近独立粒子的最概然分布

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1、第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布第七章 近独立粒子的最概然分布第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7. 1 粒子运粒子运动状状态的的经典描述典描述7. 2 粒子运粒子运动状状态的量子描述的量子描述7. 3 系系统微微观运运动状状态的描述的描述7. 4 等概率原理等概率原理7. 5 分布和微分布和微观状状态7. 6 玻耳玻耳兹曼分布曼分布7. 7 玻色分布和玻色分布和费米分布米分布7. 8 三种分布的关系三种分布的关系第七章第七章第七章第

2、七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.1 粒子运粒子运动状状态的的经典描述典描述 宏宏观物体是由大量微物体是由大量微观粒子构成的，并且粒子构成的，并且这些微些微观粒子不粒子不停地停地进行着无行着无规则的运的运动。 研究方法：研究方法： 1、热力学方法力学方法2、统计物理学方法物理学方法 统计物理是研究物理是研究热运运动的微的微观理理论。它。它认为宏宏观物理系物理系统是由大量微是由大量微观粒子粒子组成的，物成的，物质的宏的宏观性性质是大量微是大量微观粒子运粒子运动的集体表的集体表现，宏，宏观物理量是相物理量是相应微微观量的量的统计平均平

3、均值。微微观量量微微观状状态对应对应 我我我我们们先看看如何描述粒子的运先看看如何描述粒子的运先看看如何描述粒子的运先看看如何描述粒子的运动动状状状状态态！第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 根据它遵从的是经典的还是量子的力学运动规律，分为经典根据它遵从的是经典的还是量子的力学运动规律，分为经典描述和量子描述描述和量子描述.运动状态运动状态运动状态运动状态是指粒子的力学运动状态是指粒子的力学运动状态注：注：原则上说微观粒子是遵从量子力学的运动规律的经典原则上说微观粒子是遵从量子力学的运动规律的经典理论在一定的极限条

4、件下仍具有意义理论在一定的极限条件下仍具有意义量子力学情形量子力学情形经典力学情形经典力学情形第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.1.1 7.1.1 经经典描述典描述典描述典描述 设粒子的自由度为设粒子的自由度为r ，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的的r个广义坐标个广义坐标q1、q2、qr和相应的和相应的r个广义动量个广义动量p1、p2、pr在该在该时刻的数值确定，粒子能量时刻的数值确定，粒子能量是其广义坐标和广义动量的函数是其广义坐标和广义动量的函数即即 = （ q1、q

5、2、qr ， p1、p2、pr） 更一般更一般 = （qi、pi、i ） （i = 1、2、r） 为非参量为非参量如果存在外场，如果存在外场， 还是描述外场参量的函数还是描述外场参量的函数 在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成量函数写成H函数，函数， 即即 = H（ qi、pi ） （i = 1、2、r） 运动方程为运动方程为 （i = 1、2、r） 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 当某一初使时刻当某一初使时刻t0给定了给定了qi、p

6、i 的初值的初值qi0、pi0 之后，由正之后，由正则运动方程可确定在任何相继时刻则运动方程可确定在任何相继时刻t， qi、pi 的数值，因而这个的数值，因而这个力学系统的运动状态就完全确定了。力学系统的运动状态就完全确定了。所以一组所以一组qi、pi 数值把每数值把每个粒子的运动状态都完全确定了个粒子的运动状态都完全确定了. 这就是微观运动状态。这就是微观运动状态。 而使用粒子的坐标和动量的方法叫做微观描述法，也可以而使用粒子的坐标和动量的方法叫做微观描述法，也可以借助几何表示法讨论力学体系运动状态，用借助几何表示法讨论力学体系运动状态，用q1、q2、qr ； p1、p2、pr为直角坐标构成

7、一个为直角坐标构成一个2r维空间，这个空间称为相空间维空间，这个空间称为相空间（即（即空间）。空间）。相空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为相空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为代表点代表点。 当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在空间中空间中移动，描画出一条轨迹称为移动，描画出一条轨迹称为相迹相迹。 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 7.1.2 7.1.2 具体具体具体具体实实例例例例1 1、自由粒子、自由粒子、自由粒子、自由粒子（1）一维空

8、间中运动）一维空间中运动 不受力的作用而作自由运动的粒子当不存在外场时，理不受力的作用而作自由运动的粒子当不存在外场时，理想气体的分子或金属的自由电子都可看作自由粒子想气体的分子或金属的自由电子都可看作自由粒子 自由度自由度r=1确定粒子在任一时刻的位置的坐标确定粒子在任一时刻的位置的坐标 x动量动量能量能量相空间相空间2r 维px能量为的粒子的相迹十一条直线。能量为的粒子的相迹十一条直线。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布（）三维空间中运动（）三维空间中运动自由度自由度 r=3坐标坐标x, y, z动量动量能量能

9、量相空相空间2r 维=维2 2、线性谐振子、线性谐振子、线性谐振子、线性谐振子质量量为m的粒子在的粒子在弹性力性力 f= -kx作用下，将在原点附近作作用下，将在原点附近作简谐振振动，称，称为线性性谐振子振振子振动的的圆频率率为 =(k/m)1/2.取决于取决于弹性力系数性力系数k和粒子的和粒子的质量量m 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布在一定条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在在一定条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可看作简谐振动其平衡位置附近的振动都可看作简谐振动自由度

