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1、精品资料 欢迎下载 第四节 随机变量函数的分布 一、 随机变量的函数 定义 如果存在一个函数)(Xg, 使得随机变量YX,满足: )(XgY , 则称随机变量Y是随机变量X的函数. 注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、 积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量X的统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律. 一般地, 对任意区间I, 令)(|IxgxC, 则 ,)(CXIxgIY .)(CXPIxgPIYP 注: 随机变量Y与X的函数关系确定,为从X的分布出发导出Y的分布提供了可能. 二、离散型随机变量函数
2、的分布 设离散型随机变量X的概率分布为 , 2 , 1,ipxXPii 易见, X的函数)(XgY 显然还是离散型随机变量. 如何由X的概率分布出发导出Y的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值, 然后对Y的每一个可能取值, 2 , 1,iyi确定相应的,)(|ijjiyxgxC于是 ,)(iiiiCXyxgyY . ijCxjiixXPCXPyYP 从而求得Y的概率分布. 三、 连续型随机变量函数的分布 一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的
3、分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数. 设已知X的分布函数)(xFX或概率密度函数)(xfX, 则随机变量函数)(XgY 的分布函数可按如下方法求得: .)()(yYCXPyXgPyYPyF 其中.)(|yxgxCy 而yCXP常常可由X的分布函数)(xFX来表达或用其概率密度函数)(xfX的积分来精品资料 欢迎下载 表达: yCXydxxfCXP)( 进而可通过Y的分布函数)(xFY, 求出Y的密度函数. 定理 1 设随机变量X具有概率密度),(),(xxfX,又设)(xgy 处处可导且恒有0)( xg(或恒有0)( xg), 则)(XgY 是一个连续型随机变量,其概率密度为 其它, 0
4、|,)(| )()(yyhyhfyfY 其中)(yhx 是)(xgy 的反函数, 且 ).(),(max(),(),(min(gggg 例题选讲： 离散型随机变量函数的分布 例 1（讲义例 1）设随机变量X具有以下的分布律, 试求2) 1( XY的分布律. 4 . 01 . 03 . 02 . 02101ipX 解 Y所有可能的 取值 0,1,4,由 , 2 . 0 1 4, 7 . 0 2 0 1, 1 . 0 1 0) 1( 02XPYPXPXPYPXPXPYP 既得Y的分布律为 Y 0 1 4 iP 2 . 07 . 01 . 0 . 连续型随机变量函数的分布 例 2（讲义例 2）设随机
5、变量,),1 , 0(XeYNX 求Y的概率密度函数. 解 设)(),(yfyFYY分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数. 则当0y时, 有)(yYPyFYyePXP.0 当0y时, 因为xexg)(是x的严格单调增函数, 所以有,lnyXyeX 因而)(yYPyFYyePXlnyXP.21ln22yxdxe 再由, )()(yFyfYY 得.0, 00,21)(2)(ln2yyeyfyY 通常称上式中的Y服从对数正态分布, 它也是一种常用寿命分布. 例 3（讲义例 3）设其它, 040, 8/)(xxxfXX, 求82 XY的概率密度. 等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特
6、征即由自变量的分布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机得的概率分布三连续型随机变量函数的分布一般地连续型随机变量的函精品资料 欢迎下载 解 设Y的分布函数为),(yFY 则 82)(yXPyYPyFY 2/ ) 8( 2/ ) 8(yFyXPX 于是Y的密度函数2128)()( yfdyydFyfXYY 注意到40x时，, 0)(xfX即168y时，, 028 yfX且16828 yyfX 故., 0168,32/ ) 8()(其它yyyfY 例 4 设) 1 , 0( NX, 求2XY 的密度函数. 解 记Y的分布函数为),(xFY 则.)(2xXPxYPxFY 显然,
7、当0x时，; 0)(2xXPxFY 当0x时, )(2xXPxFY. 1)(2xxXxP 从而2XY 的分布函数为0, 00, 1)(2)(xxxxFY 于是其密度函数为0, 00),(1)()(xxxxxFxfYY.0, 00,212/xxexx 注: 以上述函数为密度函数的随机变量称为服从) 1 (2分布, 它是一类更广泛的分布)(2n在1n时的特例. 关于)(2n分布的细节将在第五章中给出. 例 5（讲义例 4）已知随机变量X的分布函数)(xF是严格单调的连续函数, 证明)(XFY 服从 1 , 0上的均匀分布. 证明 设Y的分布函数是),(yG 由于, 10y 于是对, 0y; 0)(
