图形的相似(强化)(解析版)

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1、专题1 7图形的相似一、考向分析相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多. 相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明二、思维导图相似三角形的对应角相等相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例相（ 以三角形的对应高线的比等于相似比相似三角形的对应中线的比等于相似比相似三角形的对应角平分线的比等于相似比相似三角形的周长比等丁相似比相似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形具有传递性相似相似三角形定义 形状相同、对应角相等、对应边成比例的囹形比例 两个比值相领式子形状相同对应角相等性质 对应

2、边成比例面 积 比 期 型 比 值 的 平 方周长比等于对应边之比相似三角形的定义相似三角形的定义、表 示 方 法 、相似比 表示方法相似比相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等普通三角形 三边对应成比例两角对应相等直角三角形具备普通三角形的判定方法T直角边与斜边对应成比例三、最新考纲1 . 了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题.2 . 了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用.3 . 了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.四、考点强化【 考点总结】一 、比例线段1 . 比例线段的定义：在四条线段。 ，b, c, d中，如果其中两条线段的比

3、等于另外两条线段的比，即q = ( 或a ： 8=c： ，那b d么这四条线段m b, c , 叫做成比例线段，简称比例线段.2 . 比例线段的性质：基本性质：* = * a d = b c ；. . . . a c a+ i c + d( 2 ) 口比性质：石 = 产 丁=丁；( 3 ) 等比性质:若= 彳3+” + 邦） ,那么a+ c + . . . + ， ab+d+.+n= b3 .黄金分割:点 C把线段48分成两条线段AC和 8C,如果发=诧 ，则线段A8被点C黄金分割，点 C叫线段AB的黄金分割点，AC与 A8的比叫做黄金比.【 考点总结】二 、相似多边形1 .定义：对应角相等、

4、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等.2 . 性 质：( 1 ) 相似多边形的对应角相等，对应边成比例；( 2 ) 相似多边形周长的比等于相似比；( 3 ) 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【 考点总结】三 相似三角形1 .定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.2 .判定：( 1 ) 平行于三角形一边的直线和其他两边( 或两边延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似;( 2 ) 两角对应相等，两三角形相似；( 3 ) 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；( 4 ) 三边对应成比例，两三角形相似；

5、( 5 ) 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.3. 性 质 ：( 1 )相似三角形的对应角相等，对应边成比例；( 2 )相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；( 3 )相似三角形周长的比等于相似比；( 4 )相似三角形面积的比等于相似比的平方【 考点总结】四 图形的位似1 .定义：如果两个图形仅是相似图形， 而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形. 这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比.2 . 性 质 ：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3 .画位似图形的步骤( 1 )确定位似中心点;( 2 )连接图

6、形各顶点与位似中心的线段( 或延长线) ；( 3 )按位似比进行取点；( 4 )顺次连接各点，所得的图形就是所求图形.五、新题解析一、单选题1 . ( 2 0 2 1河南许昌市九年级一模) 如图，已知直线ab c,若4 8 = 9 , BC=6, D F = 10,则O E的长为【 答案】B【 分析】D F A B直接根据平行线分线段成比例定理得到=，然后根据比例的性质可计算出D E的长.D F A C【 详解】解： ： a!Ibl!c ,. DE AB DE 9 - =-，即- - -=- - - -,DF AC 10 9+ 6DE = 6 .故选：B.【 点睛】本题考查了平行线分线段成比例

7、，熟悉相关性质是解题的关键.2. （ 2021 湖北黄冈市九年级一模）如图，口人区。为直角三角形，ZC = 90, BC = 2cm , ZA = 30,四边形OEFG为矩形，E = 2G cm ，EE = 6c m ,且点C、B、E、尸在同一条直线上，点B与点E重 合 . 为 ABC以每秒1cm的速度沿矩形OEFG的边E F向右平移，当点。与点尸重合时停止. 设RtAABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2,运动时间xs .能反映yen?与您 之间函数关系的大【 答案】A【 分析】由勾股定理求出A8、AC的长，进一步求出 ABC的面积，根据移动特点有三种情况，分别求出每种情况y与x的关

8、系式，利用关系式的特点（ 是一次函数还是二次函数）就能选出答案.【 详解】解：已知 NC = 90, BC = 2cm . NA = 30,二 A3 = 4 ，由勾股定理得：AC = 2 5 . . 四边形OEEG为矩形，ZC = 90,: DE = GF = 2 g，NC = NDEF = 90,二 AC UDE ，此题有三种情况：（ 1）当0 x0-2二抛物线开口向上;所以所选答案C错误, 答案。错误,如图,此时V = g x 2 x 2百 =2百 ,设口4 8。的面积是邑 ，DF/VB的面积是$2,同法可求FN = GX- 6 G， y = * 一$2 ,= - x 2 x 2 / 3

