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1、第五章第五章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换1 1 线性空间的概念线性空间的概念 线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示. 一一. . 数域数域 (1) 0, 1K ; 定义定义5.15.1 设K是一个数集, 如果 (2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, 那么称K是一个数域. 可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域. 数集也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于有理数域. 对几何空间中的向量, 实数域上的n维
2、向量, 实数域上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间. 二二. . 线性空间的定义和例子线性空间的定义和例子 定义定义5.25.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足 (1) + = + (加法交换律); (2) ( + )+ = +( + )(加法结合律); (3) V中有零元素0 0, 使 V有 +0 0= ; (4) V, - V, 使 +(+(- )=0, )=0, 称- 为 的负元素; (5) k( + + )= =k + +k , , , , V, kK; (6
3、) (k+l) = =k + +l , , V, k, lK; (7) (kl) = =k(l ) , , V, k, lK; (8) 1 = = , , V, 1K; 则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V. 线性空间也称为向量空间, 其元素都称为向量.例如: 数域K上的所有n维向量组成的集合Kn, 对向量的加法和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间. 数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn, 对矩阵的加法和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间. 实系数齐次线性方程组AxAx=0 0的全体解的集合U, 对解向量的加法和乘数两种运算, 构成实数域R上的一个线性空间. 数域
4、K上的所有次数小于n的多项式的集合Kxn, 对多项式的加法和乘数两种运算, 构成K上的一个线性空间. 线性空间具有下列简单性质: 1. 令向量是唯一的. 0 01=0 01+0 02=0 02 2. 每个向量的负向量是唯一的. - 1=(- 1)+0 0=(- 1)+( +(- 2) =(- 1)+ )+(- 2)=0 0+(- 2)=- 2 3. 0 =0 0, k0 0=0 0, V, kK 0 + =0 +1 =(0+1) = , 由1.得0 =0 0 . 4. 若k =0 0, 则, k=0或 =0 0. =1 =(1/kk) =1/k(k )=1/k0 0=0 0 三三. . 子空间
5、子空间 定义定义5.35.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的子空间. 按定义可见, 集合0是V的子空间, 称之为零子空间, V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它的称为非平凡子空间. , U, kK, 都有 + U, k U 定理定理5.15.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的. 即例如 n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子空间. 设 1, 2, r 是线性空间VK中的一组向量, 则 Kxn是Kx的子空间. Knn中所有对称矩
6、阵构成Knn的子空间. L( 1, 2, r)=k1 1+k2 2+kr r|k1,k2,krK是VK的子空间. 称为由 1, 2, r生成的子空间.2 2 基基 维数维数 坐标坐标 齐次线性方程组AxAx=0 0的全体解的集合U构成解空间,我们知道U中所有向量都可以有AxAx=0 0的基础解系表示. 这是线性空间的重要性质. 一一. . 基基 维数维数 坐标坐标 定义定义5.45.4 在线性空间V中, 如果有n个向量 1, 2, n线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1, 2, n为V的一组基, n称为V的维数, V称为n维线性空间. 仅含零向量的线性空间维数是零, 如果
7、V中有任意多个线性无关的向量, 称其为无限维线性空间. 如Kx. 在线性代数中, 只讨论有限维线性空间. 可见, 如果将线性空间V看成一向量组, 所谓基就是V的一个极大线性无关组, 所谓维数就是V的秩. Kxn是n维线性空间, 1, x, x2,xn-1 是它的一组基.例如 齐次线性方程组AxAx=0 0的基础解系就是方程组解空间U的基, 如果n元方程组的系数矩阵的秩为r, 则U是n-r维线性空间. Rmn是mn维线性空间, 如R23的一组基为: 向量组 1, 2, r的一个极大线性无关组, 就是线性空间L( 1, 2, r)的一组基, 其维数就是向量组的秩. 定理定理5.25.2 设V是n维
