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1、 信号与系统（ 第二版）课后习题解析燕庆明主编高等教育出版社目 录第 1 章习题解析. 2第 2 章习题解析. 7第 3 章习题解析. 17第 4 章习题解析. 24第 5 章习题解析. 32第 6 章习题解析. 42第 7 章习题解析. 50第 8 章习题解析. 56第1章习题解析1 - 1 题 1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(d)题 1-1图解（ a） 、（ c） 、（ d） 为连续信号；（ b） 为离散信号；（ d） 为周期信号；其余为非周期信号；（ a） 、（ b） 、（ c） 为 有 始 （ 因果）信号。1 - 2
2、 给定 题1-2图示信号/ （ / ） , 试画出下列信号的波形。 提示：犬2 /） 表示将/ O ） 波形压缩， 人；） 表示将/ （ ， ） 波形展宽。】（ a）出（ b）f（2 t）（ c）/ （ 1 ） 1（ d）A - f + l） o 2 7题 1-2图解以上各函数的波形如图pl-2所示。/ ( 一+1)/ )2/0-2)(b)(d)图 p l-2 1 -3 如 图 1-3图示，R、L、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统 SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。题 1-3图解各系统响应与输入的关系可分别表示为“K = /?0 “ ） ；
3、 = L dz3, （t） ；c（ f） = 51 fj c （ 7） dr1 - 4 如 题 1-4图示系统由加法器、 积分器和放大量为的放大器三个子系统组成， 系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。解且J Z n ;.ja J xjJLJ x _6 七 .二： 二; ； 一: 一 二 二 : S S 二 -F 3 +;题 -4 图二 T .1 - - -系统为反馈联接形式1 , 1 1 I r . 1 .1 ill I I _ ) + (-a)y(f)y(f)= 卜 df, x) = y ( f)故有 ) = / ( ， ) 一 ”即 y ( f ) + a y( f ) = /
4、( f )1 - 5 已知某系统的输入人。与输出y( r )的关系为y( ， ) = l / U ) l ,试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设 T 为系统的运算子，则可以表示为：y(t) = Tf(t) = f(t)不失一般性, 设式， ) =力( ， ) + 启 ， ) ，则7 v l ( / ) = |力。 )| = 凶。 ) ; Tf2(t) = f2( t ) = %( f )故有 Tf(t) = fS t) + f2( t ) = y(t)显然 优+ 卜伉| + 伉 |即不满足可加性，故为非线性时不变系统。1 - 6 判断下列方程所表示的系统的性质。( 1 )必 ) = 誓 +
5、 / (7川7 ( 2) y + ya ) + 3 y S = / ( f )( 3 ) 2ty(t)+ y ) = 3 f(t) ( 4 ) ) + y( f) = f (t)解( 1 )线性；Q )线性时不变；( 3 )线性时变；( 4 )非线性时不变。1 - 7 试证明方程y ) +今= / ) 所描述的系统为线性系统。式中a为常量。证明 不失一般性，设输入有两个分量，且力( f ) f | ) , f2(t) y2( r )则有 乂Q ) + ayxa ) = ft( 0 y 2 + ay2(t) = f2t相加得 乂 + a % + 弘 + ay2(t) = / , ( f ) +
6、f2(t)即y- y ( f ) +%( 川+ ) j +%( 川= 力+人d r可见力+ J ( f ) f % ) + % )即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。1 - 8 若有线性时不变系统的方程为/ ( / ) + 缈=f(t)若在非零/ (f )作用下其响应y(t) = l- e- ,试求方程y ( f ) + a y( f ) = 2f +尸的响应。解 因为大f ) f y( f ) = l - e T ,由线性关系，则-2 V = 2( 1 - e - ) 2页空白没用的，请掠过阅读吧哈， 这 2 页空白没用的，请掠过阅读吧哈， 请掠过阅读吧，哈哈哈空白没用的，请掠过阅
7、读吧哈这1页空白没用的，请掠过阅读吧哈空白没用的，请掠过阅读吧，这1页空白没用的，请掠过阅读吧，空白没用的，请掠过阅读吧哈这1页空白没用的，请掠过阅读吧哈空白没用的，请掠过阅读吧，这1页空白没用的，请掠过阅读吧，由线性系统的微分特性，有广-y ( f ) = e r故响应 2/ Q ) + / f y( f ) = 2( 1 - e ) + e - = 2 - e - 第2章习题解析解 由 图 示 ，有i = 幺 + 。吆R 山又故1 z 、_ “ C （us uc） + C ucL K从而得唱+ + c（ ， ） = s ）2 -2设有二阶系统方程在某起始状态下的0 +起始值为试求零输入响应
8、。解由特征方程得则零输入响应形式为y + 4） ， ） + 4y （ ， ） = 0 （ 0+） = 1 , / （ 0+） = 222 + 4A + 4 = 0几 =丸2 = - 27 4, 4 ， 、 八 一2,% i （ f ） =（ A +&f） e由于Jzi(。 + ) = A1 = 1-2At+A2=2所以A2 = 4故有y.(t) = (l + 4t)e-2, t02 - 3设有如下函数式f ) ,试分别画出它们的波形。(a) f(t) = 2 s(t-l)-2 (t-2 )(b) f(t) = sinnts( t)-s(t-6 )解( a)和(b)的波形如图p2-3所示。图 p
9、2-32 - 4试用阶跃函数的组合表示题2 4图所示信号。(b)题2-4图解( a) 式/) = ( ) - 2& f - l) + f ( 2)( b) f(t) = + 2E( t - T) + 36( t - 2T)2 -5 试计算下列结果。( 1 ) 旗 1 )( 2 ) 份Q l) df( 3) cos( i wr - J ( r) dr( 4 ) ,e E D df解( 1 ) 既 /1 ) = 次， 一1 )( 2) f 6Q - l) df =5 b( f -1 ) 山=1( 3) ( cos( 6 r - y ) J ( f ) dr = j cos( - 1 2( ， )
