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1、20.1 20.1 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程 (Schrodinger Equation)(Schrodinger Equation)描描述述粒粒子子运运动动的的波波函函数数和和粒粒子子所所处处条条件件的的关关系系首首先先由由薛定谔得出，称为薛定谔得出，称为薛定谔方程。薛定谔方程。薛定谔方程。薛定谔方程。一动量为一动量为一动量为一动量为P P、能量为、能量为、能量为、能量为E E的自由粒子的薛定谔方程的建立的自由粒子的薛定谔方程的建立的自由粒子的薛定谔方程的建立的自由粒子的薛定谔方程的建立一维自由粒子物质波的波函数一维自由粒子物质波的波函数: :第第第第2020章章章章 薛定谔
2、方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程分别对分别对 x 和和 t 求导求导 （算符表示）（算符表示）对一维自由粒子：对一维自由粒子：可得一维自由粒子可得一维自由粒子的薛定谔方程：的薛定谔方程：整理后得能量整理后得能量E和动量和动量 p 的算符表示：的算符表示：三维的：三维的：一维自由粒子的一维自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程式中：式中：称为拉普拉斯算符称为拉普拉斯算符三维自由粒子的三维自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程二薛定谔一般方程二薛定谔一般方程二薛定谔一般方程二薛定谔一般方程当粒子处在势场中时，粒子的能量：当粒子处在势场中时，粒子的能量：与上同样推导：与上同
3、样推导：非自由粒子的非自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程引入引入哈密顿算符：哈密顿算符：薛定谔一般方程薛定谔一般方程薛定谔一般方程薛定谔一般方程三定态薛定谔方程三定态薛定谔方程三定态薛定谔方程三定态薛定谔方程（Stationary State Schrodinger Equation）一般地一般地 势场：势场：当势场仅仅是空间坐标的函数时当势场仅仅是空间坐标的函数时 ，相应的，相应的波函数可分解为：波函数可分解为：此时微观粒子所处的状态称为此时微观粒子所处的状态称为定态定态定态定态；波函数称为波函数称为定态波函数定态波函数定态波函数定态波函数。满足的方程即是满足的方程即是定态薛
4、定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程。薛定谔一般方程：薛定谔一般方程：代入薛定谔一般方程：代入薛定谔一般方程：得得（1 1）（2 2）两边同除两边同除= E定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态波函数定态波函数 波函数必须是时间、坐标的波函数必须是时间、坐标的单值单值、有限有限、连续连续函数，这称为波函数的函数，这称为波函数的标准条件。标准条件。在整个空间粒子的概率分布在整个空间粒子的概率分布是不随时间变化的，这就是是不随时间变化的，这就是定态（稳定的态）定态（稳定的态）定态（稳定的态）定态（稳定的态）的含义。的含义。由由(1)式式 可得：可得：由由(2)式
5、式 可得：可得： 量子力学处理问题的方法量子力学处理问题的方法1. 分析、找到粒子在势场中的势能函数分析、找到粒子在势场中的势能函数U，写出薛定谔方程。写出薛定谔方程。2. 求解求解 ，并根据初始条件、边界条件和，并根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数。归一化条件确定常数。3. 由由 2 得出粒子在不同时刻、不同区域得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。概率。 2.2.定态薛定谔方程定态薛定谔方程: :令：令：得得 阱内：阱内：20. 2 20. 2 一维定态问题一维定态问题一维定态问题一维定态问题一一一一. . . .
6、一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子(Particles in the (Particles in the One-dimension infinite potential well) 阱外：阱外： 必有必有1.1.势函数势函数(Potential energy) 0xU(x)=0 aU3.3.分区求通解分区求通解（B 0 0） 4.4.由波函数自然条件和边界条件定特解由波函数自然条件和边界条件定特解0xU(x)=0 a 阱外：阱外： 阱内：阱内：（这里：（这里： ） (A和和B系数系数待定待定) )方程解：方程解：(1)(1)能量本征值能量
7、本征值（energy eigen values)得：得： 能量取分立值能量取分立值, ,每一个值对应一个能级每一个值对应一个能级 当当 时，量子化能量时，量子化能量转为转为连续能量连续能量 最低能量最低能量( (零点能或基态零点能或基态) )En能量或能级是量子化的能量或能级是量子化的能量本征值能量本征值主量子数主量子数波动性波动性(Principle quantum number)(2)(2)本征函数本征函数(eigen function)由归一化波函数求系数由归一化波函数求系数 B：能量的本征函数能量的本征函数含时的能量本征函数含时的能量本征函数由每个本征函数所描述的粒子的状态称为粒子的由
8、每个本征函数所描述的粒子的状态称为粒子的能量本征态。能量本征态。归一化条件：归一化条件：(3)(3)概率密度概率密度当当 时，量子时，量子经典经典当当a a为宏观距离时，为宏观距离时， E En n0,0,这也这也相当于过渡到经典物理学中连续相当于过渡到经典物理学中连续能量的情况。能量的情况。 从能级上看：从能级上看：(4) 势阱中粒子的动量势阱中粒子的动量粒子的德布罗意波长粒子的德布罗意波长波长也是量子化的波长也是量子化的无限深方势阱中粒子的每一个能量本征态对应于一个德布罗无限深方势阱中粒子的每一个能量本征态对应于一个德布罗意驻波；并有相应的特定波长意驻波；并有相应的特定波长 n 。两端是波
9、节的情况两端是波节的情况驻波驻波(取实部）取实部）例题例题 设无限深势阱中粒子的一个量子态是基态和第一激发态的设无限深势阱中粒子的一个量子态是基态和第一激发态的叠加态，而且粒子处于基态的概率为叠加态，而且粒子处于基态的概率为1/4，第一激发态的概率为，第一激发态的概率为3/4。求这一叠加态的概率分布。求这一叠加态的概率分布。解：解：一维无限深势阱的基态和第一激发态的波函数为：一维无限深势阱的基态和第一激发态的波函数为：由题处于各态的概率，可得叠加态的波函数为：由题处于各态的概率，可得叠加态的波函数为：此此叠加态的概率分布叠加态的概率分布为：为：1 1梯形势梯形势二、二、二、二、 隧道效应隧道效
10、应隧道效应隧道效应(Tunneling Effect)定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：0xU=U0U=0EU通解：通解：通解：通解：特解：特解： 电子逸出金属表面的模型电子逸出金属表面的模型（E UU0, ,衰减解）衰减解）( (E U0,振动解）振动解）通解：通解：2.2.隧道效应（势垒贯穿隧道效应（势垒贯穿）(Potential Barrier and Tunneling)0xU=U0U=0EUx1x2U=0入射能量入射能量 E U0 经典理论：经典理论：粒子不能进入粒子不能进入E U0的区域的区域（动能（动能 U0 E E +E U0经典物理：经典物理：从能量守恒角度看是不可能的。从能量
11、守恒角度看是不可能的。量子物理：量子物理： 粒子有波动性，遵守不确定关系。粒子有波动性，遵守不确定关系。只要势垒区宽度只要势垒区宽度x = a 不是无限大，粒不是无限大，粒子能量就有不确定量子能量就有不确定量E 。0xU=U0U=0EUx1x2U=01.测样品表面：控制，使测样品表面：控制，使I 保持恒定；保持恒定；2.分辨样品表面离散的原子，分辨率分辨样品表面离散的原子，分辨率横向横向0.1nm ，纵向纵向0.01nm，电子显微镜电子显微镜（0.30.5nm）3.重新排列原子（重新排列原子（1990年用年用35个个Xe原原子在子在Ni表面拼缀出表面拼缀出 IBM 纳米技术纳米技术正式诞生）。
