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1、 2013 年中考数学专题复习第二十七讲 相似图形 【基础知识回顾】 一、 成比例线段： 1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段，的长度分别为 m、n 则这两条线段的比就是它们 的比，即：ABCD= 2、比例线段：四条线段 a、b、c、d 如果ab= 那么四条线段叫做同比例线段，简称 3、比例的基本性质：ab=cd 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：相似三角形的对应角 对应边 相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 相似三角形周长的比等于 面积的比等于 1、 判定：
2、基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似 两边对应 且夹角 的两三角形相似 两角 的两三角形相似 三组对应边的比 的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：相似多边形对应角 对应边 相似多边形周长的比等于 面积的比等于 一、 位似： 1、 定义： 如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形
3、叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位 r，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】 【典型例题解析】 考点一：比例线段 例 1 （2012福州） 如图，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC 的平分线 BD 交AC 于点 D，则 AD 的长是 ，cosA 的值是 （结果保留根号） 对应训练 2 （2012孝感）如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于
4、点 D，若 AC=2，则 AD 的长是（ ） A512 B512 C51 D51 考点二：相似三角形的性质及其应用 例 2 （2012重庆）已知ABCDEF，ABC 的周长为 3，DEF 的周长为 1，则 ABC与DEF 的面积之比为 对应训练 2 （2012沈阳）已知ABCABC，相似比为 3：4，ABC 的周长为 6，则ABC 的周长为 考点三：相似三角形的判定方法及其应用 例 3 （2012徐州）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC= 14BC图中相似三角形共有（ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 对应训练 3. （2012攀枝花）
5、如图，ABCADE 且ABC=ADE，ACB=AED，BC、DE交于点 O则下列四个结论中，1=2；BC=DE；ABDACE；A、O、C、E 四点在同一个圆上，一定成立的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 考点四：位似 例 5 （2012玉林）如图，正方形 ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上， 正方形 ABCD与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O为中心的位似图形， 已知 AC=32， 若点 A的坐标为 （1， 2） ， 则正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是 （ ） A16 B13 C12 D 23 对应训练 5 （20
6、12咸宁）如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：2，点 A 的坐标为（1，0） ，则 E 点的坐标为（ ） A （2，0） B （3 3, )2 2 C( 2,2) D (2,2) 【聚焦中考】 1 （2012潍坊）已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（ ） A512 B512 C3 D2 2 （2012东营）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y
7、 轴上，如果矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 14，那么点 B的坐标是（ ） A （-2，3） B （2，-3） C （3，-2）或（-2，3） D （-2，3）或（2，-3） 3. （2012日照）在菱形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE 交 BD 于点 F，若 EC=2BE，则 BFFD的值是（ ） A12 B13 C14 D 15 4.（2012德州）为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中 ABBE，EFBE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上有四位同学分别测量
8、出以下四组数据：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根据所测数据，求出 A，B 间距离的有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 F 5 （2012威海）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为（4，0） ， （8，2） ，（6，4） 已知A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3） ， （2，5） ，若ABC 与A1B1C1位似，则A1B1C1的第三个顶点的坐标为 6 （2012菏泽）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 和DEF 的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题
9、： （1）试证明三角形ABC 为直角三角形； （2）判断ABC 和DEF 是否相似，并说明理由； （3）画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P2，P3，P4，P5中的 3 个格点并且与ABC 相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明） 考点：作图相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定 【备考真题过关】 一、选择题 1 （2012凉山州）已知 513ba，则 abab的值是（ ） A23 B32 C94 D49 2 （2012天门）如图，ABC 为等边三角形，点 E 在 BA 的延长线上，点 D 在 BC 边上，且 ED=EC若ABC 的边长为 4，AE=2，则 BD 的长为（