10、自由度r=1坐坐标x共轭动量共轭动量相空相空间2维能量是其动能和势能之和能量是其动能和势能之和第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布如果给定振子的能量如果给定振子的能量，对应点的相迹就由如下方程确定：，对应点的相迹就由如下方程确定： 即为椭圆方程即为椭圆方程x xp pn=0n=1n=2n=3 对于遵从经典力学对于遵从经典力学规律的谐振子，振子规律的谐振子，振子的能量原则上可取任的能量原则上可取任何正值何正值能量不同，椭圆就不同能量不同，椭圆就不同第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近

11、独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 7.2 粒子运粒子运动状状态的量子描述的量子描述 量子描述量子描述量子描述量子描述德布罗意假说：德布罗意假说：一切微观粒子都具有波粒二象性一切微观粒子都具有波粒二象性 = p = k德布罗意关系德布罗意关系德布罗意关系德布罗意关系能量能量为和和动量量为p 的自由粒子的自由粒子联系着系着圆频率率为和波矢和波矢为k 的平面波，称的平面波，称为德布德布德布德布罗罗意波意波意波意波适用于一切微观粒子适用于一切微观粒子 .普朗克常数是物理中的基本常数。普朗克常数是物理中的基本常数。 = h/2 h6.626 10-34 J S =1.055 10-34 J S

12、 普朗克常数普朗克常数:第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 普朗克常数也称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别普朗克常数也称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采用经典描述或量子描述的判据。采用经典描述或量子描述的判据。 当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗 克常数相比拟的数值时，这个物质系统就是量子系统。克常数相比拟的数值时，这个物质系统就是量子系统。 如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用

13、普朗克常数来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力学来研究来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力学来研究.在量子力学中，微观粒子的运动状态称为在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态量子态量子态量子态。 量子态由一组量子数表征量子态由一组量子数表征量子数的数目粒子的自由度数量子数的数目粒子的自由度数第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 微观粒子的运动不是轨道运动，微观粒子不可能同时具微观粒子的运动不是轨道运动，微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。有确定的动量和坐标。粒子坐标的不确定值粒子坐标的不确定值q和粒子

14、动量不和粒子动量不确定值确定值p的乘积满足的乘积满足 qph 测不准关系测不准关系 说明说明：量子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应：量子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量，因此这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，微的动量，因此这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。或量子数来描述的。 经典力学的理论中，粒子可以同时具有确定的坐标和动量，经典力学的理论中，粒子可以同时具有确定的坐标和动量，原则上不允许对这种精确度有任何限制。应理解为在经典范围原则

15、上不允许对这种精确度有任何限制。应理解为在经典范围内，波动量很小，以致于探测不到。因此认为物质有确定的坐内，波动量很小，以致于探测不到。因此认为物质有确定的坐标和动量，这并不与测不准关系发生矛盾。标和动量，这并不与测不准关系发生矛盾。 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.2.1 7.2.1 具体具体具体具体实实例例例例1 1、自旋状态、自旋状态、自旋状态、自旋状态考考虑一个粒子，一个粒子，质量量为m，电荷荷为-e，具有自旋角，具有自旋角动量量1/2粒子的自旋磁矩粒子的自旋磁矩 与自旋角量子数与自旋角量子数S之比之

16、比为 如果加上沿如果加上沿Z方向的外磁方向的外磁场，磁感，磁感应强强度度为B，则粒子自旋粒子自旋角角动量在外磁量在外磁场方向的投影方向的投影SZ有两个可能有两个可能值，即，即SZ= /2。自旋磁矩在外磁自旋磁矩在外磁场方向的投影相方向的投影相应为 Z= e /2m。 粒子在外磁粒子在外磁场中的中的势能能为 将将SZ表示表示为SZ =mS ，描述粒子的自旋状，描述粒子的自旋状态只要一个量子只要一个量子数数mS ，只能取两个分立的，只能取两个分立的值 1/2。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布2 2、线性谐振子、线性谐

17、振子、线性谐振子、线性谐振子振动的圆频率为振动的圆频率为 的线性谐振子的线性谐振子 能量的可能值为能量的可能值为n=0,1,2 线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为为 ，其大小取决于振子的圆频率。，其大小取决于振子的圆频率。其中其中 n:表征表征线性性谐振子的运振子的运动状状态和能量的量子数。和能量的量子数。上式给出的能量值是分立的。分立的能量称为能级。上式给出的能量值是分立的。分立的能量称为能级。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 空间中一个自由运动的粒子

18、，假设此空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边长为粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动。的方盒子中运动。 在量子力学中粒子的运动满足薛定谔方程：在量子力学中粒子的运动满足薛定谔方程：Lxyz0AA 7.2.2 7.2.2 自由粒子自由粒子自由粒子自由粒子 根据周期性边界条件根据周期性边界条件：粒子可能的运动状态，德布罗意波长粒子可能的运动状态，德布罗意波长 的整数倍等于容器的长度的整数倍等于容器的长度 nx=0, 1, 2 |nX|=0, 1, 2 nx=0, 1, 2 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布

19、Lxyz0AA n=0, 1, 2 nx，ny，nz表征三表征三维自由粒子运自由粒子运动状状态的量子数。的量子数。其中其中nx=0, 1, 2 同理：同理：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布以上的式子表示，动量只能取分立的值。以上的式子表示，动量只能取分立的值。总能量：总能量：能量是分立的能量是分立的! 经典粒子的动量和能量是连续的，而在量子情形中，动量经典粒子的动量和能量是连续的，而在量子情形中，动量和能量是分立的，这是局域在有理空间范围的量子粒子的特性和能量是分立的，这是局域在有理空间范围的量子粒子的特性. 相

