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1、计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院1 1 引言引言矩阵特征问题的求解矩阵特征问题的求解 物理、力学及工程技术领域中的许多问题在数学上都可归结为求方阵特征值和特征向量的问题，如振动问题：桥梁的振动、机械振动、电磁振荡、地震引起的建筑物的振动等等；物理学中的临界点、临界值的确定；微分系统中的稳定性研究。这些常见的问题都与方阵的特征值和特征向量有关。 求方阵的特征值和特征向量是数学、物理学、力学、电磁电工学以及工程技术所面临的一个
2、共同问题。胎幂烃奠姆暂毖疚尺搔掐贝城类纯描绎溪围喻纂侩捂涝保靠眶卞昂萍峭滩四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定义：矩阵 AR nn，若有数和非零向量x R n 使得A x x，则 称 为A的特征值， x称为对应的特征向量。在线性代数中的求法：解特征多项式| E- A |=0.利用线性代数中的上述方法计算特征值和特征向量是十分困难的; 我们的目的是寻求一种适合计算机运行的近似解法
3、,且简单、可行、有效。复习相关理论复习相关理论萎系凸蹋五插欠侣醉扫瞻钧夕诚馁揭档壁粘谚悸胚薪店谐煎雄关物肋范谋四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定义定义 设矩阵设矩阵A, B R n n，若有可逆阵若有可逆阵P，使使定理定理1若矩阵若矩阵A, B R n n且相似且相似，则则B=P - -1AP则称则称A与与B相似相似。（1）A与与B的特征值完全相同的特征值完全相同；（2）若若
4、x是是B的特征向量的特征向量，则则Px便为便为A的特征向量的特征向量。吭悄凤离濒巫茹迪战示稼诵炙勋习迁涯换嚏驱闲所疫爪眺万瞥谊雪梨谆绑四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定理定理2：设设A R n n具有完全的特征向量系，即存在具有完全的特征向量系，即存在n个个线性无关线性无关其中其中 i为为A的特征值的特征值，P的各列为相应于的各列为相应于 i的特征向量的特征向量。的特征向量构
5、成的特征向量构成Rn的一组基底的一组基底，则经相似变换可化则经相似变换可化A为为对角阵。对角阵。即即 矩阵矩阵A A与对角阵与对角阵 相似的充要条件是相似的充要条件是A A 有有n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量即有可逆阵即有可逆阵P，使，使坚头礼媳提烹澡山玛礼冷呸男邻金淄念砂真绅嫡厄狮舀联捍赢霖定枉辣洋四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定理定理3：A R n n，
6、1, n为为A的特征值的特征值，则则（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即的行列式值等于全体特征值之积，即（1）A的迹数等于特征值之和，即的迹数等于特征值之和，即踏华次垮嫡舔七浊闪陡脐嚷茎梆颁利秃盾翔蛀淘怖镭毕臣户白槛六通乱糖四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定义： 设AR nn为对称矩阵，对任意xR n，x0，则称比值矩阵 A关于向量 x 的瑞雷(Rayleigh)商瑞雷(
7、L.Rayleigh)英国数学家，18421919佃导牧审砍模毯贞把弯亮寨址葛斌贸艳愤骆足善隧埠腐谤产晓株悬己奠研四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定理定理4设设A R n n为对称矩阵为对称矩阵，其特征值其特征值 1 2 n，则则 1）对任意对任意x R n，x0，2）3）炭伐埠交毗播虱斥哎血岩鲤饲盐冷瑞票村潮崇乳狸憎瘁盂憨足瞬粤具鲤翼四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题
8、的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定理定理5（Gerschgorin圆盘定理圆盘定理）设设A R n n，则则表示以表示以aii为中心为中心，以以 半径为的复平面上的半径为的复平面上的n个圆盘个圆盘。 （2）如果矩阵如果矩阵A的的m个圆盘组成的并集个圆盘组成的并集S（连通的连通的）与其余与其余（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，n m个圆盘不连接个圆盘不连接，则则S内恰包