8、yG 对, 1y; 1)(yG 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数1F存在且严格递增.对, 10y )()(yXFPyYPyGyyFFyFXP)()(11 即Y的分布函数是1, 110,0, 0)(yyyyyG 求导得Y的密度函数其它, 010, 1)(yyg可见, Y服从0,1上的均匀分布. 证毕. 注：本例的结论在计算机模拟中有重要的应用. 等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特征即由自变量的分布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机得的概率分布三连续型随机变量函数的分布一般地连续型随机变量的函精品资料 欢迎下载 例 6（讲义例 5）的线性函
9、数试证明设随机变量XNX).,(2baXY) 0(a也服从正态分布. 证 X的概率密度为,21)(222)(xXexf. x 由baxxgy)(解得,)(abyyhx 且有从而baXY的概率密度为 ,|1)( abyfayfXY, y 即22221|1)(abyYeayf22)(2)(2|1aabyea)( y 即有).)( ,(2abaNbaXY 特别地, 若在本例中取,1a,b则得).1 , 0( NXY 这就是上节中一个已知定理的结果. 例 7 设随机变量X服从参数为的指数分布, 求 2 ,min XY 的分布函数. 解 根据已知结果, X的分布函数 0, 00,1)(xxexFxX Y
10、的分布函数 2 ,min)(yXPyYPyFY 2 ,min1yXP.2 ,1yyXP 当2y时，),(1)(yFyXPyXPyFXY 当2y时，. 1)(yFY 代入X的分布函数中可得.2, 120,10, 0)(yyeyyFyY 注：在本例中, 虽然 X 是连续型随机变量, 但 Y 不是连续型随机变量, 也不是离散型 随机变量, Y 的分布在2y处间断. 例 8 （讲义例 6） 设随机变量X在) 1 , 0(上服从均匀分布, 求XYln2的概率密度. 解 在区间 (0,1) 上, 函数, 0lnx故, 0ln2xy02xy 等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特征即由自变量的分
11、布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机得的概率分布三连续型随机变量函数的分布一般地连续型随机变量的函精品资料 欢迎下载 于是y在区间), 0(上单调下降, 有反函数2/)(yeyhx 从而其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf 已知X在在(0,1)上服从均匀分布, 其它, 010, 1)(xxfX 代入)(yfY的表达式中, 得其它, 00,21)(2/yeyfyX 即Y服从参数为 1/2 的指数分布. 例 9 (对数正态分布)随机变量X称为服从参数为2,的对数正态分布, 如果XYln服从正态分布),(2N. 试求对数正态分布的密度函数. 解
12、由于),(ln2NXY 等价地有,YeX ),(2NY 于是,当0x时, )(xePxXPxFYX);(lnlnxFxYPY 当0x时, 显然. 0)(xFX继而可得X的密度函数为 0, 00),(ln1)()(xxxfxxFxfYXX.0, 00,21222)(lnxxexx 注： 在实际中, 通常用对数正态分布来描述价格的分布, 特别是在金融市场的理论研究中, 如著名的期权定价公式（BlackScholes 公式）, 以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格. 设某种资产当前价格为0P, 考虑单期投资问题, 到期时该资产的价格为一个随机变量, 记作1P, 设投资于该资产的连续复
13、合收益率为r, 则有 rePP01 从而 0101lnlnlnPPPPr 注意到0P为当前价格, 是已知常数,因而假设价格1P服从对数正态分布实际上等价于假设连续复合收益率r服从正态分布. 课堂练习 1. 设 X的分布列为 10/310/110/110/15/12/52101ipX 试求: (1) 2X的分布列; (2) 2X的分布列. 2. 设随机变量X的概率密度为 等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特征即由自变量的分布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机得的概率分布三连续型随机变量函数的分布一般地连续型随机变量的函精品资料 欢迎下载 ., 0,0,/2)(2其它xxxf 求XYsin的概率密度. 等而在概率论中我们主要研究是随机变量函数的随机性特征即由自变量的分布设离散型随机变量的概率分布为易见的函数显然还是离散型随机得的概率分布三连续型随机变量函数的分布一般地连续型随机变量的函