20、邻两个能级的间距：相邻两个能级的间距：显然，若显然，若L时，时， 0，即能量此时是连续的。，即能量此时是连续的。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 如果某一能级的量子态不止一个如果某一能级的量子态不止一个,该能级称为简并的该能级称为简并的,能级的能级的量子态数称为该能级的量子态数称为该能级的简并度简并度.如果某能级只有一个量子态如果某能级只有一个量子态,该能该能级称为非简并的级称为非简并的. 三个量子数的平方和三个量子数的平方和=1时,量子量子态有有6个，称个，称该能能级简并并度度为6。n nx x=0=0n ny

21、 y=0 =0 n nz z= = 1 1n nx x=0 =0 n ny y= = 1 1 n nz z=0 =0 n nx x= = 1 1 n ny y=0 =0 n nz z=0 =0 量子量子态由量子数由量子数nx，ny，nz来描述，来描述，对于一确定的能量于一确定的能量， nx，ny，nz可取不同的可取不同的值，因此，因此，对于一确定的能量来于一确定的能量来说，系，系统有有许多量子多量子态。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.2.3 7.2.3 半半半半经经典近似方法典近似方法典近似方法典近似方法 在

22、所讨论的某些问题中，普朗克常数与有关的物理量相比在所讨论的某些问题中，普朗克常数与有关的物理量相比是一个较小的量时，可以利用半经典近似认为粒子是沿着满足是一个较小的量时，可以利用半经典近似认为粒子是沿着满足量子化条件的那些轨道运动的。这些量子化轨道与量子描述中量子化条件的那些轨道运动的。这些量子化轨道与量子描述中的量子状态相对应。的量子状态相对应。 由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所以量子态不能用相空间的一点来描述，而应用一个体积元，以量子态不能用相空间的一点来描述，而应用一个体积元，称为相格称为相格,相格的大小为相格的大小为q

23、ph . 自由度为自由度为r 的粒子，相格大小为：的粒子，相格大小为：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 如果将如果将 空空间划分划分为若干个体若干个体积元元l（l =1，2），），则在体在体积元元l中粒子可能的状中粒子可能的状态数数为l/h r 。Lxyz0AA 例如例如：空空间中一个自由运中一个自由运动的粒子，的粒子，假假设此粒子限制在一个此粒子限制在一个边长为L的方盒子的方盒子中运中运动。容器的体容器的体积V=L3其内的动量，能量都是连续的其内的动量，能量都是连续的同理同理第七章第七章第七章第七章 近独立粒子

24、的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 上式可理解为：三维自由粒子的一个状态对应于上式可理解为：三维自由粒子的一个状态对应于 空间中体空间中体积为积为h 的一个体积元的一个体积元.体积内，动量范围内的三维自由粒子的量子态数为体积内，动量范围内的三维自由粒子的量子态数为 在在 空间的体积为空间的体积为dpxdpydpz内，自内，自由粒子可能的状态数由粒子可能的状态数 常用动量空间中的球极坐标常用动量空间中的球极坐标p, 来描写自由粒子的动量。来描写自由粒子的动量。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近

25、独立粒子的最概然分布p， 与与px、py、pz的关系为：的关系为：pxpypz 用球极坐标，动量空间的体积元为：用球极坐标，动量空间的体积元为： 在体积在体积V内，动量在内，动量在p到到p+dp，到到+d，到到+d，自由粒，自由粒子可能的状态数为：子可能的状态数为： 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布如果如果对 和和 进行行积分，分， 由由0到到 ， 由由0到到2 在体在体积V内，内，动量量绝对值在在p到到p+dp的范的范围内，自由粒子内，自由粒子 可可能的状能的状态数数为： 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的

26、最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布D()表示表示单位能量位能量间隔内的可能状隔内的可能状态数数 以能量形式表示，在以能量形式表示，在V内，在内，在 到到+d 的范的范围内，自由内，自由粒子可能的状粒子可能的状态数数为：定定义态密度密度 体体积V内，在内，在 到到+d 的范的范围内，自由粒子可能的状内，自由粒子可能的状态数数为：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 以上的以上的计算没有考算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不等粒子的自旋，如果粒子的自旋不等 于零，于零，还要考要

27、考虑自旋的自旋的贡献。献。例如例如：粒子的自旋量子数：粒子的自旋量子数为1/2，则自旋角自旋角动量在量在动量方量方向的投影有两个可能向的投影有两个可能值 /2 以上求得的以上求得的结果都果都应该乘以乘以2第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 7.3 7.3 系系系系统统微微微微观观运运运运动动状状状状态态的描述的描述的描述的描述7.3.1 7.3.1 全同近独立的粒子系全同近独立的粒子系全同近独立的粒子系全同近独立的粒子系统统 全同全同: 是由具有完全相同的属性（相同的质量、自旋、电荷是由具有完全相同的属性（相同的质

28、量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统等）的同类粒子所组成的系统. 近独立近独立: 是指粒子之间的相互作用很弱，因而可以忽略粒子是指粒子之间的相互作用很弱，因而可以忽略粒子之间的相互作用。之间的相互作用。 将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和：将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和：理想气体就是由近独立的粒子组成的系统。理想气体就是由近独立的粒子组成的系统。所谓系统的微观状态就是它的力学运动状态。所谓系统的微观状态就是它的力学运动状态。 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.3.2 7.3.2 系统微观运动