9、含内恰包含m个个A的特征值的特征值。 康孟甭瑞吱莽窜蚤化庆乱翼明墟腥艰再库鳞室扒掉黑不镭竞害抉距转膨庇四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院1乘幂法乘幂法定理定理6设设A Rn n有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，若若 1, 2, n为为A的的n个特征值且满足个特征值且满足对任取初始向量对任取初始向量x(0) Rn，(x(0) 0)对乘幂公式对乘幂公式确定的迭代序列确
10、定的迭代序列x(k)，有下述结论有下述结论：乘幂法与反幂法乘幂法与反幂法乘幂法是一种求矩阵的按模最大的特征值及其特征向量的乘幂法是一种求矩阵的按模最大的特征值及其特征向量的方法。方法。五缎沟竭莽夕奎启延级播娘河界稍篆孔狄林渤衡喜航履传骸澎勉缚衡幼柄四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院（1）当当时时，对对i=1,2,n收敛速度取决于收敛速度取决于的程度的程度，r 1收敛快收敛快，r
11、 1收敛慢收敛慢，且且x(k)（当当k充分大时充分大时）为相应于为相应于 1的特征向量的近似值的特征向量的近似值。侈薯眩梁矛致嚎弃颤梢积亲橙棘悸监暑篡绒弄她娜循刘谓撒盅湿勃躺叹脂四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院（2）当当时时a）若若 1= 2，则主特征值则主特征值 1及相应特征向量的求法同及相应特征向量的求法同（1）；）；收敛速度取决于收敛速度取决于 程度程度。向量向量 ,
12、,分别为主特征值分别为主特征值 1、 2相应的特征向量的近似值相应的特征向量的近似值。b）若若 1= 2，对，对i=1,2,n薪耸跟饺劣鸭卤忘着劲颓坍丁埔摘棵逼扔窿隧殖氯拭婶炬两争颗窃淮快昧四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院c）若）若，则连续迭代两次则连续迭代两次，计算出计算出x(k+1)，x(k+2)，然后对然后对j=1,2,n 解方程解方程求出求出、后后，由公式由公式段害拼
13、琵驮庇纸渺距烦扫扩岸拄掏辣太翰簇疆柑瞧羽粱餐忆然台舶崩恨汗四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院解出主特征值解出主特征值 1、 2。此时收敛速度取决于此时收敛速度取决于的程度的程度。向量向量、分别为相应于分别为相应于 1， 2的特征向量的近似值的特征向量的近似值。刁酗奔碎饯妆芒副相蟹茹剖啦带毗诱房孩百归熄咀谎钎烛抛眩缮寂鲤疯嘎四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法
14、与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院乘幂法方法步骤乘幂法方法步骤设为设为n 维向量，令维向量，令r=max(x)表示向量表示向量x分量中绝对值最大者。分量中绝对值最大者。1.任意给定初始向量(非零) v (0) =u (0) 0 ，取r0= max(v (0) );2.产生迭代序列：为求为求A矩阵的按模最大的特征值矩阵的按模最大的特征值1和其相应的特征向量和其相应的特征向量 1，v(1)=Au (0) ，取r1= max(v (1)
15、, v (2) =Au (1) ，取r2= max(v (2) ) , v (k) =Au (k -1 ) ，取rk= max(v (k) ) , 3.循环次数控制：当|rk-rk-1| 时,结束循环，输出rk 1 ，u (k) 1妒装纬恫隶掠禁吊颧轴两贪孙塑菲牵摇琉牌婚堂店仟陈挂公嫌择填明难挨四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定理定理7设设A Rn n有有n个线性无关的特征向
16、量个线性无关的特征向量 1 1， 2 2 n n ， 1, 2, n为为A的的n个特征值个特征值，且满足且满足则对任初始向量则对任初始向量v (0) =u (0) 0 ，由规范化的乘幂法公式确由规范化的乘幂法公式确定的向量序列定的向量序列v(k)，u(k)满足满足(1)（2）u(k) 1 1为相应于主特征值为相应于主特征值 1的特征向量的特征向量.律丝沤敬未专儿亲涂垒锻箍持点阅撼精籍篱续叮阶骑碎棍繁绰引仿果掇计四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of
17、Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院例例用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值及其相应的特征向量，其中解：解：取初始向量v (0) =u (0) （0，0，1）T,则 v(1)=Au (0) = (2，4，1）T; r1= max(v (1) =4; u (1) = 1/4 (2，4，1）T = (0.5，1，0.25）T; v(2)=Au (1) = (4.5，9，7.75）T; r2= max(v (2) =9;结果如下：结果如下：贞亭墒饵奶卯缔喂勇慢法楚估乍篷涡贴砷崔惦未瘦义矣屈踌肪蛤体霞茅赁四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算U