12、正式诞生）。3、扫描隧道显微镜、扫描隧道显微镜(STM)(Scanning Tunneling Microscopy)1982年IBM公司金属样品金属样品电子云电子云Ub 微小电压微小电压s隧道电流隧道电流 I电子云电子云重重 叠叠4. 放大倍数可达放大倍数可达1亿倍。亿倍。 为为获获得得单单个个的的原原子子，科科学学家家们们在在一一真真空空室室内内设设置置了了一一个个“陷陷阱阱”，它它们们将将6条条激激光光束束聚聚焦焦在在一一个个点点上上，然然后后注注入入气气态态铯铯。当当一一个个原原子子进进入入激激光光束束，便便拍拍摄摄一一张张照照片片，需需拍拍摄摄上上百百万万张张照照片片。每每当当一一个
13、个原原子子进进入入陷陷阱阱，科科学学家家便便用用光光学学钳钳即即两两条条激激光光束束将将其其抓抓住住。这这两两条条光光与与上上述述用用6条条激激光光束束组组成成的的光光陷陷阱阱不不同同，因因为为作作为为光光学学钳钳的的两两条条激激光光束束的的光光子子不不仅仅作作为为微微型型球球通通过过这这一一区区域域，在在球球内内还还有有一一电电场场，靠靠电电场场的的力力抓抓住住单单个个原原子子。但但激激光光的的抓抓力力太太弱弱，为为提提高高抓抓力力，科科学学家家将将激激光光束束聚聚焦焦到到1/30毫毫米米的的一一个个点点上上，这这样样就就可可以以准准确确地地在在该该点点上上抓抓住住原原子子。1990年年，I
14、BM两两位位科科学学家家用用显显微微镜镜探探针针移移动动了了吸吸附附在在金金属属镍镍表表面面上上的的氙氙原原子子，他他们们经经过过22小小时时的的操操作作，把把35个个氙氙原原子子排排成成了了“IBM”的的字字样样。这这几几个个字字母母高高度度约约是是一一般般印印刷刷用用字字母母的的二二百百万万分分之之一一，原原子子间间间间距距只只有有1.3纳米左右。这是人类有目的、有规律地移动和排布单个原子的开端。纳米左右。这是人类有目的、有规律地移动和排布单个原子的开端。4848个个Fe原原子子形形成成“量量子子围围栏栏”，围围栏栏中中的的电电子子形形成成驻驻波波. . Fe原原子子间间距距：0.95 n
15、m，圆圆圈圈平均半径：平均半径：7.13 nm。1991年恩格勒等用年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母拼成了字母IBM，每个字母长，每个字母长5纳米。纳米。1991年年2月月IBM的的“原子书法原子书法”小组小组又创造出又创造出“分子绘画分子绘画”艺术艺术“CO 小人小人”图中每个白团是单个图中每个白团是单个CO分子竖在铂分子竖在铂片表面上的图象，上端为氧原子片表面上的图象，上端为氧原子CO分子的间距：分子的间距：0.5 nm“分子人分子人”身高：身高：5 nm堪称世界上最小的堪称世界上最小的“小人图小人图”移动分子实验的成功，表明人们朝着移动
16、分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步，其内在意义目前尚标又前进了一步，其内在意义目前尚无法估量。无法估量。三、一维谐振子三、一维谐振子三、一维谐振子三、一维谐振子(one-dimension harmonic oscillator)1.1.势函数势函数m振子质量，振子质量， 固有频率，固有频率，x位移位移2.2.哈密顿量哈密顿量3.3.定态薛定谔方程定态薛定谔方程 能量本征值能量本征值 能量量子化能量量子化 能量间隔能量间隔 最低能量最低能量( (零点能零点能) ) 2(x)x 本征函数和概率密度本征函数和概率密度 n = 2的本征函数的本征函数 n = 2的概率密度的概率密度4.4.与经典谐振子的比较与经典谐振子的比较 基态位置概率分布基态位置概率分布 量子：量子：在在 x =0=0处概率最大处概率最大 经典：经典：在在 x =0=0处概率最小处概率最小量子概率分布量子概率分布经典概率分布经典概率分布能量量子化能量量子化能量取连续值能量取连续值 经典谐振子：经典谐振子：量子谐振子：量子谐振子：