29、状态的经典描述系统微观运动状态的经典描述系统微观运动状态的经典描述系统微观运动状态的经典描述 粒子的粒子的经典描述中，在任意典描述中，在任意时刻，第刻，第i个粒子的力学运个粒子的力学运动状状态由由 r 个广个广义坐坐标和和 r 个广个广义动量来描述量来描述.设粒子的自由度粒子的自由度为r 因此确定系因此确定系统的微的微观运运动状状态需要需要qi1、qi2、qir； pi1、pi2、pir , 2Nr个个变量来确定。量来确定。 全同粒子是可以分辨的（因全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运典粒子的运动是是轨道道运运动，原，原则上是可以被跟踪的）。上是可以被跟踪的）。 对于可分辨的全同粒子，确定由

30、全同近独立粒子于可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系成的系统的微的微观状状态归结为确定每一个粒子的个体量子确定每一个粒子的个体量子态。 特点：特点：特点：特点：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 例如将第例如将第i个粒子和第个粒子和第j个粒子的运个粒子的运动状状态加以交加以交换，系，系统运运动状状态是不同的。如下是不同的。如下图： ij交换前交换前ji交换后交换后 一个粒子在某一个粒子在某时刻的力学运刻的力学运动状状态可以在可以在空空间中用一中用一个点表示，由个点表示，由N个全同粒子个全同粒子组成的系成的

31、系统在某在某时刻的微刻的微观运运动状状态可以在可以在空空间中用中用N个点表示，那么如果个点表示，那么如果变化两个代化两个代表点在表点在空空间的位置，相的位置，相应的系的系统的微的微观态是不同的。是不同的。 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.3.3 7.3.3 系系系系统统微微微微观观运运运运动动状状状状态态的量子描述的量子描述的量子描述的量子描述 全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观状态，将任何两个全

32、同粒子加以对换，不改变整个系统的微观状态，此为此为微观粒子的微观粒子的微观粒子的微观粒子的全同性原理全同性原理全同性原理全同性原理。特点：特点：特点：特点： 确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态的粒子数。一个体量子态的粒子数。 量子力学情形量子力学情形经典力学情形经典力学情形第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布费米子费米子玻色子玻色子光子光子（1）介子介子（0）电子电子质子质子中子中子微观粒子依自旋量子数不同可分为两类：微观粒子依自旋量子

33、数不同可分为两类：微观粒子依自旋量子数不同可分为两类：微观粒子依自旋量子数不同可分为两类：（1/2） 费米子遵从费米子遵从泡利不相容原理泡利不相容原理，即在含有多个全同近独立，即在含有多个全同近独立费米子的系统中，占据一个个体量子态的费米子不可能超过费米子的系统中，占据一个个体量子态的费米子不可能超过一个，而玻色子构成的系统不受泡利不相容原理的约束，此一个，而玻色子构成的系统不受泡利不相容原理的约束，此外，费米子和玻色子遵从不同的统计。外，费米子和玻色子遵从不同的统计。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布玻玻尔兹曼尔

34、兹曼系统系统定域系统定域系统不可分辨不可分辨不遵从泡利不相容原理不遵从泡利不相容原理玻色系统玻色系统不遵从泡利不相容原理不遵从泡利不相容原理不可分辨不可分辨非定域系统非定域系统费米系统费米系统遵从泡利不相容原理遵从泡利不相容原理不可分辨不可分辨非定域系统非定域系统第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 系统微观运动状态的量子描述是由系统量子数来表征，不系统微观运动状态的量子描述是由系统量子数来表征，不同的系统来说，对一确定的分布，其微观状态是不同的。同的系统来说，对一确定的分布，其微观状态是不同的。 设系统由两个粒子组

35、成，粒子的个体量子态有设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果个，如果这两个粒子是这两个粒子是定域子、玻色子、费米子定域子、玻色子、费米子时，试分别讨论系统各时，试分别讨论系统各有那些可能的微观状态？有那些可能的微观状态？ 费米系统费米系统量子态量子态量子态量子态1 1量子态量子态量子态量子态2 2量子态量子态量子态量子态3 3A AA A A AA AA AA A第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 玻色系统玻色系统量子态量子态量子态量子态1 1量子态量子态量子态量子态2 2量子态量子态量子态量子态3 3

36、AAAAAAAAAAAAA AA AA AA AA AA A第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统量子态量子态量子态量子态1 1ABABA AB BA AB B量子态量子态量子态量子态2 2ABABB BA AA AB B量子态量子态量子态量子态3 3ABABB BA AB BA A第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.4 等概率原理等概率原理 对于一个孤立系统，可以用粒子数对于一个孤立系统，可以用粒子数N，体积，

37、体积V 和能量和能量E来表征来表征系统的平衡态（更精确地说，应当认为系统的能量是在系统的平衡态（更精确地说，应当认为系统的能量是在E附近的附近的一个狭窄的能量范围内）。处在平衡态的系统的所有宏观物理量一个狭窄的能量范围内）。处在平衡态的系统的所有宏观物理量都具有确定值。但在都具有确定值。但在宏观状态确定宏观状态确定的情形下，系统可能的的情形下，系统可能的微观状微观状态是大量的态是大量的，而且微观状态不断地发生着极其复杂的变化。，而且微观状态不断地发生着极其复杂的变化。等概率原理是平衡态统计物理的基本假设等概率原理是平衡态统计物理的基本假设 等概率原理等概率原理：对于处在平衡态的孤立系统，系统的

38、各个可能：对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。的微观状态出现的概率是相等的。 这些微观状态都满足具有确定这些微观状态都满足具有确定N、E、V的宏观条件，没有理的宏观条件，没有理由认为哪一个微观状态出现的概率更大一些。这些微观状态应由认为哪一个微观状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。当是平权的。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 7.5 分布和微分布和微观状状态 设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数