9、- - x ( x - 6) x 7 3 x - 65 / 3 j= -x2+ 6 - 1 6 7 3 ，2 李。，. 抛物线开口向下，所 以 答 案4正 确，答 案B错误,故选：A.【 点 睛 】本题主要考查了一次函数，二次函数的性质三角形的面积公式等知识点，解此题的关键是能根据移动规律把问题分成三种情况，并能求出每种情况的y与x的关系式.3. （2021河南九年级二模）如图是与D A B C位似的三角形的几种画法，其中正确的有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个【 答 案 】D【 分 析 】根据位似图形的性质判断即可.【 详 解 】解 ： 由位似图形的画法可得：4个图形都是口4

10、 3。 的位似图形.故选：D.【 点 睛 】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键.4. （2021上海金山区九年级一模） 如 图 ， 已知点。 、E分 别 在AABC的 边A B、A C上 ，D E H BC, A D = 2 ,B D = 3, B C = a ,那 么 丽 等 于 （ ）32A. -a3B.2 _ a32 _C. 一a52D . a5【 答 案 】D【 分 析 】先根据相似三角形的判定与性质求出DE与BC的数量关系，再根据向量的定义即可求出丽 的 值 .【 详 解 】解 ：V DEH BC,DE ADBC ABV AD = 2, BD = 3 ,. DE

11、 2 一 ,BC 2 + 3 DE = -B C .5:配 = 3 ，_2- ED = -g a -故 选D.【 点 睛 】本题考查了相似三角形的判定与性质， 以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向衣示向量的方向.5. （2021. 上海九年级专题练习）如 图 ，四 边 形ABCO的 对 角 线AC与3 0相交于点 。 ，器= 黑，由此推 得 的 正 确 结 论 是 （）OA AB OA AD OB AB AB ADA - = - B - = - C - = - D - = -OD CD , OC BC OD CD CD BC【 答案】A【 分析】根据

12、相似三角形的判定和性质即可得到结论.【 详解】解：NAOB与/D O C 是对顶角，ZAOB=ZDOC竺 = 也OB OC / .AOBADOC,.OA _ ABODCD故选：A【 点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.6. （ 2021. 上海徐汇区. 九年级一模）下列说法中，正确的是（）A . 两个矩形必相似 B . 两个含45角的等腰三角形必相似C . 两个菱形必相似 D . 两个含30。 角的直角三角形必相似【 答案】D【 分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得.【 详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一

13、定相似，此项错误；B、如果一个等腰三角形的顶角是4 5 , 另一等腰三角形的底角是4 5 ,则不相似，此项错误；C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；D、两个含30角的直角三角形必相似，此项正确：故 选 : D.【 点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键.7. （ 2021上海长宁区九年级一模）如图，己知在UA8C中，点 。、点 E 是边BC上的两点，连接A。、 AE,且AQ=AE,如果UABEsUcBA,那么下列等式错误的是（）A. Alf = BEBCC. AEL=CD-BE【 答案】D【 分析】B. CD

14、-AB=AIACD. AB，AC=BE，CD根据相似三角形的判定及性质对每一个选项一一证明即可.【 详解】解：LABEACBA,AB BE= ，NBAE=NC, ZAEBZCAB,BC AB:.A=BE-BC,（ 故选项A正确）：AD=AE,：. ZADE= ZAED,二 ZADEZCAB,又；NC=NC,J.UCDAUCAB,. CD AD：.CD-AB=ADAC,（ 故选项 B 正确）V ZADE ZAED, NBAE=NC,.UABEUCAD,. AE BE, 而一而：.AE*ADCD-BE,又：.A = CD-BE,（ 故选项C 正确）：ZADEZAED A D , A C A E ,

15、.A B -A OA E1,即A B - A O C D B E ,（ 故选项D错误）故选：D.【 点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键.8. （2021 上海长宁区九年级一模）下列命题中，说法正确的是（）A .四条边对应成比例的两个四边形相似B .四个内角对应相等的两个四边形相似C .两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D .斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似【 答案】D【 分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答.【 详解】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B、四个内角对应相等，四条

16、边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题：C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D.【 点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大.9. （2021上海杨浦区九年级一模）在梯形ABC。中，A D / / B C ,对角线A C与8 0相交于点O ,下列说法中，错误的是（）A q _ c 口 S .AOB _ D S&AOD _ ,AABD _ 八 。A. B. - - c. - - n r u. - - 口 A B OC I D B OC U C 8 c【

17、答案】c【 分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项.【 详 解 】解 ：如图所示：；ADBC,AAODACOB, 5 ABe = S dbc ,SA.D AD昔皎= 行，故D正确,.OA ODOC7)B0A2S&BOCOCT，故C错误;, S.ABC = Sy/AOB + SyjOBC，S&DBC S 7n o e + SOBC * * S fO B S4DOC A 止确; 4AOB _S4BOC二 。OA 即 S .A：OB =O。Db故B正确;故 选c.【 点 睛 】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等积法是解题的关键.10. （2021.

