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1、下学期高一数学第二章数列全章教案下学期高一数学第二章数列全章教案2.12.1 第第 1 1 课时课时数列数列(1)(1)教学目标教学目标（1）了解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；（2）理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式教学重点，难点教学重点，难点（1）理解数列是一种特殊的函数；（2）会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式教学过程教学过程一问题情境一问题情境1情境：某剧场座位数依次为20，22，24，26，28， （）某彗星出现的年份依次为1740， （）1823，1906，19
2、89，2072，某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟， （）1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，一尺之棰，日取其半，万世不竭如果将一尺之棰视为1111 （）1份，那么每日剩下的部分依次为1， ，24816某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝，那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2， （）3，5，8，从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32 （）2问题：这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？二学生活动二学生活动思考问题，并理解顺序变化后对这列
3、数字的影响三建构数学三建构数学1数列按照一定次序排列的一列数称为数列数列数列的一般形式可以写成a1，a2，a3， ，an， ， 简记为简记为an2项数列中的每个数都叫做这个数列的项a1称为数列an的第1项 （或称为首项） ，a2称为第2项， ，an称为第n项说明：数列的概念和记号an与集合概念和记号的区别：(1)数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；(2)数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复3有穷数列与无穷数列项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列4数列是特殊的函数在数列an中，对于每一个正整数n（或n1,2,., k） ，都有一个数an与之对应，因此，数列可以看成以
4、正整数集N*（或它的有限子集1,2,.,k）为定义域的函数an f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值反过来，对于函数y f (x)，如果f (i)（i 1,2,3,.）有意义，那么我们可以得到一个数列f (1)，f (2)，f (3)， ，f (n)， （强调有序性）说明：数列的图象是一些离散的点5通项公式一般地，如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式四数学运用四数学运用1例题：例 1已知数列的第n项an为2n1，写出这个数列的首项、第2项和第3项解：首项为a1 2111；第2项为a2 221 3；第
5、3项为a3 231 5例 2已知数列an的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：(1)2n（）an； （）ann2n1n445116解我们用列表法分别给出这两个数列的前5项112122231433418556132annn1(1)2ann2它们的图象如下图所示例 3写出数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：（）1，3，7，15，31；（）1，1，1，1，1；1111149，； （） ， ，12233445357（）0，2，0，2（）， ， ；169解： （）an 2n1（）an (1)n(1)n1（）ann(n1)n2（）an2n1（）an1(1)n说明：写出数列的通项公式（
6、）关键是寻找an与n的对应关系an f (n)；（）符号用(1)n或(1)n1来调节；（）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；（）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的；（）对于形如a，b，a，b， ，的数列，其通项公式均可写成anabab(1)n1222练习：P32练习，写出下列数列的通项公式：1111， ， ； （）9，99，999，9999， ， ；381524（）0.70.77，0.777，0.7777， ，(1)n71答案： （）an（）an10n1（）an(1n)n(n2)910（）， ，五回顾小结：五回顾小结：1数列的概念；
7、2求数列的通项公式的要领六课外作业：六课外作业：P32习题第 1，2，3，4 题2.12.1 第第 2 2 课时课时数列数列(2)(2)教学目标教学目标（1）了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；（2）掌握根据数列的前n项和确定数列的通项公式教学重点，难点教学重点，难点（1）数列的递推公式的理解与应用；（2）根据数列的前n项和确定数列的通项公式教学过程教学过程一一问题情境问题情境复习：（）数列an的通项公式an1n1n，则17 4是该数列中的第项已知数列an的通项公式an n24n12，则a4=12，a7= 9 ，65 是它的第 11 项 ； 从第 7项起各项为正；an中第 2项的值最小为1
8、6an中an n29n100，则值最小的项是 4 或 5（）写出下列数列的通项公式：2，5，10，17， ；2468， ；31535631925，2，8， ；2220.50.55，0.555，0.5555， 11111，3，5，7， ；24816，二学生活动二学生活动思考：已知在数列an中an1 an2，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？三建构数学三建构数学1递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项） ，以及任一项an与前面一项an（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做an的递推公式2数列的前n项的和通常记为Sn，Sn a1a2 an(n 1)SSn与an的关系：