39、的粒子数N、能量、能量E和体积和体积V。N个粒子的在各能级的一种分布可以描述如下：个粒子的在各能级的一种分布可以描述如下：能能 级级 1， 2， l， 简并度简并度 1，2， l， 粒子数粒子数 1， 2， l， 表示能级表示能级1上有上有1个粒子，能级个粒子，能级2上有上有2个粒子，个粒子，通常通常用数列用数列 al 表示表示 。7.5.1 分布分布第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布显然，对于具有确定的显然，对于具有确定的N，E，V的系统，分布必须满足的系统，分布必须满足 al 表示分布表示分布 1， 2， l，

40、 给定一个分布后，只能确定处在每一个能级给定一个分布后，只能确定处在每一个能级l上的粒子数上的粒子数al，但是粒子在该能级上哪个量子态上还不能确定，但是粒子在该能级上哪个量子态上还不能确定例如：例如：V一定，一定，N2，E2，求分布，求分布 al 能能 级 1 2 3 43简并度并度 12 3 4可能有两种分布：可能有两种分布：1，0，1，0和和0，2，0，0第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.5.2 量子量子态数（微数（微观状状态数）数）微观状态是粒子的运动状态。微观状态是粒子的运动状态。分布与微观状态数的区别

41、：分布与微观状态数的区别： 分布只表示每一个能级上有几个粒子如上述例子中的分布只表示每一个能级上有几个粒子如上述例子中的一种分布一种分布1，0，1，0表示在第表示在第1、3个能级上有个能级上有1个粒子，在个粒子，在第第2、4个能级上没有粒子。在个能级上没有粒子。在1能级上这个粒子是如何占据该能级上这个粒子是如何占据该能级的量子态，会有不同的占据方式（微观状态），方式数能级的量子态，会有不同的占据方式（微观状态），方式数也就是它的微观状态数。就也就是它的微观状态数。就一个确定分布一个确定分布而言，与它相应的而言，与它相应的微观状态数微观状态数是确定的。是确定的。不同的分布，有不同的微观状态数。如

42、上边提到的分布不同的分布，有不同的微观状态数。如上边提到的分布1，0，1，0和和0，2，0，0，它们分别有不同的微观状态数。，它们分别有不同的微观状态数。 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 对于非定域系（对于非定域系（费米系统和玻色系统费米系统和玻色系统），粒子不可分辨，），粒子不可分辨，在分布给定后，要确定系统的微观状态，还必须对每一个能级在分布给定后，要确定系统的微观状态，还必须对每一个能级l确定确定al个粒子占据其个粒子占据其l个量子态的方式。个量子态的方式。 对于定域系（对于定域系（玻尔兹曼系统玻尔兹曼系

43、统），），粒子可分辨，粒子可分辨， 在分布给定在分布给定后，为了确定定域系的微观状态，还必须确定处在每一能级后，为了确定定域系的微观状态，还必须确定处在每一能级l上上的是哪的是哪al个粒子，以及在每一能级个粒子，以及在每一能级l上上al个粒子占据其个粒子占据其l个量子个量子态的方式。态的方式。 在已知分布的情况下，微观状态数对于玻耳兹曼系统、玻色在已知分布的情况下，微观状态数对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统显然是不同的，下面分别加以讨论：系统、费米系统显然是不同的，下面分别加以讨论：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概

44、然分布 特征特征：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。个粒子。1、费米系米系统 al个粒子：个粒子： 简并度并度l ： l l第一个粒子占据量子态的可能性为第一个粒子占据量子态的可能性为 l种；种； 第二个粒子占据量子态的可能性为第二个粒子占据量子态的可能性为 （ l -）种；）种；第第al个粒子占据量子态的可能性为个粒子占据量子态的可能性为 （ l -al +）种；）种；（ l al ）分布分布 al 表示表示 1， 2， al ， 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立

45、粒子的最概然分布 al个粒子占据能个粒子占据能级l上的上的l个个 量子量子态，相当于从，相当于从l个量子个量子态中挑出中挑出l个来个来为粒子所占据，其可能性粒子所占据，其可能性为 将各能将各能级的的结果相乘，就得到果相乘，就得到费费米系米系米系米系统统与分布相与分布相与分布相与分布相应应的微的微的微的微观观状状状状态态数数数数为： l（ l -）（ l - al +）种）种同一能同一能级上上al个粒子有个粒子有al!种交种交换方式由于粒子不可分辨，方式由于粒子不可分辨，所以状所以状态相同，所以相同，所以应除以除以al!第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立

46、粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布特征特征：粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数：粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。不受限制。、玻色系、玻色系统由于个体量子态上容纳的粒子数不受限制，我们可以应用由于个体量子态上容纳的粒子数不受限制，我们可以应用数学中的方法全排列数学中的方法全排列l l 这个排列表示：量子个排列表示：量子态1上没有粒子，量子上没有粒子，量子态2上有上有1个粒个粒子，量子子，量子态3上有上有3个粒子，量子个粒子，量子态4上有上有2个粒子，个粒子， 量子量子态l上有上有1个粒子个粒子 由于左方第一个固定由于左方第一个固定为量子量子态1，则其余的量子其

47、余的量子态和粒子和粒子的的总数是数是（ l +al -）。）。 （ l +al -）个量子）个量子态或粒子的排或粒子的排列就相当于其中的粒子在量子列就相当于其中的粒子在量子态上数目的改上数目的改变第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布（ l +al -）！这种排列的方式共有这种排列的方式共有 种。种。 如果交如果交换量子量子态和粒子的位置，其他不和粒子的位置，其他不变，有，有 再交再交换粒子粒子1和粒子和粒子4的位置，其他不的位置，其他不变，有，有l 41 1l l l 微观状态微观状态不不变变l l l l 微观状态

