高二数学选择性必修二同步练习与答案解析（基础训练）

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1、高二数学选择性必修二同步练习4. 1数列的概念同步练习（ 基础篇）一 . 选 择 题 （ 共10小题，满分50分，每小题5分）1 .数列2, 22, 222, 2222, 的一个通项公式是（）A . -（ 10 - 1） B . 10n- l C . 2（ 10n- l ） D . 1（ ） 82 .下列说法正确的是（ ）A .数列中不能重复出现同一个数B . 1, 2, 3, 4 与 4, 3, 2, 1 是同一数列C . 1, 1, 1不是数列D .若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同3 .己知数列 4 的通项公式为4 =2 + 1 ,则257是这个数列的（ ）A .第6项 B .第

2、7项 C .第8项 D .第9项4 .若数列 a j的通项公式为a 0= n （ n 2） ,其中nN * ,则 =（ ）A . 8 B . 15 C . 24 D . 355 .下列说法正确的是（ ）A .数 列1, 3, 5, 7可以表示为 1, 3, 5, 7B .数列- 2, - 1, 0, 1, 2与数列2, 1, 0, - 1, - 2是相同的数列C .数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D .数列的项数一定是无限的6 .已知数列 , 的前4项依次为2, 6, 12, 2 0 ,则数列 4, 的通项公式可能是（）A . an = 4n - 2 B . an - 2n + 2(

3、n -1)C . an= n2 D . Q“ = 3 + 2 - 17 .已知数列 见 的前项和5 = /+ ，则内的值为( )A . 4B . 6C . 8D . 108 . 一个正整数数表如表所示(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2 倍) ，则第9行中的第6 个 数 是 ( )第 1 行1第 2 行2 3第 3 行4 5 6 7. . . . .A. 132 B. 261 C. 262 D. 5179 . 己知数列 4 的通项公式为q =（T）w N *，则该数列的前4 项依次为（ ）2A. 1, 0, 1, 0 B. 0, 1, 0, 1C. - , 0 , - , 0 D. 2

4、, 0, 2, 02 21 0 .在数列 风 中，4 = - 。，/ = 1 - ! 一（ 1） , 则 % 0J4 的 值 为 （ ）4an-14A . - B. 5 C. D .以上都不对4 5二 , 填 空 题 (共 7 小题，单空每小题4 分，两空每小题6 分，共 36分)11 . 数列1, 3 ,5 ,-7 ,9 , 的一个通项公式是12 .已知数列 % 中，a” =2(e N * ), 则。 9=.13 .已知数列 4 的前项和S“ =2 -3一 1 , 则%=.14 . 填适当的数：1 ,五, (), 2 , 石 ，() ,百1 - I Q15 . 在数列0, ,中，第 3 项是

5、； 士是它的第 项 .4 2n 7 一16 . 函数/ ( x ) = x2 - 2 x +(e N * )的 最 小 值 记 为 ， 设 匕 = / ( 4 )，则数列 % ，抄“ 的通项公式分别是a , =, b“ =.17 . 已知数列 % 的前项和为S, 满足q = g，+ 1 ) ( ( + 1) = 2 , 则q =；$2 =三 . 解 答 题 (共5小题，满分64分，1820每小题12分，21, 22每小题14分)18 .在数列 4 中，4= 2 + 即 , * . 若 如 是递增数列，求;L的取值范围.19 .已知数列 , 的前n项和为S“ = 2n2- 3Q n.(1)当S“

6、取最小值时，求n的值；(2)求出 / 的通项公式.20 .已知数列 % 中，4 = 1， 4用.(1)写出数列 % 的前5项 .(2)猜想数列 q , 的通项公式.21 .己知数列 4 的通项公式为4 = C + d T,且。2 = ，4 -求和22 .己知数列 a , J 满足 Sn =2n- an(n e N * ) .(1)计算 , 4 ,。3, 4, a5 ；(2)并猜想 q的通项公式(不需要证明但要求简要写出分析过程) .答案解析选 择 题 (共10小题，满分50分，每小题5分)1 .数列2, 22, 222, 2222, 的一个通项公式是()A . | (10,- 1) B . 1

7、0 - 1 C . 2(10 1【 答案】A【 解析】先写出9 , 9 9 , 9 9 9 , 9 9 9 9 , 的通项是10 - 1，数列2, 22, 222, 2222, 的通项公式是% = |(10 -1) .故选：A .2 .下列说法正确的是( )D . 10 - 8A.数列中不能重复出现同一个数B . 1, 2, 3, 4与4, 3, 2是同一数列C . 1, 1, 1不是数列D . 若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同【 答案】D【 解析】由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如 LL1，故 A不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故 B不正确；由数列的定

8、义可判断，1, U, 1是数列，即 C不正确；由数列定义可知，D正确,故选：D .3 .已知数列 4 的 通 项 公 式 为 +1 ,则 257是这个数列的( )A.第 6 项 B.第 7 项 C .第 8 项 D.第 9项【 答案】C【 解析】令257 = 2 + 1，解得 = 8.故选：C4 .若数列 a j 的通项公式为a 0= n (n 2 ) , 其中n G N * , 则为=( )A . 8 B . 15 C . 24 D . 35【 答案】C【 解析】代入通项公式得，4 =6 x 4 = 24,故选：C .5 .下列说法正确的是( )A.数 列 1, 3, 5, 7 可以表示为

9、1, 3, 5, 7B .数列- 2, - 1, 0, 1, 2 与数列2, 1, 0, - 1, - 2是相同的数列C.数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D.数列的项数一定是无限的【 答案】C【 解析】A中， 1,3,5,7表示集合，不是数列；B中，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；D中，数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选：C.6 .已知数列 4 的前4项依次为2, 6, 12, 2 0 ,则数列 4,的通项公式可能是（）A.- 2 B. an - T + 2（ n - 1）C. an= n2 + n D. an - 3W-, + 2/i - 1【

10、答案】C【 解析】对于A, q = l0 W 1 2 ,故A错误.对于 B, % = 16 + 6 = 22 w 20 ,故 B 错误.对于 C, C LX = I2 +1 = 2,a2 = 22 + 2 = 6 , = 32 + 3 = 12, =4?+ 4 = 20,故C正确.对于 D, % =9 + 5 = 1 4 w l2 ,故 D 错误.故选：C .7 .己知数列 q 的前项和S“= / +，则出的值为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【 答案】C【 解析】由 已 知 包 =5 4-53= （ 4 + 4 ） - （ 32+3） = 8.故选：C.8. 一个正整数数表如表

11、所示（ 表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍） ，则第9行中的第6个 数 是 （ ）第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7. . . . . . . . . . .A . 132 B . 261 C . 262 D . 517【 答案】B【 解析】由题意知第行有2i个数，此行最后一个数为2 - 1 ，. . 第八行的最后一个数为28- 1 = 255.，该数表中第9行的第6个数为261.故选：B .9 .已知数列 4 的通项公式为a = （ T ） _ e N * ，则该数列的前4项依次为（ ） 2A . 1, 0, 1, 0 B . 0, 1, 0, 11 , 、1 CC . -

12、, 0, - , 0 D . 2, 0, 2, 02 2【 答案】A【 解析】因为 2所以分别取1, 2, 3, 4,可得 4 = 1,。2 = ，。3 = 1 , %=0 .故选：A .10.在数列 4 中，4 =一 ：，凡= 1 一则% 014的 值 为 （ ）14A . - - B . 5 C . - D .以上都不对4 5【 答案】A【 解析】在数列 中，4 = 一 ；，=1 一一( 1),二七=心=5,45数列伍 是周期为3 的周期数列， 2014 = 671x3 + 1,1S 2014 = 4 = 一 “故选：A二 . 填 空 题 (共 7 小题，单空每小题4 分，两空每小题6 分

13、，共 36分)11 . 数列1,一 3,5, - 7,9,的一个通项公式是【 答案】a =(- l)n+(2n- l) , (GN*)【 解析】因为数列1, 一 3 ,5, - 7,9, ,所以通项公式可以为为 = (-1)+1 (2 - 1) , ( e N*)故答案为：an=(- l)n+(2n- l) , ( eN*)12 .已知数列 4 中，% = 2 (e N * ), 则为=.81【 答案】64【 解析】当” = 8时，有 4= 64 当 = 9 时，有 a / % % = 81 Q 1由+ ，可得的 =64故 答 案 沏 石13 .己知数列 4 的前项和 则。 “ = 一【 答案

14、】为 =- 3, n = 12n - 4, n 2【 解析】当拉= 1 时，q = S = 1 -3-1 = - 3,当 “N2时，= 5,1- S_l = H2- 3- l - (- l )2- 3(n - l ) - l = 2n - 4,当 = 1 时，2 4 = 2 0 a,所以a ” = 3, n = l2一4, n 2故答案为：an =- 3, n = 2- 4, n 214 .填适当的数：1 , 0，() , 2 ,亚 ,(),币【 答案】* V 6【 解析】分析可得，这列数可化为：J i ，、 ，百 ，亚,，J 7,故答案为： ? ； / 6 .1 1 31 5 .在数列0 ,

15、一 , ., 二 , 中，第3项是 _； 士是它的第 项 .4 2n 7【 答案】-73【 解析】n- 3 -1 1 1令 =3,则二=,所以第3项是一；2n 2 x 3 3 3令 匕 - =一，解得 =7,所以士是它的第7项 .2 / ? 7 7故答案为：;7 .1 6 .函 数 / (力 = % 2 -2 % + (6可*) 的最小值记为% , 设勿 =/( %),则数列 % ， 也 的通项公式分别是4 = _ _ _ _ _ _ _, b, = _.【 答案】n - 1 n2 - 3n + 3【 解析】当 x =时，/ (x )m jn = f( ) = 1 - 2 + n = n -

16、l ,即 a“ = _ l ；将 x = 代入/ (x ) 得，hn = / (n - 1 ) = ( - 1 )2 - 2 (n - 1 ) + n = n2 - 3 n + 3 ,故答案为bn = n2 - 3n + 31 7 . 已知数列 4 的 前 项和为S “ ， 满足q=g , + 1 ) (q + 1 ) = 2 , 则= ；S1 2 =.【 答案】；5【 解析】4 , 2 3依题意，设d =4 +1,则4 =q + l = ： 7，4 +2=2,故 = 嘉 = 不 ，3 0 3 ，7 2 4 1故 i-i = ；4 3 4 1因为2+ 也 = 2 , b 4 =5,故以此类推，

17、n是奇数，bn= -,故4 = ，n 是偶数，b.,故“ =； ，所以，2 =6 ( 4 +4 )= 6*(； + ： = 5 .故答案为：; 5 .3三 .解 答 题 (共 5小题，满分64分，1 82 0 每小题1 2 分，2 1 , 2 2 每小题1 4分)1 8.在数列 % 中，4= 2 + 力 2 , *.若 。 “ 是递增数列，求;I 的取值范围.【 答案】(-3 , + 8)【 解析】解析由 4“ 是递增数列得，an an+,即 / + 4 (2 + 1 ) , “eN * 恒成立，解得； 1 一 3 .，4的取值范围是(一3 , + 8) .1 9.己知数列 % 的前n项和为S

18、n = 2n2 3- 3 ( ) .c i = - -1- a ,1 t 1= - x 1 =,- 1+1 1 2 23 3 1 14 3 + 1 4 3 4(1 )当S“取最小值时，求n的值；(2 )求出 凡 的通项公式.【 答案】(1 ) = 7或 = 8 ； (2 )。 ” =4-3 2【 解析】( 1 5丫 2 2 5 5 “ = 2 2 -3 0 = 2 ( 2 1 5 ) = 2 -V 2 ) 2因为n G N+ ,所以当 = 7或=8时，S“取最小值,(2 )当 = 1 时，q = W = 2 -3 0 = -2 8,当”22时，an = Sn - S_t = 2n2 - 3 0

19、 n - 2 (/ t - 1 )2 - 3 0 (n - 1 ) = 4n - 3 2 ,当 = 1时，4 =一2 8满足上式，所以 为 = 4- 3 22 0 .己知数列 q中，q = l , a, , + |= / j(1 )写出数列 叫 的 前5项 .(2 )猜想数列 % 的通项公式., 1 1 1 1 、 1【 答案】(1 ) c t = 1,= ,= ,6Z5 = ； (2 ) at J = 2 3 4 5 n【 解析】(1 )由 4= l , a“ + i = -an,可得:n + l2 2 1 1-= - x - =一,2 + 1 - 3 2 34 4 1 1=-a4= x =

20、 4+ 1 4 5 4 5(2 )猜想：an= -n3 32 1 .已知数列 aa的 通 项 公 式 为=CT7 + T ,且4 = 5，4 - y )求和Go. 2【 答案】= - , 。 04 n27To【 解析】3 3 2 2 1V 4 =；，代入通项公式中得; ；解得c = ，4 = 2,2 2 - - 4c + - 42 4 2 10 2 27 ci = I , 4o = I = .M 4 n 10 4 10 102 2 .已知数列 4 满足 Sn = 2n- an（n e N*） .(1 )计算q, a2, 4 , g , a5 (2 )并猜想 % 的通项公式(不需要证明但要求简要

21、写出分析过程) . 3 7 15 31【 答案】（1 ） = 1 .3 = ,。3 = ，。4= 。5 =_ 2 4 8 162 一（2）J1, wN*，详见解析2 一【 解析】解：（1 ）当=10Vh 4 = S =2 q , 4 = 1.3当 = 2时，q +% =S2 =2x2。2 , / . a2= 7当=3 时，4+% +% = $ 3 = 2 x 3 -4， .。3 = 1 ，当 = 4时，4 + 4 + /+ & = 邑=2x4- 。4,% = ，831当 =5 时，4 +% +。3+。4 +。5 =2x5- 。5，. ,%= 一 .162-1（2）. =1 =oi-i,7 23

22、 -1一_ 2 3 T1 5 24 -l3 1 25-l%=记=尸由 此 猜 想 见 = 翌 ，n e N, .4. 2等差数列同步练习（ 基础篇）一 .选 择 题 （ 共1 0小题，满分5 0分，每小题5分）1 .在等差数列 4 中，弓 =1 ,公差d = 2,则等 于 （ ）A . 1 3 B . 1 4 C . 1 5 D . 1 62 .在等差数列 4 中，/ = 2 4 , %=8 ,则4 4 =（ ）A . -2 4 B . -1 6 C . -8 D . 03 .已知等差数列 4 的前n项和为S“ ，且 =4 ,%=2,则S $=（ ）A . 0 B . 1 0 C . 1 5

