2021年中考数学全真模拟卷(广东专用)(解析版)

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1、备战2021中考数学广东省中考数学全真模拟卷06重 （ 难）点03：三角形一、单选题1. （ 2020广东汕头市九年级其他模拟）已知三角形三边长分别为3, x, 5 , 若 x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A. 2 B. 3 C. 5 D. 7【 答案】C【 解析】根据三角形三边关系确定出第三边的范围，然后再从中取正整数即可. ；53=2, 5+3 = 8,.,.2x Z l = 120,.,.ZACD=120,Z2=50,N3=120-50=70,故选：C.【 点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.4. (2020珠海市紫荆中学

2、九年级一模) 如图，将ABC绕点C 顺时针旋转35。 ，得A A B C ,若 AC_LAB,则N B A C = ( )A. 65 B. 75 C. 55 D. 35【 答案】C【 解析】根据旋转的性质得/A C A ， =35。 ，Z A = Z A 再利用垂直的定义得到NA，+/A C A ， =90。 ，则可计算出NA，=55。 ，所以NA=55。 .解：: ABC绕点C 顺时针旋转35。 ,得VA5所,二 ZACA= 35, ZA = ZA,：ACAB,，ZACA + Z A = 90 ,： .ZA = 90 - ZAC4 = 90 - 35 = 55,，NA=55。 .故选：C.【

3、 点睛】本题主要考查旋转的性质和直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键.5. （ 2019. 雷州市第二中学九年级一模）下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）A. 一个角是45的两个等腰三角形 B .两个等边三角形C .腰长相等的两个等腰直角三角形 D .各有一个角是40。 ，腰长都为5cm的两个等腰三角形【 答案】C【 解析】利用三角形全等的判定方法对选项这个进行判断. （ 如：&1S、ASA、A4S、 L等） 解：A、不正确，因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等；8、不正确，因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，所以该项不正确；C、正确，因为符合S

4、4S；。、不正确，因为没有说明该角是顶角还是底角.故选：C.【 点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要确定各角、边的对应关系.6. （ 2018. 河北张家口市八年级期末）如图，在等腰三角形纸片ABC中，A B = A C , NC = 70。 ，折叠该纸片，使点A落在点8处，折痕为O E ,则NCBE的度数是（）ABA. 20 B. 30 C. 40 D. 70【 答案】B【 解析】根 据 折 叠 的 性 质 得 到= ABZm ，求得N4 = NABE，根据等腰三角形的性质得到NA = 40。，于是得到结论. 解：V AB = AC , ZC = 70, ZABC

5、= ZC = 70,A ZA = 180-ZA BC-ZC= 180-70-70= 40.由题意得：AE = B E，：. ZA=ZABE = 4O. Z.CBE = ZABC - ZABE = 70 - 40 = 30.故选B.【 点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点.7. （ 2019福建福州市九年级一模）如 图1, D、E、F分别为 ABC边AC、AB, BC上的点，ZA =Z1=ZC, D E=D F,下面的结论一定成立的是（A. AE=FC B. AE=D

6、E C. AE+FC=AC D. AD+FC=AB【 答案】C【 解析】分析：由已知条件易证 ADE四C F D ,由此即可得到AE=CD, A D =CF,从而可得AE+FC=AC.详解：V ZA+ZAED+ZADE=180, ZADE+Z1+ZCDF=18O, ZA=Z1,二 ZAED+ZADE=ZADE+ZCDF,.ZAED=ZCDF,X V Z A =Z C , AE=CD,. 二 ADE 丝CFD,，AE=CD, AD=CF,又：AD+CD=AC,，AE+FC=AC,. . . 上述四个结论中，正确的是C 中的结论，其余三个结论都是错误的，故选C.点睛：由NA+/AED+/ADE=1

7、80。 ，ZADE+Z1+ZCDF=18O, / A = / 1 证得/A E D = /C D F是解答本题的关键.8. （ 2018广东全国中考模拟）如图所示，在AABC中，ZC=90, AC=4cm, AB=7cm, A D 平分/BAC交 B C 于 D, D E I A B 于 E , 则 E B 的 长 是 （ ）c不A. 3cm B. 4cm C. 5cm D . 不能确定【 答案】A【 解析】试题解析：:A 。平分N 8AC交 8。于点D,DE，A B ,/ C = 90、: DE= DC,在 RtAED 和 RSACO 中, AD= ADf DE= DC,.,.RtA4EDR