9、an1SnSn1(n 2)注意验证n 1的情况四数学运用四数学运用1例题：例 1（）若数列an中，a1 2，且各项满足an1 2an1，写出该数列的前四项（）若数列an中，a11，a2 4，且各项满足an2 an12an，则26是该数列的第几项？解：（）因为an1 2an1，且a1 2，所以a2 2a11 2 21 3，解得a2 3；a3 2a21 2 31 5，解得a3 5；a4 2a31 2 51 9，解得a4 9所以数列的前四项为a1 2，a1 3，a1 5，a1 9a2 4，（） 因为an2 an12an， 且a11，所以a3 a2 2a1 4 2 1 6，a4 a3 2a2 6 2
10、4 14，a5 a4 2a314 2 6 26，所以26是该数列的第5项例 2已知数列an的前n项和Sn 3n2，求该数列的通项公式解：当n 1时，a1 S1 312 1；当n 2时，an Sn Sn1 3n2(3n12) 3n3n1；(n 1)1所以annn13 3(n 2)例 3已知数列an的前n项和Sn 2n12（）求数列an的通项公式；（）设bn anan1，求数列bn的通项公式解： （）当n 1时，a1 S1 222 2；当n 2时，an Sn Sn1 2n12(2n2) 2n12n 2n；所以an 2n（）因为bn anan1，且an 2n，an1 2n1，所以bn 2n2n1 3
11、 2n说明：由数列an的前n项和Sn求an时，要注意分n 1和n 2讨论，然后将n 1代入n 2所得的通项公式， 看结果是否符合n 1的情况，不是则需要写成分段形式2练习：（）已知数列an满足a11，an12an(nN*)，写出它的前5项，an2归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式（）数列an的前n项和Sn满足lg(Sn1) n1，求该数列的通项公式五回顾小结：五回顾小结：1数列中递推关系的概念；2由数列的前n项的和Sn求数列的通项公式的过程六课外作业：六课外作业：P32习题第，题补充：数列an中，a1 0，an11an3an，写出该数列的前四项，并归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式 数
12、列an的前n项和Sn 2n2 n1(nN*)， 求该数列的通项公式2.22.2 第第 1 1 课时课时等差数列的概念等差数列的概念教学目标教学目标（1）能准确叙述等差数列的定义；（2）能用定义判断数列是否为等差数列；（3）会求等差数列的公差及通项公式。教学重点，难点教学重点，难点等差数列的定义及等差数列的通项公式。教学过程教学过程一问题情境一问题情境1情境：观察下列数列： ：4，5，6，7，8，9，10，；3，0，3，6，第 23 届到第 28 届奥运会举行的年份为： 1984， 1988， 1992， 1996，2000，2004某电信公司的一种计费标准是： 通话时间不超过 3 分钟， 收话
13、费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：0.2,0.2 0.1,0.20.12,0.2 0.13,如果 1 年期储蓄的月利率为1.65%，那么将 10000 元分别存 1 个月，2 个月 ， 3 个月 ， 12 个月，所得的本利和依次为100001000016.5,1000016.52,1000016.512，2问题：上面这些数列有何共同特征？二学生活动二学生活动对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于1；对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于3；对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 4；对于数列，从第 2 项起，每一项与前一
14、项的差都等于0.1；对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于16.5；规律：从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。三建构数学三建构数学1等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1 d(n 2)或an1an d(n 1)思考：（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？（2）判断下列数列是否为等差数列：1，1，1，1，1；4，7，10，13，16；3,2,1，1，2，3。是等差数列，不是等差数列。（3）求出下列等差数列中的未知项：3，a，
15、5； 3，b,c，9（4）已知等差数列an：4，7，10，13，16，如何写出它的第100 项a100？2等差数列的通项公式：已知等差数列an的首项是a1，公差是d，求an由 等 差 数 列 的 定 义 ：a2a1 d，a3a2 d，a4a3 d，a2 a1d，a3 a2d a1 2d，a4 a13d，所以，该等差数列的通项公式：an a1(n1)d另解：an是等差数列，当n 2时，有a2a1 d，a3a2 d，a4a3 danan1 d，将上面n1个等式的两边分别相加，得：ana1 (n1)dan a1(n1)d，当n 1时，上面的等式也成立。说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：
16、d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。四数学运用1例题：例 1第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行，此后每 4 年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（2）2008 年北京奥运会是第几届？2050 年举行奥运会吗？解： （1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896 为首项，4 为公差的等差数列，an1896 4(n1)1892 4n(n N*)（2）假设an 2008,则200818924n，得n 29假设an 2050，2050 18924n无正整数解。答：所求的通项公式是an1892 4n(n N