23、D . 3 04 .已知公差为2的等差数列 q满足4 +g =0,则 % = （ ）A . 5 B . 7 C . 9 D . 1 15 .在等差数列 aj中，若a, = 5 ,则数列 aj的前7项和8 =（ ）A . 1 5 B . 2 0 C . 3 5 D . 456 .数列 风 中，= 5 , an +l= an+ 3 ,那么这个数列的通项公式是（ ）A . 3 / 2 -1 B . 3 + 2 C . 3一2 D . 3 + 17 .已知等差数列 q的前5项和为2 5 ,且4 =1,则 % =（ ）A . 1 0B . 1 1C . 1 2D . 1 38 . 有穷等差数列5 , 8

24、, 11, 3 + l l （ w N*） 的项数是（ ）A . n B . 3 + 1 1 C . + 4 D . n + 39 .我国古代数学名著 算法统宗中说： “ 九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为： “ 996斤棉花，分别赠送给8 个子女做旅费， 从 第 1 个孩子开始， 以后每人依次多1 7斤, 直到第8个孩子为止. 分配时一定要按照次序分， 要顺从父母， 兄弟间和气， 不要引得外人说闲话. ”在这个问题中，第 8个孩子分到的棉花为（ ）A . 1 8 4 斤 B . 1 76 斤 C . 6 5 斤 D . 6

25、0 斤1 0 . 已知 叫为等差数列，d为公差，S , 为前n 项和，55 S6,则下列说法错误的是（ ）A . d Q B . 6= 0c . S 5 和 $ 6 均为S . 的最大值 D . Ss SA二 . 填 空 题 （ 共 7 小题，单空每小题4 分，两空每小题6分，共 3 6 分）1 1 . 、 份+ 1 与&- 1的等差中项是 一 .1 2 .数列 4 为等差数列，已知公差。=一2,。 “= 0,则= .1 3 .已知等差数列 为 的前n项和为S , , , 若 5 5 = 1 0 , 见 + 4 = 6,则 =.1 4 .己知等差数列 % 中，6 = 1 , 4= 5，则公差d

26、 = , 4=1 5 . 设等差数列 6 , 的前项和为S , , 若 q =3 , 4= T1， 则。 3 = ，5 = .1 6 . 我国古代 九章算术 一书中记载关于“ 竹九”问题：“ 今有竹九节， 下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为 3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是 ，九节总容量是. _.1 7 .中国古代数学著作 孙子算经中有这样一道算术题： “ 今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？ ”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 % ,则=

27、_ _ _ _ _； an=_ _ _ _ _ _ .（ 注：三三数之余二是指此数被3除余2 , 例 如 “ 5 ” ）三 . 解 答 题 （ 共 5小题，满分6 4 分，1 8 2 0 每小题1 2 分，2 1 , 2 2 每小题1 4 分）1 8 .已知等差数列 q的前项和为S , ,且 % =5 , a5 =11.( 1 )求 4的通项公式；( 2 )若S “ = 1 2 0 ,求 ”.1 9 . 在等差数列 q中，( 1 )已知。2+%+2 + 6 5 = 3 6 ,求S %的值；( 2 )已知q = 2 0 ,求S ”的值.2 0 .数列 a j是首项为2 3 ,公差为整数的等差数列

28、，且第6项为正，第7项为负.( 1 )求数列的公差；( 2 )求前n项和S” 的最大值.2 1 .记S, 为等差数列 4的前 项和，已知q = - 7 , S , =-1 5 .( 1 )求 4的通项公式；( 2 )求S” 的最小值.2 2 .在等差数列 % 中，4= 8，a , =a2+a4.( 1 )求数列 q的通项公式；( 2 )设 求数列出 的前 项和S ” .答案解析一 . 选 择 题 ( 共1 0小题，满分5 0分，每小题5分)1 .在等差数列 4中，q= l ,公差d = 2,则等 于 ( )A . 1 3 B . 1 4 C . 1 5 D . 1 6【 答案】C【 解析】=

29、4 + 7 d = 1 + 7x 2 = 1 5 ,故选：C .2 .在等差数列 q中，的 =2 4 , 4 6 = 8 ,则。2 4 = （ ）A . -24 B . -16 C . -8 D . 0【 答案】C【 解析】. , 4是等差数列，4 + % 4 = 2 % 6 ， a2 4 =-8 .故选：C .3 .己知等差数列 % 的前n项和为S , , ,且 =4 ,%= 2,则$5= （ ）A . 0 B . 1 0 C . 1 5 D . 3 0【 答案】C【 解析】由等差数列性质可知：q +% = 4 +% =4 + 2 = 6S = 5（ %+%） _ 5X6=55 2 2 本题

30、正确选项：C4 .已知公差为2的等差数列 4满足q+4= 0,则 % =（ ）A . 5 B . 7 C . 9 D . 1 1【 答案】C【 解析】由题意知4+。4 = 2 q + 3 d = O ,因为d = 2,可得q = - 3所以 为 = q + 6d = -3 +12 = 9.故选：C5 .在等差数列 a “ 中，若a 1 =5 ,则数列 的前7项和S i = ( )A . 1 5 B . 2 0 C . 3 5 D . 4 5【 答案】C【 解析】因为数列 4 是等差数列，故可得S产7 % = 35 .故选：c .6 .数列 % 中，q= 5,。 , 川=。 “ +3,那么这个数

31、列的通项公式是（ ）A . 3 n -l B . 3 + 2 C . 3ri - 2 D . 3 + 1【 答案】B【 解析】因为所以数列 q是以5为首项，3为公差的等差数列，则4 =5 + 3 （ -l） = 3 + 2 , e N * .故选：B7 .已知等差数列 4的前5项和为2 5 ,且4= 1,则% =（ ）A . 1 0 B . 1 1 C . 1 2 D . 1 3【 答案】D【 解析】5 -1因为4+。2 +/+ q + 5 =5 %= 2 5 ,所以%= 5,则公差d = 2 =2 ,故 % = % + 4 d = 1 3 .故选：D8 .有穷等差数列5 , 8 , 1 1

32、, ，+ 的项数是（ ）A . B . 3 n + ll C . n+ 4 D . n + 3【 答案】D【 解析】由等差数列中4 =5 , % = 8,知 = 3 ,4 = 5 + （ - 1 ） x 3 = 3 + 2 ,设3 + ll（ e N * ）为数列中的第k项，则 3 + 1 1 = 3 % + 2 ,解得k n + 3 ）故选：D9. 我国古代数学名著 算法统宗中说： “ 九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠. 次第每人多十七，要将第八数来言. 务要分明依次第，孝和休惹外人传. ”意为：“ 9 9 6斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费， 从 第1个孩子开始， 以后每人依次多1 7斤,

33、直到第8个孩子为止. 分配时一定要按照次序分， 要顺从父母， 兄弟间和气， 不要引得外人说闲话. ”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（ ）A . 1 8 4 斤 B . 1 76 斤 C . 65 斤 D . 60 斤【 答案】A【 解析】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为 % ,公差为d ,前n项和为S “ ，第一个孩子所得棉花斤数为,8 x 7则由题意得，d = 1 7, S 8 = 8 q + ； x l 7 = 9 9 6,解得q =6 5,二仆=4+（ 8 - 1 ） 4 = 1 8 4 .故选：A1 0.已知 对 为等差数列，为公差，S“ 为前n项和

34、，S5 S6,则下列说法错误的是（ ）A . d 0 B .纭 =0C . S 5和 6均为S ,的最大值 D . S8 S4【 答案】C【 解析】由 S 5 V s 4 = S 5 - % 0 ，由S - 5 = S e n $ 6 - S 5 = 0 n 4 = 0 ，故选项B说法正确；因为。6 = % + = 0 ，%0 ,因此选项A说法正确；因为d 0 ,所以等差数列 4是单调递增数列， 因此S ,没有最大值， 故选项C说法错误；由 S ? S e = $ 0 = % 0 ，因 为 S 4 = 4 + / + 4 + % = 2 (/ + %) = 2 % 。，所以S g A S ”因

35、此选项D说法正确 .故选：c填 空 题 （ 共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共3 6分）1 1 . 夜+ 1与&-1的等差中项是.【 答案】 2【 解析】由题得8+i与1的 等 差 中 项 为 旦 力 上n=J 5 .2故答案为： 21 2 .数列 4为等差数列，己知公差4 = 一2,。 “=0 ,则=【 答案】2 0【 解析】因为数列 为等差数列，公差4 = - 2 ,所以 = 6 + 1 0。= 0,解得4 = 2 0 ,故答案为：2 01 3 .已知等差数列 4的前n项和为S “ ，若5 5 = 1 0, 4 + 4 = 6 ,则=【 答案】1【 解析】由出+ % = 6有4

36、= 3 ,而 5 = 1 0结合等差数列的前n项和公式及通项公式q + 3 d = 3q + 2 d = 2即可得d = l故答案为：11 4 .已知等差数列 , 中，q = l , %=5,则公差 =【 答案】2 9【 解析】等差数列 4中，= 1 , % = 5 ,则公差d =& 二4 = 2 ,2所以 % = 4 + 4 d = 1 + 8 = 9 .故答案为：2 ； 91 5 .设等差数列 an的前n项和为S“ ， 若q = 3 , % = - 1 1 ，则的 =，.【 答案】- 4 - 2 0【 解析】3 - 1 1由题得q +% = 2 % , ，% = - = - 4 ；S5 (

37、a, + % ) =9(3 1 1 ) = 2 0.故答案为：- 4 ； - 2 0.1 6 .我国古代 九章算术 一书中记载关于“ 竹九”问题：“ 今有竹九节， 下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少? 在这个问题中，最下面一 节 容 量 是，九 节 总 容 量 是 .， 一.9 5 2 01 答案 66 2 2【 解析】设由下到上九节容量分别记为4 , 4 , ,为 ，则4 , 4， ， 4成等差数列，设公差为d,且4 + 生 + % = 4，% + % + 火 + % =

38、3 ，即 + 4 + / = 3 4 + 3 d = 4 ,9 5 7 9 x 8 2 014+% +%+% =46 + 2 6 = 3 ,所以q= , d = ，故S 9 = 9 q + - - -d = 66 66 2 2 295故答案为： 662 01221 7 .中国古代数学著作 孙子算经中有这样一道算术题： “ 今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？ ”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 4 ,则4=； an=.( 注：三三数之余二是指此数被3除余2 ,例 如“ 5 ”【 答案】8 15 / 7- 7.【 解析】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为

39、： 8 , 11, 14 , 17, 2 0 , 2 3, 2 6, 2 9 ,32, 35 ,38 ;五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为： 8 , 13, 18 , 2 3, 2 8 , 33, 38 .所以三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列 4为： 8 , 2 3, 38 ,数列 4是以首项为8 ,公差为15的等差数列.空 1： q = 8 ；空 2 ： an = , + ( - 1)J = 8 + ( n - l)- 15 = 15 n - 7.故答案为：8 ； 15 - 7三 . 解 答 题 ( 共5小题，满分64分，18 2 0每小题12分，2 1,

40、 2 2每小题14分)18 .已知等差数列 4的前项和为S“ ，且4 =5 , %=11.( 1)求 4的通项公式；( 2 )若S“ =12 0 ,求.【 答案】( 1)。 “ = 2 + 1； ( 2 ) 10 .【 解析】( 1)设等差数列 4的 首 项 为 %, 公 差 为d ,因为 = 5 , % = 1 1，所以 4 +。= 5 , q + 4 d = 11,解得 =3, d = 2所以 a ” + ( - l)d = 3 + 2 (力-1) = 2 +1, N * ，所以 q 的通项公式为。 , , =2 + 1, eN *.( 2 )由( 1)知q = 3 , an=2n + l

41、.因为 S“ =12 0 ,所以如= 12 0 ，2Hn(3 + 2n + )n即 - - - - - - - -乙 二12 0 ,2化简得1 + 2 - 12 0 = 0 ，解得 = 10 .19. 在等差数列 % 中 , 已知4 + 4 + 4 2 +5 =36 ,求， 6的值；( 2 )己知。6 = 2 0 ,求5 “的值.【 答案】( 1) 14 4 ；( 2 ) 2 2 0 .【 解析】( 1)由等差数列的性质可得%+ % + 4 2 + 4 5 =( 4 + 4 5 )+ ( 6+ 4 2 )= 2 ( 4 + ( , ) = 36 ,解得q+6=18 ,因此，5 6 = 16x

42、( % +” 16)= 16x 18 ; ；2 2( 2 )由等差中项的性质和等差数列的求和公式得% = = 114 =11x 2 0 =2 2 0 .2 0 .数列 a 0 是首项为2 3,公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负.( 1)求数列的公差；( 2 )求前n项和S” 的最大值.【 答案】( 1) d = - 4 ; ( 2 ) 78【 解析】( 1)由已知，得 = 4+ 5 d = 2 3 + 5 d 0 ,% = q + 6d = 2 3 + 6d 0 .56解得一空 小.军又 d Z , ，d = -4 .( 2 ) d 0，% nan 2 ( + 1) 2 ( + 1

43、)0 I f , 1 1 1所以s” = ；| _ ；+ ；_ 4 +2 1 2 2 3n / ? 4 - 1 J 2 ( + 1)n2 + 24 . 3等比数列同步练习（ 基础篇）一 . 选 择 题 （ 共10小题，满分5 0分，每小题5分）1 .各项均为正数的等比数列 , 中，4 =1 , % = 4,则4 =（）A . 2 B . - 2 C . 0 D. - 722 .等比数列 4中 , 已 知4 = 2 , & = 16,数列 4的公比为（ ）.1 1A . - B . 2 C . 2 D .2 23 .在等比数列 4中，4 =1, q= 2,则数列的前5项和等于（ ）A . 31

44、B . 32 C . 63 D. 644 . 2-6与2 +的等比中项是（ ）A . 1 B . - 1 C . 2 D. - 1 或 15 .我国古代数学名著 算法统宗中有如下问题： “ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？ ”意思是： “ 一座7层塔共挂了 38 1盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？ ”现有类似问题：一座5层塔共挂了 363盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍， 则塔的中间一层共有 灯 （ ）A . 3 盏 B . 9 盏 C . 2 7 盏 D. 8 1 盏6 .在等比数列 , 中，首项q