8、tAACD（ HL） ,/. AE= AC= 4cm1/. BE= AB-AE= 3cm,故选A.9. （ 2019广东广州市华南师大附中九年级一模） 如图，直线/ 上有两动点。、。，点A 、点 3 在直线/ 同侧，且 A 点与8 点分别到/ 的距离为。米和。米 （ 即图中A4 = 。米，B B = b 米），且 A 2 = c 米，动点C O 之间的距离总为S 米，使 C 到 A 的距离与。到 8 的距离之和最小，则 A C + & ） 的最小值为（）A C D BA. Q(a + b)- + c B. J(a + bY + S2 C. (a + b)，+ (c + S . D. a + b

9、)2 + ( c - 5 )2【 答案】D【 解析】【 解析】做线段APL 且 A P = S ,且点P 在点A 的右侧，作 P 关于L 的对称点P , 连接BP咬 直 线 L 于点D , 在 L上 D 的左侧截取D C =S,此时BP， 即为所求的最小值，作 PELBB， 交 BB， 的延长线于E , 利用勾股定理求解即 可 . 解 ： *.,PEr-S, BE=a+b,二PB= y/pE2 + BE2 = J (a + b y + ( c - I p ，故选D.【 点睛】考查最短路线问题及平移问题的综合应用；用平移和对称的知识综合解决最短路线问题是解决本题的关键;构造出直角三角形解决问题是

10、解决本题的难点.10. (2020广东深圳市九年级其他模拟) 如图，“BC中，/A 8C = 45。 ，CZ)_LA8于点Q , BE平分/ABC,且 8ELAC于点E ,与 C D 交于F , 是 8 c 边的中点，连 接 与 2E 交于点G , 则下列结论：BF=AC；/A = N D G E ；CEVBG； SADC= SM C E G H;QG A E=O GEF中，正确结论的个数是()D,/ G 7 B H CA. 2 B. 3 C. 4 D. 5【 答案】C【 解析】证明ABDFg ZCDA可判断；由C D ，AB,BE _L A C ,利用三角形的外角的性质及四边形的内角和定理可

11、判断；连接CG,利用DH是 BC的垂直平分线，从而可判断；过 G 作 GJ_LAB于 J , 过 F 作 FM_LBC于 M ,连接G M ,设 。1/ = JG = 1 ,分别计算三角形ADC的面积和四边形CEGH的面积可判断；由A B D FsA C E F,可判断. 解：VCD1AB, BF1AC,Z B EC= Z B DC= Z ADC=90,ZABC=45,/. ZDCB=45=ZABC,； .BD=DC,VZBDC=ZCEF=90, NDFB=/EFC,由三角形内角和定理得：ZDBF=ZACD, . , 在ABDF和ACDA 中,NBDF=CDAFE = 180o, .ZZ)FE

12、 + Z D F G = 180,：.Z A = ZD FG.N A =N D G E,故正确，如图，连接CG,V ZABC=45, ZBDC=90,/ . BDC是等腰直角三角形，：H 是 BC边的中点，； .D H 垂直平分BC,BG = CG, .NCEG = 90。 ，ZFBC-ZGBD,:.C E C G ,.CEVBG,故正确;过G作GJLAB于J ,过F作FMBC于M ,连接GM,DC = DB,CD 1 AB, DH 1 BC,：.NDBC = NDCB = NHDB = ZHDC = 45,;.DJ = JG,FM =MC,BE AC, BE平分 ZABC,:.GJ =GH,

13、FD = FM,/ ZDGF = ZDFG,DG = DF,:.DG = FM,DH/FM,，四边形DGMF是菱形，DG = GM,设 =J G = 1 ,则 GH = HM = 1 , DG = GM = FM = DF = 0 ,:.F C = 2,： .四边形CFGH的面积=梯形GHMF的面积+ 短0 c 的面积11Q B= - ( l + V 2 ) x l + - x V 2 x V 2 = - + ,2 2 2 25A C 4 D = ； x 夜 x ( 2 + V 2 ) = 1 +* 0 - SAADC H S y q 边 形 CEGH,故错误.VABDFACEF,. BD D

14、F 一 ，CE EFVBD=DC, CE=AE, DF=DG,. DC DG A E E F /.DGAE=DCEF,故正确.故选：C.【 点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.二 、填空题1 1 . （ 2 0 1 9东源县实验中学九年级三模）若等腰三角形的两边长为3和7 ,则该等腰三角形的周长为【 答 案 】1 7【 解 析 】有两种情况： 腰 长 为3 ,底 边 长 为7 ； 腰 长 为7 ,底 边 长 为3 ,分别讨论计算即可. 腰长为