10、山=；( 4 ) , e- 3 ( ， ) df = f * e- 3巧山=: 6( ， ) 山=12- 6设有题2- 6图示信号/ U),对( a) 写 出 : ( /) 的表达式，对( b) 写 出 , )的表达式,并分别画出它们的波形。(b)题 2- 6图解( a)0 ?f-5 时，& - 7 - 5 ) = 0 , 故( t + 3)*( t- 5 ) = J dr = f-2, t2也可以利用迟延性质计算该卷积。因为a r ) * a f ) = 砥 r)/1 ( t - t ) * /2( t - h ) =fl. t -t t2)故对本题，有W + 3 )*W 5) = ( 1
11、+ 3 5 ) a ， + 3 5) = ( 2) a 2)两种方法结果一致。（ b）由次f ）的特点，故次f ) * 2 = 2( c) ， ) * /( /) =心4 /) = ( e- f- te )& t )2 -10对图示信号，求力（ f ） *启f ）。20 1工 ( 1 ) ( 1 )1021 。1T T( b)题2- 1 0图解（ a）先借用阶跃信号表示力a ）和力（ ， ） ，即力 a ） = 2 M， ） - 2 4 / - 1 ）力 = 4 / ) 山一2)故力 ( /) * 用f ) = 2& f ) -*f)- 良 2 ) 因为& f ) * ( f ) = 1 ld
12、r= f ( f )故有力( f ) * 用 f ) = 2砥 f ) 一2 (1)2 -1 ) - 2 ( 2 ) & f -2) + 2 (3 )2 3 )读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2- 1 0 ( a) 所示。( b) 根据根 ， ) 的特点, 则力( ， ) * 力 ) = 力 ) * 3 ( 。 + 3 ( ， 一2) + 3( / + 2) =*)+力(-2 )+力( ， + 2)结果见图p2- 1 0 ( b) 所示。2 -11试求下列卷积。( a) ( l- e- ) Q ) * b ( f ) * ( f )( b) 十 2 )*3 葭河) df解( a) 因为
13、 & ( f ) * ) = ( ) = 6 ),故( 1 - e2) ( f ) * 夕 * ( f ) = ( 1 - e- 2* )四)* 6( 。= ( 1 - e- )s(t)( b) 因为 e- b = b( f ) , 故e-3 ,s(t) * e J ( f ) = e-3s(t) * 3 (t)dr= b( f ) - 3 ，2 -12 设有二阶系统方程y ) + 3y ) + 2刈= 4 8试求零状态响应解因系统的特征方程为22 + 3/1 + 2 = 0解得特征根Ai = - 1 , 丸 2 二 2故特征函数x2(t) = e * e为 =( e* , * e- 2, (
14、 f )零状态响应y ( f ) = 4b ( f ) * x2(t) = 4b ( f ) * ( e- , * e- 2/) e( f )= ( 8e - 4e- ) ( f )2 - 1 3 如图系统，已知%( f ) = b( f -1 ) , h2 ( r) = s(t)试求系统的冲激响应( f ) 。解 由 图 关 系 ，有x(t) = /( f ) - /( 0 * % ( 0 = M) - b ) * -1 ) = b( f ) - b( f -1 )所以冲激响应h=y ( f ) = X 。 ) * =及Q ) - 5 1 ) * (t) = (t)即该系统输出一个方波。2-
15、14 如图系统，已知RI = R2=1。 ，L = 1 H , C = I F o 试求冲激响应 c( f ) 。题 2- 1 4图解 由KCL和KVL,可得电路方程为Cu + ( - 1 - + 箜) + ( - + 五 ) “ c = 今” ) + 旦 3 代入数据得+ 2M l + 2c = S ( f ) + 8 ( f )特征根 1 , 2 = - 1 j l故冲激响应 c( f ) 为“ C =( e， * . ) *3 (t) + 附 =e , ( cosf - si n f ) ( f ) + e si n t - ( f )= e、cos/ ( ， ) V2-15 一线性时不
16、变系统，在某起始状态下，已知当输入。时，全响应y i ( r)3e包 & f ) ；当输入It ) = ( /) 时, 全响应以/心右兀& 八, 试求该系统的冲激响应力( /) 。解 因 为 零 状 态 响 应&， ) 一 s( r) , - & t) s(t)故有y i ( f ) = y z i ( i ) + s( t) = 3e- a t)及( f ) = J z i ( f ) - s( f ) = e t)从而有力 ( /) - 以 1 ) = 2$ ( 1 ) = 2 13 )即s(t) = e &a f )故冲激响应) = 次， ) 一3e- a/)2-16若系统的零状态响应试
17、证明：( 1)。 ) ) * 的 ) = 驾 * ( 力 ( 7)d Td r k（ 2 ）利用（ 1） 的结果，证明阶跃响应s(t) = / ? ( r )d r证 （ 1）因为/ / )=/ ( / )* 力 ( f )由微分性质，有y （ ， ） = （ ， ） * （ ， ）再由积分性质，有y ( 0 = / )* / / ( r )d r（ 2 ）因为s ( f ) = & r ) * )由 （ 1）的结果，得s ( r )=u “ ) n 五= b Q )* j / ? ( r )d r= J / z ( r )d r第3章习题解析3 - 1求 题3-1图所示周期信号的三角形式的傅
18、里叶级数表示式。题3-1图所以三角级数为， / 、 A / A ./W = sin” 如2 =i 兀3 - 2求周期冲激序列信号加 =-T)” = 0的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性?解冲激串信号的复系数工= ， _ 1河 ） 曰如由4为所以因 居 为常数，故无收敛性。3-3设有周期方波信号式 / ） ,其脉冲宽度7 = 1 m s ,问该信号的频带宽度（ 带宽）为多少？若 珏 缩 为0. 2 m s ,其带宽又为多少？解 对方波信号，其带宽为勺 = H z ,T当币=I ms时，则% = = 1 = 1000H z1 r , 0. 001当为=0. 2 m s时，贝IJ纣2 =
19、 - -= 5 000H z0. 00023-4求 题34图示信号的傅里叶变换。1/(0( b )题3 - 4图解（ a ）因为/ 川70, I ， I 7为奇函数，故F ()=- j 2 f s i n r d r,)T2= - j 7 s i n COT - a)r coscorTCD. 2= j c o s y r - S a ( 6y r )CD或用微分定理求解亦可。( b )/ “ )为奇函数，故F ()=一 j 2 j ( - l )s i nwd f= 2 r c o s d r - l” = j. 4 s i. n2(/八)CO CD 2若用微分积分定理求解，可先求出广(Q,即
20、( ( / ) = 须 / + r ) + 簧， - r ) 2 次/ )所以ff(t)一尸 ( j 0) = e r + e _j y r - 2 = 2 c o s / 7 - 2又因为为( 0) = 0 ,故F ()= F( 69)= ( c o s COT - 1)j 。3-5试求下列信号的频谱函数。( 1) / ) = /“( 2 )于 (t) = e s i n g f 解 F ( y )= / ( r )e -j wd r = j * e2 /e- d f + e- 2 ,e -j wd r1 1 4= - - - - - -1 - - - - - -= - - - - - -2
21、 - jo) 2 +4 + /( 2 ) e T 3 0 )e - d f工 8 4 ) 2 j_ _ L j e , 3 M . 一 一 切 )， _ . 1一 7砌 ( 1/=j _ r _ _ _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _2 j | _ ( a + j 0)- j g ( a + j y ) + j g _= 1 . 2 j g = g2 j ( a + j o + o ： ( a + j )2 +CD3-6对于如题3 - 6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为E （ y ） = 4 z S a 2 （学 ）
22、证 因 为则3 - 7解故有加 ） =3 I I4 ( 1- )，t TF ()= 2 / A( 1 - - ) c o s r d r= 2A (Z11 - c o s 6; r )、CD T4 4 . 2 / G入= 1 - s m ( )CD T 2= Az S a 竺)2试 求 信 号 ） =1+ 2 c o s r + 3 c o s 3 ,的傅里叶变换。因为1 2兀次/ )2 c O S ， 2兀 演69- 1) + 旗69+ 1)3 c o s 3 f 3兀 次t o -3 ) + 8(o+ 3 )2 (口 )=2兀 次劭+ 次0 1) +次 / + 1) j + 3兀 次0 3
23、 )+次0+ 3 )3-8 试利用傅里叶变换的性质，求 题 3 - 8图所示信号力( ， )的频谱函数。解 由于力（ ， ） 的4 =2 , 7 = 2 , 故其变换F , （ = A z S a 2 售） = 4 S a 2 （ 0 ）根据尺度特性，有/ , （ 1 ） 6 2K （ 2 。） = 8S a2 （ 2co）再由调制定理得f2（ f） = fl （ 1 ） c o s nt 6尸 2 （ 小） 酰心-2 兀 ） + 85 3 + 2 初= 4 5 2 （ 2 Q 一2 兀 ） + 4 5 2 （ 2 + 2 兀 ）s i n2 （ 2 69） s i n 2 （ 2G）= -（
24、 。一 兀 ） （ 0 +兀 厂3-9 试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。( 1) / ( f ) = Ac o s ( 。* & Q( 2 ) / a ) = As i n( w)& o解 (1)因为A c o s （ 690z ） ATI3（ 0 + 。 ） + b （ 69 一（ t） 兀 b （ +j /所以由时域卷积定理F( y) = A7rb(y + g ) + b(iy-Fo)7ib(y) + = 丝瞬3 + 4 )+ 5(口 一 例 )（ 2）因为Asin( 6yor) ATI3 C D + - 8a)- ) 兀b( + j。由频域卷积定理I* JjA兀 rc/ X ez 、
25、 gA= =-b( 啰 + G0 ) b( 69 - R)- 2 -22 co -co3 - 1 0设有信号/i( r) = cos4 兀，r i,执 t)= nld7试求力（ ， ） 启 ， ） 的频谱函数。解 设方a） 一 尸i（ ，由调制定理力（ f） cos471f c ； F （ y+ 4兀）+ Ft （ y - 4K） = F（co）而K（ y ） = TSa（ F） = 2Sa（ 。 ）故F（ = Sa（ G + 4兀）+ SaO - 4K）3 - 1 1设有如下信号_/U） ,分别求其频谱函数。（ 1） / （ f） = e- （ 3 +j 4 ） ，.Q）(2) f(t) =
26、 s(t)-(t-2 )解 因 -a + j (y故e-(3 +j 4 ) _ (3 + j 4 ) + j 0 3 + j (4 +(y)(2)因 (f ) 2) = G1(f ) (f l ), r = 2故(OTF (y) = zSa(半)e - = 2Sa (y)e-JW3 - 1 2 设信号-2, 0 r 4力 =t o ,其他试求力(f ) =力(t )c o s 5 0z的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。解 因/ ( = 2 a (m )e -j 2 = 8Sa (26 ? )e_ j 2(B故G (。 )= g 耳 3 + 5 0) + F(-5 0)= 4 Sa 2(y +