8、线性空间, 如果V中向量组 1, 2, m线性无关, 则在V中必有n-m个向量 m+m+1, m+m+2, n, 使得 1, 2, m, m+m+1, m+m+2, n是V的一组基. 定义定义5.55.5 设 1, 2, n是线性空间VK的一组基, 如果 VK可以表示为: 由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示. =x1 1+x2 2+xn n则称(x1, x2,xn)T为向量 在基 1, 2, n下的坐标. 可见, 坐标是由向量及基的选取唯一确定的. 例例1 1 试求线性空间R3中向量 = =(1, 2, 3)T在基: = =x1
9、1+x2 2+x3 3 解 设所求坐标为(x1, x2, xn)T, 则即解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.所以, 向量 在基 1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T. 1= =(1, 1, 1)T, 2= =(1, 1, -1)T, 3= =(1, -1, -1)T下的坐标.也可以写成:一般地, 向量 在基 1, 2, n下的坐标为(x1, x2,xn)T,也可表示为:二二. . 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它们之间的关系. 设 1, 2, n和 1, 2,
10、n是线性空间VK的两组基, 则, 这两个向量组等价. 如果则合起来就有:简记为 定义定义5.65.6 矩阵C称为由基 1, 2, n到基 1, 2, n的过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆的. 定理定理5.3 5.3 设 1, 2, n和 1, 2, n是线性空间VK的两组基. 如果向量 在这两组基下的坐标分别为x x=(x1, x2, xn)T, y y=(y1, y2, yn)T, 则x x=CyCy. 其中C是过渡矩阵. 证明证明 由于 由于向量在一组基下的坐标是唯一的, 所以x x=CyCy. 如例1中, = =(1, 2, 3)T在基 1=(1, 0, 0)T, 2=(0, 1, 0)T,
11、3=(0,0,1)T下的坐标显然为(1,2,3)T, 且由基 1, 2, 3 到基 1, 2, 3的过渡矩阵为( 1, 2, 3), 所以, = =(1, 2, 3)T在基 1, 2, 3下的坐标为: ( 1, 2, 3)-1(1, 2, 3)T=(2, -1/2, -1/2)T作作 业业习题习题A A 第第9898页页1 、2、3、6 、7、8练习题练习题习题习题B B 第第100100页页1、 2、 4 、53 3 线线 性性 变变 换换 线性变换是线性空间上的重要运算, 本节介绍线性变换的概念, 并讨论线性变换与矩阵之间的关系. 一一. . 定义和例子定义和例子 定义定义5.75.7 设
12、是线性空间VK到VK的一个映射, 且满足 , VK, kK都有则称为VK的一个线性变换. ( + )= ( )+ ( ) (k )=k( )例如 A ARnn, 定义(A A)=A AT, 则为Rnn的一个线性变换. 取0 0VK, VK, 定义( )=0 0, 则为VK的一个线性变换, 称为零变换.(2) ( )= ( ); 线性变换具有下列简单性质: (1) (0)=0; 取A ARnn, Rn, 定义( )=A , 则为Rn的一个线性变换. VK, 定义( )= , 则为VK的一个线性变换, 称为恒等变换或单位变换. (3) (x1 1+x2 2+xm m) =x1( 1)+x2( 2)
13、+xm( m)二二. . 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 设为线性空间VK的一个线性变换, 1, 2, n是VK的一组基, VK, 如果 =x1 1+x2 2+xn n, 则即, ( )是由( 1), ( 2), ( n)唯一确定的. 由于( 1), ( 2), ( n)VK, 故可由 1, 2, n线性表示, 记 ( )=x1( 1)+x2( 2)+xn( n) ( 1)=a11 1+a21 2+an1 n ( 2)=a12 1+a22 2+an2 n ( n)=a1n 1+a2n 2+ann n例如其中 ( 1, 2, n)=( 1, 2, n)A A矩阵A的第j列为向量( j)在基 1,
14、2, n下的坐标. 矩阵A称为线性变换在基 1, 2, n下的矩阵.例如 线性空间Kxn中, 求微商的变换在基1, x, x2, xn-1下的矩阵为: 零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵. 单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵. 线性空间Kxn中, 求微商的变换在基1, x, x2/2, xn-1/(n-1)下的矩阵为: A AR22, 定义(A A)=A AT, 则在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为: 定理定理5.45.4 设线性变换在基 1, 2, n下的矩阵是A A, 向量 在基 1, 2, n下的坐标为x x=(x1, x2, xn)T,则( )在这组基下的坐标是AxAx
15、. 证明证明 因为 =x1 1+x2 2+xn n, 所以 =( 1, 2, n)TAxAx ( )=x1( 1)+x2( 2)+xn( n) =( 1), ( 2), ( n)x x所以, ( )在基 1, 2, n下的坐标是AxAx. 定理定理5.55.5 设是线性空间V的线性变换, 如果在两组基 1, 2, n和 1, 2, n下的矩阵分别为A A和B B, 且由基 1, 2, n到基 1, 2, n的过渡矩阵为C, 则B B=C C-1ACAC. 证明证明 由于 ( 1, 2, n)=( 1, 2, n)A A ( 1, 2, n)=( 1, 2, n)C C于是 ( 1, 2, n)