18、上海杨浦区. 九年级一模）在D A 3 c中，点 。、E分 别 在 边A B、A C上 ，下列条件中，能判定【 分 析 】DE/BC 的 是 ()AD DEAD AEDB AEADAEA . - - -B.- - -C . - -D . =-AB BCDB ECEC ADACAB【 答 案 】A根据对应线段成比例, 两直线平行，可得出答案.【 详 解 】A、=， 可 证 明DEBC,故本选项正确；AB BCA。 AEB、 不可 证 明DEBC,故本选项错误；DB ECDB AEC、 - - - -= ， 不可 证 明DEBC,故本选项不正确；EC ADA T）D、 =- - -不 可 证 明D

19、EBC,故本选项不正确.AC AB故 选A.【 点 睛 】本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行.11. （2021上海青浦区九年级一模） 如 图 ，已 知BO与CE相 交 于 点A , DE组C ,如 果AD = 2, AB = 3,AC = 6 ,那 么4 E等 于 （ ）【 答 案 】CC. 4D. 9【 分 析 】根据平行线分线段成比例即可得到结论.【 详 解 】解 ：EDBC,. AB ACA D- AE. 3 6 、 J - f2 AE二 AE=4,故选：C.【 点 睛 】本题考查了平行线分线段成比例的运用，注 意 ：平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 截

20、 其 他 两 边 （ 或两边的延长线） ,所得的对应线段成比例.12. （ 2021上海黄浦区九年级一模）如 图 ，在 直 角 梯 形A8C。 中，A B / / C D , /84。 = 90。，对角线的交 点 为 点O.如 果 梯 形ABCQ的两底边长不变，而腰长发生变化，那 么 下 列 量 中 不 变 的 是 （）A .点 。到 边A 8的距离点O到 边B C的距离C .点 。到 边C D的距离点O到 边D A的距离【 答 案 】D【 分 析 】变化后的梯形为ABC。 ，对 角 线的交点为。 ，连 接00,利用平行证出 ABOs/XcDO, A B O sA C D O 列出比例式即可证

21、出=半；，从而证出0 0 / D D ,然后根据平行线之间的距离处处相等即可证出结论.【 详 解 】如下图所示，变化后的梯形为A6C。 ，对角线的交点为0,连 接0。nAt,由 题 意 易 知 :CD= C DVABZ/CD, AB/ C D.,.ABOACDO, XBO7 .CDO. AB BO AB BO CD - DO CDi DO.BO BOD O DO：. OO DD根据平行线之间的距离处处相等，可得点O 和点。 到DA的距离相等，点 O 和点O 到 AB、BC、CD的距离不一定相等/ . 不变量是点O 到边D A 的距离故选D.【 点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线之

22、间的距离，找出相似三角形并证出0 0 / D D 是解题关键.13. （ 2021上海黄浦区九年级一模）己知口 A 3 C 与口。石尸相似，又 NA = 40。 ，ZB = 6 0 ,那么N O 不可 能 是 （）A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【 答案】D【 分析】利用三角形的内角和定理即可求出N C ,然后根据相似三角形的性质和对应情况分类讨论即可得出N D 可能的度数，从而作出判断.【 详解】解：: A B C 中，NA = 40。，AB = 60二 ZC =1800-ZA -ZB =80A B C 与口 。石 尸相似ZD=ZA=4（ ） 。 或ZD=ZB=60或Z D=

23、 ZC=80:.ND不可能是100故选：D.【 点睛】此题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据相似三角形的性质分类讨论是解题关键.14. （ 2021上海浦东新区九年级一模） 如图， 在UABC中， 点 D、 F 是边AB上的点， 点 E 是边AC上的点，如果/A C D = /B , D E/BC, E F /C D ,下列结论不成立的是（）A-4B CA. AE2 = AF -ADB. AC2 = AD-ABC. AF2 = AE ACD. AD2 =AFAB【 答案】C【 分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可.【 详解】解：VDE/BC