27、5 0) e-j 2(a ,+5 0) + 4 Sa 2(y - 5 0) e-j 2(f l ,-5 0)幅度频谱见图p 3 -12o图 p 3 -12第4章习题解析4- 1如题4 -1图示RC系统，输入为方波“ 1(f ),试用卷积定理求响应“ 2(， )。“ 1(。RO-1 I - -O1 - + 1 Q +i(0 1 F c 2(00 1 t题4 -1图解 因为RC电路的频率响应为“(j = ，.1 ；W + 1而响应“ 2(f ) = l (f ) *力故由卷积定理，得U 2(0) = U i( (/- 1)4 -2 一滤波器的频率特性如题图4 -2所示，当输入为所示的火/)信号时，
28、求相应的输出丁。题4 -2图解因为输入/ U )为周期冲激信号，故L 1 1 2兀 C工 =亍 =1， 0 =下 =2兀所以/ U )的频谱8 00F () =2兀2 & /口 一 q ) = 2兀一 2兀)n = oo M=oo当 =0, 1, 2时，对 应H (j。)才有输出，故r (y) = F (ty)H (j (y)= 27 t 2次6 9)+ 次 6 9- 2K) + 次 6 9+ 2兀 ) 反变换得y( ) = 2( 1 + c o s 2兀f )4 - 3设系统的频率特性为2= -j tv + 2试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解冲激响应，故h(t) = -H(ja) =
29、 2e-2 )而阶跃响应频域函数应为5 (。 ) = 胤) (j。 ) =也6 (。 ) + , 卜 W J + 23、1 2=兀d (3 ) d -j (y j - aQ ) + 6(a)+ a)0) + - - F(a)- (y0) + F (y + (y(,) 式中，尸() 为7 U ) 的频谱。x ( t) 的频谱图如图p4 - 7所示。X (mmAO图 p4 - 74 - 8 题 4 - 8 图所示( a) 和( b) 分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已 知 输 入 的 频谱和频率特性 2( j。) 如图所示, 试画出x 和y 的频谱图。(0 = /(r)cosa)ct - K
30、 () =F(a)+ 0c) + /( 一 3c) x （ M = （ 加）题4-8图题4-8图解由调制定理知而x的频谱又因为所以Y（CO） = F2（ （D）H2U（O）它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设耽 他。_ 1f2(t) = x(t)cosa)ct & (0) = gX( G + Gc) + X( 一 Q I尸，、一（Dc 0”一 32 幼c ” 3图 p4-84-9如题4 - 9图所示系统，设输入信号财的频谱尸（ ）和系统特性M （ j。） 、” 2（ j & ）均给定，试画出y的频谱。 M (切 ) H8H % (jo )cos 50/ cos 301题4 - 9图解 设力（
31、 f） = / ） cos 5 0f,故由调制定理，得尸33 5 0） +） 从而一 ） 一尸2（ 0 ） = “1（ 0 ）书 （0 ）它仅在I。1 = （ 3 0 5 0 ）内有值。再设- =力cos 3 0f则有尸3 （ =g 3 + 3。 ） + 4 3 - 3 0） 即 （ 。） 是 & （ 。） 的再频移。进而得响应的频谱为丫 （ 切= 尸3 （助. 凡（ /。 ）其结果仅截取- 20。2 0的部分。以上过程的频谱变化如图p4 - 9所示。H。 )一-20 0 20 o)图 p4-94 - 1 0设信号7W的频谱尸( 。) 如题4-10图所示，当该信号通过图(b)系统后，证明y)恢
32、复为/W。(b)题4-10图即y 包含了/的全部信息 （ 。） ，故恢复了人。证 明 因为/ ej2 , 2例)故通过高通滤波器后，频 谱 尸 1( 0) 为F j( 6 9 ) = H ( j6 9 ) F ( 6 9 - 2 幼) =F ( 6 9 一 2 )所以输出y ) Y( 6 9 ) = F(co - 2 g + 2例) =F ( )第5章习题解析5-1 求下列函数的单边拉氏变换。( 1) 2- e-( 河 ) + 不 ，( 3 ) e2 cost解( 1) 尸( s ) = r ( 2- e,) e- ,dr = - - - = - 5 + 2 -J )S 5 + 1 5 ( 5
33、 + 1)( 2) F(s) =隆( f) + e- 3 / e-s ,dr = 1 + 4 5 + 3( 3 ) F ( 5 ) = ( e-2,cos r ) e- wd/ = ( ej, + e7 ) e- 2J eT dr1( 1 1 ) 5 + 2= _ I _ = _2 、 s + 2 j s + 2 + j, (s + 2)2 +15-2 求下列题5 - 2图示各信号的拉氏变换。题 5 - 2图解( a) 因为力 ) = ) ( fo)而 。 ) 一 一, (t 10) - e ， 0s s故力( f) f L l - e )s( b) 因为 / ) = - ,0 0 0又因为
34、（ ， ） 一 -0 S 0故有WW-( 2 + - - ) 尸 。s Zo s s %= - ( l- e-s ， 0) - - e-s , )s o s解先对/ U ） 求导，则/ ) = ( ， ) 2 - 1) + 2 ( 3 ) ” 4 )故对应的变换所以Fi( 5 ) = - ( l- 2e-s + 2e- 3 s -e一 如)/ ( s ) = I 2sl- 2e-v + 2e-3 t- e 2S5-4用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。( 1) R s ) =5 + 1s + 5s + 6、 2s + s + 2E ( s ) =- - - - - - -s ( s + 1)
35、( 4 ) P ( s ) =4s ( s + 2) 22tn z 05 - 7设某L T I系统的微分方程为y + 5 V （ /） + 6 y = 3%）试求其冲激响应和阶跃响应。解对方程取拉氏变换，得系统函数3 3H （ $ ） =- - - - - - - - =- - - - - - - - - - - -s2 + 5 . V + 6 （ 5 + 2） （ 5 + 3 ）当/) = & . ) 时 ,/ s ) = l ,得Y(s) = H(s) =3( s + 2) ( 5 + 3 )从而g ) = 3 e- 213厂 ， r 0当/( ) = . ) 时， 夕( s ) = ,，