18、niversity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院r1=4.000000,u(1)=(0.500000,1.000000,0.250000)T|r1-r0|=4.000000,r2=9.000000,u(2)=(0.500000,1.000000,0.861111)T|r2-r1|=5.000000,r3=11.444445,u(3)=(0.500000,1.000000,0.730582)T|r3-r2|=2.444445,r4=10.922330,u(4)
19、=(0.500000,1.000000,0.753556)T|r4-r3|=0.522115,r5=11.014222,u(5)=(0.500000,1.000000,0.749354)T|r5-r4|=0.091892,r6=10.997417,u(6)=(0.500000,1.000000,0.750117)T|r6-r5|=0.016805,r7=11.000469,u(7)=(0.500000,1.000000,0.749979)T|r7-r6|=0.003052,r8=10.999914,u(8)=(0.500000,1.000000,0.750004)T|r8-r7|=0.0005
20、55,r9=11.000015,u(9)=(0.500000,1.000000,0.749999)T|r9-r8|=0.000101,r10=10.999997,u(10)=(0.500000,1.000000,0.750000)T|r10-r9|=0.0000180使得因此从上式解出1得该值能比rk更快接近于1空钙枚疙域昔卷家茧巫贝谗创讣负圣姆从哎夏楚风逮攫眺窄瓣疾幕缓镑芹四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工
21、工 大大 学学 理理 学学 院院1.任意给定初始向量(非零) v (0) =u (0)0 ，取r0= max(v (0) );2.产生迭代序列：v(1)=Au (0) ，取r1= max(v (1) , v (2) =Au (1) ，取r2= max(v (2) ) , Aitken加速法得方法步骤加速法得方法步骤取枫楷涕暮澳氓敖鞋涯墙接卞征卞窝景雷牌雀爹哭弟缓冻炉淋郊晦兽逢碗梦四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理
22、 工工 大大 学学 理理 学学 院院v (k) =Au (k 1 ) ，取rk= max(v (k) ) , 3.循环次数控制：当|rk-rk-1| | 2| |n |,为A的n个特征值，则对任初始向量v (0) =u (0) 0 ，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列v(k)，u(k): v(k)=Au(k-1)，u(k)=v(k)/max(v(k)（2）u(k) 1 1为相应于主特征值为相应于主特征值 1的特征向量的特征向量.取那么那么(1)rk 1两盆蜗薄砍状浆蹄伤脱季郴姑俩茸咯揭憨参腻模每映张腥付孝偏父牌铲款四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算Univers
23、ity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院若若 A 有有| 1| | 2| | n|，则，则A 1有有11111 nn设设A Rn n可逆，则无零特征值，由可逆，则无零特征值，由反幂法反幂法反幂法是一种求矩阵的按模最小的特征值及其特征向量的方法。反幂法是一种求矩阵的按模最小的特征值及其特征向量的方法。Ax= x , (x 0 ),则有絮屿臆砂闸凹戌郡隶怀警壕桩翼斋手舌摹画疟桅混肮惶蚁症食逻勺砚物革四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算U
24、niversity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院A 1的主特征值的主特征值A的绝对值最小的特征值的绝对值最小的特征值如何计算如何计算x(k+1)=A 1x(k ) ? 解线性方程组解线性方程组Ax(k+1)=x(k ) 对应同样一组特征向量。对应同样一组特征向量。绞十古图墨两姨间移炙递允革句硷励咽抡券竿梧恼伟习韩衙予题诺涨阿纵四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science
