数学中考专题训练——圆的综合

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1、中考专题训练圆的综合1 . 如图，。为。上一点，点 C 在直径BA的延长线上，且NCD4= NCB D.( 1) 求证：CD是0 0 的切线；( 2 ) 求证：C2= C4C3；( 3 ) 若 CO= 4, C B=8 ,求 ta n/CDA 的值.。人2 . 如图，。是 ABC的外接圆，4 B=A C ,点。是会上一动点，连接B O , AD , CD,延长CD至点E .( 1) 求证：DA 平分N B D E ；( 2 ) 若 A E= A Q,求证：E C = B D ；( 3 ) 在 ( 2 ) 的条件下，从以下两题任选一个填空( 若两者都选，只以第题 计 分 ) ：若AE是0 0 的

2、切线，则四边形AB CE 的形状是 ；若4 8 =2 ,四边形0ADC是菱形，则。的半径是 .(S一3 . 如图，。上有4, B , C三点，AC是直径，点 。是 AB 的中点，连接CD交AB 于点E ,点尸在A 8 延长线上且F C = F E .( 1) 证明：N B C E = N A C E ；( 2 ) 求证：CF 是。的切线；( 3 ) 若sinp= 9, B E = 2 ,求 。 E E C 的值.5D4 . 如图，是圆。的直径，AB = AC , AD交 于 点 区 延长QB 到 F,使 B F =B0 ,连接项.( 1 ) 求证：A B2=A DM E；( 2 ) 若 4 E

3、 = 4 , D=8,求 A B 的长;( 3 ) 在 ( 2 ) 的条件下，直 线 阳 为 。相切吗？为什么？5 . 如图，A B 是O 。的直径，点 C,。在。上，且AO 平分N C 4 B , 过点。作AC的垂线,与 AC的延长线相交于点E,与 A8的延长线相交于点尸.( 1 ) 求证：EP 与。相切；( 2 ) 连结 BD,求证：ADDP=BDAP( 3 ) 若 A B = 6, AQ =4&,求 D P 的长.B P6 . 如 图 1 所示，直角 OA B 中，Z O A B = 9 0Q ,。4 = 1 5 , A B = a ,以 。为圆心，0A为半径的圆交。 8于点C,连接A

4、C .( 1 ) 证明：Z A 0 B = 2 Z B A C ；( 2 ) 当 a = 2 0 时，求 AC的长；( 3 ) 将 A B C 绕点A顺时针旋转，点 C的对应点为。，点 8的对应点为E. 当点 。、E都在。上 时 ( 如 图 2所 示 ) ，证明：OA/DE.7 . 如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，已知点A ( 0 , 8)，点 B是 x轴正半轴上一点，连接A B ,过点A作 A C _LA 8 , 交 x轴于点C,点 。是点C关于点A的对称点，连接BQ ,以AO 为直径作。交 8 。于点E,连接并延长AE交 x 轴于点F,连接。 F .( 1 ) 求线段AE的长；

5、( 2 )若N A B E = N F D E ,求 E / 的值.( 3 ) 若 A 8 -BO=4 ,求 ta n/AF C 的值.8 . 如图，在平面直角坐标系中，OC 与 y 轴相切，且点C 的坐标为(1 , 0 ) , 直线/ 过点A( - 1 , 0 ) , 与。C 相切于点。.解答下列问题：( 1) 求点。的坐标；( 2 ) 求直线/ 的解析式；( 3 ) 是否存在O P,使圆心P在 x 轴上，且与直线/ 相切，与OC 外切吗？如果存在请求出圆心P的坐标，如果不存在，请说明理由.9 . 如图，AB 是半圆。的直径，AB=Q. C是弧4B上一点，连接AC, BC, N4C8的平分线

6、交A 8于点P, 过点尸分别作P E LAC, P F LB C ,垂足分别为E 、F.( 1) 求证：四边形CE P F 是正方形；( 2 ) 当 sin4= 匡时，求 CP 的长；5( 3 ) 设 4 P的长为x , 图中阴影部分的面积为y , 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出y的最大值.1 0 . 如图，。是AABC的外接圆，AC是。的直径，过圆心。的直线尸FL A 8 于 。，交0 0 于 E , F ,尸 8 是。的切线，B为切点，连接AP , AF.( 1) 求证：直 线 以 为 。的切线；( 2 ) 求证：AC2=4ODOP；( 3 )若 BC=6, tan ZF=y 求

7、 AC 的长.1 1 . 如图，在 Rt Z X A B C 中，Z C = 9 0 , N ABC的平分线8 。交AC于点。，DE1DB交AB于点E,设。是 B OE 的外接圆.( 1 ) 求证：AC是 的 切 线 ；( 2 ) 求证：A A D E / X A B D ；( 3 ) 若 OE = 2 , BD=4,求 A E 的长.1 2 . 在 阿基米德全集中 的 引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知 第 ，C是弦4B上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.( 1 ) 尺规作图( 保留作图痕迹，不写作法) ；作线段AC的垂直平分线O E,交源于点。

8、，交 AC于点E,连接A O, C D ；以点。为圆心，D4长为半径作弧，交俞于点A两点不重合) ，连接OF , B D ,B F .( 2 ) 猜想线段B C , BF的数量关系，并证明.1 3 . 己知：如图，Z X A B C 内接于AB为直径，/C8A的平分线交AC于 点 凡 交于点D , CEL 43于点E,且交AC于点P ,连接A O.( 1 ) 求证：ZDA C ZDBA ；( 2 ) 求证：P 是线段AF的中点；( 3 ) 连接C 。，若 C D = 3, 80=4,求。的半径和O E的长.D14 . 如图，。经过aABC的顶点4 、C ,并与AB边相交于点。，过点。作 。 尸

9、B C ,交AC于点E , 交。于点F , 连接。C , 点 C 为弧。 尸的中点.( 1 ) 求证：BC为0 0 的切线；( 2 ) 若。的半径为3, D F = 4 & ,求 CE CA的值；( 3 ) 在 (2 ) 的条件下，连接A F ,若 B D = A F ,求 A D 的长.15 . 如图，在 RtABC中，NBAC=90 , 以A 8为直径的。交 BC于点E ,点 、D为A C的中点，连接 ( 1 ) 求证：QE是。的切线.( 2 ) 若 CE=T, 0 A = g求BE的长；求由劣弧AE、直径AB和弦BE所围图形的面积.16 . 如图，在 Rt/XABC中，NACB=90 ,

10、。的圆心。在 BC上，分别与AC、A8切于C、。两点，与 BC交于另一点E , 连力E, A。交。于点( 1 ) 求证：DE/AO；( 2 ) 若 AC=6, BC=8.求旭的值；CE求OE的长.|ABEVOJc1 7 .已知。0是A B C的外接圆,C E为。的直径，交A B于点F ,连接A。并延长交B C于点。，AD L B C .( 1 )如图 1 ,求证：N B F C = 3 N B A D ；( 2 )如图2 ,连接A E、B E ,过点A作A G L C E ,垂足为G .( 3 )如图3 ,在( 2 )的条件下，连接。G交4 B于点，若t求 ， C D G的面积.匚图1图2求证

11、：C E = B E + 2E G；an / A C E V，A G = 4 遍 ,Ag)图31 8 .( 1 )如 图1 ,已知团A 8 C 和O 。，在 图1中，画一条直线分别平分团A B C D和。的面积;( 2 )如图2 ,已知A B、A C是。的两条弦，Z AC D = 4 0 ,画一个含4 0 的直角三角形;( 3 )如图3 ,是由小正方形组成的6 X 6的网格，A、。都是格点，。0的半径是OA , B是。与网格线的交点.在图3中，将半径OB绕点。顺时针旋转9 0 得到半径O C ,画半径OC ；图3在图3中，画A B的中点1 9 .如图，4 B是00的直径，点C在。上，。为。外一

12、点，且N A O C = 9 0 , 2N B +Z D A B = 1 8 0 .( 1 )求证：直线C D为00的切线.( 2 )若/ B = 3 0 , A D = ,求。的半径.( 3 )在( 2 )的条件下，求阴影部分的面积.2 0 .如 图1 ,点 。为的外接圆上的一 动 点 ( 点 。在A C上，且不与点A , C重合 ) ，Z A D B = Z B A C = 60 .图1图2( I)求证：A B C是等边三角形；( 2 )连接C C ,探究A O , BD, C D三者之间的数量关系，并说明理由；( 3)如图2 ,记B D与A C交于点E ,过点E分别作于点M , E N

13、L B C于点N,连接MM 若A B = 6 ,求MN的最小值.21 .如图，在 A B C中，A B = A C ,以A 8为直径的。交A C于点E ,交B C于点。，。的切线B P与A C的延长线交于点P ,连接力E , BE.( 1 )求证：BD=DE.( 2)求证：N A E D = N B C P .( 3)己知：s i n / 8A O =逅，A 8= 1 0 ,求 A P 的长.22 .如图，已知。0上依次有A、B、C、C四个点，A D = B C ，连接A B、AD, B D ,弦4 8不经过圆心O,延长A B到E ,使连接E C , F是E C的中点，连接B F .( 1 )

14、若。的半径为3, Z D A B = 1 20 ,则弦B D的长=；( 2)求证：BF=ZBD；2( 3)设G是B O的中点，探索：在。上是否存在点尸( 不同于点B ) ,使得P G= P F ?并说明P B与A E的位置关系.23 .如图：已知。M经过。点，并且与x轴，y轴分别交于A , 8两点，线段O A , OB( O A O B )的长是方程7 - 1 7 x+6 0 = 0的两根.( 1 )求线段O A , 0 B的长；( 2)已知点C是劣弧0 A的中点，连结8 c交0 A于 。.求证：0 d = C D ， CB；求点C的坐标.24 .定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做

15、圆美四边形，其中这个角叫做美( 1 )如 图1 ,若四边形A B C O是圆美四边形，求美角NA的度数.( 2)在( 1 )的条件下，若 的 半 径 为4 .求B O的长；如图2 ,在四边形A B C。中，若C A平分N B C Q ,求证：BC+CD=AC.( 3)在( 1 )的条件下，如图3 ,若A C是。的直径，请用等式表示线段A B、B C、CD之间的数量关系 ( 直接写答案) .参考答案与试题解析1 . 如图，。为O O 上一点，点 C 在直径BA的延长线上，且NCD4 = NCBD.( 1 ) 求证：CQ是。的切线；( 2 ) 求证：C IC AC B -.( 3 ) 若 C=4,

16、 C B = 8 ,求 tan/CD 4 的值.【 分析】( 1 ) 连 接 O Z ),先判断出/D4B+NZ53A=90 , 再判断出/D 4 B = NA。 。，进而得出NCD4+/A) O=90 , 即可得出结论；(2 )先判断出 NCD4+NA0=90 , 再判断出 N) BA+/D4B=90 , 再判断出 NCD4= ZDBA ,进而得出即可得出结论；( 3 ) 用锐角三角函数，即可求出答案.【 解答】( 1 ) 证明：如图，连接0 。，；AB是。的直径，： .Z AD B = 90 ,： . Z D A B + Z D B A = 9 0c ,Z C D A Z C B D ,.

17、NOAB+NCO4=90 ,O D = O A,： . Z D A B = Z A D O ,： .Z C D A+ Z AD O = 90 ,8 0 = 9 0 ,；O)是0 0 的半径，.co是。的切线；( 2 ) 证明：CD是O O 的切线，8 0 = 9 0 ,： .Z C D A+ Z AD O = 90 ,；AB是。的直径，:.N AD B = 90 ,： . Z D B A + Z D A B = W 0 ,又：0A =。 。，：.ZDAB=ZODA,：.ZCDAZDBA,又, ： NDCA = /BCD,：./CAD/CDB,. C A C D C D C B：.CD2CACB

18、；( 3) ： ZCDAZDBA,在 R t / X A B O 中，t an / C A =也 ,B Dv A D C D乂 ，B D C BVC D = 4 , C B = 8,.t an / C Z M =.22 .如图，。是a A B C的外接圆，AB=AC,点力是A C上一动点，连接B O , AD, C D ,延长C Q至点( 1 )求证：D 4平分/ B ) E ；( 2)若 A E = A。，求证：EC=BD；( 3)在( 2)的条件下，从以下两题任选一个填空( 若两者都选，只以第题 计 分 ) ：若A E是。0的切线，则四边形A 8C E的形状是 平 行 四 边 形 ：若A

19、B = 2 ,四边形O A O C是菱形，则OO的半径是 2叵 .3 【 分析】( 1 )由圆内接四边形的性质得出/ A O E = / A B C ,由等腰三角形的性质得出/ABC=ZACB,则可得出结论；( 2 )证明E4C丝D48 (SAS),由全等三角形的性质可得出EC=BD；(3)延长A。交BC于F ,证出A8C, A B /C E ,由平行四边形的判定可得出结论;由菱形的性质及等边三角形的性质可得出答案.【 解答】(1 )证明：是ABC的外接圆，点。是同上一动点，./A8C+NAOC=180 ,V ZADE+ZADC= 180 ,NADE= ZABC,ZABC=ZACB,又 NAC

20、B=NADB,NADE= ZADB,即D 4平分N8)E；( 2 )证明：由(I )知，ZABC= /LADE,；AB=AC,ZACB=ZABC,.NA4C=180 - 2 A ABC,同理/E4D=180 - 2ZADE,：.ZEAD=ZBAC,：. ZEAD+ZDAC ZBAC+ZDAC,即 ZEAC= ZDAB,又；AE=AD, AC=AB,.,.E4C丝ZWAB (SAS),:.EC=BD；( 3 )解：四边形A8CE是平行四边形.证明：延长AO交BC于凡 如图，V OB=OC, AB=AC,垂直平分8C,为切线，：.AEOA,J.AE /B C , NA8C+NBAE=18(r ,9

21、： A E = A Df： .ZE= Z AD E ,* / N A D E = NA8C,Z E = Z AB C ,： .Z E + Z B AE = SO ,J.AB /C E , 四边形A B C E是平行四边形;故答案为：平行四边形；如图，连接O。，。4, OC, ,四边形。 4O C 是菱形，： .AO = O D , ： O A = O D ,. * * /AO D是等边三角形， NAQO=60 ,同理/。 。 。 =60 ,A Z AD C = 20 , NABC=180 - 120 =60 , AB=AC, ABC是等边三角形， ： AB = 2,：0 A = - .3故答案

22、为：乙 .33 . 如图，。0 上有A, B , C三点，AC是直径，点O 是篇的中点，连接CQ交A8于点E,点 在 A 8延长线上且F C = F E .( 1 ) 证明：Z B C E = Z A C E ；( 2)求证：C F是。的切线;【 分析】( 1 )由圆周角定理可得出结论；( 2)证出/ 0 C尸= 9 0 ,由切线的判定可得出结论：( 3)设 8c = 4 x, C F = 5 x ,由勾股定理得出( 4 x) 2+ ( 5 x- 2) 2= ( 5 % ) 2证明 F B C s尸C 4 ,由相似三角形 的 性 质 得 出 型 卫 ，求 出AF, AEF C C AA E D

23、 s A C E B ,得 出 比 例 线 段 岖 则 可 得 出 答 案 .C E B E【 解答】( 1 )证明： 点 是虚的中点，A A D = B D .： . N B C E = N A C E ；( 2)证明： ； A C是 的 直 径 ，.N A B C = 9 0 ,： .ZBEC+ZBCE=90 ,: FC=FE,： .N F C E = NFEC,由( I)可知N B C E = N A C E ,/ . Z F C E +Z A C E = 9 0 ,.* .Z O C F = 9 0 ,：O C是。的半径，； .C/ 是 。的切线；( 3)解：在 R t Z F B C

24、 中，BE=2, s i n F = 4 ,5 . B C 4 ,C F 5设 B C = 4 x, CF=5x,：BC2+BF2CF2, 求出x= l,的长，证明 (4x) 2+ (5x- 2) 2= (5x) 2,*.x= 1或 x = ( 舍 去 ) ，4.8C=4, CF=5, BF=3,：ZCBF= ZACF=90 , Z F = Z F ,.FBCSFCA,. F B B C-F C = C A ).-3- 二 - -4- ，5 C A.CA=空 ，320. V 4 = ,A F 5：.AF=,3D,/ 4DAE= /B C E , 4AED= A CEB,：. /XAED sCE

25、B, . A-E = D E ，C E B E：.AEBE=DECE,，Q E.C E= X 2= .4 . 如图，BD是圆。的直径，AB=AC, AD交BC于点、E , 延长到尸，使 8尸= 8 0 , 连接雨.( 1 ) 求证：AB2=AD9AE；( 2)若 A E = 4 , ED=8 ,求 A B 的长；( 3)在( 2)的条件下，直 线 阳 为 。相切吗？为什么？【 分析】( 1 )先 由A B = A C得到/ A B C = N C ,再根据圆周角定理得NC=N。，然后根据相似三角形的判定方法得到ABES/V IO B,再利用相似比和比例的性质即可得到结论；(2)利 用(1)的结

26、论计算；(3 )先在R t AABD中利用勾股定理计算出BD=8 M，则0 8= 0 4= 4于是可判断 0A8为等边三角形，得到乙4 8。=/区4 0= 6 0 ,再 计 算 出 广=3 0 ,由此得到N O AF=/5 4 O + /BAF=9 0 ,然后根据切线的判定定理得直线项与。0相切.【 解答】(1)证明：ZABC=ZC,而/ C= N。，: .N D = ZABC,而. AB = AEAD 而 : .AB2=AD-AE,Z M B2=4 X (4 + 8 ) ,： AB 0,； . AB=4 料 ；(3 )解：直 线 吊 与 。相切，理由如下:在 R t aABO 中，AB=4

27、y ，4 0=12,1 B=VAB2+AD2=8 a，/. 0B=0A=4 代 ，O B = O A = A B ,： ./O AB为等边三角形，N ABO =N BAO =6 0 ,: B O = B F ,： .B F = AB ,； . N F = N B A F ,V Z A B D Z F + Z B AF = f Oa ,A Z B AF = 30 ,/. Z O AF=Z BAO + Z BAF=6 00 + 3 0 =9 0 ,： .O AAF ,V O A是。的半径，. . 直线用与OO相切.5 .如图，A8是。的直径，点C ,。在。上，且A。平分N C 4 B ,过点。作A

28、 C的垂线,与A C的延长线相交于点E ,与4 B的延长线相交于点P .(I)求证：E P与。相切；(2)连结 B O ,求证：AD D P = B D AP(3 )若 A8 =6 , A O= 4& ,求 。P 的长.【 分析】 (1)连接O。，利用角平分线和等腰三角形可得0O AE ,则/O O P =N E =9 0 ,即可证明结论；(2)根据圆周角定理知N AO B=9 0 ,则/AQ O =N P 8 ,利用等量代换可知N P Q B =Z P A D ,从而得出 P D B s 4 %。，得 匝 典 即 可 得 出 结 论 ；P A AD(3 )首先由勾股定理得，8 0 = 2 ,

29、由(2)知，= 即 = = 近,设PB= &X,则尸D =4 x , P A = s / 2 x ,根据A P的长列方程，从而解决问题.【 解答】(1)证明：连 接 。 。，平分 N C AB,：.ZOAD=ZEADf：OD=OA,：.ZODA = ZOADf：.ZODA = ZEADf：.OD/AE,：.ZODP=ZE=90 ,。 。是半径， EP与。相切；( 2 ) 证明：如图， AB是直径,Z. ZADB=90 ,NADO=NPDB,ZADO=ZOADf:/PDB=/PAD,: N P = /P ,:APDBSAPAD, -P-D- 二 BD一 ，P A AD：.ADDP=BDAP；(

30、3 ) 解： . A8=6, AD=4近,由勾股定理得，B D = UB2_M)2=2,由 (2 ) 知，P D . J B D= 2 =V2；P A AD 4 V 2 4设 P B = & x ,则尸。=4x, PA=842X,：.8弧犬=6+ 五x,解得x=22巨 ，7:.DP= l2 .76 . 如 图 1所示，直角OAB中，NOAB=90 , 。 4=15, A B = a ,以 。为圆心，。4 为半径的圆交。 8 于点C , 连接AC.( 1 )证明：ZA0B=2ZBAC；( 2 )当a=20时，求AC的长；(3 )将aABC绕点A顺时针旋转，点C的对应点为。，点B的对应点为E .当

31、点。、E都在0 0上 时 (如 图2所 示 ) ，证明：OA/DE.【 分析】( 1 )作O” _LAC,证明N8AC=/AOH即可.(2)求出 80、BC 的长度，CG1.AB,根据O4Bs/CGB 即可求出 CG, BG, AG,进而通过勾股定理求出AC.( 2 )连 接O D ,要证平行只需证NAOZ)=/O D E ,由于NACB=N4) E ,进而只需证/CAO=ZADO,通过全等或者推导角度关系即可得出.【 解答】(1 )证明：如图，过点。作O” _LAC于点H,；NOAB=90 ,：.ZOAC+ZBAC=90 ,：OHAC,：.ZOAC+ZAOH=90Q ,，NAOH= ABAC