15、3 ,底边长为7时 ，3 + 3 =AC = 1, ZR4C = ZACP = 30，ZABD = -ZABC 30,22P = A-tan30 = = . BD = & D = 633PB = BD-PD = y / 3 - - - -3 3故答案为：2叵.3【 点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键.17. （ 2019广东揭阳市中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形O A A i的直角边O A在x轴上，点A i在第一象限，且O A = 1 ,以点A i为直角顶点，O A i为一直

16、角边作等腰直角三角形O A1A2,再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3依此规律，则点A2OI8的 坐 标 是 .【 答案】 （ 0, 21009）【 解析】【 解析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点 A 到原点的距离与旋转次数的对应关系.V ZOAA,=90, O A =A A i=l,以OAi为直角边作等腰RtOA iA ?,再以OA?为直角边作等腰RtaOA2A3，/. O A =y f 2 ，OA2=（ 近） 2, ， O A 2 0 1 8 = （ 5/2）2 0 1 8A i、A 2、，每8个一循环,72018=252x8+

17、2. . . 点A 2 0 I 8的在y轴正半轴上，OA2018-（A/2） = 2 1叫故答案为（ 0, 21009）.【 点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号.三、解答题18. （ 2020广东广州市九年级一模）已知如图：点 A,F,E,D在同一条直线上, AB=CD,BE=CF,AF=DE.求证：AABEADCF【 答案】见解析.【 解析】首先求出A E=D F,然后利用SSS证明AABE丝4D C F即可. 证明：AF=DE,/. AF+FE=DE+FE,.AE=DF,AB = DC在ZkABE 和aDCF 中，BE = CF ,

18、AE = DF/ . ABEADCF (S S S ).【 点睛】本题考查了全等三角形的判定. 全等三角形的5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对应边相等,若已知一边一角对应相等，则找另一组角相等，或找这个角的另一组对应邻边相等.19. (2020广东华南师大附中九年级零模) 如图，HAABC中，NC = 90, NA = 30c（ 1） 利用尺规作图：作线段A C 的垂直平分线M N （ 保留作图痕迹，不写作法）（ 2） 3 C = 1 ,设MN与AB交于点D .连结C O , 求ABCD的周

19、长.【 答案】（ 1）见解析； （ 2）3【 解析】【 解析】（ 1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；（ 2） 直接利用线段的垂直平分线的性质得出8 = A D , 即可解决问题.解： （ 1） 如图，M N 即为所求.（ 2）连接C OV ZC = 90,Z A =30,ZB = 90 30 = 60,BC=l,ZA = 30，AB=2,是 A C 垂直平分线，/. CD = AD，：. AB = BD + AD=BD+CD,： .ABCD 的周长=BD+CD+BC=AB+BC= 1+2=3,. BC D 的周长是3.【 点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，含 30度

20、的直角三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.20. （ 2019广东汕头市九年级一模）在aABC中，AB=AC, NA8C=70。（1）用直尺和圆规作/A B C 的平分线8。交 AC于点。 （ 保留作图痕迹，不要求写作法）（ 2）在（1）的条件下，ZBDC=.【 答案】（1）见解析；（2） 75.【 解析】（ 1） 以 B 为圆心画圆弧， 分别交AB、BC于 E、F,然后分别以E、F为圆心， 大于EF为半径画弧， 相交于点G ,连接BG,交 AC于 D ,则 BD即为N ABC的平分线.（ 2） 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解.解：（1）如图所示，3。即为所求

21、;EDG5 - -C(2) . 在ABC中，A8=AC, /A B C = 70。 ，.NA = 180。 - 2ZABC= 180 - 140=40,是NABC的平分线，二 /A 8 O = - /A B C = - x70=35,2 2,./8C C 是ABO的外角，/8C=/A+NABO=400+35=75,故答案为75。 .【 点睛】本题主要考查尺规作图和等腰三角形的性质.21. (2018 广东佛山市中考模拟) 如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点 C 落在E 处，BE与 AD相交于点F.( 1 ) 求证：4BFD 是等腰三角形；( 2 ) 若 BC=4, CD =2,求/A F

22、 B 的余弦值.3【 答案】(1 )见解析；(2 )【 解析】(1 )由折叠可知/ 1 = / 2 ,根据基本图形“ 平行线+角平分线一等腰三角形“ 可证；(2 )利用(1 )的结论，在直角 A B F中结合勾股定理列方程求B F , A F的长，即可求/ A F B的余弦.解：(1 )依题意，/ 1 = / 2 , 四边形A B C D是矩形，A D B C , ； . / 2 = / 3 ,二 /1 = / 3 ,.B F D为等腰三角形;(2 )由(1 )可知 B F = D F ,设 B F = x ,则 A F = 4 - x ,在 R s B A F 中，(4 - X/ + 2 2