25、 and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院规范化反幂法公式为规范化反幂法公式为每次需要解方程组求每次需要解方程组求v (k+1)由于每次需要解方程组，而方程组的系数矩阵是相同的，所不由于每次需要解方程组，而方程组的系数矩阵是相同的，所不同的是右端的常数项，为此考虑运用同的是右端的常数项，为此考虑运用Doolitel三角分解法。三角分解法。如果考虑到原点移位加速的反幂法，则记如果考虑到原点移位加速的反幂法，则记B = A 0I，对任取初始向量对任取初始向量( (非零非零) ) v(0) Rn， 滔律扮淬吠趟盗摔贝脸祝波
26、丸芭疙洛祟押搪堆碍菲哺瞥捧眷齐肃聊烁弯拿四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院反幂法反幂法方法步骤方法步骤(1)将矩阵A作Doolitel 三角分解 ALU；(2)任意给定非零初始向量v (0) =u (0) 0 ，取r0= max(v (0) );(4)循环次数控制：当|rk-rk-1| 时,结束循环，输出rk n ，u (k) n n(3)产生迭代序列：I）解方程组：Ly= u
27、 (0) ;U v(1) =y ,取r1= max(v (1) 1 , 并取 u (1) = r1 v(1) ;II）解方程组：Ly= u (1) ;U v(2) =y ,取r2= max(v (2) 1 , 并取 u (2) = r2 v(2) ;胞尉们结缠夫艳毕割医吝遏当牙述匣深咯路爽漆洼阮殃匠宾页岳恤犊渠爱四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院例：例：用反幂法求矩阵A的按模最
28、小的特征值及其相应的特征向量，其中解：解：钓耿壶胞靛丸匝豢渐资殷辽豫回趁胖授免穷那珐檄炉阑丘紫霸汉渺吹缮予四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院r1=3.600000,|v1=(0.200000,-0.400000,1.000000)|r1-r0|=3.600000r2=3.000000,|v2=(0.800000,-1.000000,1.000000)|r2-r1|=0.6000
29、00r3=1.304348,|v3=(1.000000,-0.956522,0.565217)|r3-r2|=1.695652r4=1.169492,|v4=(1.000000,-0.830508,0.372881)|r4-r3|=0.134856r5=1.224913,|v5=(1.000000,-0.775086,0.307958)|r5-r4|=0.055422r6=1.249279,|v6=(1.000000,-0.750720,0.283862)|r6-r5|=0.024366取取v (0) =u (0) =(0，0，1)TLy=u (0) , y=(0，0，1)T，U v (1)
30、=y，v (1) = (0.0555，-0.1111，0.27777)T, r1= max(v (1) 1 =3.6 , u (1) = r1 v (1) = 3.6(0.0555，-0.1111，0.27777)T = (0.2,-0.4,1.0)T, 钒尘必脱胖魂醇昼伞椎浚片蕉戈袒舞浮旨勃孩次兹合恫崖禽凛刊赛阻菌瞎四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院r7=1.259909,|
31、v7=(1.000000,-0.740091,0.274433)|r7-r6|=0.010630r8=1.264507,|v8=(1.000000,-0.735493,0.270629)|r8-r7|=0.004598r9=1.266482,|v9=(1.000000,-0.733518,0.269066)|r9-r8|=0.001975,r10=1.267326,|v10=(1.000000,-0.732675,0.268417)|r10-r9|=0.000844,r11=1.267685,|v11=(1.000000,-0.732315,0.268146)|r11-r10|=0.00035
32、9,r12=1.267837,|v12=(1.000000,-0.732163,0.268032)|r12-r11|=0.000153,r13=1.267902,|v13=(1.000000,-0.732098,0.267984)|r13-r12|=0.000065对应的特征向量为 3 v (k) =(1.000000,-0.732098,0.267984)于是按模最小的特征值于是按模最小的特征值 3 r13 =1.267902 ，真值为3 =1.26794919243112270647255365849幸签洁艘妄吊爆绎玻致双秸入拴此僧隋涉渊询失运南赐串土浊漆涪略字阑四章矩阵特征问题的求解简四