32、,：AO=CO, 0H1AC,：. NAOH=NCOH,ZAOB=2ZAOH=2ZBAC,( 2 )解：如图，过点C作CGLAB于点G,：0A = 15, AB=20,：.BO=25,ABC=10,: CGLAB, NQ4B=90 ,: .AOABSACGB,. B C B G CG 画 京 而. 1 0 B G.CG* 2 2 0 15 解得：BG=8, CG=6,：.AG=12, C= VAG2-K ： G2 =( 3 )解：如图，连接OO,/ A B 8X A E D ,：. ZACB= ZADE, AC=AO,ZAOC=ZAOD,: AO=DO=CO,.N G 4O = .L8 0 -

33、NA 0 C , ZO D A=1 80： -Z AOD2 2：.ZCAO=ZADO,/ ZACB=ZCAO+ZAOC,：. ZCAO+ZAOC= NADO+NODE,：. ZAOC=ZODE9Z A O D = Z O D E ,J.AO/DE.7 .如图，在平面直角坐标系x。 ) ， 中，已知点A (0, 8),点B是x轴正半轴上一点，连接A B ,过点A作4 C L 4 8 ,交x轴于点C,点 。是 点C关于点A的对称点，连接B D ,以A D为直径作。交8。于点E ,连接并延长A E交x轴于点尺 连接。 尸 .(1)求线段A E的长；(2)若N A B E = N F D E ,求E尸

34、的值.(3 )若 A B - B O = 4 ,求 t an/AFC 的值.由全等三角形的性质得出A E = A O = 8 ；(2)证明 C ABs aC。 凡由 相 似 三 角 形 的 性 质 得 出 笆 证 明D E尸S48E4,D F C D 2由相似三角形的性质可得出妪也 ,则可得出结论；E F D F 2(3 )设B O = x ,则A8 =x + 4 ,由勾股定理求出。2 = 6 ,证明BEASAFC,得出更型_/，设E F = m ,则AF=8 + m , B F = 3 (8 + z ) ,由勾股定理可求出m ,则可AF A0 4 4得出答案.【 解答】解：(1) ；点4 (

35、0, 8 ) ,： .AO=S,；A O是。的直径，ZAEB= ZAED=9Q ,. . N AE B=/AO B=9 0 ,：8 A垂直平分C D ,： .BC=BD,： .N A B O = N A B E在ABE和A3。中,，Z AE B=Z AO BAB=AB. AB E / AB O (A 4S),.AE = AO= 8；(2) V ZABE=ZFDE,： .AB/DF,: .XCABsXCDF, . A-B 二 C A z ? 1,D F C D 2又 NABE= NFDE, NAEB= A FED: . DEFsXBEA, . A-E =-A-B- z : - -1,E F D

36、F 2AE F = 2AE = 1 6； 设 8 0 =x ,则 A8= x+4,在 R tZ X AB O 中，由 AO2+O32= A32得：82+ ?= (x+4) 2解得：x= 6,： OB=BE=6, AB = 1 0,： ZEAB+ZABE=90 , ZACB+ZABC=90 ,N E 4B = N ACB ,VZ BM= Z AF C ,. BF BE 3 = = ；AF AO 4设 E F = ? ，则 AF=8 +机，B F =S (8 + m ) ,4* / 在 RtABEF 中，BE2+EF2 = BF2,62+ /n2= (8+m) J2,4解得：即7 778 . 如图

37、，在平面直角坐标系中，OC 与 y 轴相切，且点C 的坐标为(1 , 0 ) , 直线/过点A( - 1 , 0 ) , 与OC 相切于点D . 解答下列问题:(1)求点D的坐标；( 2 ) 求直线/的解析式；( 3 ) 是否存在0 P,使圆心P在 x轴上，且与直线/相切，与。C外切吗？如果存在请求出圆心P的坐标，如果不存在，请说明理由.【 分析】( 1) 连 接 CD,过 。作 。 E _L AC 于 E,利用三角函数关系可得D E 、0 E的长，由此可得答案；( 2 ) 利用待定系数法可得解析式；(3 ) 存在两种情况，如图，过 P作于尸；如图，过 P作于E,分别利用相似三角形的判定与性质

38、可得答案.则 AD =AC s in3 0 =F，O E =AZ ) s in3 0 = 返 ,C E = C D s in3 0 = 2/. 0E= 1 - CE=,2。容 ;( 2 ) 设直线/为y =fc x + b ,O=-k+b则，M 1而k+b解得：k = ， T哼( 3 )存在两种情况，讨论如下：如图，过尸作P F _ L/于F ,设。P的半径为厂 ,J.CD/PE,：. A C D s A P E,. . . 史答，PE AP r r+3解得r= 3 ,：.P ( 5, 0 )；如图，过P作P EJ J于E,设。尸的半径为r，.,.CD/PE,二 A A C D A A P E

39、,. C D A C P E AP即 三 月 ,1 2解得 =，3: . p（ - A , o ）.3由此得P的坐标为（ - 1，0 ）或（ 5, 0 ）.39 .如图，A B是半圆。的直径，A B = 1 0 . C是弧A 3上一点，连接A C , BC, / A C B的平分线交A B于点P ,过点P分别作P F L B C ,垂足分别为E、F.（ 1 ）求证：四边形C EP F是正方形；（ 2 ）当s i n A = 2时，求C P的长；5（ 3 ）设A P的长为x ,图中阴影部分的面积为y ,求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值.【 分析】（ 1 ）证明四边形P E C F是矩形

40、，由角平分线的性质得出P E = P F ,则可得出结论；（ 2 ）求出8 c = 8 , A C = 6 ,设P E = C E = m ,则A E= 6 -加，由锐角三角函数的定义可得出P E的长，则可得出答案；（ 3 ）将绕点 P 顺时针旋转 90 ,得到 PF, PA = % , E t 3 SPAE+SPBFS 必 , B得出y =以 P B = LX （ 1 0 -x ）,由二次函数的性质可得出答案.2 2【 解答】（ 1 ）证明：N A C B = 90 , PELAC, PFLBC,四边形P EC F是矩形，：C P 平分/A C B , P E L AC, PFA.BC,：

41、.PE=PF,四边形C EP F是正方形;( 2 )解：V s i n A = A B = 1 0 ,5. B C 4 ,A B 5A B C = 8 ,AAC=VAB2- B C2 =V 102-82 =6,设 PE=CE=，n ,则 A E=6-?,taaA =PE m 4AE 6-m 3. .m=24( 3 )解： . 四边形CEP尸是正方形,：.PE=PF, NAPE+NBPF=90 , NPEA = NPFB=9Q ,. .将APE绕点2顺时针旋转90 , 得到A PF, PA = P A ,如图所示:则 A 、F、B 三点共线，N4PE=NA PF,.NA PF+NBPF=90 ,

42、 即NA PB=90 ,.,.SA/M+SAPBF= SABA B= PA P B = X ( 10 - X),2 2与x之间的函数关系式为y= - yX2+5x, v= _ 1 2+5X= - 1 / t 、 2 25y x (x-5)；.x = 5时，y有最大值为学.1 0 .如图，。是aABC的外接圆，AC是。的直径，过圆心。的直线于力，交。于E, F, PB是。的切线，B为切点，连接AP, AF.( 1 )求证：直 线 附 为 。的切线；( 2 )求证：AC2=4ODOP；( 3 )若 8c=6, ta n Z F = y -求 AC 的长.【 分析】 ( 1)连接0A，由 O P垂直