45、= Lq = La“ = - , 则项数门为（ ）2 2 32A . 3 B . 4 C . 5 D. 67 .已知1, a , x , b , 16这五个实数成等比数列，则x的 值 为 （)A . 4B . - 4C . 4D .不确定8 .己知等比数列 % 的前n项和为S ， 4= 2,公比9 = 2,则 S5 等 于 （ ）A . 32 B . 31 C . 16 D. 159 . 公差不为0的等差数列 4 中， 24一 %2 + 2 卬 = 0 , 数列也 是等比数列， 且 用 = %，则 她 =（）A . 2 B . 4 C . 8 D. 1610 . 标准对数远视力表（ 如图）采用

46、的“ 五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“ E ”形视标， 且从视力5. 2的视标所在行开始往上， 每一行“ E ”的边长都是下方一行“ E ”边 长 的 顺 倍 ,若 视 力 4 . 2的 视 标 边 长 为 则 视 力 5. 1 的视标边长为（）标准对数视力表4.0（ 0 .1 ） I4.19 I：）短.Ui E m -，浦 E U J S熊” 图 3 ni E U J祥m m 山 E辅a m U J s mw E m E m U J U喧 m m W E ID m E 然5, * i u a u j Emu j Ea _ _： maE niB UJA。1 0 一

47、记 a B- l （ Pa C 1 0 % 0%二 . 填 空 题 （ 共 7 小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共 3 6 分）1 1 .已知等比数列 a ,J 满足3 a 3= 2% 且4 = 2, 则 =_ .1 2 .己知公比为q 的等比数列 a ,J 满足4+ g = 2% ，则4 = .1 3 .从盛有1 L纯酒精的容器中倒出，L ,然后用水填满，再倒出, L ,又用水填满.3 33 2连续进行了八次后，容器中的纯酒精还剩下一L ,贝=.2 4 31 4 .在正项等比数列 q 中，若 % + =6 , % = 8,则4 =； an=.1 5 .我国古代著作 庄子天下篇引用过一句

48、话： “ 一尺之梃，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完. 那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是 尺；要使剩余木棍的长度小于 一 尺，需要经过 次截取. 2 0 1 8 1 6 . S “ 是正项等比数列 , 的前和， 生 =1 8 , S 3 =2 6 ,则弓=. 公比4 =.1 7 .等差数列 。 “ 的前项和为S ” ，若q = 1 , S 3 = % ，且 %， % ， 4成等比数列，则S “ =, k = _三 .解 答 题 ( 共5小题，满分6 4分，1 8 2 0每小题1 2分，2 1 , 2 2每小题1 4分)1 8 .已知数列 “ ,

49、的通项公式a ” =2 -6 ( e N * ) . 求 。2 ,。5； 若 。2 ，。5分别是等比数列也 的第1项和第2项，求数列也 的通项公式.1 9 .己知正项等比数列 叫的前项和为s “ ，且q = 2 , 6 / 3 =8 .( 1 )求数列 4 ,的通项公式；( 2 )求数列 q 的前项和S . .2 0 .在正项等比数列 6 ,中，a4 = 1 6 ,且 外 ，阳 的 等 差 中 项 为 + % .( 1 )求数列 % 的通项公式；( 2 )求数列 ,+ 的前项和为S ” .2 1 .己知 凡 是公差不为零的等差数列，4= 1,且4 , 4 ，佝 成等比数列.( 1 )求数列 。

50、 ” 的通项公式：( 2 )求数列| - 一 ) 的前n项和S “ .2 2 .设 % 是等比数列,其前项的和为S ,且 出=2 , S2- 3at =0 .（ 1 ）求 4的通项公式；（ 2 ）若S . +a , 4 8 ,求的最小值.答案解析一 . 选 择 题 （ 共1 0小题，满分50分，每小题5分）1 .各项均为正数的等比数列 % 中，4 =1 , % = 4,则%=（）A. 2 B . -2 C . 72 D . -72【 答案】A【 解析】因为各项均为正数的等比数列 q,中， 4= 1， % = 4 ,所以G 2 = 4 x6= 4 ,所以% =2（ 负值舍去）故选：A.2 .等比

51、数列 4中，己知4 = 2 , 4= 16,数列 % 的公比为（ ）.11A. - B . 2 C . 2 D . -22【 答案】C【 解析】数列 q 是等比数列，则% = 6 01, （ 4为 数 列 也 的公比） ，则% = q , / = 1 6 = 2 , 7 ,解得q= 2 .故选：C .3 .在等比数列 4中，=1 , 4= 2,则数列的前5项和等于（ ）A. 3 1 B . 3 2 C . 6 3 D . 6 4【 答案】A【 解析】因为等比数列 , 中，4 =1 , 4= 2,所以数列的前5项和故选：A.4. 2 - 6与 2 + J J 的等比中项是( )A. 1 B. -

52、1 C. 2 D. 1 或 1【 答案】D【 解析】由题意可设2 - 百 与 2 + 6的等比中项是加，则， “ 2 = (2 - 6 ) ( 2 + G ) = 1，解得加= 1 或? = 1.故选：D .5 . 我国古代数学名著 算法统宗中有如下问题： “ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： “ 一座7 层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯多少？ ”现有类似问题：一座5层塔共挂了 363盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3 倍， 则塔的中间一层共有 灯 ( )A. 3 盏 B. 9 盏 C

53、. 27 盏 D. 81 盏【 答案】C【 解析】根据题意， 设塔的底层共有X盏灯， 则每层灯的数目构成以X为 首 项 为 公 比 的 等 比 数 列 ，则有S = - 产一 =363,1 - -3解可得：l = 243,所以中间一层共有灯243 x ()2 = 27盏 .故选：C6 . 在等比数列 2 中，首项4 = g ,q = g , “ =*,则项数n 为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6【 答案】c【 解析】由题意可得等比数列通项a“ = aq T = pL = ( J_,则 =5故选：C7 .已知1 , a, x , b , 1 6这五个实数成等比数列，则x的 值 为 ( )

54、A . 4 B . - 4 C . 4 D .不确定【 答案】A【 解析】由题意知：/ =16,且若令公比为夕时有x = / 0 ,x = 4 ,故选：A8 .已知等比数列 4的前n项和为S ” , 4=2,公比4 = 2,则S s等 于 ( )A . 3 2 B . 3 1 C . 1 6 D . 1 5【 答案】B【 解析】因为等比数列伍, 的前n项和为S “ , a, =2,公比q =2,所以“=1,又因为qS =坐# 1 ) 所以5 5 =焙上3 1 ,故选：B .9 .公差不为0的等差数列 % 中，2 a3- a72 + 2 aH = 0 ,数 列 也 是等比数列， 且 用 = %

55、，则 b6 b8 =()A . 2 B . 4 C . 8 D . 1 6【 答案】D【 解析】等差数列 4中， / + a” = 2 % ,故原式等价于5一 4 a7 = 0解 得 % = 0或 % = 4 ,各项不为0的等差数列 4 ,故得到% = 4 = &,数列也 是等比数列，故她=优= 1 6 .故选：D .1 0 .标准对数远视力表（ 如图）采用的“ 五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“ E ”形视标， 且从视力5 . 2的视标所在行开始往上， 每 一 行 “ E ”的边长都是下方一行“ E ”边 长 的 顺 倍 , 若 视 力 4 . 2的视标边长为。，

56、则视力5 . 1 的视标边长为（）so标准对数视力表m sE m3 U Jiu E mE U J B3 m E U Jm a U J E4.(1)4.2傅 U J E m E mi um 3 U J E IU Bw a tu E m iu Ee4孙.44(。.35)4.6(*4(*.7)4.84.95.05.13 m U J s mE5.25.39A ,B ._410一储【 答案】A【 解析】4C 10%9D- lOa设 第 行 视 标 边 长 为 ，第一1 行视标边长为 _L由题意可得：a, ” 】 =啊a “ o N = 1 0 一 记%则数列 4 为首项为。，公比为 0 4 的等比数列(

57、_1_ A10-1 _ 2即 0= 4 10一 二10一 行 。79则视力5 . 1的视标边长为1 0至 。故选：A二 .填 空 题 ( 共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共3 6分)1 1 .已知等比数列 4 满足3 a3 = 2 4且 。2 = 2 ，贝I q =.4【 答案】一3【 解析】3因为3 % =2%,所以4 = = .4 2故由等比数列的通项公式得4 = = = .24故答案为：-31 2 .已知公比为4的等比数列 q 满足生+%=24，贝iJ 4=.【 答案】1【 解析】因为 4为等比数列，且4+ 4 =2%，所以 4 4 + 4/ = 2 qq2 ,即 1 + /

58、=2夕，解得 q = l ,故答案为：11 3 .从盛有1 L纯酒精的容器中倒出,L,然后用水填满，再倒出L,又用水填满3 33 2连续进行了次后，容器中的纯酒精还剩下一L,则 =.2 4 3【 答案】5【 解析】根据题意，连续进行了次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列 4 ，则数列 a 是首项为1,公比为g的等比数列,则an = ( |) x ( |)n- = ( |) ,若连续进行了 次后，容器中的纯酒精还剩下aL,即( ： )=W ，2 4 3 3 2 4 3解得 =5,故答案为：5.14.在正项等比数列 4 中，若4 +生 =6, % = 8 ,则4 =【 答案】2 2【 解析】由题意

59、可知4 （ ）,由题意可得q + % = % (1 + 4)= 6a? = %q=8 0,解得an = = 2x 2- = 2.故答案为：2； 215 .我国古代著作 庄子天下篇引用过一句话： “ 一尺之趣，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完. 那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_ 尺；要使剩余木棍的长度小于二二 尺 ，需要经过_次截取.2018【 答案】4 - 11【 解析】记第天后剩余木棍的长度 6, ,则 , 是 首 项 为 : ，公比为; 的等比数列，所以见=： ，所以4 = 3 = 2，2 Z 04由q=710 ,所以的最小值为11.2 2

60、018所以第6天截取之后，剩 余 木 棍 的 长 度 是 尺 ，要使剩余木棍的长度小于2尺，需要64 2018经过11次截取.故答案为： ; 11.16 . S “ 是正项等比数列 % 的前和，4= 18, $3 = 26,则q = . 公比4 =【 答案】2 3【 解析】当g = l时，S,H3 4 ,不满足题意，故当时，有彳“(I 夕3 ) ,解之得： % 成 等 比 数 列 得 堤 =4 q，即6 2 = 3左 , 解得左= 1 2 .2故答案为：巴 士 ； 1 22三 . 解 答 题 (共5小题，满分6 4分，1 8 2 0每小题1 2分，2 1 , 2 2每小题1 4分)1 8 .已

61、知数列 , 的通项公式a “ = 2 - 6 (e N * ) . 求 。2 , a5 ：(2 )若的 ，为分别是等比数列 的第1项和第2项，求数列也, 的通项公式.【 答案】(1 ) a2=- 2, a5 =4； (2 ) b = (- 2 ) .【 解析】(1 )因为a “ = 2 - 6 ( e N * ) ,所以 = -2 , a5 = 4 ,(2 )由题意知：等比数列 2中，4 = % = - 2 , b2=a5=4,公比 0) ,a c由题意可得a此q = 1 62 ,解得4 4=2c.%q + %q = 2 (% + 4 q) 4 = 2二 数列 2的通项公式为% = 2 x 2

62、 i = 2 ；zOx / 、 / 、 (1 + nY n 2 (1 - 2 ) (1 + ) = ( % + 生 + + 。 ) + ( 1 + 2 + + ) = + - - = + 2 - 2 Z1 Z Z2 1 .己知 凡 是公差不为零的等差数列，4=1,且4 , 4 ，佝 成等比数列.(1 )求数列 。 ” 的通项公式：(2 )求数列| 1 I的前n项和s“ .【 答案】(1)Sn = + 1【 解析】(1 )设等差数列 凡 的公差为4 (d0),因为6 = 1 ,且4 ,4， 为 成等比数列，所以外 二弓为，即(1 + 21)2=1x(1 + 81),解得 = 0 (舍 去 ) 或

63、d = l,所以4 = ，j_1n + 11鹿+ 11n 1 -.n +1 几 +12 2 .设 4 是等比数列，其前几项的和为S ，且叼 =2, S2-3 = 0 .(1 )求 4 的通项公式；(2 )若S .+ a , 4 8 ,求的最小值.【 答案】(1) a= 2- 1 ； (2) 6.【 解析】(1 )设 4 的公比为q ,因为S 2 -3 q = 0 ,所以4 - 2 4 = 0 ,所以夕= = 2 ,%又 见 =2 ,所以 = 1 ,所以4=qgT =2，(2 )因为S J ( )=2一1，所以S“+怎=2 1 + 2T=3,2T_,i- q49由32T -1 48,得32T49

64、，即2 |三 ，解得N6,所以n的最小值为6.4. 4数列的求和同步练习（ 基础篇）一 . 选 择 题 （ 共10小题，满分50分，每小题5分）1 . 若数列 4 的通项公式是 =（ - 1 严 （ 4 般 + 1 ） ,则 知 + 出 + + % =( )A . 4 5 B . 6 5C . 6 9D . - 1 05蚪H l 1 1 11乙幺 X 7 U ， ， ，/c 八 / c - 、，2 x5 5 x8 8 x1 1 (3 - 1 ) x(3 + 2 )ITJ刖n咏 华 / y 1 ）n nA . - - - - - B.- - - - - -3 + 2 6 + 43nC.- - -

65、 - -6 n + 4 + lD.- - - -n + 23.已知数列 % 为等差数列，且 出 = 2 , a11 16 6 ,则 十1 十 ( )a2a3 。2()。211 8 1 9A . B.1 9 2 02 0C .2 12 1D.2 24 . 1 一4 + 9 1 6 + 一+ (- 1 ) ” 2 等 于 ()n(n + 1 ) n(n +1 )22C . (- 1 )+i nn + 1 ) 0( ) ” (+ 1 )5 . 若数列 a j的通项公式为a 0= 2 + 2 n- l , 则数列 的前r1 项 和 为 （ ）A . 2 + n2- lB . 2n+ 1+ n2- lC

66、 . 2 + n2D . 2n+ ,+ n2- 26.己知在等差数列 “ 中，= 5 ,g = 3 ,则数列anan+t.， 的前2 01 9 项 和 是 （ ）2 02 0 2 01 9A . - - - - - B.- - - - -2 01 9 2 02 02 01 8c.- - - - -2 01 92 01 9D.- - - - -2 01 87 . 设数列1 , （ 1 + 2 ） , , （ 1 + 2 + 2 ? + + 2 ” - ） 的前项和为S “ ，则 S ” 的 值 为 （ ）A . 2 - 一4B . 2 - n - 2C . 2 向 - - 4D . 2, , +