36、得51 3y ( s ) = _ ( s ) =s s ( s + 2) ( s + 3 )0. 5 - 1. 5 1=- - - - 1 - - - - - - - 1 - - - - -s s + 2 s + 3故得y ( f) = s ( f) = 0 . 5 - 1 . 5 e N + e f , r 05-8试求题5 - 8 图示电路中的电压“ ( r ) 。解对应的s 域模型如图p5 - 8 所示，则s 22 s)=绚=3( - 4+ - )=一F(s) 2 S2+2S + 4而尸( $) = ，故有S所以2 2U ( s ) = F(s)H(s) = 三 不一 - = - - -
37、 - - ； 一.V2+2.V + 4 GV + 1)2+(V3)2u(t)- - j= e. 1 - s i n V 3/ , ( r ) V , t0V 3图 p5 - 85-9如题5 - 9 图所示电路，试求冲激响应M c ( f ) 。题 5 - 9 图解 以 U c （ s ） 为变量列节点方程1 1 s 1 + k + 高 ） U c （ ， ） = w U s （ s ）2 2. 5 s 1 0 2因 U c ( s ) = l , 则5 su ( s ) =- - - - - - - -C ( 5 + 1 ) ( 5 + 4)故5 20. - 3 . T T5 + 1 s +
38、45 20人= c =+ 丁 6 ) . ” )5-10 如题 5 - 1 0 图所示电路， 已知 U s = 28 V , L = 4H, C = - F , /?! = 1 2Q , / ?2 =/ ?3 = 2 QO解初始状态在t = 0 _ 时求得3 =AR + / ? 2= 2 AMC(0 ) = R, = 4 Vc Rt+R2 2对于图( b ) S域模型，列出关于U c ( s )的节点方程，即( -1-2- +- - 4-5 + -4 + -4) t /c c( 5 ) = 1 2 + 45+ 1解得 ( 、4( s + 5 s + 7 ) 7 3s + 8c 5 ( 7 +
39、45 + 4) (S + 2)2可得 c ( f ) = 7 2( f + 1 . 5 ) e - 2 ( r 0 )5-11设有试用卷积定理求y( r )。解所以故y(f) = e-32(f)*b(f)& Q ) 6 s3s + 3力生=Ss + 3y =3 _ 3e. Q )5 - 1 2 如题 5 - 1 2 图所示 R L C 电路，已知 “ s ( Q = 5 & f ) , i ( 0 _ ) = 2A , w ( 0 , ) = 2V o 试用S域方法求全响应“ ( f )。题5 - 1 2图解 由该电路对应的S 域 模 型 （ 此处略） ，可得5+UQ) ./ o ) = -
40、- - - - - - - - - - -尸 一3 + 5 +2s + 3+ 3s + 2得U ( s ) = %2 + / ( s ) ，= 2 +s sC s5_ 2 1S 5 + 1 5 + 22( 2s + 3)+ 3 s + 2)u(t) = 5- 2e- - e-2 ( r 0 )5 - 1 3 若有系统方程y(t) + 5y(t)+6 y( f ) = 5 (t)且 y( 0 ) = y， ( 0 ) = 0,试求 y( 0 + )和 V ( 0 + )。解取拉氏变换，得系统函数H(s) = - - - - - =- - - - - - - - - - - -. 1 + 5 5
41、+ 2 ( 5 + 2) ( 5 + 3)1 15 + 2 s + 3所以h(t) = e2 - e3, t 0故( 0 + ) = y( 0 + ) = 0 ,h 0 + ) = y ( 0 + ) = 15 - 1 4 设有系统函数试求系统的冲激响应和阶跃响应。H G )s + 3s + 2解因为s+3 s+2 1H（ 5） = - = - - +- - = 1 +s + 2 s + 2 s + 21s + 2故s（t） = j h（T）dr4 1逃-尸） （ , ）5 - 1 5如 题5-15图所示二阶系统，已知L=1H, C= IF, R= IQ, HS( /)以uc( t) 为响应时
42、的冲激响应/(/)o Hb ( s )其中“a( s ) = e ，/ /b( 5 ) = - ( l - e -2s)s所以y ( s ) = ( 1 + e - s ) e- s- - ( I - e- 2s) E( s )s故)=侬=(1 + 0)(2 )金F( 5 ) S=-C + e2s - e3 s - e- 4,v)s所以冲激响应h(t) = s(t -1 ) + s(t - 2) - - 3) - e(t - 4) ( t)2-1 - - -Illi0 12 3 4图 p6 - l6-2 试画出题6 - 2图所示网络的系统函数 ( $) = 氏 曰 的波特图。1 FRIH-1
43、-1 o 1 Q 1 + -H= H凡 1 o R 1 Q( a) ( b )题 6 - 2图解( a) 由图可得系统函数. sRC 4- 1 0 . 5 s + 1H(s)=- = - =-5 区 + & ) C + 1 5 + 1可见其超前环节幼= = 2r ad/ s , 滞后环节 2= 1 r ad/ s , 故得波特图如图p6 - 2( a) 所示。( b ) 由图可得系统函数H(s)R)+ -其中图 p6 - 2( a)R,FsR,C + 1R2 ST + 1/?! + R)S Z - 2 + 1= &C, r2 = ( R / ?2) C故从而得波特图如图p6 - 2( b )
44、所示。6-3 已知某系统函数H( s ) 的零、 极点分布如题6 - 3图所示， 若冲激响应的初值 ( 0 + ) = 2,求系统函数” ( $) ，并求出力( f ) 。jG4XOX-题 6 - 3图解 由图示零、极点分布，应有又因为故有进一步可表示为所以6-4 某系统函数”(式。“( $) =- - - - - - - - - - - - - r/ / ( 0 + ) = .l9 -i 0m0s ( s ) = ( 0 ) = 2“( s ) =- - - - - - - - - - -r( s + l y+ f 2 7rr/、 c 5 4- 1 1H(s) 2 0 )( s + 叫闺-
