《施图姆-刘维尔本征值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《施图姆-刘维尔本征值问题（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 9.4 施图姆施图姆- -刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题引言：常微分方程的本征值问题引言：常微分方程的本征值问题对对一般一般( (二阶常微分二阶常微分) )方程方程 y+a( (x) )y+b( (x) )y+c( (x) )y=0总可以化可以化为施施图姆姆- -刘刘维尔尔型型方程：方程：也可以写成也可以写成 施图姆施图姆- -刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题构成构成施施图姆姆- -刘刘维尔尔( (Sturm- -Liouville) )本征本征值问题( (本征本征值的全体称的全体称为给定定问题的的“谱”) )。例：例：( (1) ) a=0，b=l，k( (x) )=常数，常数，q( (
2、x) )=0， ( (x) )=常数常数为本征值；为本征值；( (x) )为权重因子为权重因子( (权函数权函数) )( (2) ) a=- -1，b=1，k( (x) )=1- -x2，q( (x) )=0，( (x) )=1( (3) ) a=- -1，b=1，k( (x) )=1- -x2，q( (x) )= m2/(/(1- -x2) )， ( (x) )=1( (4) ) a=0，b=0，k( () )=，q( () )=m2/ /， ( () )=贝塞尔方程贝塞尔方程( (本征值问题参阅本征值问题参阅11章详章详细讨论细讨论) )( (5) ) a=- -，b=+，k( (x) )
3、= ，q( (x) )=0，( (x) )= ( (即厄米特方程即厄米特方程 y- -2xy+y=0 ) ) ( (见见P409) )( (6) ) a=0，b=+，k( (x) )= ，q( (x) )=0，( (x) )= ( (即拉盖尔方程即拉盖尔方程 xy+( (1- -x) )y+y=0 ) ) ( (见见P411) ) 注意：注意： 以上各例中，以上各例中，k( (x) )、q( (x) )和和( (x) )在区间在区间( (a，b) )上都取正值；上都取正值；关于自然边界条件是否存在：关于自然边界条件是否存在：如端点如端点a或或b是是k( (x) )的一阶零点，在该端点就存在自的
4、一阶零点，在该端点就存在自然边界条件然边界条件( (参阅参阅P214) )；如果端点变为如果端点变为，则要求未知解在则要求未知解在x时有界，或时有界，或者趋向于与者趋向于与x的有限次乘幂的同阶无穷小。的有限次乘幂的同阶无穷小。二、施图姆二、施图姆- -刘维尔本征值问题的性质：刘维尔本征值问题的性质：共同条件：共同条件： k( (x) )、q( (x) )、( (x) )0定理定理1：k( (x) )、k( (x) )、q( (x) )在在( (a，b) )上上连续，且最，且最 多以多以x=a，x=b为一阶极点，为一阶极点，则存在存在无限多无限多 个本征个本征值 1234.n. 且且 n0 n=
5、1，2.相应有相应有无限多个本征函数无限多个本征函数 y1( (x) )、y2( (x) )、y3( (x) )、y4( (x) ).证明明 n0 n=1，2.设：本征值本征值n对应的本征函数为对应的本征函数为yn，是方程的根。，是方程的根。 则则讨论：讨论：对第一、第二第一、第二类边界条件：界条件：对第三类边界条件：对第三类边界条件：上式大于零上式大于零( (见见P216) )，因为第一项，因为第一项同理第二同理第二项 得得 n0 定理定理2：相应于不同本征值相应于不同本征值n的本征函数的本征函数yn( (x) )在在区间区间 a、b 上带权重正交，上带权重正交，即即证明：明：两式分两式分别
6、乘以乘以yn、ym，相减，相减逐项积分逐项积分讨论讨论( (证明同上证明同上) )：此项为零此项为零 又又定理定理3：所有的本征函数所有的本征函数y1( (x) )、y2( (x) ).是是完完备的，的， 即若函数即若函数f( (x) )满足足广广义的狄里希利条件的狄里希利条件： ( (1) )具有连续一阶导数和逐段连续二阶导具有连续一阶导数和逐段连续二阶导 数；数； ( (2) )满足本征函数族满足本征函数族yn( (x)()(n=1、2、.) )所所 满足的边界条件，满足的边界条件，则必可展必可展为绝对且且 一致收一致收敛的广的广义傅立叶傅立叶级数数 fn称称为广广义傅立叶系数；傅立叶系数； 其中其中模方模方证明：明： 当当m=n时，时，正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要问题正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要问题关于归一化问题：关于归一化问题：对对 yn ，当，当Nn1时，可时，可 yn/ /Nn 用作为新的本征用作为新的本征函数族，即归一化本征函数族。函数族，即归一化本征函数族。正交关系正交关系复数本征函数族复数本征函数族一般定一般定义：模：模：正交关系：正交关系：广义傅里叶级数及系数公式：广义傅里叶级数及系数公式：例：例：对 考虑考虑 ， ( (参见参见P213 9.4.2式式) )正交关系：正交关系：