24、, EF/CD,/.ZADE=ZB, ZACD=ZAEF,又：NACD=NB,二 ZADE=ZAEF,VZADE=ZAEF, NA=NA,二 U AEFs U ADE,AE AD A F A E 二AE2 = AE A。，故选项A正确；VZACD=ZB, ZA=ZA,ALJ ACDU ABC,. AC _ ADAC2 = AD - AB 故选项B正确；VDE/BC,. AE AD,* AC- AB EF/CD,. AE AFA C - AD . AF _ AD*. AD2 = AF A B故选项D 正确；V EF/CD ,. AE _ AF 7 C - AD AF A C = A E A D

25、, 故选项C 错误，故选：C.【 点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键.15. （ 2021上海浦东新区九年级一模）A、B 两地的实际距离AB=250米，如果画在地图上的距离A 8 =5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A. 1 ： 500 B. 1 ： 5 000 C. 500 ： 1 D. 5 000 ： 1【 答案】B【 分析】地图上距离与实际距离的比就是在地图上的距离AB1与实际距离AB的比值.【 详解】解：；250 米=25000cm,A B : AB =5： 25000=1： 5000.故 选 : B.

26、【 点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一.16. （ 2021. 上海静安区. 九年级一模）在 ABC中，点 D、E 分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DEBC的 为 （ ）AA _B_C_ = _A_B Bn _A_C_ _A_B C门 _A_C_ _A_B D卜 _A_C_ _B_DDE AD AD AE CE BD AB CE【 答案】C【 分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可.【 详解】解 ：当 生 =竺 时 ，不 能 判 定DEBC, A选项错误;DE ADAR时 ，不 能 判 定DEBC, B选项错误；

27、AD AEN r A RHj, DEBC, C 选项正确；CE BD任 二 处 时 ，不 能 判 定DEBC, D选项错误；AB CE故选：c.【 点 睛 】本题考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键.17. （2021 上海宝山区九年级一模）如图，A B /D E , BCHDF ,已 知A/：尸8 = 加 ： ，BC = a ,那么CE等 于 （） .amA . nanB.mamC . -m 十 几anD . -+ n【 答 案 】D【 分 析 】先证明:yd Z T 四 边 形OE3尸是平行四边形，可 得 。/ 二B E ,利 用A/： 尸8 二根

28、： ，再求解=- - - - - - ,再AB m + n证 明 口4。尸利用相似三角形的性质求解 雇 ，再利用线段的和差可得答案.【 详 解 】解 ： A B /D E , BC/DF ,四 边 形 。石3尸是平行四边形,:,DF = B E，*/ A F : FB = m :匕，AF _ mAB m-n. D F /B C ,:D AD FC AC BA F DF A DA8 - BC - ACA B / / D E ,B E _ AD _ mB C A C m + nB C = a ,m + n m a na： .C E = a -=-m + n m + n故选：D .【 点睛】本题考查

29、的是平行四边形的判定与性质，比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.18. （ 2021上海崇明区九年级一模）已知线段。、b 、C、d 的长度满足等式 = c d , 如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（）a c a d b d b cA. = - B. - = - C. - = - D . = 一b d c b c a d a【 答案】A【 分析】根据比例的两内项之积等于两外项之积逐项排查即可.【 详解】C l C解：A.由丁 二: 可 得 be=a d ,故 A 选项符合题意；b aB.由j= 可得 ab= cd,故 B 选项不符

30、合题意；c bh dC.由一=一可得ab= cd,故 C 选项不符合题意；c ab c口. 由一=可得ab= cd,故 D 选项不符合题意.d a故答案为A.【 点睛】本题主要考查了比例的基本性质，即掌握两内项之积等于两外项之积成为解答本题的关键.19. （ 2021 上海九年级一模）如图，在口 A 3 C 中，点 。在边A B 上，D E / 7B C , D F / / A C ,联结BE, B E与 。尸相交于点G , 则下列结论一定正确的是（）AD DE AE BF BD BFA - = - B - = - C - = -DB BC AC BC AD DE【 答案】C【 分析】根据相似

31、三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可.【 详解】解：VDE/7BC, DF/7AC,二四边形DFCE是平行四边形，DG BFD . - -GF FC，DE=CF, DF=CE,VDE/7BC, DF/7AC,/ . ADEAABC, BFDABAC,. AD _ DE,故 A 错误；AE ADCFAECF f即=-.）故 B 错误;A C -A B -BCACBC.BDBF _ BF DFA C ,故 C 正确；,IDCFDE. DGDECFV D E /7B C ,故 D 错误，GF BFBF故选：c.【 点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与