43、于A B ,利用垂径定理得到。为 AB的中点，即 O P垂直平分A B ,可 得 出 A P = B P ,再 由 0A =。 8, N A O P = /B O P ,利 用 SA S得出三角形4 0 尸与三角形BOP全等，由以为圆的切线，得到。 4 垂直于A P ,利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到0 B 垂直于B P ,即 PB为圆0 的切线；( 2 ) 由一对直角相等，一对公共角，得出O A O sao 雨 ，由相似得比例，列出关系式,由 0A 为 E F 的一半，等量代换即可得证.( 3 ) 根 据 。4 = 0C, AD=BD, B C = 6 ,得到 0 0 = 3 .设

44、 表示出尸=2x, 0A= O F = 2 x -3 .在 RtzXA。 。中，由勾股定理求得x 后即可求得半径，从而求得直径.【 解答】( 1 ) 证明：连接08,是。的切线，：.ZP B O = 90 ,：OA = OB, &41,尸 。于 。，：.AD=BD, ZPOA=ZPOB,又, ： PO=PO,以。 g/XPB。 ( SA S),以。= /尸 80=90 ,为圆的半径，直 线 为 O O 的切线；( 2 ) 证明： ：ZPAO=ZPDA=90 ,：.ZOAD+ZAOD=90 , ZOPA+ZAOP=90 ,：.ZO AD ZO PA,.OAQs 。 讯 .-O-D = O AO

45、A O P：.OA2=ODOP,又： A C = 2 0 A ,： .AC2 4 O D O P ；( 3 )解：, ： O A = O C , A D = B D , B C = 6,O O = 2 B C = 3 ,2设 A )= x ,V t a n Z F = 2:.F D = 2x, O A= O F = 2x-,3,在R t Z A。 。中，由勾股定理，得，( 2 x -3 ) 2=X2+32,解之得，x i = 4, X 2 = O ( 不合题意，舍 去 )，； .4。=4, O A = 2 r-3 = 5,是OO的直径，； .A C = 2 O A = 1 0 .； .A C的

46、长为1 0 .1 1 .如图，在R t /X A B C中，Z C = 90 , N A B C的 平 分 线 交A C于点 。，DELDB交AB于点E ,设。是 B O E的外接圆.( 1 )求证：A C是 的 切 线 ；( 2 )求证：A A DS A A f i Z )；( 3 )若 D E = 2, BD=4,求 A E 的长.【 分析】( 1 )连接。 。，根据O E_ L B ,得B E是直径,再利用角平分线的定义和等腰三角形可证/O DC = 90 ,从而证明结论；( 2 )利 用 同 角 的 余 角 相 等 可 得N A O E ,从而证明结论；( 3 )由( 2 )知AOES

47、/VIB。，得幽 上，则 A O = 2 A E ,在 R t Z X 4。 。中，利用A D DB 4勾股定理可得方程.【 解答】( 1 )证明：连接0 ,0 ,D: DELDB,：.B E 是直径，点0 是B E 的中点，VZC=90 ,:.NDBC+NBDC=90 ,又: BD为NABC的平分线，NABD= ZDBC,；0B=0D,NABD=N0DB,：.ZODB+ZBDC=90Q ,即 N O O C = 90 ,又；。 。是OO的半径，； .A C 是OO的切线；（ 2 ）证明：8 。为N A B C 的平分线，NABD=NCBD, ：ZCBD+ZBDC=90 ,NBDC+NADE=

48、90 ,：. NABD= NADE,又：N A = N A ,：./XADE ABD；（ 3 ）解：DEDB, DE=2, BD=4,:.BE=2 娓 ,OE=娓,由 （ 2 ）知： A DES/X A B。 ，. A E ED 2 - 二 - ,A D DB 4：.AD=2AE,在R t Z A O Z ） 中，由勾股定理得，（ 遍 +A E）2 = （ 本 产 + 篦肥产,解得A E = Z Y 或A E= 0 （ 舍去），3.A E= 2 _ .31 2 .在 阿基米德全集中 的 引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知第，C是弦A 8上一点，请你根据以下步骤

49、完成这个引理的作图过程.（ 1 ）尺规作图（ 保留作图痕迹，不写作法）；作线段A C的垂直平分线O E ,交 会 于 点 交A C于点E ,连接A D , C D ；以点。为圆心，长为半径作弧，交定于点尸（ 尸 ，A两点不重合） ，连接D F , B D ,B F .（ 2 ）猜想线段B C , 8尸的数量关系，并证明.【 分析】（ 1 ）根据要求作出图形即可.根据要求作出图形即可.（ 2 ）证明OF B丝 D C B可得结论.【 解答】解：（ 1 ）如图，直线O E ,线段A。，线段C。即为所求.如图，点 尸 ，线段C O, B D , B尸即为所求作.( 2 )结论：B F = B C .

50、理由：垂直平分线段A C ,： .D A= D C ,： .Z D AC = Z D C A, ： AD = D F ,： .D F = D C , A D = D F )Z D B C = A D B F , ： Z D F B + Z D AC = SO . N OC B + N OC 4 = 1 8 0 ,:.N D F B = N D C B ,在和 C 8 中,，Z D F B = Z D C BD F = D C： ./D F B /D C B ( A 4S ) ,： .B F = B C .1 3.已知：如图，AA B C内接于O。，A B为直径，N C S A的平分线交AC于

51、点 尸 ，交。于点 。，O E L 4 8于点E ,且交A C于点P ,连接A D( 1 )求证：NDA C=NDBA ；( 2 )求证：P是线段A F的中点；( 3)连接C O ,若C D = 3, BD = 4 ,求 的 半 径 和 。E的长.【 分析】( 1 )利用角平分线的性质得出N C 8 = N B A ,进而得出N Z M C = / O B A ；( 2 )利用圆周角定理得出N A B = 9 0 ,进而求出/ P C F = N P F ,则P D = P F ,求出P A = P F ,即可得出答案；( 3)利用勾股定理得出A 8的长，再利用三角形面积求出。E即可.【 解答

52、】( 1 )证明：平分/ C 8 A ,:. N C B D = N D B A ,4c与N C 8 O都是弧C O所对的圆周角，： . Z D A C = Z C B D ,： .Z D A C Z D B Ai( 2 )证明：. . F B为直径，A Z A D B = 9 0Q ,D E L A B 于 E ,； .N D E B = 90 ,. , . Z l + Z 3= Z 5+ Z 3= 9 0 ,/ . Z 1 = Z 5= Z 2 ,： .P D = P A, ：Z 4+ Z 2 = Z 1 + Z 3= 9 O ,且/ A D B = 9 0 ,； . / 3= N 4,：

53、 .P D = P F ,J.P AP F ,即P是线段A F的中点;( 3)解：连接C , : N C B D = 4 D B A,： .C D = AD ,；8 = 3 , ： .AD = 3,V Z AD B = 90 ,： .AB = 5,故。的半径为2 . 5, : D E XAB = AD XB D ,. * . 5D E = 3X 4,： .D E = 2A.1 4.如图，。经过 A B C的顶点A、C ,并与A B边相交于点。，过点。作 。 尸B C ,交A C于点E ,交。0于点F ,连接。C,点C为弧。F的中点.( 1 )求证：8 c为。的切线；( 2 )若。的半径为3 ,