10、） A2 B3 C3 D31 3 （2012宁德）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD的各边上，EFACHG，EHBDFG，则四边形 EFGH 的周长是（ ） A10 B13 C2 10 D2 13 5.（2012铜仁地区）如图，六边形 ABCDEF六边形 GHIJKL，相似比为 2：1，则下列结论正确的是（ ） AE=2K BBC=2HI C六边形 ABCDEF 的周长=六边形 GHIJKL 的周长 DS六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL 6. （2012荆州）下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点
11、上，则与ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ） A B C D 7. （2012海南）如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，要判定ADB 与ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ） AABD=C BADB=ABC CABCBBDCD DADABABAC 8 （2012遵义）如图，在ABC 中，EFBC， 12AEEB，S四边形BCFE=8，则 SABC=（ ） A9 B10 C12 D13 9. （2012宜宾）如图，在四边形 ABCD 中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= 12AB，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，则AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为（ ） A
12、17 B16 C15 D14 10 （2012钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A点 M B点 N C点 O D点 P 11 （2012毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位中心，将ABO 扩大到原来的 2 倍，得到ABO若点 A 的坐标是（1，2） ，则点 A的坐标是（ ） A （2，4） B （-1，-2） C （-2，-4） D （-2，-1） 二、填空题 12 （2012宿迁）如图，已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB，若 S1表示 PA 为一边的正方形的面积， S2表示长是 AB， 宽是 PB 的矩形的面积， 则 S1 S2（填“”“
13、=” 或“”） 14.（2012自贡）正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点，且始终保持 AMMN，当 BM= cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为 cm2 15. （2012资阳）如图，O 为矩形 ABCD 的中心，M 为 BC 边上一点，N 为 DC 边上一点，ONOM， 若 AB=6， AD=4， 设 OM=x， ON=y， 则 y 与 x 的函数关系式为 。 16.（2012镇江）如图，E 是ABCD 的边 CD 上一点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点F，且 AD=4， 13CEAD，则 CF 的长为 17.（2012泰州）如
14、图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 P，则 tanAPD 的值是 18 （2012青海）如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，标杆 BE 高 1.5m，测得 AB=2m，BC=14cm，则楼高 CD 为 m 19. （2012娄底）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内 M 处的运动员林丹把球从 N 点击到了对方内的 B 点，已知网高 OA=1.52 米，OB=4 米，OM=5 米，则林丹起跳后击球点 N离地面的距离 NM= 米 20.（2012北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己
15、的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，则树高 AB= m 21.（2012阜新） 如图，ABC 与A1B1C1为位似图形，点 O 是它们的位似中心，位似比是 1：2，已知ABC 的面积为 3，那么A1B1C1的面积是 三、解答题 22 （2012上海） 己知： 如图， 在菱形 ABCD 中， 点 E、 F 分别在边 BC、 CD， BAF=DAE，AE 与 BD 交于点 G （1）求证：BE=DF； （2）当 DFADFCDF时，求证：四边形 BEFG
16、 是平行四边形 23 （2012云南）如图，在ABC 中，C=90，点 D 是 AB 边上的一点，DMAB，且DM=AC，过点 M 作 MEBC 交 AB 于点 E 求证：ABCMED 24 （2012株洲）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，沿直线 MN 对折，使 A、C 重合，直线 MN 交 AC 于 O （1）求证：COMCBA； （2）求线段 OM 的长度 25. （2012株洲）如图，在ABC 中，C=90，BC=5 米，AC=12 米M 点在线段 CA 上，从 C 向 A 运动， 速度为 1 米/秒； 同时 N 点在线段 AB 上， 从 A 向 B 运动， 速度为 2
17、米/秒 运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，AMN=ANM？ （2）当 t 为何值时，AMN 的面积最大？并求出这个最大值 26. （2012江西） 如图 1， 小红家阳台上放置了一个晒衣架 如图 2 是晒衣架的侧面示意图，立杆 AB、CD 相交于点 O，B、D 两点立于地面，经测量： AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链 EF 成一条直线，且 EF=32cm （1）求证：ACBD； （2）求扣链 EF 与立杆 AB 的夹角OEF 的度数（精确到 0.1） ； （3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到 122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由 （参考数据：sin61.90.882，cos61.90.471，tan61.90.553；可使用科学记算器）