23、 =X2 ,解得：x = ,25 3 3A F = 4 -= , ., .co s N A F B =.2 2 5E【 点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与勾股定理的运用，在矩形的折叠问题中经常会出现基本图形“ 平行线+ 角平分线一等腰三角形“ ，等腰三角形和勾股定理的结合在解矩形中的折叠问题是通常运用的方法 .2 2 . (2 0 2 0.广东佛山市石门中学九年级一模) 如图，A A 8 C与A D E C为正三角形，A，E，。三点在一条直线上，A D与BC交于点、F，BE上AD.(1 )求证：A A E C = ABDC；（ 2 ）求证：A E = 2DE.【 答案】（ 1 ）见

24、解析 （ 2 ）见解析【 解析】（ 1 ）结合等边三角形的性质利用S A S 可证明结论；（ 2 ） 结合等边三角形的性质，全等三角形的性质可求得乙4 0 8 = 6 0 。 ，由 的 _ 1 4 可 得 8 = 3 0 。 ，利用含3 0 角的直角三角形的性质可证明结论.证明： （ 1 ） .A A B C 与AOEC为正三角形，： . Z A C B = Z D C E = （ , A C = BC, E C =D C ,： . Z A C E Z B C D ,.A 4 E C 三 A BOC（ S A S ） ；（ 2 ） Q D A E C D B D C ,: .AE = B D

25、，Z B D C = Z A E C , r A D E C 为正三角形， ? E DC 6 0 ? 2AEC ? E D C ? E CD 6 0 ? 6 0 ? 1 2 0 ? ,./ B B C = 1 2 0 ,:.ZADB = 60,BE 上 AD,:.NDBE = 30,:.BD = 2DE，:.AE = 2DE.【 点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30。 角的直角三角形的性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键.23. （ 2019广东云浮市九年级月考）如图所示，在等腰R JA B C 中，ZCAB=90, P 是AABC内一点，将 PAB绕 A

26、逆时针旋转90。 得DAC.（ 1）试判断APAD的形状并说明理由；（ 2）连接 P C ,若/APB=135。 ，PA=1, P B = 3,求 PC 的长.【 答案】（ 1） APAD为等腰直角三角形，理由见解析； （ 2） CP=JiT .【 解析】（ 1） 结论: 4PAD是等腰直角三角形.只要证明/DAP=90。，PA=DA,即可解; 夬问题（ 2） ） 由aBAP丝ZCAD,推出PB=CD=3,N APB= N ADC=135。 , 由APAD是等腰直角三角形， 推出Z ADP=45, ZPDC= 135- Z ADP=90, AP=AD=1,推出 PD2=AP2 +AD? =2,

27、在 RtAPDC 中， 根据 PC=ylcD2 + PD2计算即可，（ 1）APAD为等腰直角三角形. 理由如下：将APAB绕 A 逆时针旋转90WADAC/. ZDAP=90 , PA=DAZiPAD为等腰直角三角形(2)由旋转知P A B三ADAC：. ZCDA=ZAPB=135, ZADP=45, CD=PB=3,ZCDP=135-ZADP=90ACDPD.*.PD2=AP2+AD2=2在 RtAPDC中CP= ylcD2 + PD2 = V9 + 2 = 而【 点睛】此题考查等腰直角三角形和旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质解答24. (2020广东广州市九年级二模) 已知：在AA

28、BC中，0 5 = 5,NB4C = 60.( 1) 若 AB = AC,OA = 3, OC = 4 .如图1 , 点。在 AA3C内，求 N A O C 的度数；如图2 , 点。在 AA3C外，求 N A O C 的度数：( 2 ) 如图 3 , 若 = 2 A C ,点。在 AABC 内，且 0 4 = ， /AOC = 12(), 求 0 C 的长.AAA【 答案】( 1 ) 150；30。 ； (2) 2【 解析】( 1)根据等边三角形的判定可知AA B C 是等边三角形，由旋转的性质得到ACDO为等边三角形，根据勾股定理的逆定理判断出BOD为直角三角形，即可得出答案；由旋转的性质得

29、到ADAO是等边三角形，根据勾股定理的逆定理判断出ABOD为直角三角形，即可；( 2 ) 作出 A B Q s/xA C P ,判断出AAOQ为直角三角形，从而得到ABOQ为直角三角形，根据勾股定理计算即可. 解： (1) v Z B A C = 60 ,AB = A C. A5。是等边三角形， 如 图 1 , 把 A O C 绕着点C 顺时针旋转，使点A 旋转到点B ,得到AB C D ，连结OD.由旋转可知 C D = CO, B D AO, Z.ACO = N B C D图 1： . Z O C D = Z A C B = 60:YOCD为等边三角形,-.OD = OC = 4, NOD