54、。 尸=4 &,求C E - C 4的值；( 3)在( 2 )的条件下，连接A H 若B O = A F ,求A。的长.【 分析】( 1 )连接C。并延长交。于G,连接O G,由圆周角定理及直角三角形的性质证出/ ) C G + N Z ) C 3= 9 0 ,则 。C L B C ,由切线的判定可得出结论；( 2 )连接0 C交及产于M,由勾股定理求出。 。2 = 1 2 ,证明 ) C E s Z A C Z ) ,由相似三角形的性质得出生二也，证出C = C EC A ,则可得答案；A C C D(3 )连 接 C F,证明a B OC之 A F C (SAS),由全等三角形的性质得出B

55、 C= AC, NBCD= NA C F,证 出 AC= B C= O凡A F =C F = B D ,证明O8 C s/ C BA ,由相似三角形的性 质 得 出 呢，求出A 8的长，则可得出答案.B D B C【 解答】( 1) 证明：连接CO并延长交。于 G ,连接。 G , 如图:：CG为直径，.N GOC= 90 ,: .NDCG+NDGC=90 ,：N)GC= N8AC,点 C 为弧。 F的中点,： .ZCDF=ZBACf：/DGC=NCDF,.NDCG+/CO尸 = 90 ,: DFBC,: NCDF=NDCB,： .ZDCG+ZDCB=9Q ,:.OCLBC,又OC是O。的半径

56、， B C 为。的切线；( 2 ) 解：连接OC交 。 尸于M,:.OCtDF,。为弧。 歹的中： .DM=MF= DF= 2A/2，:。的半径为3, 0M=1 2 = S 2 _(2& )2 = 1：.CM =OC- OM=3 - 1=2,/.DC2=DM2+CM2=( 2 V 2 )2+ 22 = 1 2 ,翁，：.ZD AC = ZC AFf*： ZCDF=ZCAF,：.ZC D F= ZD ACfV ZDCE= ZACDt:DCESRACD, C D C E ，A C C D：.CD1= C E A , .CECA=12；( 3 ) 解：连接CR 四边形ADC尸内接于。，A ZADC+

57、ZAFC=SO0 ,又.N8OC+NCZM=180 , /AFC=NBDC,V C D = S ):CD=CF=2 心又.8O=AR：./B D C /A F C (SA S),：.BC=ACf NBCD=/ACF,ZACF= NAD尸 ,：.ZBCD=ZADF,*：DFBC,：.ZCDF=ZBCD, ZCDF= ZADF,：.AF=CF,A F = C F . BD=CF=2 M，A C = D F ， A C = O F = 4 & = B C ,N B C D = N C D F = N C A F = AD AC , N D B C = N AB C ,:./XD B C sAC B

58、A,. B C A BB D B C:.BC2=BD-AB, ( 4加)2 = 2立 ”8 ,1 5.如图，在R t Z X A B C中，/ B A C = 9 0 ,以A 8为直径的。交B C于点E ,点 。为A C的中点，连接。E .( 1 )求证：O E是。的切线.( 2 )若 C E = 1 , 0 4 =禽 .求8 E的长；求由劣弧A E、直径A B和弦B E所围图形的面积.【 分析】( 1 )连接0。，0 E ,证明A 0。丝/ X E O。( S A S ) ,由全等三角形的性质得出/O E D = Z O AD = 90 ,由切线的判定可得出结论；( 2 )连接A E ,证明

59、 A B E s a C B A ,由相似三角形的性质得出巫工殳，设B E = x,A B B C得出解方程求出x可得出答案；2V3 X+1连接0 E ,过点0作0 F L 8 E于点F,由勾股定理求出A E ,由直角三角形的性质求出N 4 B C = 30 ,根据三角形的面积公式和扇形的面积公式可得出答案.【 解答】( 1 )证明：如图，连接O。，0E ,B：.ZOBE=ZOEB, . , 点。是AC的中点，0是A8的中点,J.OD/BC,：. NOBE= ZAOD, /OEB= ZDOE,：. ZAOD=ZEOD,在A。 。和EOO中，OD=OD ZA0D=ZE0D0A=0EA/AOD/E

60、OD (SAS),：.ZOED=ZOAD=90 ,OELDE,是半径，是。的切线；( 2 )解：连接AE,/. ZAEB=90 ,；N84C=90 ,NAEB=/BAC,又；ZABE=ZCBA,:.ABEsXCBA, . B-E- = -A-B-，A B BC设 BE=x,. x 2 / 3 f - - f2 V 3 x+ 1；.x=3 或 x= - 4 （ 舍去），连接O E ,过点O作O F 上B E于点F,： .ZABC=30 ,，NAOE=2NABC=60 , ： OFVBE,： .BF=EF,又: OBOA,.OF=AE=近,2 2s-形兀 * 滓 ）-， BO =yB E OF =

61、 y x 3X除ob U N / N / 4兀+ 3 由劣弧AE、直径A B和弦B E所围图形的面积= 5 扇 形AOE+SZBOE=1 6 .如图，在 RtZABC中，ZACB=90 ,。的圆心。在 BC上，分别与AC、AB切于C、。两点，与 B C 交于另一点E ,连 OE, A 0 交。0 于点M.( 1 ) 求证：DE/AO-,（ 2）若 AC=6, BC=8.求AG的值;C E求。 E 的长.【 分析】 连 接 。 ，证明AOC之AOD,得到/ A OC /COD ，再利用圆周角定理可得N )E O= / N C 0 D ，所以NAO C=NDE。 ，从而得至IJ OE A。 ；(2

62、)利用80s区4 c求出OO的半径的长，即可以求出CE的长，从而求出处；C E根据得出BE, 8。的长，再根据。EA O ,得 出 型 型 ，从而求出。E的长.B O A 0；。分别与47、AB切于C、。两点，：.AC=AD.在AOC与AOO中， C = A D, ADA.BC.( 1)如图 1,求证：N B F C = 3 N B A D ；( 2)如图2,连接AE、B E ,过点A作AG _ L CE,垂足为G .求证：CE=BE+2EG；( 3)如图3,在( 2)的条件下，连接O G交A8于点”，若t a n/ ACE ，AG =4通 ，求CD G的面积.A【 分析】( 1) 根据垂径定

63、理知B D = C D ,则A B = A C ,再利用等腰三角形的性质可得结论；( 2 ) 在 CE 上截取C P= 8E,连接4 P,利用S AS 证明. E54gPC 4 ,得再利用等腰三角形的性质可得结论；( 3 ) 首先利用A4S 证明 AGO四C DO,得 OG= 。 。，AG= CO= 4、 后 ，利用三角函数可得CG , E G的长，从而得出s in /DC Os in /GA O屈 二 治 区 萼 ，过力作O A W 5 5CG于 Q ,求出。 Q的长，从而得出答案.【 解答】( 1) 证明：A_ LB C, A。是过圆心的线段，： .BD=CD,： .AB=AC,： . Z