67、 1- n - 28 .数列1 工, 2 工, 3 1 , 4 - 的前项和为（2 4 8 1 6)A . (H2 + n + l ) - - 2V 7 T1B . - n2 + l ) + l -击C- T W + + 2 ) -1D . + +2 9 .A .C .已知数列 的 通 项 公 式 是= n2 si n（ 乃 ） ，则q +4 +/ +L + 2o2 o =（)2 01 9 x2 02 022 01 9 x2 01 922 02 1 x2 02 0B.- - - - - - - - - - -22 02 0x2 02 0D.- - - - - - - - - - -2A . 4

68、 B . 5 C . 6D . 1 0二 . 填 空 题 （ 共 7 小题，单空每小题4 分，两空每小题6 分，共 3 6 分）1 1 . 数列 / 中，。 “ = (一1 ) ”，贝 1 4 + 4 + . . . . + %=_1 2 .已知数列 4 的前项和为 S “ ，a “ = c os（ 4 ） , （ e N * ） ,则 S 2 02 0 =.1 3 .已知数列 q 中，an = n - T ,则数列 4 的前9项和为.1 4 .已知等差数列伍“ 的首项和公差都为2 . 则数列伍“ 的通项公式= ,数列上的前2 02 0项和为.1 5 .设等差数列 4 的公差为非零常数“，且q

69、 =1,若q, ? ，为成等比数列，则公差d =; 数列- - - - - 的 前 1 00项和S1 00 =.1 6 .等差数列 , , 4+“ 3=5，且 为是。 2 与。 8 的等比中项，则 4=；1 7 .若S ,是数列 q 的前项和，且4 + 2 % + 2 % 3 + + 2 ” - % “ = 2 + 2，则4 =_ S“ = _三 . 解 答 题 （ 共 5小题，满分6 4 分，1 8 2 0每小题1 2 分，2 1 , 2 2 每小题1 4 分）1 8 .已知在等差数列 % 中， = 5 ，7 = 3 4 .(1 )求数列 4的通项公式：设=n(a + 3 )，求数列也 的前

70、n项和$ “ 1 9 .已知 4是公差不为零的等差数列，q =l,且 , % ， 生 成等比数列.(1 )求数列 4的通项.(2 )设数列 4的前项和为S “ ，求数列的前项和为7 ； .2 0 .已知等比数列 4的前项和为S “ ，且 勺+ |= 2 +S“ 对一切正整数恒成立.( 1)求数列 , 的通项公式；( 2)求数列 S ” 的前项和7 ； .21 .已知等差数列 & 的公差为4 ( 1 ,且 知 色 的等差中项为10， “ 2= 8 .( I )求数列 % 的通项公式；( H )设a= ,求数列也 的前项和S.答案解析一 .选 择 题 ( 共10小题，满分5 0分，每小题5分)1

71、.若数列 q 的 通 项 公 式 是= ( -1) * ( 4 + 1) ,则 知 +& +% =( )A . 4 5 B . 6 5 C . 6 9 D . -105【 答案】B【 解析】因为 , , = ( 一1严( 4 + 1) ,所以4 + . 田 = ( T ) * ( 4 鹿 + l) + ( T ) + 24 5 + l) + l = (T)e(T),则 4 + o( 2 + + a2 i = ( % + 0|2) + - + ( 0|9 +a20) + a2l = -4 x 5 + 8 5 = 6 5 .故选：B .1112 . 数列 一2x 55 x 8 8 x 11( 3

72、-l) x ( 3 + 2)的前n项 和 为 ( )nA. -3 + 2【 答案】BnB . -6 + 4C .3n6 /7 + 4 + lD . - + 2【 解析】1111( 3 1) ( 3 + 2) 3 13 1 3 /? + 2S -. 1 FL + 2-5 5 -81( 3 -1) ( 3 + 2)1111 11-1 -4* * * * d-3 /2-1 3n + 23 12 3 n + 2n6 + 4312 5 5 81 1故选：B13. 已知数列 4 为等差数列, 且= 2,14=6,贝 i j - +的218A. 19【 答案】C19B . 2020c . 2121D . 2

73、21-1 - H -)【 解析】4 + d = 2q + 5 4 = 6 设数列 4 的公差为a,由题意得，解得勾 = 1,d = T ,111/ an = l + ( -l) x l = ，- =- - =-atlall+i ( + l) n n + . -1 -1 - 1 -= 1-1 - 1 -1 - = 1-=% 。23 20a2 1 2 2 3故选：C .4 . 1 4 + 9 16 + +( 1 ) /等 于 (n + 1) (” + 1)A .B .2 2【 答案】C【 解析】当n为偶数时，l-4 + 9-16 + -+(-l)，!+n2= -3 -7 -(2n-l)20 212

74、1 21)C . ( _1)向必辿 D . ( 1) a出n_(3 + 2- 1) z 、1 八 M / +】2 2 n(n + l)l- 4 + 9 - 16 + , ,+(- 1) /? = - = -v 7 2 2当n为奇数时，1 - 4 + 9 - 16 + + (-1) / = - 3 - 7- - (2-1)-1 +n 1。3 + 2(-1 )-1-4 + 9 - 16+ +(-1广 2 = _ 2- -+2所以 1-4 + 9 - 16 + , F(- 1) n - -综上可得：, “ c / 八 + I 2 / 八+ 1 ( +1)1-4 + 9-16+-+(-1) 2故选：C

75、5 .若数列 % 的通项公式为a 0= 2+ 2n l ,则数列 a j的前n项 和 为 ( )A . 2+ -1 B . 2n + + n2-lC . 2n+ n -2 D . 2n + ,+ n2-2【 答案】D【 解析】由题可知:设数列知J的前n项和为S .所以 Sa = % + 4即 S“=(2 + 22+2) + (1 + 3+2-1)所以s = 2( 1-2 )叩 +-1-2 2故 S “ = 2+ i -2+ 2故选：D6 .已知在等差数列 4中，/ =5，2 =3,则数列, 一 的前2019项 和 是 （ ）20192018则 % = .2020A . - B .2019201

76、92020201C . 201【 答案】B【 解析】设 q, 的公差为d,由，e t c 5c 得a3 =34 + 4 d = 5c 解得4 + 2d = 3q = 1d = l n,1 _ 1 _ 1 1贝Ij / . l -7 % * ( + 1) n + 1故前 2019 项和 S , ( ) |9 = 1- 1 -H L H -1 -20, 9 2 2 3 2018 2019 2019 2020_1_1 2019- -2020 - 2020故选：B .7 .设数列1, ( 1 + 2) , , ( 1 + 2 + 2? + + 2” - ) 的前项和为S .，则S ” 的值为( )A

77、. 2-一4 B . 2n- n - 2C . 2n + 1- n - 4 D . 2, , + 1-n -2【 答案】D【 解析】当 =1 时，S = % = 1,对于A ,当 = 1时，S , = 2 -1-4 = - 3 ,所以A错误；对于B ,当 = 1时，S , = 2 -1-2 = - 1 ,所以B错误;对于C,当附=1 时，S , = 21+ 1- 1 - 4 = -1 ,所以C错误;对于D,当 =1 时，S , = 2|+ |- 1 - 2 = 1 ,所以D为正确选项.故选：D .8.数列1, 2 工, 3 1, 4 的前项和为(2 4 8 16)A .n2 + + l)21

78、/B. - A Z +2 VC.D . A 2( n + l) + 2l 12 _21( n2 + n + 2) - -2 1 , 21【 答案】C【 解析】1-F2 F3 -F , + (nH- )2 4 8 2 = (1+2 + + n) + ( 1 -FH -)2 4 T222(n2+n) + 1 -T2(n2+ n + 2 )T故答案为C9.已知数列 an的通项公式是an = n2 si n (2 + 1兀),则 q + % + / + L + a2020 =A.2019x 2020C.22019x 2019B.D .2021x 202022020x 20202)22【 答案】B【 解

79、析】an =川 si n (2 ? l )a +。 2 +/ +L +。 2020=-12 + 22 - 32 + 42+.-20192 + 20202=( 22-12) +( 42 -32)+. +( 20202-20192)=1 + 2 + 3 + 4+.+2019 + 2020_ (1 + 2020) 2020 _ 2021 x 2020 2 - 2故选：Bi 设幻=三G / 信M l + + 嗒卜()A . 4 B . 5 C . 6 D . 10【 答案】B【 解析】4 ? A由于x) + /( l x) = & +5 = 1，故原式( 扑 /用 + /仔 卜 呜 卜 + / 4 +

80、 /用=5.二 .填 空 题 ( 共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分)11 . 数列 / 中，4 = ( - 1 ) ” ”，则 +% +.+ 卬0 =_【 答案】5【 解析】4 +。 2 +.+。 1 。 = 1 + 2 3 + 4 5 + 6 7 + 8 9 + 10=5x1=5,故答案为：512 . 已知数列 。 “ 的前项和为 S“，a, =COS(M), (a e N * ),则 $2020 =【 答案】0【 解析】由 an = cos( i )得 a + 2 = cos(w +2) = cos(n) = an,所以数列 q 以2为周期，又 4 = c os = -l

81、, a2 = c os 2TV = 1,所以 S 2020 = 1010x ( 4 + % ) = 0 .故答案为：0.13 .已知数列 , 中，at, = n - 2 ,则数列 4的前9项和为.【 答案】8 194【 解析】数列 4的前9项和S9 = 1X2 + 2X22 + 3X23 + - - - + 9X29,2s9 = 1x 22 + 2x 23 + 3 x 2, + 9x 2、两式相减得= 21+ 22 + 2, + +29 9 X 2 1 =芈 9x 2 1 = 8 X 2 1 2 ，S9 = 8 x 2 + 2 = 8 194 .故答案为：8 194 .W，l+x14 .已知等

82、差数列伍. 的首项和公差都为2.则数列 , 的通项公式= ,数列上的前2020项和为_.自 、 c 5 05【 答案】2 2021【 解析】= 2 + 2( - 1) = 2” .坟” 4 4 + 1 2 ( 2 + 2 )4 n叩罪-)+(H2020 _ 5 05则 2020 - 4 ( 2020+ 1) 20211、 ，前项和为7 ； .L7 n + 1 J 4 ( n + 1) 4 (H + 1)15 .设 等 差 数 列 4的 公 差 为 非 零 常 数 ，且q =l ,若q, a2,小 成等比数列，则公差d =_; 数歹“ |的 前100项 和S100lA+iJ【 答 案 】1【 解

83、 析 】100T oTV c tl, a2, 2成 等 比 数 列 ，即( l + d f = lx ( l + 3 d ) ,又dwO,解得 d = l.1 1 1 1 = n ,- - - -= - - - - - -= - - - - - - -anan+ ( + 1) n + 1,。 1、 / 1、 z 1 1、 100100 2 2 3 100 101 101“ 100故答案为：1 ；历.注 ：数列求和的常用方法：设 数 列 是等差数列， 出“ 是等比数列，（ 1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（ 2）错位相减法：数 列 S /, , 的前项和应用错位相减法；,1

84、 、（ 3 ）裂项相消法；数 列 - （ 左为常数，4*。）的前项和用裂项相消法；（ 4 ）分 组 （ 并 项 ）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（ 5 ）倒序相加法：满 足 册 + % _ , = A （ A为常数）的数列，需用倒序相加法求和.1 6 .等 差 数 列 4, , 4 +。3 = 5 ，且 % 是 生 与 的等比中项，则4, = _【 答 案 】 【 解 析 】2 0 1 92 0 2 0由 + % = 5且 是 生 与 % 的等比中项，可得2% + 34 = 5(q +3d) =(q +d)( 4 + 7d)解得q = d = 1

85、 ,所以 a. = q + ( _ l)d = ,_ _1anan+i ( + l) n + l故+ 1 =+K+ax - a2 a2 -a3 a3 - a4 a2mg - ti2O 2O 2 2 3 2019 2020I 1 2019一 2020 2020故答案为：；2019202017.若 S是数列 % 的前项和，且4 + 2。2 + 2%3 -F 2+ 2，则 S 二【 答案】莽 i o - 【 解析】*/ q + 2a) + 2 q + , , + 2 1 cin = + 2 ,则当 =1时，q = 3 ,当之2时，a +2a2+21a3 H - 2n2an_ = (zt 1) +2(

86、 -1 ),两式相减得2%“ = 2 + l ,即4 =尊 公 ，满足q = 3 ,2n + lan = 2 T则s =3x(407+5x +7x122| + +( 2 +l)xX / I - I2)则，s, =3x 仕 )+5x2 IT+7 +( 2 +l)xfJl=3+2x；+2x(； ) +.+2x(g) - ( 2n+l)xflJ7三 . 解 答 题 ( 共5小题，满分6 4分，1 8 2 0每小题1 2分，2 1 , 2 2每小题1 4分)1 8 .己知在等差数列 4 中， = 5，7 = 34.( 1 )求数列 4 的通项公式： 设 =n(a + 3 )，求数列低 的前n项和S “

87、 .Y )【 答案】(1)= 2 / 7 - 1 ； ( 2 ) . +1【 解析】设等差数列 4 的公差为d ,a . = 5 伉 + 2 d = 5由 a ，可得 “ 广axl = 3 % + 1 6 d = 3( 4 + 5d )解得 = l, d = 2 ,所以等差数列 % 的通项公式可得a =2n- -, 2 2 1 1( 2 )由( 1 )可 得 包 = 丽 奇 = 五 而 二 一 为 1 9 .己知 q 是公差不为零的等差数列，q =l ,且q, q ，与成等比数列.( 1 )求数列 q 的通项.( 2 )设数列 q 的前项和为S , ,求数列的前项和为7 ； .【 答案】( 1

88、 ) an = n. ( 2 ) + 1【 解析】( 1 )设公差为d , 1丰0 ,由q =l ,且4 ， %，。9成等比数列，口 +2d l + 8d则 - - - - - -=- - - - - -1 l + 2d解 得 ：d = l或4 = 0 (舍去) ,an =a1 = 1 + ( - 1 )X1 = H ,故 % 的 通 项 = .( 2) an=n ,则 S,= ( 1 + )_n2 + n221 2所 以 ： 二 K22n n + = 2 + + . . I 2 2 3 n n+= 2磊27 7 4-1 1+1 +1=2 + 1-1 + 12nn + 2 0 .已知等比数列

89、4 的前项和为S , ,且 见+ |= 2 +S” 对一切正整数恒成立.( 1 )求 数 列 。 ” 的通项公式;( 2 )求 数 列 的前项和刀, .【 答 案 】( 1) 4=2 ( 2) 7； =2+|-2 4【 解 析 】( 1 )当 2 2 时，% = 2 + S,T 与=2 + S . 两式相减得 + | = 2an( n 2 ) .V数列是等比数歹U，公比q = 2 , % = 2 % .又 生= 2 + S = 2 + a 1 ，, q = 2 , * , an = 2 ( 2 ) , 由用= 2 + S得S = 2 s 2 , 7 ； = Q 2 + 2 3 + + 2 |)

