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1、工程数学工程数学第第5讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择工程数学子目录)1第四章 级数1 复数项级数21. 复数列的极限 设an(n=1,2,.)为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|N时成立, 则a称为复数列an当n时的极限, 记作此时也称复数列an收敛于a.3定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是证 如果 , 则对于任意给定的e0, 就能找到一个正数N, 当nN时,4反之, 如果52. 级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列,
2、表达式称为无穷级数, 其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和. 如果部分和数列sn收敛, 6定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛证 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an, tn=b1+b2+.+bn分别为 和 的部分和, 由定理一, sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在, 即级数 和 都收敛.7定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.8定理三证91011122 幂级数131. 幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在
3、区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数. 最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为这级数的部分和.14存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.s(z)称为级数 的和函数如果对于D内的某一点z0, 极限15这种级数称为幂级数.如果令z-a=z, 则(4.2.2)成为 , 这是(4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时, 就得到
4、函数项级数的特殊情形:16定理一(阿贝尔Abel定理)z0xyO17证1819202. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种:i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散.iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设z=a(正实数)时, 级数收敛, z=b(正实数)时, 级数发散.21显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.RCROabCaCbxy22当a由小逐渐变大时
5、, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛圆上是否收敛, 则不一定.23例1 求幂级数的收敛范围与和函数.解 级数实际上是等比级数, 部分和为24253.收敛半径的求法264. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设在以原点为中心, r1
6、,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积. 2728更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.2930Oxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛31323) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即333 泰勒级数34设函数f(z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点.z0Kzrz35按柯西积分公式, 有其中K取正方向, 且有36代入(4.3.1)得由解
7、析函数高阶导数公式(3.6.1),上式可写成37在K内成立, 即f(z)可在K内用幂级数表达q与积分变量z无关, 且0q1.38K含于D, f(z)在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数M使|f(z)|M.39因此, 下面的公式在K内成立.称为f(z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以, 如果z0到D的边界上各点的最短距离为d, 则(4.3.4)在圆域|z-z0|d内成立. 但这时对f(z)在z0的泰勒级数来说, 它的收敛半径R至少等于d, 因为凡满足|z-z0|d的z必能使(4.3.4)成
8、立. 即Rd.40定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|d时, 41如果f(z)在z0解析, 则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a的距离, 即R=|a-z0|. 这是因为f(z)在收敛圆内解析, 故奇点a不可能在收敛圆内. 又因为奇点a不可能在收敛圆外, 不然收敛半径还可以扩大, 因此奇点a只能在收敛圆周上.Oxyz0a42任何解析函数展开成幂级数的结果就是就是泰勒级数, 因而是唯一的.这是因为, 假设f(z)在z0用另外的方法展开为泰勒级数: f(z)=
9、a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+.+an(z-z0)n+.,则f(z0)=a0.而f (z)=a1+2a2(z-z0)+.于是f (z0)=a1.同理可得43利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法, 例如, 求ez在z=0处的泰勒展开式, 由于 (ez)(n)=ez, (ez)(n)|z=0=1, (n=0,1,2,.)故有因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为.44同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:因为sin z与cos z在复平面上处处解析, 所以这些等式也在复平面内处处
10、成立.45除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质(定理四), 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:4647例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.-1OR=1xy484950作业 第四章习题 P142 第6题1）2）3）4）第11题1）2）3）6）第12题1）2）3）51定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.52
