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1、第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十章 区域区域 D 分类分类单连通区域单连通区域 ( 无无“洞区洞区域域 )多连通区域多连通区域 ( 有有“洞区洞区域域 )域域 D 边界边界L 的正向的正向: 域的内部靠左域的内部靠左P141）定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,或或一、一、 格林公式格林公式证明证明:1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是
2、又是 Y - 型区域型区域 , 且且那那么么即即同理可证同理可证、两式相加得两式相加得:2) 若若D不满足以上条件不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域 , 如图如图证毕证毕例例+. +. 设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, 证明证明证证: 令令那那么么利用格林公式利用格林公式 , 得得推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面的面积积格林公式格林公式例如例如, 椭圆椭圆所围面积所围面积例例1.1.计算计算，其中曲线，其中曲线是半径为是半径为的圆弧在第一象限的部分的圆弧在第一象限
3、的部分解：引入解：引入辅助助线 那么那么例例1 续续那么那么 那么例例2. 计算计算其中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线.解解: 令令设设 L 所围区域为所围区域为D,由格林公式知由格林公式知在在D 内作圆周内作圆周取逆时取逆时针方向针方向, 对区域对区域应用格应用格记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式 , 得得例例3 .计算由星形线计算由星形线:L所围区域的面积所围区域的面积 解：由公式解：由公式练习练习. 计算计算其中其中L 为上半为上半从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用
4、格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段它与它与L 所围所围原式原式圆周圆周区域为区域为D , 那那么么二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微
5、分的全微分,即即 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设设为为D 内任意两条由内任意两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线,那么那么(根据条件根据条件(1)证明证明 (2) (3)在在D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分那么那么同理可证同理可证因此有因此有和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,有函数有函数 证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得那那么么P, Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有证明证
6、明 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,(如图如图) ,利用格林公式利用格林公式 , 得得所围区域为所围区域为证毕证毕说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内那那么么2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:及动点及动点或或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线可添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;解解
7、原式原式=原积分与路径无关原积分与路径无关.例例格林公式及其应用格林公式及其应用例例4 计算计算 为上由上由到到的一段弧的一段弧 解法解法1 1： 因为因为 所以所以例例4续续 曲线只要绕过原点，积分就与路径无关曲线只要绕过原点，积分就与路径无关因此可选简单折线路径因此可选简单折线路径例例4续续例例5. 验证验证是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 并求并求 证证: 设设那么那么由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使。例例5续续 ，所以，所以练习练习. 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线作用下沿曲线 L :由由移动到移动到求力
8、场所作的功求力场所作的功W解解:令令则有则有可见可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.考虑考虑: 积分路径是否可以取积分路径是否可以取取圆弧取圆弧为什么？为什么？注意注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关无关 !三、求解全微分方程三、求解全微分方程若一阶微分方程写成若一阶微分方程写成 则称微分方程则称微分方程(3)(3)为全微分方程为全微分方程 一旦找到了一旦找到了的形式后，如果存在的形式后，如果存在 ，那么，那么为微分方程为微分方程(3)(3)的通解的通解 由例由例5 5知道全微分方程的通解
9、有三种求法知道全微分方程的通解有三种求法 由由例例可知可知: :都是都是分别是上面的分别是上面的原函数原函数. .全微分式全微分式. .例例6 求微分方程求微分方程的通解的通解解：微分方程可整理为解：微分方程可整理为设设 方程是全微分方程方程是全微分方程那那么么 三种不同方法来求三种不同方法来求例例6续续 (1) (1) 曲线积分法曲线积分法(2) (2) 凑微分法凑微分法那那么么 因因又又 那那么么 得得 即即 微分方程的通解微分方程的通解 (3) (3) 不定积分法不定积分法练习练习. 验证验证在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 证证: 令令那么那么由定理由定理 2 可知存在原函数可知存在原函数或或内容小结内容小结1. 格林公式格林公式2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.在在 D D 内有内有对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有思考与练习思考与练习1. 设设且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ?提示提示:2. 设设提示提示:
