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1、第第 五五 章章 能带理论能带理论总总 结结v布洛赫定理布洛赫定理v近自由电子近似近自由电子近似v平面波方法平面波方法v紧束缚近似紧束缚近似v费米面的构造法费米面的构造法v休姆休姆- -罗瑟里定则罗瑟里定则布洛赫定理 在晶格周期性势场中运动的电子的波函数在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。函数称为布洛赫波函数。布洛赫波函数具有如下特点：布洛赫波函数具有如下特点： 在此范围内在此范围内k共有共有N个值个值(N为晶体原为晶体原胞数胞数) 。 1.模型： 假定周期场起伏较小，而电子的假定周期场起伏较
2、小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级作为零级近似，用势能的平均值近似，用势能的平均值V0代替代替V( (x) )，把周期性起把周期性起伏伏V( (x)-)-V0 0作为微扰来处理。作为微扰来处理。近自由电子近似2.势场:。3.波函数和能量 (1) (1)在在k= =n / /a处处( (布里渊区边界上），电布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为子的能量出现禁带，禁带宽度为 ； (2) (2)在在k= =n / /a附近，能带底部电子能量与附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部
3、是向下弯曲的抛物线；向下弯曲的抛物线；(3)(3)在在k远离远离n / /a处，电子的能量与自由电子处，电子的能量与自由电子的能量相近。的能量相近。 利用以上特点，可以画出近自由电子近利用以上特点，可以画出近自由电子近似的能带图。似的能带图。4.结论:电子能带的三种图示法电子能带的三种图示法 (a)扩展区图扩展区图：在不同的布里渊区画出：在不同的布里渊区画出不同的能带；不同的能带； (b)简约区图简约区图：将不同能：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示一布里渊区内表示(在简约布在简约布里渊区内画出所有能带里渊区内画出所有能带)； (c)周期区图周期区图：
4、在每一：在每一个布里渊区周期性地画出所个布里渊区周期性地画出所有能带有能带(强调任一特定的波强调任一特定的波矢矢k的能量可以用和它相差的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述的波矢来描述)。 每个布里渊区中波矢每个布里渊区中波矢k可取可取N个值，而能个值，而能带序号越小，能带宽度越小，故能带序号越小，带序号越小，能带宽度越小，故能带序号越小，能态密度越大能态密度越大。5.能带图平面波方法平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自由电子近似。由电子近似。1.模型：2.势场和波函数：将将 代入薛定谔方程代入薛定谔方程发生能量不连续的波矢发生能量不连续的波矢 满足的
5、条件可改写为满足的条件可改写为: : 对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界边界E( (k) )函数是间断的，但不同方向断开时的函数是间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能带发生重叠。能量取值不同，因而有可能使能带发生重叠。3.结论：0 晶体中的电子在某个原子附近时主要受该晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场原子势场 的作用，其他原子的作用视为微的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。2.势场 紧束缚近似1.模型3.波函数 4.能量表达式：5.能带宽度：1.1.
6、画出布里渊区的广延区图形；画出布里渊区的广延区图形；2.2.画出自由电子费米面画出自由电子费米面( (费米面的费米面的广延区图广延区图) )； 3. 3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进入简约布里渊区中等价部位；适当的倒格矢进入简约布里渊区中等价部位； 4. 4.对自由电子费米面加以修正，即费米面对自由电子费米面加以修正，即费米面同布里渊区边界垂直相交以及尖角处要钝化同布里渊区边界垂直相交以及尖角处要钝化( (费费米面的简约区图米面的简约区图) )。费米面的构造法以上结果称为休姆以上结果称为休姆罗瑟里定则。罗瑟里定则。 在黄铜系中，各个相单独存
7、在的区域内，在黄铜系中，各个相单独存在的区域内，各成分可用化学式表示，各相中价电子数同原各成分可用化学式表示，各相中价电子数同原子数之比也有确定值。子数之比也有确定值。休姆-罗瑟里定则 相（体心立方）相（体心立方）CuZn 价电子数价电子数/ /原子数原子数=3/2=3/2 相（复杂立方）相（复杂立方）Cu5Zn8 价电子数价电子数/ /原子数原子数=21/13=21/13 相相 ( (六角密积）六角密积）CuZn3 价电子数价电子数/ /原子数原子数=7/4=7/41.休姆-罗瑟里定则 第一、第一、 , , , , 各相单独存在时，价电子数各相单独存在时，价电子数与原子数之比有确定值；与原子
8、数之比有确定值；2.对休姆-罗瑟里定则的解释 第二、价电子数第二、价电子数/ /原子数原子数= =1.48时，以时，以 相存相存在，而不是以在，而不是以 相存在相存在。 在合金中，二价元素锌的浓度超过在合金中，二价元素锌的浓度超过36% %后，后，如果仍维持如果仍维持 相，则由于能级密度迅速减小，电相，则由于能级密度迅速减小，电子要填充到比较高的能级；而对于子要填充到比较高的能级；而对于 相结构，锌相结构，锌的浓度要到的浓度要到48% %时，即时，即E EA后，能级密度才迅后，能级密度才迅速减小，电子可以填充到比较低的能级。因此当速减小，电子可以填充到比较低的能级。因此当锌的浓度超过锌的浓度超过36% %但低于但低于48% %时，时， 相比较稳定。相比较稳定。同理也可以说明，当浓同理也可以说明，当浓度再增加时度再增加时, ,合金的结构合金的结构又要改变，即进入又要改变，即进入 相。相。