32、性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键.二、填空题20. （ 2021西安市第二十三中学九年级一模）如图，菱形A 3C O 的边长为12, ZABC = 60 , 连接A C ,E F 1 A C ,垂足为H , 分别交AD , AB, C B 的延长线于点E, M, F .若 他 : F8 = 1 :2 ,则 C 4 的长为【 答案】10【 分析】连接5 D ,交AC于点O ,根据菱形的性质和等边三角形的判定易知口ABC是等边三角形，进而可得AM AE 1AC = AB = 1 2 ,根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 易 证 ，继而可 知 而_ = 而 =/，根

33、据平行线的判定可得E F/3。 ，继而可 知 器 = = g ，继而根据菱形的性质即可求解.【 详解】如图，连接5 0 .交ACT点0. . 四边形ABC。是菱形，二 AB = BC . ： ZABC = 60 , . 口4 3。是等边三角形，AC = AB = 2.: AD/BC ,：.QAEMQBFM ,. AM AE ：EFL AC, BDLAC: .EF/BD,. AH _ A M _ l A” 一 I AO 3 OA = OC, AH _ A C 67 .C = *A C = 9X12 = 10.6 6【 点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定及性质、相似三角形的判定及其性质，平

34、行线的判定及其性质,解题的关键是综合运用这些知识点，做辅助线构造有关的线段关系.21. （ 2021. 河南许昌市. 九年级一模）若; ,则的值为.a + b 3 a【 答案】2【 分析】由题意，计算得到2a = b,即可求出答案.【 详解】.3a = a + b,，2a = b ,. b -. . =2 ；a故答案为：2.【 点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确得到2。= 6 .22. （ 2021云南九年级一模）如图，有一正方形A B C 。，边长为4 , 点 E是边CD上的中点，对角线8 。上有一动点F,当顶点为A、B 、F的三角形与顶点为D、E 、F的三角形相似时，的值为.BC

35、【 答案】2&或 随 .3【 分析】分口 A B F D F D E和口 A B F E D F两种情形求解即可.【 详解】依题意可得：B D = lA B2 + A D2 =4 + 4 2 = 40 ，设= x，则有。尸 =4夜 一x ；当Zl A B R s口 尸 。后时，（ 如 图1）d lD F D E 42-x 2 绍少 用由- - -=- - - - 得- - - - - - - - =,解得：x = x , = 2V 2 ：B A B F 4 x当 A B F / 时 ，（ 如图2）由 空 =也 得W = 2,B F B A x 4解得：x = 妪 ;3综上所述，8尸的值为2&或

36、 半 .故答案为：2正 或 辿 .3【 点睛】本题考查了正方形背景下的三角形相似，熟练掌握三角形相似的判定定理，灵活运用分类思想求解是解题的关键.23. （ 2021. 陕西九年级零模）如图，在正方形A8CO中，AB = 4 ,点H在C。上，且C H = 1 ,点E绕点B旋转，且8E = 1 ,同时在CE上方作正方形E F G C ,则线段/ 的最小值是-【 答案】5-V 2【 分析】连接CF, A C ,证明AFC B E C ,从而根据点E的运动轨迹发现点F是以点A为圆心，AF = O为半径的圆上运动，当A, F, H三点共线时，FH有最小值.【 详解】连接CF, AC,四边形ABCD,

37、EFGC都是正方形，:.CD = AB = 4,AC = B C ,F C = yiE C，CH = 1,:.DH = CD -CH =3.v = = V2,ZFCA = ZECB ,BC ECAAFCO BEC，EB点E是以点B为圆心，BE = 1为半径的圆上运动，/ . 点F是以点A为圆心，AF =应 为半径的圆上运动,当 A, F, H 三点共线时，FH有最小值,此时 AH = ,AD2 + ）H2 =5 ,:.F H = 5-五，故答案为：5 - 7 2 .【 点睛】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定及性质，找到点F 的运动轨迹是解题的关键.24. （ 2021 上海金山区九年级

38、一模）如图，在口4 8 8 中，点 E 在边8 c 上，0 E 交对角线A C 于 尸，若CE = 2BE , 的面积等于1 5 ,那么A FEC的 面 积 等 于 .【 答案】4【 分析】由ciABCI） 可得 AD=BC、AD BC,由 CE = 2B E 可得 AD=BC=3BE,过 F 作 FN_LBC、FM_LAD擢b ABC 的MN 5高为M Nn AFD的高为FM,再说明 ADFA CEFflA ENFA DMF进而得到= 一, 进而求得4 AFDFM 3的面积，最后根据相似三角形的性质求得 EFC的面积即可.【 详解】W： ：oABC D； .AD=BC、AD/BCCE = 2