90、 2 2 2 ( 1 - 2 )= =- - - - 2 = 2f l+ l- 2 n- 41 - 22 1 .已知等差数列 4 的公差为43 = 0 ) ,前项和为S “ ，且满足.( 从S o = 5( 40 + 1 ) ;成等比数列：S 5 = 35 ,这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题)( 1 )求 见 ；( 2 )若a= 5,求数列也, +2的前项和小【 答案】 选择、条件组合， 。 “ =3 2 ； ( 2 ) T =3 - - + 2 J _ 2 2【 解析】 ()x 9( 1 )由 A。= 5( q0 + 1 ) ,得 1 0 qH d = 5(

91、 q+ 9 d + 1 ) ,即 q = l ；由 4, a2,以成等比数列，得+ 2 +。2 = a ； + 5qd ,即 d = 3q ； 由 怎 =35,得5( % + 见) = 56 = 3 5 ,即 % = 卬 +2。= 7 ；选择、条件组合，均得 = 3、4 = 3 ,即 可 =3- 2 ；( 2 )由( I )得 4, + 2n =3 2 H - -2 - ,则 T = 1 + 4 + 7 + + ( 3/ 7 - 2 ) +2 2 2 2 ( 1 + 3- 2 ) 2 2 ， 3z ? 一+ 2 1-1 - = -2 1 1 2 2 23/ - + 221T2 2 .已知等比数

92、列 4 的公比” 1 ,且 % 用 的等差中项为1 0 , 4 = 8 .（ I ）求数列 , 的通项公式;（H ）设 =一 , 求 数 列 也 的前项和S ” .【 答案】（ I ） a , , = 2 M （ e N ）（ I D S = l -【 解析】（I ）由题意可得:q( l + q2 ) = 2 0%q = 82q 5 q + 2 = 0 a = 4,数列 4 的通项公式为an = 2, , + |( eN * ) .、q = 2n西21 2 3n( 1 1 )bn S.n- 百 + 及 + - 一 + 齐 + 产齐 + 声 + 及 + + 西n上述两式相减可得g s “J_ J

93、_ J_ J _n牙 + 万 + 才 + 西 - 海1。 1 1 1.7=牙 + 尹 + /_ _ _ 1 _I n?= 金2-+-i- - - - - =I1 一2 2 + i- - - - - 1 2 + 12 + 22 + i 4. 4 数学归纳法同步练习（ 基础篇）选 择 题 （ 共 1 0 小题，满分50 分，每小题5 分）1 .用数学归纳法证明等式，1 + 2 + 3+ . . . + 2 = （2 + 1 ） 0寸 ，由 =A到 = % + 1时，等式左边应添加的项是（）A .2A + 1B . 2 & + 2C .( 2 % + 1 ) + ( 2 % + 2 )D .( 左

94、+1 ) + ( 2 + 2 ) +2 Z2.用数学归纳法证明1 + +1+1 2 3 2 - 1时，第一步应验证的不等式是( )A .1 + -22B .II1 + + - 22 3C .1 1 o1 + - + - 32 3D .1+1+1+1 ( ) .猜 想 叫的通项公式,并用数学归纳法加以证明.2 2 . 在数列 a , , 中，ai = l 且 a . = an + - - - - -， ， +1 （ + l）（ 1 ）求出 a2, q , a4 ；（ 2 ）归纳出数列 aJ 的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论.答案解析一 .选 择 题 （ 共 1 0 小题，满分5 0 分

95、，每小题5 分）1 . 用数学归纳法证明等式，1 + 2 +3 +.+2 = （ 2 + 1 ） 时，由 =%到= 攵+ 1 时，等式左边应添加的项是（）A . 2k + l B . 2 k + 2C . ( 2 Z + l) + ( 2 Z + 2 )D . ( % + 1 ) + 2 ) + + 2 Z【 答案】C【 解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 = % 到 = 左 + 1 时，等式左边增加了口 + 2 + 3 + + 2 后 + （ 2 4 + 1 ） + 2 （ % + 1 ） （ 1 + 2 + 3 + . + 2 % ） =（ 2 % + 1 ） + （ 2 斤

96、 + 2 ） ,故选C .2 . 用数学归纳法证明1 + ，+ ，+ +一 一 l） 时，第一步应验证的不等式2 3 2 - 1 7是 ( )A . 1 + 22, 1 1 oC . 1 4- - - 1 32 3,1 1 cB . 1 + - + - 22 3,111“D . 1 + - + - + - 1 ，所取的第一个正整数为2, 又2 ? 1 = 3 ,故第一步应验证1 + + - ,3k 61 1 1 1 5.H - 1 - 1 -1 - 2 -,3k 3 Z + 1 3k + 2 3k + 3 6故需添加的项为:3女+1 3女+2 3攵+3 Z +111故选：B.7 .用数学归纳法

97、证明不等式 -1 -n+ n+21 1 3+ + 一 的 过 程 中 ，由 =%递推到n + n 1 4 = 左 + 1时 ，不等式左边)A.1增 加 了 一 项 而 川B.增加了两项12 A + 1 2 ( + 1 )C.增 加 了A中的一项，但又减少了另一项1k + lD .增加了 B中的两项，但又减少了另一项k + 【 答案】D【 解析】1 1 1- - - - H - - - - - -F H - - - - -Z + 1 左 + 2 k + k当=% 时 ，左边=当 = Z + 1时，左边=- - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - F , d -

98、- - - - - - - - - - - -/ + 1 ) + 1 ( Z + D + 2 ( Z + 1 ) + (攵 + 1 )1 1 1 1 1=- - - - - 1- - - - - 1 - -I- - - - - - 1- - - - - - -1 7- - - - r ,k + 2 k + 3 k + k 2k + 2 优 + 1 )I 1 1所以，由 = Z递推到 = Z + 1时，不等式左边增加了减少了；一；故选1 )8 .已知n为正偶数，用数学归纳法证明1 - ； + H - - - - = 2 | - - - - H - - - + + - 时，若已假设n = k (k

99、 2 为偶数)2 3 4 n + l 1 + 2 ? ? + 4 2n)时命题为真，则还需要用归纳假设再证=( )时等式成立( )A . n - k + l B . n - k + 2 C . n = 2k + 2 D . n 2(k + 2 )【 答案】B【 解析】若已假设n = k ( k 2 2 , k为偶数) 时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明年卜+2成立.、故选B .9 .用数学归纳法证明命题“ 当n为奇数时，x + y 能被x + y整除”，在证明 = 1正确后，归纳假设应写成( ) .A .假设= 左(4 6)时命题成立B .假设时命题成立C .假设 = 2左 + l(

100、 Z :e N *)时命题成立D .假设 = 2A 时命题成立【 答案】D【 解析】此题所成立的数是所有的正奇数， 根据数学归纳法的证题步骤要求， 第二步所取的值的范围应从 = 1开始取值所有奇数，即 = 2左1(攵eN *).故选：D .10. 在用数学归纳法求证： ( + 1)(/1 + 2)( + )= 2 1 3 5 (2 - 1)的过程中， e N从“ k到Z + 1 ”左边需增乘的代数式为( ) .2* + 2A. 2Z + 2 B. (2女+ 1)(2攵+ 2) C. D. 2(2左 + 1)攵+ 1【 答案】D【 解析】当 =% 时 ，左边= (左 + 1)(左+2)# + Q

101、 = (& + 1)(左+ 2)一 (2左 ) ,当= 攵 + 1 时，左边3 = ( + 1)(斤 + 2) (% + 1 + 左 +1)=(左 + 2)(k +3) - -(2Zc + 2),nB ( + 2)(+ 3)(21)(2 1 + 1)(2%+ 2) (2A + l)(2A + 2)则 =- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -= 2(2% + 1).A (& + l)(A + 2)(2 幻 & + 1故选：D .二 . 填 空 题 (

102、共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分)1 1 .用数学归纳法证明命题1+ , + + + (neN .,且n2)”时，第一步要证2 3 2 2明的结论是.【 解析】因为n2 ,所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+工+ + 4 土2 .2 3 4 2,x. 1 1 1 2 + 2故答案为：1H -1 -2 3 4 21 2 .用数学归纳法证明关于的恒等式，当 时 ，表达式为Ix4 + 2x7 + + 左(3% + 1)= ( + 1 )2 ,则当= 左+ 1时，表达式为.【 答案】1X4 + 2X7 + + H3A: + 1) + (Z + 1)(3Z + 4)= (Z +

103、 1)(& + 2)2【 解析】当 = 2 + 1 时,表达式左侧为：1x4+2x7 + + Z（ 3Z + l） + （ Z + l） （ 3Z+4） ,表达式右侧为：（ %+ 1） （ 4 +2） 2,则当”= 左 +1时，表达式为Ix4 + 2x7 + 左 （3火 + 1） + （ 左 + 1） （ 3左 + 4） = （左 + 1） （ 4 + 2） 2.故答案为：Ix4 + 2x7+ + 左 （3& + 1） + （ z + 1） （ 3& + 4） = （ A + 1） （左 + 2） 2.13 .用数学归纳法证明1 -1 - -2 3 4 2 - 112n1 1 1 / T*-1

104、 - F H （ N + 1 + 2-2 时，第一步应验证的等式是,【 答案】1 1 = 2 2【 解析】由题知等式的左边有2项，右边有项, 且e N 因此第一步应验证 =1时的等式,此时左边=1一 , ，右边= 5,2 2故答案为：1 = .2 214 .用数学归纳法证明：1一，+ ,-,+2 3 4 JJ,第一步2 - 1 2 + 1 + 2 2应验证的等式是；从“ n = k”至I“ = + 1 ”左 边 需 增 加 的 等 式 是 .1 1 1 1【 答案= 5 2伏 + 1） - 1 - 2 伏 + 1）【 解析】当=1时，应当验证的第一个式子是1一 , = , ，从 “ = %”至

105、I J = 攵 +1”左边需增加2 21 1的式子是2伏 + 1） -1 - 2（ 1+1）15 .用数学归纳法证明： ” 对任意奇数n ,命题P（ ） 成 立 时 ，第二步论证应该是假设=命题成立，再证 =时，命题也成立.【 答案】2k - 2无 + 1【 解 析 】依题意用数学归纳法证明： “ 对 任 意 奇 数n,命 题P () 成 立 ，由于为奇数，所以第二步论证应该是假设n = 2 k l命题成立，再 证 =2仕 +1 ) 1 = 2 % + 1时命题也成立.故答案为：2 A - 1 ； 2k + i1 6 .已 知n为正偶数，用数学归纳法证明“ 1一1 I I I- - - - -

106、 -F +2 3 41一1- = 2n+ 一1 )2 / ? ”时 ，第一步的验证为1- - - - + + 21- - - - + + 4；若 已 假 设 = % (攵2 2且 人 为 偶 数 ) 时 等 式 成 立 ，则还需要用归纳假设证 =时等式成立.【 答 案 】当 = 2时 ，左 边= 1 = L ,右 边= 2X = L,等式成立； k + 22 2 4 2【 解 析 】1n 对 +3 + +2 3 41 2出+ 出+ +朗在n为正偶数用数学归纳法证明归纳基础，因 为n为正偶数，则基础 = 2 ,当 = 2时 ，左 边= 1 - 1 =工 ，右 边 = 2 x = J _,等式成立

107、;2 2 4 2归纳假设，当 = %(4 2 2且 人 为 偶 数 ) 时 ，+ +2 3 4= 2k -1 k + 7 + , + 7T I 成立k + 2 Z + 4 2 k)由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为 =% + 2时 ，等式成立故答案为： (1 ) .当 = 2时 ， 左 边= 1 L = L， 右 边= 2 x 4 = !， 等式成立； (2 ) . k + 22 2 4 21 7 .在 数 列 q 中，a i = l, + = + 3 + 1 ( w M ) ,则 a 3 = _， an= _.n 7【 答案】乌 2 ( + 3 )2 4【 解 析 】 + 3 5

108、2 7第一1空 ：因为 q=l , a + =- - - -+ 1 所以 4 = 4 4 - 4 - 1 = 5 ,%= % + 1 = ；n 2 22 7第二空：由第一空可知：a3= ,所 以 可 得 。4 = 2 / + 1 = 2 8 ,因为4 = 1 =x (l + 3 )4U 22X(2 + 3)=J = -42 7 32X(3 + 3)2 44 = 2 8 = 4 - ,+ 3 ),所以猜想, =犷 (； +3),数学归纳法证明如下:(1 )当 = 1时，显然 = 1 ；(2 )假设当拉 = 上时成立，即 见 = . + 3) ,4当= 左+ 1时,% + 3 公(左+ 3 )=-

109、 - - - - - - - - - - - - - F 1k 4_ 二 + 6左2 + % + 44_ 13+4/+2/+%+4 4_ 公 ( + 4 ) + (2 ) + 1 ) (4 + 4 ) 4_ 伏 + 4 ) (公 + 2 4 + 1 ) 4_ (攵 + 1 ) 2 伙 + 4 )= 4 ， 2 ( + 3 )综 合(1 ) (2 ) ,所以I： 7 ,故答案为： ； ( + 3)2 4三 . 解 答 题 (共5小题，满分64分，1 8 2 0每小题1 2分，2 1 , 2 2每小题1 4分)1 8 .在证明 1 一+2一 + . . . 1 - -1 F . . . + ,由=

110、 攵至! =左 + 12 3 4 2n n + n + 2 n + 3 2n的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？.田 山 .11 111 答案- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1- - - - - - - 1- - - - - - 2 Z + 1 2k + 2 Z + 1 2 左+ 1 2k + 2【 解析】, 1 1 1 1 = 氏时，左边为1 - - - -1 -1 - - - - -，2 3 4 2k = Z + 1时，变为1 - - -1 -12 3 41 2k 2k + 112k + 2故由= 人到=

111、左+ 1的变化过程中，左边增加的都分是- - - - - - - - - - - - - -2k + 1 2k + 2 时，右边为- - - -k + l1 1H -1 - F +k + 2 k +32k =Z +1 时，变为- - -+ - - - + +Z + 2 Z + 3 Z + 41 1 1H -1 - 1 -2k 2k + 2k + 21右边增加的部分是-一 +1+k + 1 2k + 1 2k + 2故答案为:1_12k + l2k + 21 1 1- 1 - 1 -k + 1 2k + 2k + 21 9.用数学归纳法证明：对任意正整数 ,4 + 1 5 - 1能被9整除.【