17、*)，2008 年北京奥运会是第 29 届奥运会，2050 年不举行奥运会。说明：由此例说明等差数列项的判断方法。例 2在等差数列an中，已知a310，a9 28，求a12a12d 10解：由题意可知：，解得a1 4，d 3，a 8d 281a12 4(121)3 37例 3某滑轮组由直径成等差数列的6 个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为 15cm 和 25cm，求。解：用an表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得a115,a6 25，n 6由通项公式得：a6 a1(61)d， 即25155d，d 2，所以，a217，a319，a4 21，a5 23， 答：中间四个滑轮的直径为
18、17cm，19 cm，21 cm，23 cm。例 4 已知数列的通项公式为an pnq， 其中p，q是常数， 且p 0，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。解：取数列an中的任意相邻两项an1与an（n 2） ，anan1 (pnq)p(n1)q p，p是一个与n无关的常数，故an是等差数列，且公差是p，所以，这个等差数列的首项是a1 pq，公差是p例 5 在1与7中间插入三个数a，b，c， 使得这5个数成等差数列，求a，b，c解：用an表示这5个数所成的等差数列，由已知得：a5 7，a1 1，7 1(51)d，d 2，所以，a 1，b3，c 52练习：课本P36 1，2，
19、3，4，5，P39 1五回顾小结：五回顾小结：1等差数列的定义：anan1 d(n 2)；2等差数列的通项公式及其推导方法；3等差数列中项的判断方法。六课外作业：六课外作业：P39 2，3，4，5 题补充：1已知等差数列an满足a3a7 12，a4a6 4，求数列an的通项公式；2在等差数列an中，已知a4 70，a21 100，（1）首项a1与公差d，并写出通项公式；（2）an中有多少项属于区间18,18？2.22.2 第第 2 2 课时课时等差数列的通项公式等差数列的通项公式教学目标教学目标（1）理解等差数列中等差中项的概念；（2）会求两个数的等差中项；（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；
20、（4）掌握证明等差数列的方法。教学重点，难点教学重点，难点等差中项的概念及等差数列性质的应用。教学过程教学过程一问题情境一问题情境1复习：等差数列的定义、通项公式 ；2问题： （1）已知a1,a2,a3,an,an1,a2n是公差为d的等差数列。an,an1,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列an的首项为a1，公差为d。将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）
21、已知数列an是等差数列，当mn pq时，是否一定有am an ap aq？（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？二学生活动二学生活动与学生一起讨论得出结论。三建构数学三建构数学1等差中项的概念：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中Aab2ab2a，A，b成等差数列A2等差数列的性质：（1）在等差数列an中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：a1，a3，a5，a7，；a3，a8，a13，a18，；（3）在等差数列an中，对任意m，nN，an am(nm)d，a
22、nam(m n)；nm（4）在等差数列an中，若md ，n，p，qN且mn pq，则am an ap aq四数学运用四数学运用1例题：例 1 已知等差数列an的通项公式是an 2n1， 求首项a1和公差d。解：a1 2111,a2 221 3，d a2a1 2或d an1an 2(n1)1(2n1) 2等差数列an的通项公式是an 2n1，是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点(n,an)均在直线y 2x1上（如图）例 2（1）an是等差数列，证明kanb为等差数列。（2）在等差数列an中，是否一定有an（3）在数列ananan1an12an1an1(n 2)？2中，如果对于任意的正
23、整数n(n 2)，都有，那么数列an一定是等差数列吗？证明： （1）设数列an公差为d，cn kanb，cn1cn kan1b(kanb) k(an1an) kd，kd是一个与n无关的常数，kanb为等差数列。（2）an是等差数列，所以an1an anan1，an（3）在数列an中，如果对于任意的正整数anan1an12n(n 2)，都有an1an1，2则an1an anan1(n 2)，这表明，这个数列从第二项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，数列an一定是等差数列。例 3在等差数列an中，若a410，a719，求a18a13d 10解： （法一）设首项a1，公差为d，则d 3，a11，
24、a 6d 191a18117d 52a7a41910 3，a18 a711d 5233例 4在等差数列an中，a2a7a8a13 6，求a6a9（法二）d 在等差数列an中，a1a4a8a12 a15 2，求a3 a13的值。解：由条件：a6 a9 a7 a8 a2 a13 3；：由条件：2a8 a1a15 a4a12a8 2a3 a13 2a8 4例 5如图，三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列，且AD 21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2。（1）求AB,BC,CD的长；（2）以AB,BC,CD的长为等差数列的前三项，以第 10 项为边长的正方形的面积是多少？解：设公差为
25、d(d 0)，BC x则AB xd,CD xd(xd) x(xd) 21由题意得：222(xd) x (xd) 179ABCD解得：x 7x 7或（舍去）d 4d 4AB 3(cm),BC 7(cm),CD 11(cm)（2）正方形的边长组成已 3 为首项，公差为 4 的等差数列an，a10 3(101)4 39，a1023921521(cm)2所求正方形的面积是1521(cm)2。五回顾小结：五回顾小结：1等差中项的概念；2等差数列性质的应用；3掌握证明等差数列的方法。六课外作业：六课外作业：P395，6，7，8，9，10 题2.22.2 第第 3 3 课时课时等差数列的前等差数列的前n项的
26、和（项的和（1 1）教学目标教学目标（1）理解用等差数列的性质推导等差数列的前n项和的方法；（2）掌握等差数列的前n项和的两个公式，并能运用公式初步解决有关问题；（3）理解蕴含在推导过程的数学思想、掌握相关的数学方法，提高逻辑推理能力教学重点，难点教学重点，难点公式的推导、理解和记忆，公式的灵活运用。教学过程教学过程一问题情境一问题情境1一堆钢管共 7 层，第一层钢管数为 4，第七层钢管数为 10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？二学生活动二学生活动引导学生思考、讨论可得出如下方法：数一数；分组求和（插入高斯的故事） ；倒序相加法。三建构数学三建构数学1等差数列的前n和：（1）问题
27、：在等差数列an中首项a1，公差d，求Sn a1a2+anSn a1a2+an a1(a1d)+a1(n1)dSn anan1+a1 an(and)an(n1)dn(a1an)，2n(n1)又an a1(n1)d，Sn na1d2n(a a )n(n1)（2）等差数列的前n和的求和公式：Sn1n na1d.22说明： （1）等差数列的前n和等于首末两项和的一半的n倍；2Sn n(a1an)，Sn（2）在等差数列前n项和公式及通项公式中有a1，an，n，d，Sn五个量，已知其中三个可以求出另外两个。四数学运用四数学运用1例题：例 1在等差数列an中，（1）已知a1 3，a50101， ，求S50
28、；（2）已知a1 3，d ，求S10。1210521315例 2 （1）在等差数列an中，已知d ，an,Sn ，求a1及n；2221（3）在等差数列an中，d ，n 37，Sn 629，求a1及an33a 1215n (1)1解： （1）由题意， 得2由 （2）得：a1 n22213(2)a1(n1)22代入（1）得n27n30 0，n 10,n 3（舍去） ，a1 3137(371)3 629(1)a11137a1（2）由题意，得解得：2a 23n1(2)an a1(371)3答案： （1）S50 2600（2）S10例 3求集合M m m 7n,nN,且m 100的元素个数，并求这些元素
29、的和。27解：由7n 100，得n 14，故集合M中的元素共有 14 个，将它们从小到大列出，得7，14，21，28，98这数列是等差数列，共有14项，记为an，其中a1 7，a14 98，所以，S1414(798) 735，2答：集合M共有 14 个元素 ，它们的和等于735例 4 （1）在等差数列an中，若a6a9a12a15 34，求S20（答案：S20170）（2）在等差数列an中，S10 310，第 11 项到第 20 项的和为 910，求 第 21 项到第 30 项的和。解： （2） 设等差数列的首项为a1， 公差为d， 由题意， 得10910a d 310a1 412即：解得：2
30、019d 620a d 310 91012S10310S20S10910a21 4206 124，a21a22a30101241096 15102从上例中我们发现：S10,S20S10,S30S20也成等差数列，你能得出更一般的结论吗？结论：Sm,S2mSm,S(k1)mSkm(kN*)仍成等差数列， 公差为m2d（m为确定的正整数） 。2练习：P42 1，2，3，4P44练习：1五回顾小结：1等差数列的前n项和的两个公式及推导方法 ；2在等差数列前n项和公式及通项公式中有a1，an，n，d，Sn五个量，已知其中三个可以求出另外两个。3等差数列前n项和的性质：在等差数列an中前n项为Sn，则S
31、m,S2mSm,S(k1)mSkm(kN*)仍成等差数列，公差为m2d（m为确定的正整数） 。六课外作业：六课外作业：P44练习：2P45 1（2） （4） ，2，3（1） （3）（4） ，4，5，6 题2.22.2 第第 4 4 课时课时等差数列的前等差数列的前n项和的公式（项和的公式（2 2）教学目标教学目标（1）能熟练运用等差数列前n项和的公式解决有关应用问题，（2）掌握等差数列前n项和中奇数项和与偶数项和的性质。教学重点，难点教学重点，难点等差数列前n项和的公式的应用。教学过程教学过程一问题情境一问题情境情境：1等差数列an中，a2a519，S540，则a1029；2等差数列an中，a
32、2a7a1221，则S1391；3已知等差数列前n项和为a，前2n项和为b，前3n项的和为为3( ba)；4某剧场有20 排座位，后一排比前一排多2 个座位，最后一排有60 个座位，这个剧场共有 820个座位。二学生活动二学生活动学生板演解答上面各题。三数学运用三数学运用1例题：例 1已知等差数列an的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。解：设项数为2k1，奇数项和记为S奇，偶数项和记为S偶，由题意，S奇a1a3a2k 1(a1a2k 1)(k1) 442S偶 a2a4a2k得，(a2a2k)k 332k 144，解得k 3，k33 项数为 7 项，又S奇1
33、1ak1 44，ak111，即中间项为11说明：设数列说明：设数列an是等差数列，且公差为是等差数列，且公差为d，（）若项数为偶数，设共有（）若项数为偶数，设共有2n项，项，则则S奇奇S偶偶 nd；S奇an；S偶an1（）若项数为奇数，设共有（）若项数为奇数，设共有2n1项，项，则则S偶偶S奇奇 an a中；S奇nS偶n1例 2某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径 120mm，已知卫生纸的厚度为 0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到 0.1m）?解：卫生纸的厚度为 0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总