39、BE； .AD=BC=CE+BE=3BE如图：过 F 作 FN_LBC交 BC于 N , 交 AD于 M,VAD/BC,.,.FMAD,/ . ADF0A CEF, EN FS A D M F. EF EC _ 2 FN EF _ 2, D F D 3 F M D F 3. M N _ 5 F M 3：AD=BC： . 1q =（A 即%& =a，解得Sa e A8C , 13 b故 填 :4 .【 点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答本题的关键.三、解答题25. (2021. 哈尔滨市萧红中学九年级一模) 已知，DABC内接于圆O ,过点

40、C作AB的垂线， 垂足为点E,交圆。于点 .连接 M N ,若 4 N M F = 2 4 N B A , F O = 3 ,求 MN 的长.图1图2( 1 )如图 1 ,连接O B ,求证：Z A C D = ZCBO-,( 2 )如图2 ,过点。作AB的垂线，垂足为G ,交BC于( 3 )如图3 ,在( 2 )的条件下，连接O E交4 8于点M,图3F ,若 /G = A G ,求证AB = CO；过点8作 。尸的垂线交C。 于点N ,垂足为“,【 答案】( 1 )见解析；( 2 )见解析；( 3) M N = M【 分析】(1)连接 0C ,由题意易得 N B O C = 2ZA, Z

41、O C B = Z O B C , Z A E C = 90,则有 ZA+NACE = 90 ,由三角形内角和定理得N B O C + 2 Z C B O = 180。 ，然后问题可求证；(2 )连接A D ,由题意易得口 歹68是等腰直角三角形，CEB是等腰直角三角形，进而可得CE = BE,A E = D E ,然后问题可证；(3)延长NM、FG交于点R,连接8R,过点R作/ ?7J_CO于7,设/x =， 则有NA5N = NC0F = x ,2x = Z C D F + D N M ,进而可得NTT?且EJBEN ,则 E N = R T = E G ,然后可设 AE = m ，则A

42、E = E D = E G = N E = in,连接。N ,可证四边形ENOG是正方形，口 。EMsOFGM ,由相似三角形的性质及勾股定理可求解.【 详解】证明：( 1 )连接0 C ,如图所示：图1O C = O B ,： .Z O C B = Z O B C ,C D 1 A B ,： . Z A E C = 9Q.NA+NACE = 90,Z B O C = 2NA,二在COB 中，ZBOC + 2ZCSO = 180,二 2NA + 2 Z C B 0 = 180,即 NA + N C B O = 90 ,N A C D = Z C B O(2 )连接A,如图所示:图2V FG L

43、AB,：. AG = BG,V FG = AG,：. FG = BG, /GB是等腰直角三角形， /FBG = /GFB = 45。 ,V C D 1A B , CD/FG, /DCB = /GFB = 45。 , .CE5是等腰直角三角形，:CE=BE , . NDCB = NDAB = 45。 ,：. ZDAE = ZADE = 45, AE = DE , AB = AE+BE,CD = CE+BE , AB=DC ,( 3 )延长N M、FG交于点、R ,连接 以 ，如图所示:设 /。 。/ = 元 ， A B CD,BN上DF , ADEM = ZBHM = 90 , / ZEMD =

44、 NBMH ,：. ZABN = ZCDF = x, : NNMF = 24NBA, ZNMF = ZCDF + ZDNM , 2x = ZCDF + ZDNM , ZDNM =x = ZCDF , MN = DM , EN = ED ,同理可得：FM = RM , : MG V F R ,：. FG = RG = BG , /G RB = /G BR ,过点R作RTLCD于T ,如图所示： ZMRG = ZABN = x ,，ZNRB = ZNBR,: .NR = BN ,：. /B E N = NNTR = 9。 。 ,: ZTNR = ZABN = xf.,NTRBEN CAAS . E

45、N = RT = EG ,设 AE = 机，则 AE = ED = EG = NE = m ,: AG = BG = 2m,，AB = 4m ,/ AB = CD,: .CD = 4根,CN = 2m , . CN = DN ,连接ON , 如图所小：T R ON 1C D ,：. ZONE = /N EG = NOGE = 90 , 四边形ENOG是正方形，: .OG = EN = m ,* .* FG = BG = 2m ,: .OF = OG = tn ,V 0 1 = 3,: m = 3 ,/ DE/FG,工 U D E M 气 F G M ，. D E E M F G M GE M

46、_ 1MG - 2即3 =6E M + M G = 3,/. E M = 1,由勾股定理得：M N = l E N2 + E M2 =Vi() 【 点 睛 】本题主要考查圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.26. (2021 安 徽 九 年 级 一 模 ) 如 图 ，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若 点 历 在 边AC上 ，点 、 N 在 边 B C上 ，沿 直 线MN将翻折，使 点C落 在 边AB上 ，设 其 落 点 为P.( 1)求 证：A M = P N ；P A C M( 2 )当 点P是 边A 8的中点时，求 证 ： ；