48、微观状态改改变变 al 个粒子间交换，但不改变系统状态的方式共有个粒子间交换，但不改变系统状态的方式共有al ！种种. 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 交换量子态交换量子态2和和3的位置，其他不的位置，其他不变，有，有 （ l -1）个个量子态量子态间交换间交换(量子态量子态1固定），但不改变系统固定），但不改变系统状态的方式共有状态的方式共有（ l -1）！）！种种l l 微观状态微观状态不不变变l 32l 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子

49、的最概然分布al个粒子占据能个粒子占据能级l上的上的l个个 量子量子态，可能方式有，可能方式有将各种能级的结果相乘，就得到将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布相应的微观玻色系统与分布相应的微观玻色系统与分布相应的微观玻色系统与分布相应的微观状态数状态数状态数状态数为：为：（ l + al 1）！）！/ al ！（！（ l 1）！种）！种第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布、玻耳、玻耳兹曼系曼系统特征：粒子可分辨，每个个体量子特征：粒子可分辨，每个个体量子态能容能容纳的粒子个数不受的粒子个数不受限制。限制。由于粒

50、子可以分辨，若由于粒子可以分辨，若对粒子加以粒子加以编号，号，则al粒子占据能粒子占据能级l上的上的l个量子个量子态时，是彼此独立、互不关，是彼此独立、互不关联的。的。 每一个粒子占据量子每一个粒子占据量子态的方式均的方式均为l种；种； al个粒子占据能个粒子占据能级l上的上的l个个 量子量子态可能的方式有可能的方式有l al种；种； 各能各能级结果相乘得占据各能果相乘得占据各能级的量子的量子态数共有数共有 l al种方式种方式.al个粒子：个粒子： l 简并度并度l ：l第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布对于对于

51、玻耳兹曼系统，分布相应的系统的微观状态数玻耳兹曼系统，分布相应的系统的微观状态数玻耳兹曼系统，分布相应的系统的微观状态数玻耳兹曼系统，分布相应的系统的微观状态数为：为：由于粒子可分辨，由于粒子可分辨，则交交换粒子，系粒子，系统处于不同的状于不同的状态 将将个粒子加以交个粒子加以交换，可能出，可能出现的不同的状的不同的状态的数目的数目为！。其中！。其中l能能级上上l个粒子的交个粒子的交换数数为l ！，已！，已经包含在包含在 al个粒子占据能个粒子占据能级l上的上的l个个 量子量子态可能的方式可能的方式l al中，应当从中，应当从！中除去。中除去。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近

52、独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布4、三个微、三个微观状状态数之数之间的关系的关系 如果在玻色系统和费米系统中，任一能级如果在玻色系统和费米系统中，任一能级l上的粒子数均远上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即小于该能级的量子态数，即 称为经典极限条件，也称非简并性条件。称为经典极限条件，也称非简并性条件。表示：在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。表示：在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。费米系统：费米系统：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布玻色系统：玻色系统：说明：说明： 在满足

53、经典极限条件的情况下，每个量子态上的平均粒在满足经典极限条件的情况下，每个量子态上的平均粒子数远小于，粒子间的关联可以忽略子数远小于，粒子间的关联可以忽略 个粒子相交换的交换数为！个粒子相交换的交换数为！ 则费米分布和玻色分布都趋近于玻耳兹曼分布！则费米分布和玻色分布都趋近于玻耳兹曼分布！第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.5.3 经典典统计中的分布和微中的分布和微观状状态数数 由于由于测不准关系中的不准关系中的p 和和q 在在这里是里是连续变量，粒子和系量，粒子和系统的微的微观状状态都是不可数的假都是不可数的假

54、设 q p =h0是一个小量是一个小量 对于自由度于自由度为r 的粒子，一个状的粒子，一个状态相相应于于 空空间中的一个相中的一个相格格h0 r 那么系那么系统在某一在某一时刻的力学运刻的力学运动状状态相相应于于 空空间中的个中的个代表点。代表点。 粒子的自由度粒子的自由度为r 粒子在任一粒子在任一时刻的力学运刻的力学运动状状态相相应于于 空空间中的一个代表点。中的一个代表点。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布在相体在相体积内含有多少个相格就有多少个运内含有多少个相格就有多少个运动状状态处在同在同一相格的代表点，代

55、表相同的运一相格的代表点，代表相同的运动状状态 显然然h0足足够小，就可以由粒子的运小，就可以由粒子的运动状状态代表点所在的相代表点所在的相格确定粒子的运格确定粒子的运动状状态 h0越小，越精确越小，越精确 将将空空间划分划分为许多个小体多个小体积元元 l 其中所有粒子的能其中所有粒子的能量均量均为l 体体积元元 l内包含多少个相格内包含多少个相格h0 r ，就包含多少个，就包含多少个粒子的运粒子的运动状状态 状状态数数为 l h0 r 可可见这个量与量子个量与量子统计中的中的简并度并度相当相当第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒

56、子的最概然分布有了以上的量，可以对有了以上的量，可以对个粒子在各体积元个粒子在各体积元 l的分布描述的分布描述如下：如下：体积元对应能量体积元对应能量: 1， 2， l， 体积元中量子态个数体积元中量子态个数 : 1 h0 r ， 2 h0 r ， l h0 r ， 体积元对应粒子数体积元对应粒子数 : 1， 2， l， 体积元体积元: 1， 2， l， 因为因为 l h0 r对应于量子统计中的简并度对应于量子统计中的简并度 经典粒子可分辨，处在同一相格内的经典粒子数没有限制经典粒子可分辨，处在同一相格内的经典粒子数没有限制经典统计与分布相应的微观状态数经典统计与分布相应的微观状态数经典统计与