112、答案】见解析【 解析】证明：(1 )当 = 1时，4 + 1 5 / 7- 1 = 1 8 ,能被9整除,故当 = 1时，4 + 1 5 1能被9整除.(2 )假设当 = 左时，命题成立，即4 * + 1 5左 一 1能被9整除，则当= 左+ 1时，4印 +1 5 (女+ 1 ) 1 = 4 (甲 +1 5左一1 )一9(5女2 )也能被9整除.综合(1 ) (2 )可得，对任意正整数 ,4 +1 5 -1能被9整除.212 0 .已知数列 % 满足q=- 一，an 一3 T +(1 )求 出 、%；(2 )猜想数列通项公式4,并用数学归纳法给出证明.【 答案】(1 ) ， ； (2 ) a

113、=- - - - -6 N )， 证明见解析.4 5 + 2、 7【 解析】 + (2 )猜想数列通项公式4 = -，证明如下： + 2当 =1 时，4 =一；，一 4 = 一；，所以% =3 + 2 3女 +1假设 = % 时 成 立 ，即 以 = 一I -，K十N + 1 + 2成立;_1 _ 1 _ k + 2_ (1 + 1) + 1当= 左 + 时， ak+ 2 2 % + 1 一 % + 3-(Z + l) + 2 1 + 2,.r + 1 4、， =Z + 1 时，a =- - - - - - 成立， + 2综上，由得：a “ = - 2 2 ( e N * + 2 21.设数列

114、 q 的前n项和为Sn,并且满足2S, = a 2 + n, an 0 .猜想 % 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.【 答案】q = 【 解析】2al = a； +1* 2 + a?) = a； + 2 解 ：分别令 = 1 2 3 ,得+% +% ) = W +3,. 乐 0, .% =1&=2,% = 3 ,猜想：% = 由2S*=a；+%可知，当“ 2 2时2s“-1 = 4T2+(N 1)- 得2 = a ： -aj + 1 ,即 an2 = 2a + a , J-1当”=2 时 a： = 2a, + I2 1 0 2( i i )假设当 = 左( 之2)时 ,ak= kf那么当%

115、 = 左 +1时，展+i = 2% i + a： T = 2am + 炉 -1 n 。 卬 - 伯 + 】 )% + (左-1) = 0 ,% + 1 。22,. . 耙+1+(无一1 ) ,. 线+1=k+ 1 ,即当？ ? = 上 +1时也成立. .4=522),显然 =1时，也成立，故 对 于 一 切 均 有 % = 融2 2 .在数列 a , , )中,a i = l 且 atl+l - an + r( 1 )求出。2，。3，% ；( 2 )归纳出数列 a “ 的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论.【 解析】( 1)由 a i = l 且 an+i = an + - 知:n (n

116、 + l)M 4( 2 )猜想数列 , 的通项公式为。 “ = , 证明如下:2 x 1 -1( i )当n =l时，左边= % = 1,右边= 3_- = 1 . 左边=右边 即猜想成立;,12 - 1( i i )假设当n =& 时 ，猜想成立，即有=1一那么当n =k + 1时，a +1 =a * +2 12 Z + 1 2 (攵+ 1 ) 1Z x ( Z + l )% x ( Z + l ) k + 从而猜想对n =Z + l也成立；2 / 2 1由( i ) ( i i )可知，猜想对任意的 eN*都成立，所以数列 4 的通项公式为例 = -0/(2 + - ) - -(2 - )

117、Ax-2,则曲线y = / （ x）在点（2 ,/（2）处的切线的倾斜角 是 （ ）K4A .7CB.33兀C .4八 2 万D.36. 已知函数y = / （ x）在x = x0处的导数为1，则! 吗/(x0 + Zkr)-/(x0)_ 2 AxA . 0C. 1D .27.过原点作曲线y = lnx的切线，则切线的斜率为（)A .1B.eeC. 1D .1-7e8.曲线y =X2+x在点p（l,2）处切线的斜率为（ ）A . 1B . 2C. 3D .49 .下列导数运算正确的是( )A .(2 j= %2T B. (sinxcosx + l)z = cos2xc .(lgx) = J D

118、. ( / j = x - 210 .曲线 ； = / + 2+1在点( -1,。+ 2)处的切线斜率为8 ,则实数。的 值 为 ( )A. -6 B. 6 C. 12 D. -12二 . 填 空 题 ( 共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分)11 .曲线y = xlnx + 2x在 点(1, 2 )处 的 切 线 方 程 为 .12 .曲线y = sinx + 2cosx在点( ,-2)处 的 切 线 方 程 为 .13 .已知/ ( %) = X2+2靖 (1 ) ,则 / 等于.( 用数字作答)14 .已知曲线y=x? 1上两点A(2,3), B(2+ x, 3 + y),

119、当Ax = l时，割线AB的斜率是 一 ；当Ax=0. 1时，割线AB的斜率是15 .函数/ ( )=2丁 +3 /一5% + 4的导数/ ( 幻=一 , /(- 3 )16 .己知函数x) = 2 * ,则/ ( x ) =, 设g(x) = g则 gl) =17 .德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念. 在研究切线时， 他将切线问题理解为“ 求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一. 现已知直线y = x + b是函数/(x) = lnx的切线,也是函数g(x) = e用的切线，则实数6 = , k = _.三

120、 . 解 答 题 ( 共5小题，满分64分，1820每小题12分，21, 22每小题14分)18 . ( 1 )求导：y = 3cosx+2x3 -4 +31nx( 2 )求函数y = xln x在 = 1处的导数.19 . f(x) = c v(?+bx1+ cx + d ,且 0)= 3, /(0)= 0, /,(1) = -3 , / = 0；求a , b, c , d 的值.20 .已知P (-1 , 1), Q (2, 4 )是曲线y=x?上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程.2 1 .已知函数/ （ x ） = （ x - l） e * - a r的图像在x = 0处的

121、切线方程是x + y + b = O,求a , b的值；2 2 .求曲线y = e - 2 x +1在点（ 0 , 2 ）处的切线与直线y = 0和y = x围成的三角形的面积.答案解析一 . 选 择 题 （ 共1 0小题，满分5 0分，每小题5分）1 .甲、乙两厂污水的排放量W与时间， 的关系如图所示，则治污效果较好的是（ ）C .两厂一样D .不确定【 答案】B【 解析】在务处 , 虽 然 有 % &） =叱/J） ，但 & -加 ） 0 A x - mtx所 以 小 。 ） =故选：D .3 .某质点的运动规律为s =*+3,则在时间（ 3 , 3 +A f ）内，质点的位移增量等于（）

122、9A . 6加 + （ 加 ） B. 6 + A / H - - - C . 3 A ? + （ A f ）- D . 9 + /t【 答案】A【 解析】位移增量s （ 3 + A f ） - s （ 3 ） （ 3 + A / ） - + 3 （ 3 - + 3 ） = 6 A f + （ A z ） .故选：A .4 .已知 f（ x ） =1+e*,则/ （ ） ） =（ ）A . 0 B. - 4 C . - 2 D . 1【 答案】D【 解析】由题意，得 /（ x ） = 2 x + e 1 则 f （ O ） = l,故 选 :D .5 .设1鸣”2 +）（ 2 -= _ 2 ,则

123、曲线y = f （ x ）在点（ 2 , / （ 2 ） ）处的切线的倾斜角 是 （ ）兀 万 3 7 t 2乃A . B. C . D . 4 3 4 3【 答案】C【 解析】因为 lim 2 + M 7 （ 2 3 ） ,A rrO A X V 7所 以 /（ 2 ） = T,则曲线y = x ）在点（ 2J（ 2 ） ）处的切线斜率为一L3T C故所求切线的倾斜角为一.故选：C2 、2)11 L 76 .已知函数y = /（ x ）在x = x （）处的导数为1 ,则，二/ 。 。 ）= （）A . 0 B. C . 1 D . 22【 答案】B【 解析】因为函数 =/（ X ）在X =

124、 X o处的导数为1 ,则 lim ） 7（ % ）. ） - X。 ） = _ L f ， J30 2 A x 2 A。0 A %故选：B.7 .过原点作曲线y = I n x的切线，则切线的斜率为（1A . e B. - C . 1e【 答案】B【 解析】设切点坐标为（ ， ），由y = ln x ,得y =,所以切线的斜率为, ，x m所以切线方程为y = L（ x m） ，m因为切线过原点，所以。 一= 工（0一加） ，得 = 1 ,m因为切点（ 私） 在曲线y = ln i上，所以 = l n m ,解得m= 6 ,所以切线的斜率为,，e故选：B8 . 曲 线y = /+x在点P （

125、 l, 2 ）处切线的斜率为（ ）A . 1 B. 2 C . 3 D . 4【 答案】c【 解析】y = x2+ 的导数为 y - 2 x + l,可得曲线y = / + x 在点尸（ 1,2） 处切线的斜率为2x1 + 1 = 3.故选：C .9 . 下列导数运算正确的是（ ）A . (2 * j= x 2T B. (sinx cosx4-1) = cos2xC. (lgx) = j 1 ).卜 - ) = 婚【 答案】B【 解析】对于 A , (2， j =2* In 2, A 错误;对于 B, (sin xcos x + l)f = (sin x)fcos x + sin x(cos

126、x) = cos2 x - sin2 x = cos2x，B 正确;对于C,(Igx)1xln 10C错误;对于D ,卜 - = 一 / 2, D错误.故选：B.1 0 .曲线y =/+奴 2+1在点（ -1,。+ 2） 处的切线斜率为8 , 则实数”的 值 为 （ ）A. -6 B. 6 C. 12【 答案】A【 解析】由 y = x4 + ax2 + 1 , 得 y = 4x3 + la x，D. -12则曲线丁 = /+如 2+1在点（ - 1 ,。+ 2） 处的切线斜率为-4 -2 a = 8 , 得 a = -6 .故 选 : A.填 空 题 （ 共 7 小题，单空每小题4 分，两空

127、每小题6 分，共 36分）1 1 .曲线y = x ln x + 2 x 在 点 （ 1, 2）处 的 切 线 方 程 为 . 答案】 3x-y-l=0【 解析】/(% ) = xlnx + 2 x , /(x ) = Inx+ 3 ,r = 3 ，. 切线的方程是y - 2 = 3 ( x - D ,即 3 x y - 1 = 0 ,故答案为3 x y - l = O .1 2 .曲线y = s in x +2 c o s x在点( 万 , 一2 )处的切线方程为【 答案】x + y + 2 - 7 r = 0【 解析】由= s in x + 2 c o s x f y = c o s x

128、2 s in x ,则曲线y = s in x +2 c o s x在点( 乃 , 一2 )处的切线斜率为 = 4 = c o s万一 2 s in乃= 一1 ,因此所求切线方程为y + 2 = - ( x ) ,即x + y + 2 -% = 0 .故答案为：x + y + 2 - = 0 .1 3 .已知, f ( x ) = x 2 + 2 W ( l) ,则7 ( 1 )等于.( 用数字作答)【 答案】- 2【 解析】. ( x ) = f+ 2 矿( 1 ) ,. . r ( x ) = 2 x + 2 r ，. . / ( l) = 2 x l + 2 / ( l) ,解 得 /(

129、 l) = - 2 .故答案为：- 2 .1 4 .已知曲线y = x ? 1上两点A ( 2 , 3 ) , B( 2 + x , 3 + y ) ,当A x = l时 , 割线A B的斜率是;当A x = 0 . 1时，割线A B的斜率是.【 答案】5 4 . 1【 解析】当A x = l时，割线A B的斜率AV (2+AX)2 -1 -22 +1 ( 2 + 1 ) 2 2 2 k i = =- - - - - - - - - - - - - - - -=- - - - - - - - - - - = 5 x AX 1当A x = 0 . 1时，割线A B的斜率(2 + 0.1)* 2-

130、 l- 22 + l_【 答案】2*ln2 - - V -21n2-l【 解析】./(x) = 2 求导得f(x ) = 2*ln2, = 21n2,g(x) = g (l /(x )-x，求导得g(x) = g (l /(x)T，g(l) = g(l /(l) l = 2In2-g(l) 1 ,解得g，0) = _ .Zin 2 - 1故答案为：2 In 2 ； .2 In 2 - 117.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念. 在研究切线时， 他将切线问题理解为“ 求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一. 现

131、己知直线y = x + b是函数x) = lnx的切线，也是函数g(x) = /+ ”的切线，则实数匕= ,k =.【 答案】T -2【 解析】由题意可知(In x)=1,故x = 1, 则函数/(x)的切点为(1,0),代入y = x+6,得匕=1 ；X又 ( / + ) = + & = 1 ,故x = -k,则函数g(x)的切点为( 一匕一左一1 ) ,代入g(x) = e E ,得 A = 2.故答案为：一1； 2.K2- = - 4. 1 .x 0.115 .函数/ ( 幻 =21 + 3%2-5% + 4的导数/ ( 幻= _, / ( - 3) .【 答案】6X2+6X-5 31【

132、 解析】函数/ ( % ) = 213 +3x? -5x+4 的导数/ ( % ) = 6 / +6x-5.-./Z(-3) = 6X(-3)2+6X(-3)-5 = 3116 .已知函数/(x ) = 2 * ,则 / ( % ) = , 设g(x) = g /( x ) - x ,则g”)=三 . 解 答 题 （ 共5小 题 ，满 分6 4分 ，1 8 2 0每 小 题1 2分 ，2 1 , 2 2每 小 题1 4分 ）1 8 . ( 1 )求 导 ：y = 3 c osx + 2 x3 - 4 + 3 1 nx( 2 )求 函 数y = xlnx在x = l处的导数.,3【 答案 】(

133、1 ) y = 3 si nx + 6 x ( 2 In2 ) , 4A 4 ； ( 2 ) 1 ；x【 解 析 】( 1 ) y - - 3 si nx+ 6 x2 - ( 2 In 2 ) - 4 + ；x( 2 ) y - I n x + 1 = / ( 1 ) -1 ；1 9 . / ( x) = t zx3 +bx2 + c x + d ,且/ ( 0 ) = 3, / ( 0 ) = 0 , = 3 , / ( 2 ) = 0；求a , b, c , d 的值.【 答 案 】a = , b = - 3, c = 0 , J = 3【 解析 】f a x + bx2 + c x +