45、四闺L I2J l2JJV 3= 2( s + l ) 2 - I 2( * + 打6 图2 J Jh(t) - 2e- ,( c o s Z- - = s i n f ) , t 02 V 3 2s ) 的零、极点分布如题6 - 4图所示，且 HO = 5 , 试写出H( s ) 的表达的a -j2111 0- i-X-A-3 -21 -1 To O上 - - - - - - - - - - -j2题6 - 4图解从图可知系统的零点为Zl = 0 , Z2 = - 2, Z3 = - 3极点为Si = - 1 , 5 2. 3 = - 2 j 2故系统函数 N ( s ) c 5 ( 5 +
46、 2) ( 5 + 3)H ( s ) = Ha- - - - -= 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -) ( 5 ) ( s + l ) ( s + 2 + j 2) ( s + 2- j 2)5 s ( s - + 5 s + 6 )( 5 + l ) ( . v2 + 4s + 8 )6-5设系统函数试画出其S域模拟框图。解”( s )可改写为H(s)5 ( 5 + 1 )5 s + 5s ( s + 2) ( s + 5 ) 53+ 7 52+ 1 0S5 s - 2 + 5S- 3l + 7+ 1 0 s -
47、 2从而得模拟图如图p6 - 5所示。6-6如题6 - 6图所示为二阶有源带通系统的模型，设R = 1 Q , C = I F, K =3,试求系统函数=q( s )解对于电路的S域模型，可列节点方程(q G) Ua( s ) %( s ) -4 ( 5 ) _ U,(s) Ub( s ) R R =丁 k， C ( U 力 )=弟A、U2(s) = KUb(s)代入数据后，可得H(S) = K 1 = FU ( s ) /+S + 26-7试判定下列系统的稳定性。” G) =5 + 1/ + 8 s + 6Q )( 3) ( s ) =H(s)3s + 153 + 4 52 - 35 + 2
48、2s + 4( 5 + 1 ) ( 52+ 45 + 3)解( 1 )因H ( s )分母多项式各项系数均为正，故稳定。( 2)因H ( s )分母多项式有负系数，故不稳定。 因2s + 4 2s + 4H(s) =( s + 1 ) ( 52 + 45 + 3) (s + 1 ) ( 5 + 1 ) ( 5 + 3)其极点均在左半平面，故系统稳定。6-8已知系统的微分方程为yM ( f ) + y ( f ) + 6 y( f ) = / )试求系统函数”( s ) , 系统是否稳定？解因系统函数为则二阶系统之D ( s)的各项系数均为正，故系统稳定。6 - 9 如题6-9图所示系统，试判定
49、其稳定性。题 6-9图解由图可得系统函数10 s ( s + 1)( $ + 4) = 2s+ 47 1 0 1 - ? + 5 i2+45 + 101 H -S ( 5+ 1)( 5 + 4)因为4图2 = 20, a o 3= 1 0 , 故满足a i 42火 避 3故系统稳定。6 - 1 0 如题6-10图示反馈系统,为使其稳定，试确定K值 。题6-10图解该系统的 ( s )为s + K 1s( s + l) s + 2 _ s + K= .s + K-r = S3+3S2+3S + K1 + .s(s + l) s + 2从必要条件考虑，应 当K 0 ,再由a i 4 2 火避3考虑
50、，应满足K 9 ,故当0K 00K 07 - 4 设有离散系统的差分方程为y( n) + 4y( - 1) + 3 y(n - 2) = 4/( n) + f(n -1)试画出其时域模拟图。解原方程可以写为y( )= - 4y(n - 1) - 3y( 一 2) + 4/( ) + /( n-1)从而可得时域模拟图p 7 4 , 图中D为 单 位 延 时 ( 位 移 )器 。图 p7-47 - 5 如图所示为工程上常用的数字处理系统，是列出其差分方程。题 7-5图解由图可得差分方程y(n) = bof(n) + b,f(n- l) + b2f(n- 2) + b3 f (n - 3)7 - 6
51、 设有序列力（ ） 和 物 ”） ，如 图 7-6所示，试用二种方法求二者的卷积。( a ) ( b )题 7-6图解方法一：用 “ 乘法”2 1.5 1 1 1.5 2x 1 1 1 1221.511 1.5 21.5111.5 22 1.5111.5212 1.5 11.522 3.5 4.5 5.5 5 5.5 4.5 3.5 2即有/,( )*/2( ) = 2, 3.5, 4.5, 5.5, 5, 5.5, 4.5, 3.5, 2n=0方法二：用单位序列表示各函数后卷积。因为/ ( “ )= 25( ) + 1.5J ( n 1) + 8n 2) + J ( n 3) + 1.55(
52、 ” 4) + 28 ( n - 5)/2( n) = 6( ) + S n -1) + S (n -2) + S n - 3)fi ( ) * /2( n) = 2b ( ) + 3.5b ( -1) + 4.53( -2) + 5.56( - 3)+ 53( 4) + 5.55( n 5) + 4.55( 6)+ 3.5b ( -7) + 2b ( - 8)7 - 7设有一阶系统为y( )-0.8y( n-1) = /( )试求单位响应h(n )和阶跃响应s(n ) , 并画出5( n )的图形。解 由方程知特征根 = 0.8,故h(n)=尤 ( )= 0.8 ( )阶跃响应为1 _ RA
53、 + 1s( )=力 ( )* ( )= - -=5( 1- 0.8， ， +1) ( )1 0.8s( “)的图形如图p7-7所示。图 p7-77 - 8设离散系统的单位响应 ( )=，) ( )， 输入信号/( ) = 2 ,试求零状态响应y( )。解 由给定的人)和 ( “)，得y( )= /( ) * h(n) = f (n - k)h(k)k= 0=. 2 出 ) * =2 .分a = o 3 k= o 6因为8 1 /7rt+1Y an= 七 1 - aa 1故得y( )= g -2 ( ) ( 4) ( )7 - 9试证明， ； （ ） * 石 （ ）4 一4证明彳 ( ) *右