57、分布相应的微观状态数经典统计与分布相应的微观状态数为：为：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 4. 最概然分布中的微最概然分布中的微观状状态数越多，分布出数越多，分布出现的几率越大的几率越大. 1. 微微观状状态数都是与分布相数都是与分布相对应的的. 梳梳 理理 2. 微微观状状态数最多的分布数最多的分布, 出出现的概率最大的称的概率最大的称为最概最概然分布然分布. 3. 根据等概率原理，根据等概率原理，对于于处在平衡状在平衡状态的孤立系的孤立系统，每，每一个可能的微一个可能的微观状状态出出现的几率是相等的。的几率

58、是相等的。 5. 求最概然分布。求最概然分布。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 7.6 7.6 玻耳玻耳玻耳玻耳兹兹曼分布曼分布曼分布曼分布 与分布与分布al 对应的麦克斯的麦克斯韦玻玻尔尔兹曼微曼微观状状态数数 M.B公式公式（简记为 ）为 由于玻由于玻尔尔兹曼系曼系统中粒子的最概然分布是使中粒子的最概然分布是使 为极大的分极大的分布布, 而而ln 随随 的的变化是化是单调的的, 所以可以等价地所以可以等价地讨论使使ln 为极大的分布极大的分布对上式两边取对数对上式两边取对数:第七章第七章第七章第七章 近独立粒

59、子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 N1，若假，若假设l1 ， l1, 利用斯特林公式可得到：利用斯特林公式可得到： 分布要分布要满足足约束条件：束条件：得得斯特林公式斯特林公式:( m 1)第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 从数学知从数学知识可以知道，要想有极大可以知道，要想有极大值，必，必须满足一足一级变分分为0我我们令令al 发生生变化化为 al ，则ln 将将发生生变化化为 ln 要想要想使使ln 为极大的分布，就必极大的分布，就必须使使 ln 第七章第七章第

60、七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 为求在此求在此约束条件下的最大束条件下的最大值，取未定因子，取未定因子为和和，乘分乘分布必布必须满足的条件，并从足的条件，并从ln 中减去中减去, 得拉格朗日函数得拉格朗日函数为：用拉格朗日乘子法：用拉格朗日乘子法：即即 根据拉格朗日乘数法原理，每个根据拉格朗日乘数法原理，每个 al的系数都等于的系数都等于0，有，有第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布即：即： 上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为上式给出了玻

61、耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为麦克斯麦克斯麦克斯麦克斯韦玻耳兹曼分布韦玻耳兹曼分布韦玻耳兹曼分布韦玻耳兹曼分布。表明：最概然分布下，处在能级表明：最概然分布下，处在能级 l的粒子数的粒子数其中确定拉氏乘子为其中确定拉氏乘子为和和的条件为：的条件为：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 在在许多多实际问题中中,也往往将也往往将看作由看作由实验确定的已知参量确定的已知参量 而由而由 确定系确定系统的内能的内能. 或将或将a和和都当作由都当作由实验确定的已知参量确定的已知参量, 由由 确定系确定系统的平均的平均总粒子数和

62、内能粒子数和内能. 能能级的的l有有l个量子个量子态处在其中任何一个量子在其中任何一个量子态上的平均粒子上的平均粒子数数应该是相同的是相同的,因此因此处在能量在能量为S的量子的量子态S上的平均粒子数上的平均粒子数为: 总粒子数和能量可分粒子数和能量可分别表示表示为:第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布对粒子的所有的量子粒子的所有的量子态求和，可得求和，可得N和和E为：ln 的一的一级变分分为0，表明存在极，表明存在极值，下面，下面对ln 取二取二级变分，分，判定它是极大判定它是极大值还是极小是极小值由于由于al 0，

63、显然然 2ln0，即玻，即玻尔尔兹曼分布是使曼分布是使ln 为极大极大值的分布。的分布。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 可以可以证明，明，对于微小偏离于微小偏离 al /al 105 ，比如，比如 N 1023 的宏的宏观系系统， 说明：明： 1.1.即使与最概然分布即使与最概然分布仅有极小偏差的分布，它的微有极小偏差的分布，它的微观状状态数数与最概然分布的微与最概然分布的微观状状态数相比已数相比已经微不足道。最概然分布的微微不足道。最概然分布的微观状状态数，非常接近于全部可能的微数，非常接近于全部可能的微观状

64、状态数数 2. 根据等概率原理，每一个可能的微根据等概率原理，每一个可能的微观状状态出出现的概率相等的概率相等忽略其他分布而忽略其他分布而认为在平衡状在平衡状态下粒子下粒子实质上上处在玻在玻尔尔兹曼分曼分布，所引起的布，所引起的误差是可以忽略的差是可以忽略的 4. 在推导最概然分布时在推导最概然分布时,应用了应用了al1 ， l1, 等条件等条件, 这些这些条件实际上是不满足的，但不影响结果正确。条件实际上是不满足的，但不影响结果正确。第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布经典统计中玻尔兹曼分布的表达式：经典统计中玻尔