134、d ,f(x) = 3a x2 + 2bx + c由 0 ) = 3 ,可 得d = 3 ;由 / ( 0 ) = 0 ,可 得c = 0 ； / ( 1 ) = 3 , / ( 2 ) = 0；可得 3 a + 2 8 = - 312a + 4b = 0， 解得: ,则 /1 ( x) = / 一 3/ + 3 ,即 。=1力 = - 3 , c = O, d = 3 .b = - 32 0 . 已 知P （- 1 , 1 ） , Q （ 2 , 4）是 曲 线y= x,上的两点，求 与 直 线P Q平行且与曲线相切的切线方程.【 答 案 】4x- 4y- 1 = 0 .【 解 析 】设 切

135、 点 坐 标 为M （ x。 ，y。 ） ，则 切 线 斜 率 为2 x ,又 直 线P Q的 斜 率 为k 1土 【= 1 ,2 + 1 . 切 线 与 直 线P Q平 行 ，. * . 2 x0= l, X o= ，2. . . 切 点 为 （ ! ，V ） ,切 线 斜 率 为1 .2 4切线方程为y - - = x -9即4x - 4y - 1 = 0 .4 22 1 .己知函数， ( x) = ( xl) e* a c的图像在x = O处的切线方程是x + y + 0 = 0,求a , b的值；【 答案】a = , b 【 解析】由 / ( x) = (x- i ) ex - a x

136、,得 / ( x) = e* + ( x- l) ev - a = xe - a ,因为函数f(x) = ( x -1 ) / - 仪 的图像在% = 0处的切线方程是x+ y+。= 0 ,所以 / ( O) = 1 ,即 一 。= 一1 ,得 4 = 1 ,所以 / ( x) = ( x l) e x ,则 /( 0 ) = ( 0 l) e 0 = 1 ,所以切点坐标为( 0 , - 1 ) ,所以0 1 +。= 0,得。= 1 ,综上12 2 .求曲线y = e- 2 + i在点( 0 , 2 )处的切线与直线 = 0和y = x围成的三角形的面积.【 答案】|【 解析】依题意得 V =

137、 2 * X ( - 2 ) = - 2 / 2 , ，y|v= o = 一助3 = - 2 ,故曲线y = e- 2 ， + i在点( 0 , 2 )处的切线方程是)， -2 = - 2 % ，即y = - 2 x+ 2 .直线y = - 2 x + 2与y = x的交点坐标是直线y = - 2 x + 2与x轴的交点坐标是8 ( 1 , 0 ) ,I ? 1故直线y = 0 , y = x和y = - 2 x+ 2所围成的三角形A O B的面积等于一 xlx- = - .2 3 35 . 2导数在研究函数中的应用( 1 )同步练习( 基础篇)一 . 选 择 题 （ 共1 0小题，满分5 0

138、分，每小题5分）1 .设函数f（ x）的图象如图所示，则导函数/ （ X ）的图象可能为（ ）2 .下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）A . y =4 B. y = 2 - * C . yx+c osx1 ,3 .已 知 函 数 = 一n x ,则其单调增区 间 是 （ ）A . （ 1 收 ） B . （ O, + 8 ） C . （ 0 , 1 24 . 函 数y = f +一的单调递增区间为（ ）XA . （ f l ） B . （ V 2 , + oo） C . （ 1 ,物 ）II) 2 y = xzD . 0 , 1 D . ( x) , 0 )5 .如图所示为y = /

139、（ x）的图象，则函数y = /（ x）的单调递减区间是)A . ( - oo, - l) B . ( - 2 , 0 )C . ( - 2 , 0 ) , ( 2 , + oo) D . ( - 0 , - 1 ) , ( 1 , + oo)6 . 函 数 / ( x) = 2 x2 - lnx的递增区间是( )7 .函数y = x /的图像大致为( )8.已知函数/ ( x) 与 的 图 象 如 图 所 示 ，则不等式组/ ( 尤) r( x)0 x 2) C . / ( I) 等 D . 0 ,函 数 /(幻 = 2/ 一公在口, 小功上是单调增函数，则。的 最 大 值 是 .14 .函

140、数/(x ) = 2 ? 6/ +7在区间_ _ _上是增函数，在区间_ _ _ _ _ _ _ 上是减函数.15 .已 知 /(幻 = 炉 + 3 3 )x 是定义在R上的偶函数，则实数b = 写出函数2g (x )= 一 + x - 2 在 (0, + 8 ) 的单调递增区间是x16 .己知/(x ) = x l g x , 那么f(x )单 调 递 增 区 间 ；单 调 递 减 区 间 .17 .设函数/(尤)= 6 一 , 一馥、(a 为常数). 若/(% )为奇函数，则。=；若 /(x )是- 2 , 2 上的减函数，则 a的 取 值 范 围 是 .三 . 解 答 题 (共 5小题，

141、满分6 4 分，18 2 0每小题12 分，2 1, 2 2 每小题14 分)18 .求函数/(x ) = d -3x的递减区间.In x19 .求函数/(x ) = ( x 0 ) 的单调区间.x2 0 .已 知 /(力 = 0*- 侬 - 1.( 1 ) 当a = 2 时，讨论/ ( x ) 的单调区间；( 2 ) 若 /(X )在定义域R内单调递增，求 a的取值范围.2 1 .已知函数f - 办 -l .( 1 ) 若 /(X )在区间(1, + 8 ) 上为增函数，求 a的取值范围.( 2 ) 若 “ X )的单调递减区间为( TD,求 a的值.2 2 . 已知函数真城= 龄巴段、阑界

142、旗，其中斶逆一工（ I ）当磔= 1时，求曲线解= , 翼域: 在点到. 岁胃骸: 处的切线方程;（ II）求磁 的单调区间.答案解析一 . 选 择 题 （ 共10小题，满分5 0分，每小题5分）1 .设函数/（ X ）的图象如图所示，则导函数/ （ X ）的图象可能为（ ）【 答案】C【 解析】/（ X ）在（ 8 , 1） , （ 4 , + 8 ）上为减函数，在（ 1, 4 ）上为增函数,. . . 当x 4时，/ (% ) 0；当l x 0 .故选：C.2 .下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）.4A . y = xB . y = 2x C. y = x + c o sx D .

143、 y =【 答案】c【 解析】对于A选项，函数 为偶函数，在（ 0, + 8 ） 上递增，在（ F ,o） 上递减；对于B选项，函数 = 2 一 ” 在 R上递减；对于C 选项， y = 1-si nx 20 在 R上恒成立，则函数y = x + c o s x 在其定义域火上递增;对于D 选项，函数y = _ / 在 （ 0, + 力） 上递减.故选：C.3.己知函数/ （ x ） = g x 2 一i n x , 则其单调增区间是（ ）A . （ l , + = o ） B . （ 0, + o o ） C. （ 0, 1 D . 0, 1【 答案】A【 解析】由/ （ x ） = gf

144、i n x , 函数定义域为（ 0, + 8 ） ,1 Y2 1求导r （ % ） =xL = L , 令广（ 为 0 ,得或xv1 （ 舍去）X X所以/ （ X ） 单调增区间是（ 1, + 00）故选：A .4 . 函 数 y = / +2的单调递增区间为（ ）XA . B . （ V 2 , + o o ） C. D . （ - 。得 2d 2 0 ,即1 1,x x2所以函数y = f+ 一 的单调递增区间为（ i , + 8 ） .x故选：C5 如图所示为y = / （ x ） 的图象，则函数y = / （ x ） 的单调递减区间是（)A .C. （ - 2 , （ 2收 ）【 答

145、案】C【 解析】由导函数图象， 知一2 x 2时，故选：C.6 .函 数 /（ 力 =2/ Inx的递增区间是（B . (- 2 , 0)D . - 1), (1, + o o ) 0 ,得4 x - ， 0 ,解 得 龙 , ，x2所以/（ X ）的递增区间为g , + 8 ） .故选：C.7 .函数y = 的图像大致为（ ）【 解析】y = (尤+ l )- e* ,当 x - l 时 ,y 0,当不1 时, 0 ,所以函数 = 在(- 1, + )上单调递增，在(- 8 , - 1)上单调递减.故选：C8 .己知函数/(X )与 的 图 象 如 图 所 示 ，则不等式组解集为( )A .

146、 (0, 1) B . (1, 3 ) C. (1, 2 ) D . (1, 4 )【 答案】B【 解析】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是/ (x )的图象，虚线是A x )的图象，不等式组； :解集是 x l x 3 .0 cx0对任意的工11都成立，则下列选项中一定正确 的 是 ()A . f ( D 号 B .岑 /(2 ) C. / ( 号 D . 0,故E (x )为R上的增函数，所以尸(2 ) 尸(1)即 2 /(2 )/(1),故选：D .10. 己知函数f(x ) = x 2 a l nx + 1在(1, 3 )内不是单调函数, 则实数。的取值范围是(A . (2 , 1

147、8 ) B . 2 , 18 C. (F,2U18,yo )D . 2 , 18 )【 答案】A【 解析】V / (x ) = 2 x - - , /(x ) = f a l nx + 1 在(1, 3 )内不是单调函数，故2尤 ( =0在(1, 3 )存在变号零点，即在(1, 3 )存在零点，； 2va 18 .故选：A .二 . 填 空 题 (共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共3 6分)11 .函数y = 2 % 3 6 / + 11的 单 调 减 区 间 是 .【 答案】(0, 2 )【 解析】y - 6 x2 - I 2 x - 6 x ( x - 2 ) ,令0 ,解得 0

148、 cx 2 ,所以函数的单调减区间为(0, 2 ).故答案为：(0, 2 )12 .函数x ) = 5 x - 2 hw的 单 调 递 减 区 间 是 .【 答案】。 , | )【 解析】/(X )的定义域是(0, + “)，尸(x ) = 5 ,X X2令 /( x ) 0,解 得 :0 x 0 ，函数/(x ) = 2d一o x在 1, + c o )上是单调增函数，则的最大值是【 答案】6【 解析】r(x ) = 6f 。，令 /(x )0,得x J |或所以/ 4 I ,解得知6 .故答案为：614 .函数/(x ) = 2/ 6/ +7在区间_ _ _ _ 上是增函数，在区间 上是减

149、函数.【 答案】(, 0)和(2 , ” ) (0, 2 )【 解析】f(x) = 6 x2- 12x = 6 x ( x - 2 ) ,令 /(x ) 0,解 得 :0 尤 0,解得：2 .函 数 /( ) =2/一6* +7在区间(8 , 0), (2 , + 8 )上是增函数，在区间(0, 2 )上是减函数.15 .已知/ ( 刈 =/ +3一3 )是定义在火上的偶函数，则实数,写出函数2g (x )= 一 + x 一 2在(0, + 8 )的单调递增区间是X【 答案】3 (V 2 , + o o )【 解析】j /(x )是定义在R上的偶函数，(- %)2 - b- 3) x = x2

150、 + (b- 3) x ,解得 b = 3 , / ( ) =q + ”g WL令g (x ) 0 ,解得x山 ,.g(x)的单调递增区间是卜历,-H X )j .故答案为：3； (J5,+8).16 .已知/(x) = x lg x ,那么， (X) 单调递增区间 ：/(X) 单 调 递 减 区 间 .【 答案】g + s ) )【 解析】因为/(x) = xlgx,故 /(x) = lgx + x= lgx + - 4 - = lgx + lge = lgx.xlnlO In 10令/ ( 犬) =。可得ex = 1,即x = .e又f (x)为增函数， 故当x e ( o f )时，r(

151、x) 0 ,7 0 )单调递增.( 故答案为： -,+ ； (2) 0,le J I ej17 .设函数/ ( 尤) =0-*-馥 * (a为常 数 ) . 若 为 奇 函 数 ，则。=_ _ _ _ _ _；若 / ( 幻是 -2,2上的减函数，则a的 取 值 范 围 是 .【 答案】1 a i -【 解析】(1 )若/(x) = eT ae, 为奇函数则 / (-x) = ex - aex =- /(%) = - ex + aex, 则 a = 1(2 )若 x )是 -2,2上的减函数，则 / ( 幻 = -6一一例” 在 -2,2上小于或者等于零，即一0-*-。 。 0在 -2,2上恒

152、成立，-e-2 xa，可知y = -e小 在 -2,2上单调递增，所以aN -y.e三 . 解 答 题 ( 共5小题，满分6 4分，1 8 20每小题1 2分，21 , 22每小题1 4分)1 8 .求函数f( x ) = /- 3x的递减区间.【 答案】( T ， l)【 解析】风4= 3 x2- 3 ,. ,令次一 30 )的单调区间.【 答案】增区间为( 0 ， e) ,减区间为( e,+ 8 ) .【 解析】x- nxx1 -lr u,令 / ( ) = ( ) ,即W = 0,得 1 一lnx = O,从而X = e,令 / ( x ) 0 ,即一竺 0 ,得x 0 ,得增区间为(

153、O , e) ,1 -lnx令 / ( x ) 0 ,即e ,此 时 为 减 函 数 ，减区间为( e,+8 ) .20 .已知,f( x ) = e* -这 -1 .( 1 )当a = 2时，讨论“ X )的单调区间；( 2)若 / ( 力 在定义域R内单调递增，求a的取值范围.【 答案】 / ( x )的单调递增区间为( ln2,+x ) ) ,单调递减区间为( r o,ln2) ； ( 2) 0 , 得 x I n 2令 / ( % ) = /- 2 0,得x 0则 0 - a N 0 = a W 021 .已知函数“ 工人3 -5 -1 .( 1 )若 / ( 力 在区间( 1 ,+8

154、 )上为增函数，求a的取值范围.( 2)若 / ( 力 的 单 调 递 减 区 间 为 求a的值.【 答案】( 1 ) ( 8 ,3 ； ( 2) 3 .【 解析】( 1 )因为尸( % ) = 3 % 2_ a,且/ ( X )在区间( L +oo)上为增函数，所以/ ( x ) 在( 1 ,” )上恒成立，即犷 一心。在( 1 , + 8 ) 上恒成立，所以a 43/在( 1 ,+。 。 ) 上恒成立，所以心3,即a的取值范围是(F, 可( 2)由题意知a0. 因为/ ( 同 二 %3- 以- 1 ,所以八 % ) =3 X 2-a.由ra )o ,得 f x822. 已知函数施磁= 尸啰