34、和。由内向外各圈的半径分别为20.05,20.15,59.95因此各圈的周长分别为40.1,40.3,119.9各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则59.95 20.05(n1)0.1，n 400各圈的周长组成一个首项为40.1，公差为0.2，项数为 40 的等差数列，答：满盘时卫生纸的总长度约是 100 米说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。例 3教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生假设零存整取 3 年期教育储蓄的月利率为2.1（1） 欲在 3 年后一次支取本息合计
35、2 万元， 每月大约存入多少元？（2）零存整取 3 年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时 3 年后本息合计约为多少？（精确到 1 元）？说明：教育储蓄可选择 1 年、3 年、6 年这三种存期，起存金额 50元，存款总额不超过 2 万元。解： （1）设每月存入A元，则有A(12.1）A(122.1） A(1362.1） 20000.由等差数列的求和公式，得：A(36362.1解得：A535（元）36352.1） 20000.2（2）由于教育储蓄的存款总额不超过 2 万元，3 年期教育储蓄每月至多可存入20000，这样555（元）363 年后的本息和为555(12.1）555(122.1）555(
36、1362.1）555(36362.136352.1） 20756（元） 。2答：欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元，每月大约存入 535 元。3年期教育储蓄每月至多存入555元， 此时3年后本息合计约20756元。例 4（P42）2练习：P44练习 3，4五回顾小结：五回顾小结：1等差数列前n项和中奇数项和与偶数项和的性质；2等差数列前n项和公式在实际中的应用及解题规范。六课外作业：六课外作业：课本P457，8，9，11，12 题2.22.2 第第 5 5 课时课时等差数列的前等差数列的前n项和（项和（3 3）教学目标教学目标（1）能熟练地应用等差数列前n项和公式解决有关问题；（2）能利
37、用数列通项公式与前n项和之间的关系解决有关问题。教学重点，难点教学重点，难点1等差数列前n项和公式的应用；2数列通项公式与前n项和之间的关系的应用。教学过程教学过程一问题情境一问题情境1情境：已知等差数列an中，Sn an2(a 1)n a 2，任何求an？（an 4n1）二学生活动二学生活动（1）求出a1和d，再用等差数列的通项公式求an；（2）利用an与Sn的关系：an(n 1)S1SnSn1(n 2)（3）把等差数列的条件去掉，求an。三数学运用三数学运用1例题：例 1 （1）如果数列an满足a13，11 5（nN） ，求an；an1an（2）已知数列an的前n项和为Sn n22n，求a
38、n解： （1）由题意：是公差为5的等差数列，其首项为 ，1115n14，5(n1)an333an15n14（2）当n 1时，a1 S1 3，1an13当n 2时，an Sn Sn1 (n2 2n)(n1)2 2(n1) 2n1，所以，an 2n1（nN） 。例 2等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Sn，且a7的值。b713(a1a13)13(b1b13)解：S1313a7，S1313b7，22Sn7n2，Snn3求所以，a7S13713293b7S1313316说明：若等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Sn，则例 3在等差数列中，a10 23，a25 22，（1）该数列第几项开始为
39、负？（2）前多少项和最大？（3）求an前n项和？解：设等差数列an中，公差为d，由题意得：a25a1015d 45a 501d 323 a1(101)(3)anS2n1n1bnS2（1）设第n项开始为负，an 503(n1) 533n 0，n 所以从第18项开始为负。（2）（法一）设前n项和为Sn，则53，3n(n1)31033103231032(3) n2n (n) ()，2222626所以，当n 17时，前 17 项和最大。an 0533n 05053（法二），则， n ，所以n 1733503n 0an1 0Sn 50n（3）an 533n ，3n53,n 17Sn a1 a2 a3 a
40、n a1a2a17(a18a19an)，103n，231033103当n 17时，Sn (n2n)2S17n2n884，2222533n,0 n 17当n17时，Sn n232 32103n n(n 17)2所以，Sn231033103(n2n)2S17n2n884(n 17)2222说明： （1）a1 0，d 0时，Sn有最大值；a1 0，d 0时，Sn有最小值；（2）Sn最值的求法：若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN） ；若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定an 0an 0或a 0a 0n1n1四回顾小结：四回顾小结：1an与Sn的关系：an(n 1)S1SnSn1(n
41、2)anS2n1n1bnS22若等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Sn，则3 （1）a1 0，d 0时，Sn有最大值；a1 0，d 0时，Sn有最小值；（2）Sn最值的求法：若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN） ；an 0若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或a 0n1an 0an1 0五课外作业：五课外作业：P45 10补充：1已知数列11113成等差数列，且a3 ，a5 ，求a8的值。an267 2数列an的前n项和Sn 32nn2，求证an是等差数列。3设Sn是等差数列an的前n项和，并对nN，S2n1 4n21，求这个数列的通项公式及前前n项和公式4数列an是首