65、兹曼分布的表达式：其中确定拉氏乘子为其中确定拉氏乘子为和和的条件为：的条件为：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 7.7 7.7 玻色分布和玻色分布和玻色分布和玻色分布和费费米分布米分布米分布米分布 分布分布al要要满足足约束条件：束条件： 与分布与分布al相相应的微的微观状状态数：数： （2）玻色系）玻色系统： （1）费米系米系统： 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.7.1 费米系米系统的最概然分布的最概然分布对 取取对数得：数得

66、：1.2. N1，若假，若假设l 1 ， l 1,利用斯太林公式可得到：利用斯太林公式可得到：第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 令令al 发生生变化化为 al ，则ln 将将发生生变化化为 ln 要想使要想使ln 为极大的分布，就必极大的分布，就必须使使 ln 3.000第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布0分布不是完全独立的，必须满足粒子数守恒和能量守恒分布不是完全独立的，必须满足粒子数守恒和能量守恒 第七章第七章第七章第七章 近独立

67、粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 用拉氏用拉氏变换:将拉氏乘子将拉氏乘子和和乘以分布必乘以分布必须满足的条件，并足的条件，并从从ln 中减去，得中减去，得 即即根据拉氏原理，每个根据拉氏原理，每个 al的系数都等于的系数都等于0.4.5.根据上式可以求出根据上式可以求出费米系米系统的最概然分布的最概然分布-费费米分布米分布米分布米分布第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布其中确定拉氏乘子其中确定拉氏乘子为和和的条件的条件为：能能级的的l有有l个量子个量子态处在其中任何一

68、个量子在其中任何一个量子态上的平均粒上的平均粒子数子数应该是相同的是相同的,处在能量在能量为S的量子的量子态S上的平均粒子数上的平均粒子数: 总粒子数和能量可分粒子数和能量可分别表示表示为:.第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布7.7.2 玻色系玻色系统的最概然分布的最概然分布 用相同的方法可以求出玻色系用相同的方法可以求出玻色系统的最概然分布的最概然分布-玻色玻色玻色玻色分布分布分布分布其中确定拉氏乘子其中确定拉氏乘子为和和的条件的条件为： 在在许多多实际问题中中,也往往将也往往将看作由看作由实验确定的已知参量确定

69、的已知参量.可以可以由由 l al =E确定系确定系统的内能的内能. 也将也将a和和都当作由都当作由实验确定的确定的已知参量已知参量, 由由 al =N, l al =E确定系确定系统的平均的平均总粒子数和内能粒子数和内能. 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 7.8 7.8 三种分布的关系三种分布的关系三种分布的关系三种分布的关系7.8.1 三种分布三种分布玻色分布玻色分布玻色分布玻色分布费米分布费米分布费米分布费米分布玻耳兹曼玻耳兹曼玻耳兹曼玻耳兹曼 分布分布分布分布 其中确定其中确定和和的条件的条件为：b=1

70、b=0b=-1第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布1 、由下式确定拉氏、由下式确定拉氏乘子乘子和和的的值. 在许多实际问题中在许多实际问题中,也往往将也往往将看作由看作由实验确定的已知参确定的已知参 量而由量而由 确定系确定系统的内能的内能.或将或将和和都当作都当作由由实验确定的已知参量确定的已知参量,而由下式确定系而由下式确定系统的平均的平均总粒子粒子 数和内能数和内能. 7.8.2 三种分布的关系三种分布的关系第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的

71、最概然分布 2 、能、能级的的l有有l个量子个量子态处在其中任何一个量子在其中任何一个量子态上上 的平的平均粒子数均粒子数应该是相同的是相同的, 因此因此处在能量在能量为S的量子的量子态S 上的平上的平均粒子数均粒子数为: 即即:定域系定域系统费米系米系统玻色系玻色系统第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布总粒子数和能量可分粒子数和能量可分别表示表示为:N = =定域系定域系统“+”费米系米系统“-”玻色系玻色系统E = = 定域系定域系统“+”费米系米系统“-”玻色系玻色系统(式中式中 为粒子的所有量子状粒子的所有量

72、子状态求和求和 ) 第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布3 、若、若满足足 则 有有: 这时玻色分布和玻色分布和费米分布都米分布都过渡到玻耳渡到玻耳兹曼分布曼分布, 由上由上式式 可知可知: 这时任一量子任一量子态上的平均粒子数都上的平均粒子数都远小于小于1, 这个式子就是个式子就是前前边提到的所提到的所谓的非的非简并性条件并性条件. 也就是也就是经典极限条件典极限条件 当非当非简并条件并条件满足足时, 费米分布和玻色分布都米分布和玻色分布都过渡到玻耳渡到玻耳兹曼分布曼分布.第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概

73、然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布4 、在推、在推导最概然分布最概然分布时,应用了用了l1 ， l1, 等条件等条件,这些条件些条件实际上是不上是不满足的足的,这是推是推导过程的一个程的一个 严重的缺点重的缺点,我我们将在后将在后边的学的学习中用巨正中用巨正则系系统求平均分布的方法求平均分布的方法严格格地地导出出这些分布些分布.5 、定域系、定域系统和和满足足经典极限条件的玻色典极限条件的玻色(费米米)系系统虽然遵从同然遵从同样的分布的分布,但它但它们的微的微观状状态数是不同的数是不同的.前者前者为M.B.,后者后者为M.B./N!因此因此对那些直接由分布函数那些直接由分布函数导出的出的热力学量力学量,两者具有两者具有相同的相同的统计表达式表达式.然而然而,对于例如于例如熵和自由能等与微和自由能等与微观状状态有关有关的的热力学量力学量,两者的两者的统计表达式有差异表达式有差异.第七章第七章第七章第七章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布结 束 ！