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1、信息光学中的傅里叶变换信息光学中的傅里叶变换 表征现代光学重大进展的另一件大事，是表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.DuffieuxP.M.Duffieux 19461946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代光学的一个重要分支由此发展成现代光学的一个重要分支傅里叶光学（信息傅里叶光学（信息光学光学）。它应用线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的）。它应用线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成像等问题。传播、衍射和成像等问题。 它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频谱
2、被改变的观点评价用频谱被改变的观点评价非相干成像系统非相干成像系统的像质。的像质。信息光学信息光学促进了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它促进了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光学、光电子学、信息论和通讯理论的是光学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科交叉学科。信号频域分布特性的分析与处理信号频域分布特性的分析与处理系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理空域频域傅里叶分析离散周期信号连续周期信号离散非周期信号连续非周期信号1. 1. 二维傅里叶变换二维傅里叶变换1 1、二维傅里叶变换的定义、二维傅里叶变换的定义含有两个变量
3、含有两个变量x,yx,y的函数的函数 f f (x,y)(x,y)，其二维傅里叶变换定义为其二维傅里叶变换定义为 在此定义中，在此定义中，本身也是两个自变量本身也是两个自变量的的函数。函数。变换变换F F振幅谱振幅谱相位谱相位谱功率谱功率谱类似地，函数类似地，函数f (f (x,y)x,y)也可以用其频谱函数表示，即：也可以用其频谱函数表示，即：上式上式称为称为F F（f fx x，f fy y）的二维傅里叶）的二维傅里叶逆变换。逆变换。正正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数因子的符号和积分变量不同而已。因子的符号和积分变量不同而已
4、。我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。= -1 F F-1（）F FF F( )二、傅里叶变换的存在条件二、傅里叶变换的存在条件（1 1）、函数）、函数f(x,y)f(x,y)必须对整个必须对整个XYXY平面绝对可积，即平面绝对可积，即（2 2）、函数）、函数f(x,y)f(x,y)必须在必须在XYXY平面上的每一个有限区域内局平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。部连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。 （3 3）、函数）、函数f(x,y)f(x,y)必须没有无穷大间断
5、点。必须没有无穷大间断点。 上上述述三三个个存存在在条条件件是是从从数数学学的的角角度度提提出出的的，我我们们不不证证明明它它。这这是是因因为为，从从应应用用的的角角度度看看，作作为为时时间间或或空空间间函函数数而而实际存在的物理量，其傅里叶变换总是存在的实际存在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。 但但需需说说明明的的，为为了了物物理理学学上上描描述述方方便便起起见见，我我们们往往往往又又用用理理想想化化的的数数学学函函数数来来表表示示实实际际的的物物理理图图形形，对对这这些些有有用用的的函函数数而而言言，上上面面的的三三个个条条件件中中的的一一个个或或多多个个可可能能均均不不成成立立。例如阶
6、跃函数，例如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。函数等就不满足存在条件。 因因此此，为为了了在在傅傅里里叶叶分分析析中中能能有有更更多多的的函函数数来来描描述述物物理理图形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。图形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。三、广义傅里叶变换三、广义傅里叶变换 对对于于不不严严格格满满足足存存在在条条件件的的函函数数，首首先先把把它它定定义义为为某某一一个个序序列列的的极极限限，该该序序列列中中的的每每一一成成分分都都具具有有通通常常的的傅傅里里叶叶变变换换，然然后后求求出出该该序序列列各各成成分分的的傅傅里里叶叶变变换换，从从而而得得到到一一个个相相应应的的变变换