64、 B A D = Z C A O , ： OA=OC,： . Z O A C = Z O C A , ： N B F C = ZFAC+ZACF,； . N B F C = 3 N B A D ；( 2 ) 如图2 , 在 CE 上截取C P= 8E,连接AP ,VAE = A E.： . Z E B A = Z F C A ,：AB=AC,：./EBA/PCA (SAS),：.AE=AP,：AGrEC,:.EG=PG,:.CE=BE+2EG；( 3 )解：ZAGO=ZCDO, AO=CO, ZAOG=ZCOD,：.AGO/CDO (AAS),AOG=OD, A G =C D =4& ，t a

65、 n/ ACE V ,C G= - = 8 /5，t a nZ ACE 12V AG I CE, CE 为直径,：.ZEAG=ACE,：.EG=AGtanZEAG=AGlanZACE= 275-CE=EG -K ； G =10 V 5 .， 0 A=0 C=5 心-0 G =CG -0 C=3V 5 .s i nN D CO =s i nN G AO = =O A 5 V 5 5过 。作QQ_LCG于Q,图3则 O Q =C ) , s i nN D C0 =4 V - | - = )b bSACDG = 6 0 0 X 8 x / 5 x 1 2 f =4 g .18. 作图:( 1)如 图

66、1 ,已知回ABC。和。0,在 图1中，画一条直线分别平分回ABC。和。的面积;( 2)如图2,已知AB、A C是。的两条弦，Z AC =4 0 ,画一个含4 0 的直角三角形;( 3)如图3,是由小正方形组成的6 X 6的网格，A、。都是格点，。的半径是0 4 , B是。0与网格线的交点.在图3中，将半径0 B绕 点0顺时针旋转9 0 得到半径0 C ,画半径0 C ；在图3中，画AB的中点M .作直线0 P即可;图3( 2)连接A O并延长于圆交于点E ,延长C D交圆于点H 连接AF , E F , A A E F即为所求;( 3) OC画图说明：将R t Z i O Q B绕圆心。顺时

67、针旋转9 0 ,得 到R t a O Ci C,即找到水平网格线O E旋转9 0 后对应的竖直网格线。l Ei ,。1田 与。的交 点C则为8旋转后的对应点;连接A O并延长于圆交于一点，由圆的对称性可知点E一定在圆上且是格点，连接BE,过点。作B E的垂线与A 8交于点尸，点F即为所求.【 解答】解：( 1)如 图1,接AC, 8。相交于点P ,作直线0户 ,B图1直线O P即为所求;( 2)如图2 ,连接A O并延长于圆交于点 延长C D交圆于点凡 连接AF , E F , AAEF即为所求( 3)如图3 ,取点。，此时0 8是直角三角形，将绕圆心。顺时针旋转9 0 ,得 到R t AO

68、D i C,即找到水平网格线DE旋 转9 0 后对应的竖直网格线D E ,D E 与。的交点C则为B旋转后的对应点；图3线段OC即为所求;如图3 ,连接A O并延长于圆交于一点，由圆的对称性可知点E一定在圆上且是格点,连接B E ,过点。作B E的垂线与A 8交于点F ,点F即为所求.19 .如图，A B是。的直径，点C在。0上，。为外一点，且N AD C=9 0 , 2N B +N D 4 8 =18 0 .( 1)求证：直线C。为OO的切线.( 2)若/ B=30 , A D = ,求。的半径.( 3)在( 2)的条件下，求阴影部分的面积.【 分析】( 1)连接 O C ,则/ 4 O C

69、 = 2 N B ,由 2N B+ N D AB=18 0 , Z A O C + Z D A B= 18 0 ,从而证明N CO =9 0 ,证明结论；( 2)连接A C ,可证4 0 C是等边三角形，由AD =1, N 4 O C=9 0 ,得4 c =24。=2,从而得出答案；( 3 ) s nHiifiAD C O _ 5 f f l f f M O C,即可得出答案.【 解答】( 1)证明：如图，连接O C,则 NAOC= 2N8,2N B +N Z M 8= 1 80 ,/. ZAOC+ZDAB=SO ,：.AD/OCfV ZADC=90 ,Z . Z DCO= 90 ,:.OCA

70、. DC,0C为半径， 直 线 。 。为o o的切线;( 2 )如图，连接AC,VZ B= 30 , ZAOC=2ZB=60 ,且 O 4 = O C, AOC是等边三角形，：.ZOCA = 60 ,A ZACD=90 - 60 = 30 ,VAD= 1 , ZADC=90 ,：.AC=2AD=2,：.OC=OA=AC=2f .。半径是2；(3) (1 +2):S阴影= S四边形ADCO - S扇形A O C = * -2 320.如 图1,点 。为 ABC的外接圆上的一动点（ 点 。在窟 上 ，且不与点A ,。重合），ZADB= ZBAC=60 .DB B图1图2( 1)求证：ABC是等边三

71、角形；( 2)连接C C ,探究A , B D , C。三者之间的数量关系，并说明理由；( 3)如图2 ,记B D与A C交于点E ,过点E分别作于点E N L B C于点、N ,连接M N,若A B = 6 ,求MN的最小值.【 分析】( 1)由圆周角定理得出/ ABC=60 ,由等边三角形的判定可得出结论；( 2)把8 C。绕点B逆时针旋转至 8 AM ,如 图1,证 出 是 等 边 三 角 形 ，由等边三角形的性质可得出结论；( 3)取B E的中点0,以 。为圆心，03的长为半径作圆，连 接0 M , 0 N ,过 点 。作0H1 .M N于点、H ,求出N M O H = / M O

72、N =60 ,由直角三角形的性质求出B E的长，2则可得出答案.【 解答】( 1)证明：Z AC B = Z AD B = 60 , / B4 C=60 ,A Z A B C = 60 ,. . . ABC是等边三角形； 解 ：B D = AD + C D .理由如下：把BC。绕点8逆时针旋转至 8 AM ,如 图1,图1四边形AB C D是圆内接四边形,： .Z B C D + Z B AD = Wa , ： /BAM=/BCD, NA4O+N84M=180 , M, A ,。三点共线，：BD=BM, ZD =60 ,:/BDM是等边三角形，J BD=DM=MA+AD=CD+AD ；( 3

73、)解：如图2 ,取BE的中点。 ，以。为圆心，。8的长为半径作圆,图2VME1AB, NELCB,：.M, N在圆。上，连接OM, O N ,过点。作OHJ_MN于点，V ZABC=60 ,:/MON=60 X2=120 ,:. NMOH=、NMON=60 ,2：.MO=r=BE, M H = -r -B E ,2 2 4J3:.M N=-BE,2.当BE_LAC时，BE最小，此时BE的最小值为与 X 6 = 3 ，:.MN的最小值为近_ x 373 =2 22 1 .如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0交AC于点E ,交BC于点、D ,。的切线8 P与AC的延长线交于点P ,连接

74、力E, BE.( 1 )求证：BD=DE.( 2 )求证：ZAEDZBCP.( 3 )已知：sin /8 4 O =渔，4 8 = 1 0 ,求 AP 的长.5A【 分析】（ 1）先由直径所对的圆周角是直角得：ZADB=90 , 利用等腰三角形三线合一的性质得出结论；（ 2）证出C D = Z ） E ,再根据等边对等角证明/ 。 E C = NOC E ,则可得出结论；（ 3）先根据已知的三角函数得：BD=2疾 ,三线合一可知：BC=4娓 ,利用勾股定理计算4 5 = 4 收 ，证明 ABP s / v i EB, 得出笆望，可求出答案.AE AB【 解答】（ 1）证明：为。的直径，. ,