42、项为 23，公差为整数的 AP 数列，且a6 0，a7 0，（1）求公差d；（2）设前n项和为Sn，求Sn的最大值；（3）当Sn为正数时，求n的最大值。 。2.32.3 第第 8 8 课时课时等比数列的概念等比数列的概念(1)(1)教学目标教学目标（1）明确等比数列的概念及公比的概念；（2）掌握等比数列的通项公式。教学重点，难点教学重点，难点（1）等比数列定义和等比数列通项公式教学过程教学过程一问题情境一问题情境1情境：观察下面几个数列，（1）1，2，4，8，16，263；（2）,，( )n；（3）某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10%，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为36,36
43、 0.9,36 0.92,36 0.93,；（4） 某人年初投资10000元， 如果年收益率是5%， 那么按复利，5年内各年末的本利和依次为100001.05,100001.052,100001.053,100001.0551 12 418122问题：以上数列有何共同特点？二学生活动二学生活动数列（1） ，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于2；数1列 （2） ， 从第二项起， 每一项与它的前一项的比等于； 数列 （3） ，2从第二项起，每一项与它的前一项的比等于0.9；数列（4） ，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于1.05共同特点：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数三建
44、构数学三建构数学1等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母等比数列的公比；公比通常用字母q表示表示(q 0)， （注意：等比数列的公比和项都不为零） 2等比数列的通项公式：由定义式可得：(n1)个等式aaa2 q，3 q，n q，an1a1a2若将上述n1个等式相乘，便可得：aa2a3a4n qn1，即：an a1qn1（n2）a1a2a3an1当n 1时，左边a1，右边a1，所以等式成立，等比数列通项公式为：an a1qn1说明：1由等比数列的通项公式可
45、以知道：当公比q 1时该数列既是等比数列也是等差数列；3等比数列的图象：等比数列的通项公式an a1qn1是一个常数与指数式的乘积，表示这个数列的各点(n,an)均在函数y a1qx1的图象上（图象略） 四数学运用四数学运用1例题：例 1判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；解： （1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列（2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列例 2已知an,bn是项数相同的等比数列，求证：anbn是等比数列。证明：设数列an的公比为p；数列bn公比为q，则数列anbn的第n项和第n1项与第n项的分别是an1bn1，anbn，
46、它们的比为an1bn1an1bn1 pq是一个与n无关的常数，anbnanbn所以，anbn是以pq为公比的等比数列思考：如果一个数列an的通项公式为an aqn(a 0,q 0)，那么这个数列为等比数列数列吗？例 3求出下列等比数列中的未知项：（1）2,a,8；（2）4,b,c,解： （1）由题得，a 4或a 4 bc4b（2）由题得，12ccbb 2或c 1a28a12例 4在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列解：设插入的三个数为a2,a3,a4，由题得243,a2,a3,a4,3组成等比数列，设公比为q，则3 243q51，13所求的三数为81,27,9或81,27,9得q
47、例 5在等比数列an中，（1）已知a1 3，q 2，求a6；（2）已知a3 20，a6160，求an解： （1）由等比数列的通项公式得a6 3(2)61 962q 2a1q 20（2）设等比数列的公比为q，那么5，得，a1 5a1q 160an 52n12练习：书P48练习 1，2，3；P50练习 1，2五回顾小结：五回顾小结：1等比数列的定义：an1 q(q 0,nN*)；an2等比数列的通项公式：an a1qn1六课外作业：六课外作业：P50练习 3，4；P52习题 1，2，3，7 题2.32.3 第第 9 9 课时课时等比数列等比数列(2)(2)教学目标教学目标（1）进一步熟练掌握等比数
48、列的定义及通项公式；（2）利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质；（3）培养学生应用意识教学重点，难点教学重点，难点（1）等比数列定义及通项公式的应用；（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题教学过程教学过程一问题情境一问题情境1情境：在等比数列an中， （1）a52 a1a9是否成立？a52 a3a7是否成立？（2）an2 an2an2(n 2)是否成立？2问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？二学生活动二学生活动对于 （1） a5 a1q4，a9 a1q8， a1a9 a12q8 (a1q4)2 a52，a52 a1a9成立同理 ：a52 a3a7成立对于（2）an
49、 a1qn1，an2 a1qn3，an2 a1qn1，an2an2 a1qn3a1qn1 a12q2n2 (a1qn1)2 an2，an2 an2an2(n 2)成立一般地：若mn pq(m,n,q, pN)，则aman apaq三建构数学三建构数学1若an为等比数列，mn pq(m,n,q, pN)，则aman apaq由等比数列通项公式得：am a1qm1 , an a1qn1，ap a1qp1 ,aq a1qq1，故aman a12qmn2且apaq a12qpq2，mn pq，aman apaqam qmnana由等比数列的通项公式知： ，则m qmnan2若an为等比数列，则四数学运
50、用四数学运用1例题：例 1 （1）在等比数列an中，是否有an2 an1an1（n 2）？（2）在数列an中，对于任意的正整数n（n 2） ，都有2an an1an1，那么数列an一定是等比数列解： （1）等比数列的定义和等比数列的通项公式数列an是等比数列，an1ananan1，即an2 an1an1（n 2）成立（2）不一定例如对于数列0,0,0,，总有an2 an1an1，但这个数列不是等比数列例 2 已知an为GP，且a58,a7 2，该数列的各项都为正数，求an的通项公式。解：设该数列的公比为q，由是正数，故q ，则an8( )n5 ( )n8121212a721 q75得q2，又数