30、C = 60；:.OB = 5,OC = 4,BD = AO = 3:.OD2 + BD2 = OB2,NODB = 90 ,ZAOC = ABDC = ZODC + ZODB = 60 + 90 = 150：如图2 ,把AOC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到A0B,连接8.:.AOC *AD B图2/. AD=AO = 3,BD = CO = 4,ZOAC = NDABNCAD = ZCAD,：.NDAO = ABACABAC = 60,:.ZDAO = 6Q. ZMO是等边三角形，OD - AO - 3OB = 5,OD2 + BD2 =32 +42 =52 = OB2,，NODB

31、 = 90 ,：.ZADB = 30。 ，.ZAOC = NA5 = 30;(2 )如图 3 ,作A BQ ,使得：NQAB = NOAC,ZABQ = C O则 AABQ dC O：.ZAQB = ZAOC = nQ)-A B = 2 AC：.ABQ与ACO相似比为2:1AQ = 2AO = 2百 ,BQ = 2COZQAO = ZQAB + NBAO = ZOAC+ZBAO = ABAC = 60),AONA。= 90 ,OQ = 3,ZAQO = 30ZBQO = ZAQB- ZAQO = 120- 30 = 90根据勾股定理得，BQOB2 -OQ2 =4OC = BQ = 2.OBC图

32、 3【 点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质和判断方法，勾股定理. 直角三角形的判定是解本题的关键，学会利用旋转添加辅助线,构造特殊三角形，属于中考常考题型.25. （ 2019 广东九年级其他模拟） 如图，等边三角形ABC的边长为2, P 是 3 c 边上的任一点（ 与 8, C 不重合） ，设= 连接A P，以A P 为边向两侧作等边三角形APZ） 和等边三角形A P E，分别与边A B ,A C 交于点 求证：A M = A N ；（ 2） 求四边形A D P E 与 A B C重叠部分的面积S 与8 之间的

33、函数关系式及5 的最小值；（ 3） 如图，连接。E，分别与边A & A C 交于点G , 4 . 当x 为何值时，Z B A D = 15.【 答案】（1）证明见解析；（2） S = #（ 尤 - I ） ?+乎；S 的 最 小 值 为 苧 ；（3）当= 2 6 一 2 时，Z B A D 15.【 解析】（ I ）根据等边三角形性质得出 = ,据此通过证明AADM 和4APN全等后利用全等三角形性质证明结论即可；（2）作于点H, 首先结合（1）中结论得出四边形ADPE与A B C 重叠部分四边形A M P N 的面积S = AAP的面积，之后利用勾股定理以及三角函数的概念求出4A D P的面

34、积，由此进一步分析求解即可;( 3 ) 连接P G ,利用菱形的性质以及等腰直角三角形的性质进一步进行计算即可. ( 1)证明：.ABC,APD, ZiAPE都是等边三角形，：.ADAP, ZAZ)M = ZAPN = 6 0 , ZDAP = NBAC = 60。 ,/. /PAN = NDAM .在AADM和AAPN中，ADAM =乙 PAN ； AD = APNADM = NAPN： .AADMsAAPN(ASA),：. AM AN-, 如图，作尸/LAB于点.VAADMAAPN四边形ADPE与 ABC重叠部分四边形AMPN的面积S = AADP的面积.,: BP = x, ZB = 6

35、0,A BH=-x, PH = x，2 2AH = 2 -x ,2由勾股定理，得AP2 =AH2 + P H2 = ( 2 + ( 亭)2 = 2 2X + 4,AADP是等边三角形，.ADP 的面积=2A Px立 AP = A P 2 = 在 (d 2x + 4) =立(x I)?+茹 ,2 2 4 4 7 4 v 4即 :s邛 口 一 厅 +手 ，.S的 最 小 值 为 迈 ；4连接P G ,如图：当 N84D = 150 时，4 M P = 60,NG4P = 45。 .易知四边形ADPE是菱形，: .APDE.：. AG = PG,：. N G 4=N G 4P = 45.ZAGP=90.V ZB = 60, B P = x,： .B G = -x, AG=PG = 2X，2 2解得 x = 2 6 -2 .二当 x = 2百 2 时，Z B A D = 15 .【 点睛】本题主要考查了菱形及等边三角形的性质与全等三角形性质及判定和求二次函数解析式的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.