75、. N A B=N AEB=9 0 ,；A8 =AC,；.NBAD=NCAD,. BD = D E.:.BD=DE；（ 2）证明：由 （ 1）得 BD=CD, BD=DE,:CD=DE,：.ZDEC=ZD CE,：. ZAED= ZBCP；（ 3）解：在 R t AAO B 中，BD=ABinZBAD= 10 X 4; 2 遥 ，5.AD=4 hB2 -BD2 = d 0 2_ （ 2弥） 2 = 4 代 , BC=2BD=4 娓 ,* S&ABC=, BC AD= /AC BE,xW5 X4V5=4X10B,：.BE=S, AE=6,：B P 是。的切线，： . N 4 BP =N AEB=

76、9 0 ,: NBAE=NBAP,： .AB P sA E B ,. AB AP 二 一 ,AE AB . 10 AP ,6 10； . AP =毁 .322.如图，已知。0上依次有A、B、C、。四个点，俞 = 黄 ，连接A5、AD, B D ,弦A8不经过圆心。，延长A B到E ,使B E = A B ,连接E C ,尸是E C的中点，连接B F.( 1)若。的半径为3 , N D 4 B = 12 O ,则弦8 )的长=；( 2 )求证：BFB D ；2( 3 )设G是 的 中 点 ，探索：在。0上是否存在点P ( 不同于点B ),使得尸G = P尸 ？【 分析】( 1)利用圆心角定理进而

77、得出N B O Z )= 12 0 ,再利用垂径定理可得出D M =B M .由 勾 股 定 理 可 求 出 的 长 ，则可得出答案；( 2 )利用三角形中位线定理得出8 F= 4 C ,再利用圆心角定理得出D A B = C B A ，进而2得出 BF= LBD；2( 3 )首先过点B作A E的垂线，与。的交点即为所求的点P ,得 出B P L A E ,进而证明P B G之A P B /( S4 S),求出 PG=PF.【 解答】( I )解：连 接 。8 , O D ,过点。作O M L O B于M，. . 病所对圆心角的度数为2 4 0 ,A Z B O D = 3 6 0 - 2 4

78、 0 = 12 0 ,Z D B O = 3 0Q , ： OM1.DB,： . D M = B M , / O M B = 9 0 ,;。的半径为3 ,Z . 0M=,2:.BD=2BM=3M，故答案为3代 ；(2 )证明：连接AC,：AB=BE,. . . 点B为AE的中点，是EC的中点，B尸为E4C的中位线,：.BF=AC,2, A D = C B . * , A D + A B = B C + A B ：,BD=AC,：.BF=BD；2(3 )解：过点8作AE的垂线，与。0的交点即为所求的点P,/ 为E4C的中位线,：.BF/AC,:.NFBE=NCAE, . A D = B C ,：

79、 . Z C A B = Z D B A ,由作法可知BP1AE,： . Z G B P = Z F B P ,：G为B。的中点，:.BG= LBD,2： .BG=BF,在A P S G和尸中， B G = B F, N P B G = N P B F，B P = B P: Z B G Q X P B F ( SA S),： .PG=PF.2 3 .如图：已知OM经过。点，并且OM与x轴，y轴分别交于A , B 两 点 ,线段O A , 0B( O A O B )的长是方程7 - 17 x + 6 0 = 0的两根.( 1)求线段。8的长；( 2 )已知点C是劣弧0 A的中点，连结8 c交0

80、A于 Q .求证：O d = C DCB ；求点C的坐标.【 分析】( 1)线段。A ，OB C O A O B )的 长 是 方 程17 x + 6 0 = 0的两根，用因式分解法求出方程的解即可；( 2 ) 点C是劣弧0 A的中点，得N O B C = N D O C ,贝lJ O C B s 。C O ； 连 接M C ,根据垂径定理的推论，得M C r O A .再进一步根据垂径定理和勾股定理进行计算即可.【 解答】解：( 1) 17 x + 6 0 = 0 ,( x - 12 ) ( x - 5 ) = 0 , - 12, X 2 = 5,： . O A = 1 2 ,。8 = 5

81、；（ 2 ） 点C是劣弧0 4的中点,: . 弧 O C =弧 A C ,： .ZOBC=ZDOC,又；/ C = N C ,: . OCBsDCO, .-O-C = 1C D ,B C 0 C即 O d = C D - C B ；2；O A = 12 , OB=5, Z B O A = 9 0 ,得 M E J _ O 4 ,： .AB是。M的直径，由勾股定理得A B =VOA2-H ） B2 = V 1 22 + 52 = 3根据勾股定理，得M E = M E = d 10 2 _ 0 / = 4 6. 5 2 -6 2 = 2 5： ,CE=6.5 - 2 . 5 = 4 ,即 C (

82、6 , - 4 ) .2 4 .定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美（ 2 ）在（ 1）的条件下，若。0的半径为4 . 求 的 长 ；如图2 ,在四边形A B C。中，若 C 4 平分N B C D ,求证：BC+CD=-AC.（ 3 ）在（ 1）的条件下，如图3 ,若A C是。0的直径，请用等式表示线段A 8、B C、C D之间的数量关系 B C + 2 C D = MA B （ 直接写答案）.【 分析】（ 1）由题意得：而N A + N C = 18 0 即可求解.2（ 2 ）如下图，连 接 并 延 长 交 圆 于E点，连接B E , B D = E

83、D , sinE = 4 .连接8。，延长C 8到E ,使得B E = C Q ,证明A C Q g Z iA B E （ SA S） ,由全等三角形的性质得出/ E = N 4 C O = 6 0 , NEA B=NDA C,证明AACE为等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论；（ 3 ） Z H= 30 ,则 C H = 2 C。，tanZBA H = = =EC+2CD = t an 6 00 =禽，A B A B A B故：B C + 2C D = yf3AB .【 解答】解：（ 1）由题意得：Z A = AZC , 而/ A + N C = 18 0 ,2A Z A = 6 0 .

84、故答案为：6 0 .（ 2 ）如图I ,连接。 。并延长交圆于E点，连接B E ,图1则N E = / A = 6 0 ， B D = E DsinE = 4 .证明：如图2 ：连接B。,图2V Z B A D = 6 0 ,A Z B C D = 12 0 ,：CA 平分NBC。，.NACB=NAC=60 ,A ZABD= ZACD=60 , ZADB= ZACB=f0 ,ZVIB。为等边三角形，延 长CB到E ,使得BE=CD,又： A台 二 人 。，NEBA=NCDA,ACD/XABE (SA S),：. ZE= ZACD=60 , ZEAB=ZDAC,：. ZEAC= ZEAB+ZBAC= ZBAC+ZDAC=60 ,.ACE为等边三角形，：.AC=CE,：BC+BE= BC+CD= CE,：.AC=BC+CD,( 3 )如图3 ,延长BC和AO交于点 ”，V ZABH=90 , N8AH=60 ,，N” =30 ,V ZADC=ZCD/7= 90 ,:.CH=2CD, tanC&4/7=理 = KH = EC+2BD = tan60 =代 ，AB AB AB：.BC+2CD=3AB.故答案为BC+2CD=MAB.