51、列的各项都a584例 3已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为91，求这三个数。解：由题意可以设这三个数分别为,a,aq，得：9q482q29 0，即得q2 9或q2，q 3或q ，故该三数为：1，3，9 或1，3，9或 9，3，1 或9，3，1说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为,a,aq例 4 如图是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（ 2） ，如此继续下去，得图形（3）求第n个图形的边长和周长解：设第n个图形的边长为an，周长为cn由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的 ，数列an
52、是等比数列，首项为1，公比为 an ( )n1要计算第n个图形的周长，只要计算第n个图形的边数第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的4倍，第n个图形的边数为34n114cn ( )n1(34n1) 3( )n133131313aq1319aq2练习：1已知an是等比数列且an 0，a5a6 9，则log3a1log3a2log3a102已知an是等比数列，a4a7 512，a3a8124，且公比为整数，则a103已知在等比数列中，a3 4，a6 54，则a9五回顾小结：1等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆） 六课外作业：书六课外作业：书P51练
53、习第练习第 1，2 题，P52习题第习题第 6，8，9，10 题2.32.3 第第 1010 课时课时等比数列前等比数列前n项和项和(1)(1)教学目标教学目标（1）掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路；（2）会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列前 n 项和的一些简单问题教学重点，难点教学重点，难点（1）等比数列的前 n 项和公式；等比数列的前 n 项和公式推导；（2）灵活应用公式解决有关问题教学过程教学过程一问题情境一问题情境情境：1求和： （1）S1012222329， （2）S10 2 22 23 210，2问题： （1） ， （2）两式的和之间有什么关系？能否根据它们
54、之间的关系求Sn 222232n？能否求等比数列的前n项和？二学生活动二学生活动1 （1） ， （2）两式的和之间的关系是S10 2S10；22Sn Sn 2n12，Sn 2n12三建构数学三建构数学1等比数列前 n 项和公式：一 般 地 ， 设 等 比 数 列a1,a2,a3,an,的 前n项 和 是Sn a1a2a3an，Sn a1a2a3由n1an a1qan2n2n1Sn a1a1qa1q a1qa1q得23n1nqSn a1qa1q a1q a1qa1q(1q)Sn a1a1qn,a1(1 qn)a a q当q 1时，Sn或Sn1n1 q1q当 q=1 时，Sn na1（错位相减法）
55、说明： （1）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是qn，通项公式中是qn1不要混淆；（3）应用求和公式时q 1，必要时应讨论q 1的情况四数学运用四数学运用1例题：例 1求等比数列an中，（1）已知；a1 4，q ，求S10；12（2）已知；a11，ak 243，q 3，求Sk10141( )10a (1q )10232解： （1）S101； 11q12812a a q12433 364（2）Sk1n1q13763例 2求等比数列an中，S3，S6，求an；22763解：若q 1，则S6 2S3，与已知S3，S6矛盾，22a1(1q3)7，q 1
56、，从而S31q2a1(1q6)63S61q2：得：1q3 9，q 2，由此可得a1，an2n1 2n2例 3求数列1,2,3 ,n解：111,的前n项和482n1111Sn (1)(2)(3 )(nn)248211(1n)n(n1)22n(n1)11n122212121212说明： 数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和例 4设an是等比数列，求证：Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列证明：设an的公比为q，则Sn a1a2an a1(1qq2qn1)，S2nSn an1an2a2n aqn aqn1aq2n1 a1qn(1 q q2qn1)，S3nS
57、2n a2n1a2n2a3n aq2n aq2n1aq3n1 a1q2n(1qq2qn1)，SSSS2nn3n2n qnSnS2nSnSn,S2nSn,S3nS2n成等比数列2练习：（1）在等比数列an中，Sn表示该数列的前n项和，若S10 49，S20112，求S30（193） （2）书P54第 2，3 题五回顾小结：五回顾小结：1等比数列的前 n 项和公式；2用分组求和法求每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和的数列和六课外作业：六课外作业：书P54第 4 题，P58第 1，2，7，8 题2.32.3 第第 1111 课时课时等比数列前等比数列前n项和（项和（2 2）教学目标教学
58、目标（1）能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题；（2） 理解分期付款中的有关规定， 掌握分期付款中的有关计算 能运用等差、等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。教学重点，难点教学重点，难点（1）将实际问题转化为数学问题（数学建模） 教学过程教学过程一问题情境一问题情境1情境：某厂去年的产值记为1，计划在今后的五年内每年的产值比上一年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为多少？2问题：从今年起的五年内这个厂的逐年产值有什么特征？利用什么公式求总产值？二学生活动二学生活动由于每年的产值比上一年增长10%，所以从今年起的五年内这个厂的逐年产值组成等比数列记