33、章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院练习：练习：用反幂法求矩阵A的按模最小的特征值及其相应的特征向量，其中解：解：取取v (0) =u (0) =(0，0，1)T烬妇毛札缝塑阁杯说贮碳倒儿捧燃定售匆混住硅冻网每卓议扇匹漾对洽旷四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege o
34、f Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院r1=-0.500000,|v1=(-0.500000,1.000000,-0.500000)|r1-r0|=0.500000,r2=-0.200000,|v2=(1.000000,-0.900000,0.300000)|r2-r1|=0.300000,r3=0.166667,|v3=(1.000000,-0.716667,0.200000)|r3-r2|=0.366667,r4=0.186916,|v4=(1.000000,-0.663551,0.171340)|r4-r3|=0.020249,r5=0.193724,|
35、v5=(1.000000,-0.645745,0.161738)|r5-r4|=0.006808,r6=0.196118,|v6=(1.000000,-0.639484,0.158362)|r6-r5|=0.002394,r7=0.196974,|v7=(1.000000,-0.637245,0.157155)|r7-r6|=0.000856,r8=0.197282,|v8=(1.000000,-0.636440,0.156721)|r8-r7|=0.000308,r9=0.197393,|v9=(1.000000,-0.636150,0.156564)|r9-r8|=0.000111,r10
36、=0.197433,v10=(1.000000,-0.636045,0.156508)|r10-r9|=0.000040哨重窝殷国晰碟亩麓院榔练拨丝噬链抗骗拄铺摸培授贼流趁倡梅跺陪幸鸽四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院1预备知识预备知识1）若若A是上（或下）三角阵或对角阵，是上（或下）三角阵或对角阵，则则A的主对角元素即是的主对角元素即是A的特征值的特征值。2）若矩阵若矩阵P满
37、足满足PTP = E，则称则称P为正交矩阵为正交矩阵。显然显然PT = P 1，且且P1,P2,是正交阵是正交阵时时，其乘积其乘积P = P1P2Pk仍为正交矩阵仍为正交矩阵。对称矩阵的雅可比对称矩阵的雅可比(Jacobi)旋转法旋转法挠企颗褐仕先诣剖鹅渝涧春峡侄抉甥捂董保氓恃梯渐厩丢泞上滤两敞沥胳四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院2雅克比方法雅克比方法引例引例：考虑矩阵当适当
38、选取当适当选取 让让时，有时，有其中其中 1=a11cos2a12sin2 +a22sin2 ， 2=a11sin2 +a11sin2 +a22cos2 蓄尸壬凯拣愁就斟赵哺价交烩替涨熔荐研栏墟倘屉儡锄久掉贮貌妹仰剔铬四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院定义：定义：称矩阵称矩阵为平面旋转矩阵为平面旋转矩阵第第i行行第第i列列第第j列列第第j行行柑氖墒解涂鹏栽肄如空诲煽擂挨栗哎胳弃
39、崔荐笔掇邻葫帽键狠认谐炳兰猴四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院平面旋转矩阵平面旋转矩阵P 的性质：的性质：1)P是正交矩阵，即是正交矩阵，即PPT=E;2) A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则B=PTAP仍是实对称矩阵，且仍是实对称矩阵，且A与与B具有相同的特征值；具有相同的特征值；3) 若若B=PTAP ，则，则|A |F=|B |F，其中，其中即经旋转变换后，对角线上元素的
40、平方和将增加即经旋转变换后，对角线上元素的平方和将增加.4)取取时，有时，有夹诗昨批镣酿渠禹咖欧去沃阀调瓤面毒进债肿闪烹搓皂坏嚷韦构瞳睁羡浆四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院雅可比雅可比(Jacobi)旋转法的方法步旋转法的方法步1.选取矩阵A的非对角线元素中绝对值最大的元素 aij= aji (ij ) ；2.确定平面旋转矩阵P1=Pij( ),其中与 aij 同号。作变换A
41、1= P1TAP1=(aij(1)3.重复2的工作：作变换Ak= PkTAPk=(aij(k),Pk=Pij( ),祖斯庶痈贷雀狞燎犊惹汰赚敞奉甫稀扒辛摧犊铰轨咙顽室退镑礼性纷桅饱四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院则有如下关系：则有如下关系：顿公丢家督裁颖太绞夺剂癌苞耪伦呕即娠洼侵傅烩窑周学箍恿添钱吹歧操四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算Univ