7、换序序列列。如如果果后后一一序序列列极极限限存存在在，就就称称它它为为所所考考虑虑函函数数的的广广义义傅里叶变换。所以傅里叶变换。所以广广义傅里叶傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。就是极限意义下的傅里叶变换。例题：求函数例题：求函数f(x,y)=1f(x,y)=1的傅里叶变换的傅里叶变换解解：上上述述函函数数显显然然不不符符合合傅傅里里叶叶变变换换存存在在的的条条件件，现现在在我我们们把它定义为矩形函数序列的极限。把它定义为矩形函数序列的极限。01先求先求矩形函数的傅里叶变换矩形函数的傅里叶变换rect(y)rect(x)F FF F请同学业们动手推导请同学业们动手推导f (x,y)=1f
8、 (x,y)=1所以所以1 1的傅里叶变换是的傅里叶变换是 函数。函数。问题：问题： 函数的逆函数的逆傅里叶变换傅里叶变换等于等于1 1吗？吗？ -1F FF F物理图像物理图像请同学业们动手推导请同学业们动手推导2. 2. 傅里叶变换的基本性质和有关定理傅里叶变换的基本性质和有关定理1 1、线性性质、线性性质设设a,ba,b为常数，则为常数，则即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变换的相应组合。换的相应组合。F FF FF F2 2、二重傅里叶变换性质、二重傅里叶变换性质对二元对二元函数作二次函数作二次傅里叶变换，傅里叶变换，
9、得到原函数的反折得到原函数的反折3 3、缩放性质、缩放性质4 4、平移特性、平移特性函函数数空空域域的的位位移移，带带来来频频域域中中的的线线性性相相移移，另另一一方方面面函函数数在在空空域域中中的的相相移移，会会导导致致频频域位移。域位移。F FF FF FF FF FF Fffffff5 5、对称性质、对称性质若若f(x,y)f(x,y)为实函数，显然有为实函数，显然有称称具有厄米对称性具有厄米对称性F FF F若若f(x,y)f(x,y)为虚函数，显然有为虚函数，显然有称称具有反厄米对称性具有反厄米对称性说说明明：空空域域两两个个函函数数的的卷卷积积，在在频频域域等等于于其其变变换换的的
10、乘乘积积。这这一一定定理理有有重重要要的的意意义义，当当一一个个复复杂杂函函数数可可以以表表示示成成简简单单函函数数的的乘乘积积或或卷卷积积时时，利利用用卷卷积积定定理理可可由由简简单单函函数数的的傅傅里里叶叶变变换换来来确确定定复复杂杂函函数数的的傅傅里里叶叶变变换换。而而且且定定理理为为获获得得两两个个函函数数的的卷卷积积提提供供了了另另一一途途径径，即即将将两两函函数数的的变变换换式式相相乘，再对乘积作逆变换。乘，再对乘积作逆变换。F FF FF FF F6 6、卷积的傅里叶变换、卷积的傅里叶变换7 7、乘积的傅里叶变换、乘积的傅里叶变换F FF F8 8、相关的傅里叶变换、相关的傅里叶
11、变换F F（1 1）互相关定理）互相关定理互谱互谱能量密度能量密度（2 2）自相关定理）自相关定理称为信号称为信号f(x,y)f(x,y)的能谱密度的能谱密度F F9 9、帕斯瓦尔（能量）定理、帕斯瓦尔（能量）定理在在应用中上述积分都可以表示某种能量。本定理表应用中上述积分都可以表示某种能量。本定理表明一个事件空域各分量能量的总和与频域各分量能明一个事件空域各分量能量的总和与频域各分量能量的总和是相等的。量的总和是相等的。1010、积分性质、积分性质( (一维情况一维情况) )F FF F1111、导数定理、导数定理则有则有F FF FF F若其导数存在F FF F证明：证明：-1FF FFF
12、 F例题：求例题：求矩形函数矩形函数的傅里叶变换的傅里叶变换F FF F例题：求例题：求高斯函数高斯函数的傅里叶变换的傅里叶变换F FF F例题：求例题：求余弦函数余弦函数的傅里叶变换的傅里叶变换F FF F例题：求例题：求三角函数三角函数的傅里叶变换的傅里叶变换利用卷积定理利用卷积定理F FF FF FF FF F下面利用卷积定理的下面利用卷积定理的图解方法求三角函数图解方法求三角函数的的傅里叶变换。傅里叶变换。这种方法，用图形这种方法，用图形表示出函数在空间表示出函数在空间域和频率域的对应域和频率域的对应关系，分析思路直关系，分析思路直观且便于记忆。观且便于记忆。* *0-11例：求极坐标
13、内的二维傅里叶变换。例：求极坐标内的二维傅里叶变换。同理同理上面极坐标下上面极坐标下的傅里叶变换的形式是相当复杂的，但是当傅里叶变换的形式是相当复杂的，但是当g g具有具有圆对称性时，极坐标显得比较方便。圆对称性时，极坐标显得比较方便。傅里叶傅里叶- -贝塞尔变换贝塞尔变换设设g(r,g(r, ) )具有圆对称性，即具有圆对称性，即g g与与 无关，于是可以写成无关，于是可以写成 g(r,g(r, )= )= g(rg(r) )利用贝塞尔函数关系式利用贝塞尔函数关系式式中式中是是第一类零阶第一类零阶贝塞尔函数贝塞尔函数上式上式表明，圆对称函数的表明，圆对称函数的傅里叶变换仍是圆对称的傅里叶变换仍是圆对称的类似地可得其类似地可得其傅里叶逆变换傅里叶逆变换在极在极坐下，坐下，圆对称函数的傅里叶变换和逆变换的运算是相同的。圆对称函数的傅里叶变换和逆变换的运算是相同的。我们把这种特殊形式的傅里叶变换称为我们把这种特殊形式的傅里叶变换称为傅里叶傅里叶- -贝塞尔变换。贝塞尔变换。在在研究圆孔的衍射时我们要用到上面的变换。研究圆孔的衍射时我们要用到上面的变换。例题：例题：求求圆域函数圆域函数的傅里叶变换的傅里叶变换利用利用 傅里叶傅里叶- -贝塞尔变换。贝塞尔变换。令并并利用恒等式利用恒等式F 常用傅立叶变换对表