59、为an，其中a11.1，q 110%，可利用等比数列的前n项求和公式求总产值S5a1(1q5)S511(1.151)1q三数学运用三数学运用1例题：例 1水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？解根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列an，其中515(11.126)a1515,q 112%
60、 1.12,n 6,则S6 4179（万亩） 11.12答从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩思考：到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？例 2某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还如果10年还清，那么每月应还贷多少元？说明：对于分期付款，银行有如下的规定： （1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款； （2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和解：设每月应还贷x元，付款次数为120次，则x1(13.375%)
61、(13.375%)2(13.375%)119 200000(13.375%)120，x(13.375%)1201 200000(13.375%)120，即(13.375%)12000003.375%(13.375%)120x 2029.66（元） (13.375%)1201答：设每月应还贷2029.66元例 3 某厂为试制新产品，需增加某些设备。若购置这些设备，需一次付款25万元；若租赁这些设备，每年初付租金3.3万元。已知一年期存款的年利率为2.55%，试讨论哪种方案更好（设备寿命为 10 年） 。分析： （1）由于每年所付租金会随着时间的推移而不断增值，同时一次付款的价值也会随着时间的推移
62、而不断增值所以可以从终值或现值来考虑哪种方案更好（2）在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S A(1r)n，即A S(1r)n其中S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值解法 1 （从终值来考虑）若购置设备，则25万元10年后的价值为25(12.55%)10 32.159（万元） 若租赁设备，每年初付租金3.3万元，10年后的总价值为S 3.3(12.55%)103.3(1 2.55%)93.3(1 2.55%) 38.00（万元） 。因此，购买设备较好解法 2（从现值来考虑）每年初付租金3.3万元的10年现值之和为Q 3.33.33.312.55
63、%(12.55%)23.3 29.54（万元） ，(12.55%)9比购置设备一次付款25万元多，故购置设备的方案较好思考：能否从现值的角度来分析并解决它？2练习：书P56第 1，2 题四回顾小结：四回顾小结：1 审清题意，建立正确的数学模型；2 如何从终值角度计算分期付款问题， 银行对分期付款有何规定？六课外作业：六课外作业：书P56第 3 题，P58习题第 3，4，5 题2.32.3 第第 1212 课时课时等比数列的综合等比数列的综合教学目标教学目标（1）进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力教学重点，难点教学重点，难点（1）灵活应用等比数列的通
64、项公式和前 n 项和公式解决问题教学过程教学过程一复习等比数列有关概念一复习等比数列有关概念1等比数列的通项公式：an a1qn12等比数列前na1 anqa1(1 qn)项和公式：当q 1时，Sn或Sn1 q1 q当 q=1 时，Snna1二数学运用二数学运用1例题：例 1已知数列an满足a11，an1 2an1 (n N)，求an的表达式解： （1）an1 2an1，an11 2(an1)，an11 2(n N)，an1数列an1是以a11 2为首项，q 2为公比的等比数列，an1 22n1 2n，数列an的通项公式是an 2n1例 2已知数列an中a13对于一切自然数n，以an,an1为
65、系数的一元二次方程anx22an1x 1 0都有实数根，满足(1)(1) 2，（1）求证：数列an 是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）求an的前n项和Sn2an11，代入(1)(1) 2得：anan11111an1 (an )，当an1 an时方程无实数根，an，323331181由等比数列的定义知：an 是以a1为首项，公比为的等333213解： （1）由题意得：比数列；（2）由（1）知an()n1，an( )n1，（3）Sn1()()2()n1111n11616()n222323 已知：Sn是等比数列an的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，83138312831213例求证
66、：a2,a8,a5成等差数列证明：S3,S9,S6成等差数列，S3 S6 2S9，若q 1，则S3 3a1,S6 6a1,S9 9a1，由a1 0可得S3 S6 2S9，与题设矛盾，q 1a1(1q3)a1(1q6)2a1(1q9)1q1q1q，整理，得q3q6 2q9，q 0，1q3 2q6，a2 a5 a1q a1q4 a1q(1 q3) 2a1q7 a8a2,a8,a5成等差数列例 4若数列前n项和Sn kan1(k 1,k 0)，求证：数列an为等比数列，并求其通项公式1，1k当n 2,nN*时，an SnSn1 kankan1，(1k)an kan1akn（n 2,nN*） ，an1
67、1k解：a1 ka11，a1数列an是以a111k为首项，q k1k为公比的等比数列1kn1()1k 1k2练习：若等比数列an的前n项之和Sn 3n a（a为常数） ，求a的其通项公式为：an值三回顾小结：三回顾小结：1递推公式是形如an1 Aan B的数列an通项公式如何求？2数列通项公式与前n项和之间的关系的运用四课外作业：四课外作业：书P62复习题第 2，4，5，6 题补充：补充：1一个有穷等比数列的首项为 1，奇数项的和为 85，偶数项和为170，求该数列的公比及项数2一个正项等比数列共 10 项，公比为 2，如果各项取以 2 为底的对数，那么所得数列的各项之和为 25，求原数列的各项和。