155、北阑更演，其中谢迎-工. 霹（I）当翊= 3时，求 曲 线 解 磔 在 点 U宽翦处的切线方程；（I I ）求我破的单调区间.【 答案】（ I ）黛常一般普像= 朗.（I I， 当斓= 一1时， ,四微的单调递减区间为K -蹲. -熊； 单调递增区间为G”廖 ， 瓣 物磅: . 当 - / V阂/ 够时. ，负& 场的单调递减区间为於溶-盛，1 -乂 ,“ 书噂；单调递增区间为aw ，勰入. 当 战 =（砂时，,戏党为常值函数，不存在单调区间.当潮黜刚时， 翼 : 礴 的 单 调 递 减 区 间 为 旗 ，卿士 单调递增区间为旦-咻-原，【 解析】（I ）解：当蟒=：! 时，. 巽: 礴3 ，

156、砌： =/. 工署 辑 一 马 . 2分小 船 乐 .由于金理& M寰 ，贾号旗U加，所以曲线承=舞 磔 在 点 虱 飘 璇 处 的 切 线 方 程 是 鑫 笫 一 / 豚 二 ? .4分（ II）解：舞 堂 =产妇蟹簪曰!， 家 #嘱 . . . . . . .6分3 靖当涵 = - ：!时，令,资慧醺= 顿，解得第= 一1黄墟的单调递减区间为 - 咻 - 怎 ；单调递增区间为 北骸 ，瓣# 函 .8分I I当蝴承- a时，令. 资慧磁= 飒，解得客=r，或后,= ； ； . 当 一X v谢T的时，望电墩的单调递减区间为 书 - 旗 ，用减；单调递增区间为谢书：191嗨 ，勰为i 0分 当

157、礴 =骸时，.算: 磁为常值函数，不存在单调区间. . . . . . . . . .1 1分当渤融刚时，. 旌: 减的单调递减区间为G1麟 ，姆 . 二 ；单调递增区间为叫- 熊,占5 . . . . . . . 1 4分5 . 3导数在研究函数中的应用(2 )同步练习(基础篇)选 择 题 (共1 0小题，满分5 0分，每小题5分)1 .设/ (X)是 区 间 句 上 的 连 续 函 数 ，且在(。 ,加内可导，则下列结论中正确的是( )A . / (x )的极值点一定是最值点B . / (x )的最值点一定是极值点C . / (x )在区间 a ,夕上可能没有极值点D . / (x )在区

158、间 a ,勿 上可能没有最值点2 .如图是函数y = f (x )的导数y = f ，(x )的图象，则下面判断正确的是( )A .在 (- 3, 1 )内f (x )是增函数B .在x = l时，f (x )取得极大值C .在(4 , 5 )内f (x )是增函数D .在x = 2时，f (x )取得极小值3 .已知函数/ (x ) = l n x - o r 在尤=2处取得极值，贝 U。= ( )A . 1 B . 2 C . D . - 224 . 已知函数/ ( % ) = 加 + 辰 + 1 的图象在点(1 ,。+ 匕+ 1 ) 处的切线斜率为6 ,且函数“ X) 在% = 2处取得

159、极值，则( )2 6 - 2 2 2 6A.- - - - B . 7 C . D.3 3 35 .已知函数/ (x ) = g x 3 4x, 则/ ( % ) ) 的极大值点为( )A . X 4- B . x -4 C . x 2 D . x -26 .设 / (x ) = g x 2 + c o s x , 则函数( )A.有且仅有一个极小值 B .有且仅有一个极大值C.有无数个极值 D . 没有极值7 .函数/ (x ) = d 3仪 在(0 ,1 ) 内有最小值，则4 的取值范围为()A . 0 a l B . 0。1C . - l a l D . 0 6 ? -2i98 . 若函

160、数/ ( 力 = 5/+/一在区间(Q,G + 3)内既存在最大值也存在最小值，则a 的取值范 围 是 ( )A . ( 3, 2 ) B . (一3,- 1 ) C . ( 2 ,1 ) D . ( 2 ,0 )9.函数/ (x ) = a e * - si n x 在 = 0处有极值， 则” 的值为 ()A . - 1 B . 0 C . 1 D . e1 0 . 若 x = l 是函数/ (* ) = ；/ + (。+ 1 ) 必 面 +34 3) x 的极值点， 则。 的值为( )A . - 3 B . 2 C . - 2 或 3 D . - 3 或 2填 空 题 (共 7 小题，单空

161、每小题4 分，两空每小题6 分，共 36 分)TT TT1 1 . 已知函数, / (% ) = si n x 2x, 则在 一2 , 2 上的最小值是_.2 21 2 . 若 x = 2 是 f (x ) = a xi 2 3- 3x 的一个极值点，则a .1 3. 若函数/ ( )=/一/在则函数的最小值是 ；最大值是.1 4 . 已知函数/ (x ) = x l n x , 则 y = / (x ) 的 极 小 值 为 .1 5 .函 数 / ( 力 = - 2 7 % 的极值是： 一 和 一 .1 6 . 函 数 / 。) = ( 一% l ) e (其中e = 2 . 7 1 8 是

162、自然对数的底数) 的极值点是一极大值=.1 7 .设 尸 (x ) 是奇函数/ (x ) 的导函数，/ ( 2 ) = -3 , 且对任意xeR都 有 广 (力 2 ,则 / (2 ) = , 使得f (e ) 恒成立，求实数a的取值范围.答案解析一 . 选 择 题 ( 共1 0小题，满 分5 0分，每小题5分)1 .设/ ( x )是区间 以句上的连续函数，且 在 切 内 可 导 ，则下列结论中正确的是( )A. / ( x )的极值点一定是最值点B. / ( x )的最值点一定是极值点C. / ( x )在区间切上可能没有极值点D. / ( X)在区间匕, 切上可能没有最值点【 答案】C【

163、 解析】根据函数的极值与最值的概念知，/ ( X)的极值点不一定是最值点，/ ( X)的最值点不一定是极值点. 可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A, B, D都不正确，若函数/ ( x )在 区 间 勿 上 单 调 ，则函数/ ( x )在 区 间 勿 上 没 有 极 值 点 ，所以C正确.故选：C.2 .如图是函数y = f ( x )的导数y = f ，( x )的图象，则下面判断正确的是()A .在 (- 3 , 1 )内f ( x )是增函数B .在x = l时，f ( x )取得极大值C .在( 4 , 5 )内f ( x )是增函数D .在x = 2时，

164、f ( x )取得极小值【 答案】C【 解析】根据题意，依次分析选项：3对于A ,在 (- 3 ,上，f ( x ) 0 , f ( x )为增函数，x = l不是f ( x )的极大值点,2B错误;对于C ,在( 4 , 5 )上，f ( x ) 0 , f ( x )为增函数，C正确；3对于 D ,在 ( 一一，2 )上，f ( x ) 0 , f ( x )为增函数，在( 2 , 4 )上，f ( x ) 0),所以/ ( X)在区间( 0 , 2 )上递增，在区间( 2 ,内) 上递减，所以/ ( X)在尤= 2处取得极大值，符合题意.所以a = .2故选：C4 .已 知 函 数 )

165、=加 + 乐 +1的图象在点( 1 ,。+6 + 1 )处的切线斜率为6 ,且函数/ ( X)在x = 2处取得极值，则。+。=( )B. 7C .2D.26T3【 答案】C【 解析】由题可知：f x) = 3a x2 + b,3。+ b = 6 ,1 2 + = 0 ,2解得 =- , h = S.经检验，当a = -g， = 8时，/ ( X)在x = 2处取得极大值，2 2所以。 + 匕 =彳 .故选：C5 .己知函数/ ( x ) = gd-4x,则 / ( % ) ) 的极大值点为( )A. x = - 4 B. x = 4 C. x = - 2 D. x = 2【 答案】C【 解析

166、】1 a由 / ( x ) = x3 - 4 % ,得 : 广 ( % ) =%2 - 4 .由 /Z(X) = X2-4 0 , 得：x V - 2 ,或 x 2 .由/ ( % ) = % 2 - 4 。, 得：一2 尤 0 ,工/ ( X)单调递增且r( 0 ) =0 ,. . . 当x0时，/,( x ) 0时，/,( x ) 0 ,函数/ ( x )单调递增，故/ ( x )有唯一的极小值点.故选：A.7 .函数/ ( X) = 9 3世一”在( 0 , 1 )内有最小值，贝心的取值范围为()A. 0 6 f 1 B. 0 t z lC. - a D. 0 6 z 0 , f ( x

167、 )在( 0 , 1 )上单调递增，f ( x )在x =0处取得最小值，显然不可能，若 a 0 , f ( x ) =0 解得 X=7，G ,当x J W , f ( x )为增函数，0xV47为减函数，f ( x )在x =右 处 取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在( 0 , 1 )内，符合要求.综上所述，a的取值范围为( 0 , 1 )故答案为B8 .若函数“ 力 = / + *2 - 在区间(G,G + 3 )内既存在最大值也存在最小值，则。 的取值范 围 是 ( )A. ( 3 , 2 ) B. ( 一3 , - 1 ) C. ( 2 , 1 ) D. ( 一2 , 0 )【

168、 答案】A【 解析】由 / ( x ) = x2 +2x = x ( x + 2 ) =。 得 x = 2 或 x =。，可以判断/ ( x )在x = 0处取得极小值/ ( 0 ) = -|,在x = 2处取得极大值/ ( - 2 ) =1 .2 ?令/ ( x ) = - ,得x = - 3或x = 0,令/ ( x ) = ,得 * = 一2或x = l ,由题意知函数x )在开区间( 。 , 。 + 3 )内的最大、最小值只能在 = 2和x = 0处取得，结合函数/ ( X)的图象可得：0 Q + 3 K l 3 W Q - 2，解得一3 。 0 ,右侧 / ( 2 ) = - 1 0

169、 ,所以X = 1是极值点，而非拐点；当 0 = 2时，/,( x ) = x2 + 6 x - 7 = (A: -1 ) ( x 4 - 7 ) ,即在x = l 的左侧/ ( 0 ) = - 7 0,所以 = 1是极值点，而非拐点；故选：D填 空 题 ( 共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共3 6分)1 1 .已知函数/ ( x ) = s i n x 2 x ,则在 一2 ,勺 上 的 最 小 值 是 .2 2【 答案】1 一 兀【 解析】JT TT在 一一, 一 上，有r ( x ) = c o s x - 2 0得x：；由 /(x)0得0 x 0 解得 x 3 或 x - 3

170、.令 /(x) 0 解得一3 x 3所以函数/ ( x )在( f,-3)上单调递增，在( 3,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增.所以当x = -3时，函数“X)有极大值/ ( 3)= ( 3)327x( 3) = 54,当尤= 3时，函数“X)有极小值3) = 33- 27x3 = -54.故答案为：一54, 54.16 .函数/(x ) = (x2x 1)靖 (其中e = 2.718是自然对数的底数) 的极值点是极大值=.【 答案】1或一2 4e【 解析】由已知得- x - + 2x-ex =(x2+ x -2 )ev =(x+ 2 )(A： -l)ev,.e0 ,令/ ( x )

171、 = 0 ,可得x = 2或x = l,当x 0 ,即函数f(x )在(H。 , 1)上单调递增；当一2 x l时，/( x ) l时，/ ( x ) 0,即函数/(X ) 在区间(0 , + 8 ) 上单调递增.故 /(x) 的极值点为-2 或1 ,且极大值为r (-2 ) = 4 .e故答案为(1 ) . 1 或一2 (2 ) . 4-e1 7 . 设了(x) 是奇函数/ (x) 的导函数，/ ( 2 ) = - 3,且对任意x eR 都 有 /(x) 2 ,则42)=,使得/(e 、 ) 2 e * - 1 成立的x的取值范围是.【 答案】3 (l n2 , +)【 解析】. /(% )

172、 是奇函数， 2 ) = - -2 ) = 3 ,设 g (x) = / ( x ) - 2 x , 则g (2 ) = / ( 2 ) - 4 = - l ，g (x) = /(x) -2 0 ,/. g (x) 在 R 上单调递减，由 /(ev) 2 ev -1 得 /(e ) -2 ev - 1,即 g (e * ) 2 得 x I n 2 ,故答案为：3 ； (i n 2 , +oo) .三 . 解 答 题 (共 5小题，满分6 4 分，1 82 0 每小题1 2 分，2 1 , 2 2 每小题1 4 分)1 8 . 己知函数/ (X) = X3-3X + 1.( 1 ) 求 /(x)

173、 的单调区间；( 2 ) 求函数的极值；(要列表) .【 答案】(1 ) 增区间为( y 。 , 1 ) , (1 , + 8 ) , 减区间为(-1 ) ；(2 ) 极大值为3,极小值为一 1 .【 解析】(1 ) v /(x) = x3-3 x + l , /(x) = 3 f 一3 = 3 (x - l ) (x + l ) ,设 / (x) = 0 可得 x = l 或 x = l .当r ( x ) o 时，% i或 1 ；当 f (x) ()可得x l或x - l ,此时函数单调递增，令 / (X ) 0可得一 1 c x 1 ,此时函数单调递减，故函数/0 )在 1 , 2 上单

174、调递增，所以“X )的最大值/ (2 ) =3,最小值/ (1 ) = -1 .2 1 .已知函数/(x) = ex(c os x + s i nx) (0 x ) ,(1 )计算函数/(x)的导数/(x)的表达式；(2 )求函数/ ( 的值域., 1 1 工【 答案】(1 ) f (x) = ec osx ； (2 ) , e .2 2【 解析】j r(1 )因为 /(x) = 5 e * (c os x 4 - s i n x) (0 x ) ,所以 / (x) = g e * (c os x + s i n x) + g e ( s i n x + c os x) = ex c os x

175、 .故函数/(x)的导数f x) = exc osx ;7 1(2 ) v 0 x 0 ,函数/(X )在0 , y 上是单调增函数，所以 /(x) mi n = /() = g e (c os 0 + s i n。 ) =；，所以/( ma x =吗 )=y+ Si吟 ) = #；1 1 -故函数/(X )的 值 域 为-, -e2 3.2 22 2即-V C l C l - - ，解得 0 Q 恒成立，求实数”的取值范围.【 答案】(1 ) y = /(x)的单调递增区间为(f , % ) , (2 ,、8)(2 ) 0 a 0 ,则心一窝陶2勒，解得x 2 . 函数y = /(x)的单调递增区间为(9 , ?1 )， (2 ,注8 ) .(I I ) . 当 x e (1 , 2 )时/ V ) 0 ,. . ，耗 磷 在(1 , 2 )上单调递减，遂鳖喙在(2 , 3 )上单调递增.2，/(2 )是遂鳖疏! 在区间 1 , 3 上的最小值，且/(2 ) = - + a .2 ?若当X G现 ？ 时，要使/(X )恒成立，只需/(2 ) /+ ,