47、P B C NPA C M( 3 )当 点P不 是 边A 8的中点时， 而 = 菽 是 否 仍 然 成 立 ？请说明理由.【 答案】(1 )见解析；(2 )见解析：(3 )成 立 ，理由见解析.【 分 析 】( 1 )连 接P C ,根 据折 叠 的 性 质 得M N是PC的垂直平分线，证 明AM =PM =AC即可得到结论；( 2 )易证得AC M N s/XC A B,然后由相似三角形的对应边成比例，证 得 要 =空 = 1，继而可得比例式C N B CP A _ C M P B C N :(3 )首先连接 P C ,则 MN_LPC,过点 P 作 PEJ_AC 于点 E ,易证得 AEP

48、s/ACB, MCNAPEC,PA C M然后由相似三角形的对应边成比例，证得F = 成立.P B C N【 详解】解：( 1)连接P C ,如 图 1,图1ABC是等腰直角三角形，ZC=90, NA=/B=45.MC=NCVM N是折痕，二 MN 垂直平分 PC, MN/AB, MC=PM=PNA C PI AB, ZMPC=ZMCP=45ZMPA=45NMPA=NA； .AM=PM.AM=PN( 2 ) 如 图 1,：MN是折痕，.MN垂直平分PC,VAC=BC, AP=BP,PA； .CP_LAB, = 1,PB； .MNAB,/ . CMNACAB,. CM AC ,. -= -= 1

49、 ,CN BC. PA _ CMPA CM( 3 ) 当点P 不是边AB的中点时，=仍然成立.PB CN理由：如 图 ( 2 ) , 连接P C ,则 MNLPC,图2过点P 作 PE，AC于点E,V ZACB=90, NA 是公共角，.,.AEP-AACB,PA _ A E,PB-C VAC=BC,.*.ZA=ZB=45, ZAPE=ZB=45,； .AE=EP,V ZMCN=90, CPMN,/.ZECP=ZM NC,/ . MCNAPEC, CM CN P E E C . CM PE AEC N EC EC .PA _ CMPBCN 【 点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质

50、以及等腰三角形的判定与性质. 此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.27. （ 2021内蒙古呼和浩特市九年级一模）如图，在 R S ABC中，/ABC=90。 ，AC的垂直平分线分别与A C , 8 c 及 A 8的延长线相交于点。，E , F,且 B F = 8 C , 是A B M 的外接圆，NEBF的平分线交E F于点 G , 交。于点H , 连接8。，F H .( 1 ) 试判断8。与。的位置关系，并说明理由；( 2 ) 若 A B =1,求 HGHB 的值.【 答案】( 1)8。与。相切，理由见解析；( 2) HG HB=2+梃.【 分析】( 1)连接O B

51、,由已知可以得到NOBD=90。 ，从而得到BD与。O 相切；(2)连接AE,OH,由已知可得 FHGABHF,从而HG-HB=小 M ， 同样由已知可 得 小 = = 2 + & ,2进而得到问题答案.【 详解】(1)BD与。0 相切.理由如下：连接0B. 在 R S ABC 中，ZC +Z A=90,在 RtA ADF 中，ZAFD+ZA=90,NC=NAFD.又：G ) O 是 RtA EBF的外接圆，二0 是 EF的中点, OB=OF,A ZOBF=ZOFB.XVZC=ZOFB,.ZC=ZO BF.V ZABC=90, D 是 AC 的中点，ADB=DC,/.ZDBC=ZC,: . Z

52、DBC=ZOBF.，NOBD=NOBE+/DBC=NOBE+NOBF=NEBF=9(),； .B D 与(DO相切.(2)连接 AE, OH.Z C = ZAFD,在 ABC 和 EBF 中，I B C = BF,N A B C = N E B F = 90,:ABCAEBF.BE=AB=LA it RtA ABE 中，AE=V2 -：DF垂直平分AC,CE=AE= y/2 ,BF=BC=BE+CE= 1 + 72 -在 RtA BEF 中，E B E T + B F + l y f i .； BH 平分 NEBF,，ZEBH=ZHBF=45, ZHOF=2ZHBF=90.乂 NHFE=NEB

53、H,ZHFE=ZHBF.而 NFHG=NBHF,/ . FHGABHF.H G H F pn ，=，即 HG HB=HF-,H F H BE FVOF=OH=2、 EF? t -: .HF=OF-+OH-=2OF-=-=2+ 夜,.*.HG HB=2+72 .【 点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆与直线相切的判定定理、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用是解题关键.28. （ 2021. 山东青岛市. 九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=8cm, BD为对角线. 点P为线段CD上一动点，点 P 从点D 出发，向点C 匀速运动，速度为lcm/s