54、式)=2 4T 芯=4 箱老A=0&=047 - 1 0已知系统的单位响应，/( )= &( ) (0 a 1)输入信号/( ) = ( )- ( “ -6 ) ,求系统的零状态响应。解y(n) = f(n) * h(n) = ( ) - (n - 6) * anc(n)因为 1 +1( )* ( )= Z。 ” =- - ( )to a利用时延性质，则1 一 a+js(n -6)* a*( ) =-s(n - 6)1-a所以得, 、l-an+, , 、 l-an-5 ,八y(n) = - ( )一 一 -e( -6)a 1-a第8章习题解析8 - 1求下列离散信号的Z变换，并注明收敛域。(
55、a )次 - 2 )( b ) a n )( c ) 0.5 - 1 )( d )( 0.5 + 0.25 ) ( n )解( a ) F(z) = z2, 0| z| 0.58 - 2求卜列F( z )的反变换式n )o口 ,、 1-0.5/ ( z)=-jl + - z- ,+ - z-24 8乙、1 - 2 /z )二号/ 二 E ( z) =卫 士 ( z-0.2)( z + 0.4)( a )( b )( c )( d )( e )解（ a ）因为R z ) =Z2-0.5Z( z + g )( z + g )故F( z) z-0.5 & K, T = r_r= r+r(Z + -)
56、(Z + T) Z + - Z + -2 4 2 4解得K =4 , a =一3进而F( z) =4z 3 z-T fz + - z + -2 4所以/( z? ) = 4( r_3( rW)( b )E V z - 2F =、=l + 2zz 2z 2 + 2z l + 2z2( z + ； ) 2 ( z + ；)所以/( ) =:( 一 ) ( )一( 一:)“ Z ( -l )2 2 2( c )由于r, 、 2zF(z)=( z-l )( z-2)故2 _ K 4z-( z-l )( z-2)-z-l z - 2解得K i = -2, &=2进而e 、 -2z 2zF( z)= ，
57、+ cz-1 z - 2所以f(n) = - 2s(n) + 2( 2) e ( )= 2(2 - l)s(n)( d )由于、 3 z2 +zF ( z)( z-0.2)( z + 0.4)故F(z) = 3z + l K K2z - ( z-0.2)(z + 0.4) - Z-0.2 1 z + 0.4解得K. =, K ,= 3 2 3故有8 1-z 二 zF(z)= + z - 0.2 z + 0.4所以Q 1/() = -(0 .2 r+ -(-0 .4 rW )(e )由于7故 1 & K. ( 2z (z-2)(z-l)2 z-2 (z-1)2 z-1解得K = l, Ku =
58、1, Ki2 = -1从而有7 7 7F(z) = -J一 一 z - 2 (z -If z-1故得f(/z) = (2 ( )8 - 3试 用z变换的性质求以下序列的z变换。(a) f (n) = (n- 3)e( - 3)(b) f(n) = (ri) - e(n - N)解(b)(a )由时延性质，有F(z)z _ zZ-l Z-lZ _-3 1=- 7 = -(Z-I)2 Z2(z-1)28 - 4试证明初值定理/( O ) = l i mF( z)证 明 因为/ =/ （ ）z- = / （ o） + / （ Dr1+ / （ 2）产2 + = 0当Z- 8时，则上式右边除人0）外均
59、为零，故/ （ O ） = l i m F（ z ）8- 5试用卷和定理证明以下关系:( a) f(n) * 3( 一 m ) = f(n - m)( b) (n) * (M) = ( +1) ( )证 明（ a）因由卷和定理f(n) * 8n - m ) ( z ) zm而故得/( n ) * 5( 一 机) =f(n m)（ b）因为z （ 及 ） * （ ） -z -1rn- -( z -i )2而z z z2( + 1) ( ) = ( ) + ( ) 3 -T + 7 = - 7( z -1) - z -1 ( z -1)所以 ( ) * ( ) = ( + 1) ( )8 -6 已
60、知 （ ） * （ ） = （ +1） （ ） ，试求 （ ） 的 Z 变换。解因由卷和定理z2（ n） * s（ n） 7- - - - - - -（ z -1） -而 e(n) = ( + )()- (n)所以/ z2 Z Znn)00(2)7F U)=Z2-1,5Z + 0.5所以/( 0) = l i m F( z ) = 0Z - 0 08- 8已知系统的差分方程、输入和初始状态如下，试 用Z变换法求系统的完全响应。y ( ) = /( ) 一g/( 一 1)f(n) = s(n), y ( -l ) = l o所以解对方程取z变换，有y ( z ) - 0.5z - y ( z )
61、 - 0.5 = F( z ) - O&T F( z )即( 1- 0 . 5 / ) r ( z ) = ( 1 - )上 + 0.5z -1故XZ) = _ _ + _2 _z -1 z -0.5y ( ) = ( ) + 0.5( 0.5) 8- 9设系统差分方程为y ( ) - 5y ( - 1) + 6y s -2 ) = /( )起始状态y ( -l ) = 3, X-2 ) = 2, 当犬) =z 戌) 时，求系统的响应y ( ) 。解 对差分方程取z 变换，得y ( z ) -5 z - y ( z ) + y ( -l ) + 6Z2Y(Z) + z-1y ( -l ) +
62、y ( -2 ) = F(z)即r ( z ) -5z - y ( z ) -15 + 6Z-2r ( z ) + 1 sz-+ n = -z -l从而有-18 z-1 + 3y ( z ) = -Z- A - - - - - -l -5z- 1+ 6z -25 ? -2 1Z2+18Z( z -l ) ( z -2 ) ( z -3)故丫_ ( &鸟z z 1 z 2 z 3解得Ki = 1, K2 = 4, K3 = 0则有V / 、 z 4zy ( z ) = 1 + 个z - l z-2得全响应y(n) = ( ) + 4 ( )8 -10 设一系统的输入/( ) = 5( ) - 4