42、ersity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院将 限制在下列范围内如果 这样得到的矩阵序列Ak是收敛的，且Ak （k ）aii(k) i （ k ）;在迭代过程中在迭代过程中，若若max|aij(k)|2|n|0;2) A有标准形A=PP-1，且有P-1 =LU 三角分解.则由QR算法产生的序列Ak本质上收敛于上三角矩阵RA楔讶腆获翟氮玛苔毯丫姚屋舷马乳奇尊蕴熊紧矣奔无秤董植阔澡即傻撂姑四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算Unive
43、rsity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院子空间迭代法子空间迭代法斯密特斯密特（Schmidt）正交化过程：正交化过程： 设设 1， 2， 3为为R3上的三个线性无关的向量，上的三个线性无关的向量，令令 ，则，则 1为单位长度的向量，再令为单位长度的向量，再令可以验证可以验证（ 1, 2）=0，即，即 1与与 2正交。若令正交。若令则则酌底庸恭怔辆蓖迎厉上忻津桩钝矮虑歼寄判述吁固守惋较行墟期哺擎篡诧四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值
44、计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院即与即与 1, 2正交，将其单位化正交，将其单位化为为于是向量组于是向量组 1, 2, 3构成构成R3上一组标准正交基，上一组标准正交基，且且其中其中Q = 1, 2, 3为正交矩阵，为正交矩阵，R是上三角是上三角阵。阵。盲懊缎趋烘酋凋盖揽谎践侵斥蓟憎泻亚舟敲暑郁恭颠貌北缄秸旁潦和肪奥四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for S
45、cience and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院对对n维向量空间，设维向量空间，设 1, n为为Rn上上n个线性无关的向量，个线性无关的向量，类似有类似有湛蹭载靴释热桃辽脯规牵蘸忧翻巢勺郁淀情凰竞瘩摘仰帮害彻熙眷严泪滞四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院即即Q为正交阵为正交阵，R 为上三角阵为上三
46、角阵绚蓬口焉殃靠元疥坪岛灾蜜捣岭贞策嫁蚌疲牌纂附由坠楼窄漆藕坯水顶忙四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院将将n个线性无关向量变换为个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为个两两正交向量的方法称为斯密特正交化方法。斯密特正交化方法。斯密特正交化过程将可逆阵斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。分解为正交阵与上三角阵的乘积。湾案橙褂湾花匠外拱荐仰耻存拒脚锅景漂
47、梨伐衅里劳樟服印妥疙赡盗藏噶四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院希望希望| 2/ 1| 越小越好。越小越好。不妨设不妨设 1 2 n，且，且| 2| n|。取取 0（常数），用矩阵（常数），用矩阵B = A - - 0E 来代替来代替A进行乘幂迭代。进行乘幂迭代。 (i=1,2,n)设设 i (i=1,2,n)为矩阵为矩阵B B 的特征值，则的特征值，则B 与与A 特征值之间特征
48、值之间应有关系式：应有关系式： 原点位移法原点位移法昧滩勺盒只乘墓管校晾亩戈甄磨丘状乏溅捂藤湍彼描济笛牛凋押跌贵驳袁四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院关于矩阵关于矩阵B的乘幂公式为的乘幂公式为 为加快收敛速度，适当选择参数为加快收敛速度，适当选择参数 0，使使达到最小值。达到最小值。 或核员缨拣痊风徊怜渊见晨辅灶蔑判迈钝酿曼商探轰才搔瘤拣锌削癸害俏四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简计算方法与数值计算University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上上 海海 理理 工工 大大 学学 理理 学学 院院当当 i(i=1,2,n)为实数，且为实数，且 1 2 n时，取时，取则为则为 ( 0)的极小值点。这时的极小值点。这时华始青寿所琉洪蚕耙肥儡粉仇沿熔套佣鞍查宣匡改傈并溢焰噎策预告雪拽四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简