54、；点 Q 为 BC上一动点，过点Q作 BD的垂线，交 BD于 M ,交 AD于点N , 点 Q 从点C 向点B 运动，速度为lc m /s,当点P 停止运动时,点 Q 也停止运动；设运动时间为t (s) (0 tEA.【 点睛】本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握上述知识.30. （ 2021. 上海金山区. 九年级一模）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一 半 . 如 图1中，Z A = - Z O .2已知：如图2, A C是。的一条弦，点。在。 。上 （ 与A、。不重合） ，联结D C交射线A O于点E ,3联结。0,。的半径为5, tan Z

55、 O A C = - .4（ 1）求弦A C的长.（ 2）当点E在线段O A上时，若A O O E与A A E C相似，求N O C A的正切值.( 3)当O E = 1时，求点A与点。之间的距离( 直接写出答案).11 O _【 答案】( 1 )8 ； ( 2 ) t a n/ O C4 = ； ( 3)当O E = 1时，A D的长是2石 或a J i存 .【 分析】( 1 )如 图1 ,作0 ” _ L A C垂足为点H , OH过圆心，由垂径定理得：A H = C H = - A C ,运用勾股定23理和t a n N 0 AC = 可求解出结果；4( 2 )由相似和条弧所对的圆周角等

56、于这条弧所对的圆心角的一半可得到N D O E = N A, O D / / A C ,通过相似比可求出AE的长，作E G，A C垂足为G ,得到G E / / 0 H ,再运用相似比求出E G和C G的长,即求出最终结果；3( 3)如图5 ,当点E在线段0 A上时，延长A 0交。于M ,通过t a n N Q AC =得到A G和E G ,再通过4勾股定理求出CE的长，通过口口 C4 E求出DE的长，最后在运用勾股定理运算即可；如图6 ,当E在A O延长线上时，EGA. A C ,连 接DM, A D ,运用同样的方法可求出第二个结果.【 详解】( 1 )解：如图3,作A C垂足为点H ,。

57、 ” 过圆心，由垂径定理得：A H C H = - A C ,2. . . 在 Rx.OAH 中 t a n Z.OAC = -= ,设 O H = 3x, A H = 4 x,A H 4. . . 在 R t AO A”中，可得：O H2 + A H2 = 0 ，由。的半径为5 可得：( 3x+ ( 4 x)? = 5 ? ,解得：x = l, ( x = - 1 舍 去 )，=3, A =4 ,:.A C = 2 A H =S.图3(2)7 NDEO = ZAEC ,：.当D OE与 M E C相似时可得：ZDOE = ZA或者NDOE = ZACD ：由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧

58、所对的圆心角的一半. 可知：ZACD = -ZDOE ,2，ZACD 丰 ZDOE：.当XDOE与AAEC相似时不存在NDOE = ZACD情况.当 AOOE 与 A4EC 相似时，ZDOE = ZA ,二 OD/AC ,. OP 0EACAE0 0 = 04 = 5,AC = 8 ,得g = 5 AE8 AE)13作 EG LAC 垂足为 G ,可得：ZAGE = ZAHO = 90，： G E OH , A E_ EGAG40即万 EG 4G. . 布0HAH丁一亍一丁_24EG ,133232 72AG = , CG = 8 = .1313 1324EG 1:.在 RtACEG 中，ta

59、n Z.DCA - - - .CG 72 3l3D( 3)如图5 ,当点E在线段O A上时，延长A O交。于M,连接 DM, AD, EG LAC,O E = 1 , AE =4 , ME =6 ,a又t a nN O AC = 二 ,4 AG同（ 1 ）中的计算方法，AG = , EG = ,5 3.rr o 1 6 2 45 5CE = y/EG2 + CG2 = ，5又rNDME = ZECA, ZMDE = ZEAC ,：nMDEQJCAE,MD MEACCEMD 6 8 1 2石， M D = 4 .5AD = IAM2-D M2 = 4 1 0 ） 2 一（4扃=2 7 5 ；如图6 , 当 E 在 AO延长线上时，EG 1 AC , 连接DM, AD,3 EGtan ZOAC = - =,4 AGOE=1, AE=6, ME=4,24 18同理可得，AG= , EG = ,.CG = 8一个弋，：.EC7EG2+CG2) 5同理口 。四 口 匚 A C E,ME DMCEAC4 DM , 革 F w 二噂,. . 当OE = 1时，A O 的长是2君 或【 点睛】本题考查圆的综合运用，难度比较大，涉及圆的基本性质，相似三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识,需要有较强的数形结合能力，根据条件添加适当的辅助线是和解决本题的关键.