63、5( -1) + 2 5( - 2 ) , 系统函数H ( z ) = - ：- -试求系统的零状态响应。解因为Z1Z2”( z ) = -T - - = -Z2-1.5Z + 0.5 (Z-0.5)(Z-1)所以-”-( z ) =-z- - =-K- - 1 -K2z ( z -0.5) ( z -l ) z -0.5 z -1解得故得所以垢 = -1, K2 = 27 2 z ( z ) = + - z -0.5 z -1h(h) = -( 0.5) + 2 e ( )y ( ) = ( “ ) * /( )= -( 0.5) + 2s(n) *( ) - 43 (n-1) + 2 6(
64、 - 2 ) = 43( ) 一2 ( ) 一 (0.5) ” ( )8- 1 1设有系统方程y(n)- 0.2 y ( -1) + 0.8 ) ， ( 2 ) = /( ) + 2 /( 1)试画出其Z域的模拟框图。解 在零状态下对方程取z变换，得y ( z ) - o .2 z - y ( z ) + o .8Z-2y ( z ) =尸 + 2/尸即( 1-0.2 Z -1 + 0.8 z -2) y ( z ) = ( 1 + 2Z- ) F( z )故有上= F( z ) l -0.2Z- + 0.8 Z -2由此可以画出模拟图如图p 8 -l l所示。图 p8-ll8 - 1 2 如
65、 题8-12图所示z 域框图，试写出其差分方程。解由图可得b + z丫 二 中 人 ）故有(l + a z z ) = S + zT(z)所以y(n) +ay(n-Y) = bf(n) + f(n-V)题 8-13图解由图可得乂二 丁、F( z )l + azy ( z ) = ( l + T ) X ( z )故有丫 二 产 7)l + az即( l + az -1) r ( z ) = ( l + bz - ) F( z )从而有差分方程y ( ) + ay(n -1) = f(n) + bf(n-V)8- 1 4对于题8-于 和8 -13,试分别写出系统函数H ( z )。解对于题8 -
66、12 ,因而故X ( z ) = F( z ) -az - X ( z )尸(Z) = ( 1 + T) X (Z)Y ( z ) = bX ( z ) + z T X ( z ) = S + z T ) X ( z )“ 二出二” F(z) l + az对于题8 - 13 ,因xa )z )y ( z ) = ( l + bz T ) X ( z )故F l + az8- 1 5已知某数字滤波器的差分方程为y(n) -O.ly(n - 1) + 0.12 y ( n -2 ) = 2 /( n ) - /( n - 1)( 1 )求系统函数函( z ) ；( 2 )求单位响应( ) 。解 (
67、 1 )在零状态下对方程取z变换，得( 1- 0.7z - + 0.12 z -2) r ( z ) = 2 F( z ) - z -N ( z )故系统函数r, , 2 - z 1 2 z - zH ( z ) = - ; -7 = ；-l -0.7z-1 + 0.12 z-2 Z2-0.7Z + 0.12( 2 ) 由于., 2 z2 - z 4z 2zH ( z ) = ；-= -Z2-0.7Z + 0.12 Z-0.3 Z-0.4故单位响应/( ) = 4( 0.3) - 2 ( 0.4) 上 ( )8-16如 题 8 -16图所示系统，试求其系统函数 ( z ) 和单位响应 ( )
68、。题 8 -16图解 由 模 拟 图 可 得.0.6z 2 + 3.6z-1 + 3 3z2 + 3.6z + 0.6H ( z ) = - , -r = - -1 + O .l z-1 -0.2 z-2 z2 + 0.1Z -0.23Z2+3.6Z + 0.6 “ K】z K?z( z + 0.5) ( z -0.4) z + 0.5 z - 0.4可得 K ( ) = -3, K i = 1, K = 7故得 h(n) = -3b( ) -( -0.5) ( ) + 7( 0.4)n e ( )8 -17 设一阶系统为 ( ) -；y ( - 1) = /( )( 1 ) 求单位响应/!
69、( ) ；( 2 ) 若系统的零状态响应为 ( ) =-( 5 ( )试求输入信号。解对方程取z 变换，得 ( 1- 3 z T ) Y ( z ) = F( z )故 H = J -= ;1 I1 - 1 1所 以 力 ( 履 享 ( ) ” (2)由 y ( ) 可得 Y ( z )Y ( z )3zZ -0.53z 一3故有尸 ;上 地 二 一 -” z -0.5最后输入 /( n ) = 0.5( 0.5) f ( H-l )8 -18 设 离 散 系 统 输 入 /( ) = ( )0寸， 零 状 态 响 应 ) ， ( ” ) =2 ( 1 - 0.5 ) ( )； 若 输 入/(
70、 ) = 0.5 ( ) 时，求系统的响应；该系统是否稳定？解y ( z ) 2 z 2z7 T-Z-0.5Y(Z)= 2 2(Z - 1)尸( z ) z -0.5丫 仁 ) =工 故z -1当 “) = o .5 ( ) 时 一 ，则所以 y ( z ) = H( z )尸( z )2z7F(z) = z- 0.52 z ( z l )z -0.5 ( z -0.5)2最后得 y ( ) = 2 ( 0.5) ( )8- 1 9设有一个二阶横向滤波器，它可对输入序列的当前值及以前的两个采样值进行平均 ,即y ( ) = 1r /( n ) + / ( n - D + /( n -2 ) 问
71、该系统是否稳定？若稳定试求其幅频特性和相频特性。解对方程取z变换，得1/1 - 1 一2、 1 z 2 + z + l ( z ) = 7( l + z I + z 2) = - - 3 3 z因极点z = 0 ,故系统稳定。频率响应为H ( ej y T ) = | ( 1 + + e-j 2 T + 2 CO S 2C DT(p(co) = - ar ctan 泊 丁 + 由 2a_1 3 1 + co s O JT + co s IcoT特性如图p 8 -19所示。8 - 2 0 设有系统函数图 p8-19 2z + 4” 二 丁 irz - 1 z + :2 4试求系统的幅频特性和相频特性。解由系统函数可得极点故系统稳定,从而可得频率响应为1 - 6H(ei(oT)4 由一 2 + 4 公)4e r - 2 + e- r)4 (5 cos 697 - 2) - j3 sin coT(5 cos 0 - 2) + j3 sin a)T从而有W ( e吗=49( 69) = -2arctan(3 s in g5cos GT 2)特性如图p8-20所示。图 p8-20