16、B=B=( 1, 2, n)=( 1, 2, n)CC = ( 1, 2, n)C=C=( 1, 2, n)ACAC =( 1, 2, n)C C-1ACAC由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的, 故B=C C-1AC.AC. 例例2 2 设线性空间R3的线性变换在基 1, 2, 3下的矩阵为 解解 基基 1, 2, 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵为求在基 1= 1, 2=-3 1-2 2+2 3, 3= 1+2 2+2 3下的矩阵.先求C C-1, 由于所以, 在基 1, 2, 3下的矩阵为:4 4 欧几里得空间欧几里得空间 欧几里得空间就是在实线性空间上定义了数量积. 一一. . 定义和
17、例子定义和例子 定义定义5.85.8 设V是实数域R上的一个线性空间, 在V上定义一个二元实函数 , , 满足: , , V, kR, 有则称二元实函数 , 是V上的内积, 此时的线性空间V称为Euclid(欧几里得)空间. (1) 对称性: , = , (2) 线性性: + , = , + , , k , =k , (3) 正定性: , 0, 且仅当 =0=0时, , =0.例如: 在Rn中, = =(a1, a2,an)T, = =(b1, b2,bn)TRn, 定义 : , =a1b1+2a2b2+nanbn, 则Rn也成为Euclid空间,但它是与上面不同的Euclid空间. 在Rxn
18、中, f(x) , g g(x) Rxn, 定义内积为: 在Rn中, = =(a1, a2,an)T, = =(b1, b2,bn)TRn, 定义 : , =a1b1+a2b2+anbn, 则Rn成为Euclid空间.则Rxn也成为Euclid空间. 利用内积的概念, 可以定义Euclid空间中向量的长度, 向量的夹角等概念. 向量的长度具体下列性质: 定义定义5.95.9 设V是Euclid空间, V, 非负实数 , 1/2称为向量 的长度(或范数, 或模), 记为| |(或 ).还有下面的Cauchy-Schwarz不等式: (1) 非负性: | |0, 且仅当 =0=0时, | |=0
19、; (2) 齐次性: |k |=|k| |; (3) 三角不等式: | + | |+| |. | , | | |.若| |=1, 称 为单位向量. 若 0 0, 则(1/| |) 是单位向量. 定义定义5.105.10 在Euclid空间中, 两个非零向量 , 的夹角记为, 规定为: 定义定义5.12 5.12 在Euclid空间中, 一组两两正交的非零向量称为正交向量组, 由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.可见, =/2当且仅当 , =0. 定义定义5.115.11 如果 , =0, 则称 与 正交. 可见, 1, 2, n为规范正交组 i, j=ij . 定理定理5.65.6
20、正交向量组必线性无关 . 在线性空间R3中, 取标准内积 , =x1y1+x2y2+x3y3, 使R3成为一个 Euclid空间.解之得一个解为, =(-2, 1, 1)T, 将 单位化得: 解解 先求与 1, 2都正交的向量 , 记 =(x1, x2, x3)T, 则 1, = x1+x2+x3=0, 2, =x2-x3=0 例例3 3 在Euclid空间R3中, 求一个单位向量 , 使其与两个向量 1=(1, 1, 1)T, 2=(0, 1, -1)T 都正交.二二. . 规范正交基规范正交基 定理定理5.7 5.7 在Euclid空间中, 如果向量组 1, 2, m线性无关, 则有规范正
21、交向量组 1, 2, m与之等价 . 证明证明 先正交化, 取 1 = 1, 再将 1, 2, m单位化, 取 则 1, 2, m就是所求规范正交向量组. 上述由线性无关向量组 1, 2, m,得到正交向量组 1, 2, m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程. 定义定义5.135.13 在n维Euclid空间V中, 含有n个向量的正交向量组称为V的正交基. 由单位向量构成的正交基称为规范正交基. 例例4 4 在线性空间Rx3中, 定义内积试求Rx3的一组规范正交基. 解解 取Rx3的一组基, 1=1, 2=x, 3=x2, 将其正交化得: 1 = 1=1, 1, 2, m就是Rx3
22、的一组规范正交基.再将 1, 2, 3单位化, 取 例例5 5 求L( 1, 2, 3, 4)的一组规范正交基. 其中 解解 由于 可见, 1, 2, 4是L( 1, 2, 3, 4)的一组基, 正交化 1 = 1再单位化得L( 1, 2, 3, 4)的一组规范正交基为: 定义定义5.14 5.14 若实方阵A A满足AAAAT=E E, 则称A A是正交矩阵. 若记则,由于 可见, AAAAT=E E的充分必要条件是: 所以说, n阶实矩阵A是正交矩阵A的行(列)向量组是Euclid空间Rn的一组规范正交基.注意: i i j jT=ai1aj1+ai2aj2+ainajn= i i, j j 例如, 下列矩阵都是正交矩阵:在Euclid空间中, 两组规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵.作作 业业习题习题A A 第第9898页页9、10、12、13 、15、16、17 、18练习题练习题习题习题B B 第第100100页页6、7、8 、9 、11、12 、13 、14、15 、16
