲和单位阶跃响应一个二阶系统的单位脉冲和单位阶跃响应一阶全通系统一阶全通系统8.连续时间系统函数的性质9.系统函数的代数属性和方框图表示10.单边拉普拉斯变换及其应用连续时间系统函数的性质H（s）=系统函数问题：如果H（s）的收敛域是一个右半平面，那么系统是因果性的吗？连续时间有理系统函数的性质a a）如果）如果H(s)H(s)是有理的，那么是有理的，那么系统是因果性的系统是因果性的 H(s)的收敛域位于最右边极的收敛域位于最右边极点的右边的右半平面。点的右边的右半平面。b b）如果）如果H
6、H（s s）是有理的并且是一个因果系统的系）是有理的并且是一个因果系统的系统函数，那么统函数，那么系统是稳定的系统是稳定的 轴在收敛域内轴在收敛域内 所有极点在左半平面内。所有极点在左半平面内。检验是否所有极点在左半平面方法方法1 1：求出所有的根再看：求出所有的根再看方法方法2 2：劳斯：劳斯- -赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据不需要求解不需要求解多项式根在左半平面的条件一阶二阶三阶初值和终值定理如果当t0时x(t)=0，并且在原点无脉冲或高阶间断点，那么如果当t0时x(t)=0，并且当t趋于无穷时x(t)的极限是有限的，那么初值和终值定理的应用初值终值用线性常微分方程描述的LTI系统收敛
7、域收敛域= =？ 这依赖于：这依赖于：1 1）所有极点的位置；）所有极点的位置； 2 2）边界条件，也就是左边信号、右边信号还是双边信号。）边界条件，也就是左边信号、右边信号还是双边信号。系统函数的代数属性例子：一个由因果模块组成的基本反馈系统例子：一个由因果模块组成的基本反馈系统带有有理系统函数的因果LTI系统的流程图（略略）例子（续）替代注意：1/s一个积分器注意：学到的：有很多学到的：有很多不同不同方法可以构建同一个系统。方法可以构建同一个系统。 单边拉普拉斯变换（数学课讲过单边拉普拉斯变换（数学课讲过-略略）（分析带有初值条件的线性常微分方程描述的因果连续时间系统的更好工具）单边拉普拉斯变换的微分性质初值条件用单边拉普拉斯变换解带有初值条件的微分方程例子（续）初始松弛 时的LTI系统响应初始条件 单一的响应作业：习题9.3, 9.8, 9.14, 9.31, 9.33习题课：例9.9,例9.10,例9.11,例9.17, 例9.23,例9.25,例9.26,例9.27.
