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1、概率论与数理统计第22讲本讲义可在网址http:/下载1 1第七章假设检验2 2统计推断的另一类重要问题是假设检验, 在总体分布未知或虽知其类型但含有未知参数的时候, 为推断总体的某些未知特性, 提出某些关于总体的假设. 我们需要根据样本所提供的信息以及运用适当的统计量, 对提出的假设作出接受或拒绝的决策, 假设检验是作出这一决策的过程.3 3参数假设检验参数假设检验是针对总体分布函数中的未知参数而提出的假设进行检验, 非参非参数假设检验数假设检验是针对总体分布函数形式或类型的假设进行检验, 本章主要讨论单参数假设检验问题假设检验参数假设检验非参数假设检验4 47.1 假设检验的基本概念5 5
2、一一, 引例引例设一箱中有红白两种颜色的球共100个, 甲说这里有98个白球, 乙从箱中任取一个, 发现是红球, 问甲的说法是否正确?6 6先作假设H0: 箱中确有98个白球.如果假设H0正确, 则从箱中任取一个球是红球的概率只有0.02, 是小概率事件. 通常认为在一次随机试验中, 概率小的事件不易发生, 因此, 若乙从箱中任取一个, 发现是白球, 则没有理由怀疑假设H0的正确性. 今乙从箱中任取一个, 发现是红球, 即小概率事件竟然在一次试验中发生了, 故有理由拒绝假设H0, 即认为甲的说法不正确.7 7二, 假设检验的基本思想假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法. 为了检验
3、一个假设H0是否正确, 首先假定该假设H0正确, 然后根据抽取到的样本对假设H0作出接受或拒绝的决策. 如果样本观察值导致了不合理的现象发生, 就应拒绝假设H0, 否则应接受假设H0.8 8假设检验中所谓不合理, 并非逻辑中的绝对矛盾, 而是基于人们在实践中广泛采用的原则, 即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的. 但概率小到什么程度才能算作小概率事件, 显然, 概率越小, 否定假设H0越有说服力. 常记这个概率值为a(0am0, (1.2)H0:mm0, H1:mua/2=a.21212222六六, 多参数与非参数假设检验问题多参数与非参数假设检验问题原则上, 以上介绍的所有单参数假设检验的
4、内容也适用于多参数与非参数假设检验问题, 只需在某些细节上作适当调整即可, 这里仅说明下列两点:(1) 对多参数假设检验问题, 要寻求一个包含所有待检参数的检验统计量, 使之服从一个已知的确定分布;(2) 非参数假设检验问题可近似地化为一个多参数假设检验问题.23237.2 单正态总体的假设检验2424一一, 总体均值的假设检验总体均值的假设检验当检验关于总体均值m(数学期望)的假设时, 该总体中的另一个参数, 即方差s2是否已知, 会影响到对于检验统计量的选择, 故下面分两种情形进行讨论.25251. 方差方差s s2已知情形已知情形设总体XN(m,s2), 其中总体方差s2已知, X1,X
5、2,Xn是取自总体X的一个样本, X为样本均值.2626(1) 检验假设H0:m=m0, H1:mm0. 其中m0为已知常数. 则当H0为真时,故选取U作为检验统计量, 记其观察值为u, 相应的检验法称为u检验法检验法.2727因为X是m的无偏估计量, 当H0成立时, |u|不应太大, 当H1成立时, |u|有偏大的趋势, 故拒绝域形式为对于给定的显著性水平a, 查标准正态分布表得k=ua/2, 使2828由此即得拒绝域为即W=(-, -ua/2)(ua/2,+)根据一次抽样后得到的样本观察值x1,x2,xn计算出U的观察值u, 若|u|ua/2, 则拒绝原假设H0, 即认为总体均值与m0有显
6、著差异; 若|u|ua/2, 则接受原假设H0, 即认为总体均值与m0无显著差异.2929类似地, 对单侧检验有:(2)右侧检验: 检验假设H0:mm0, H1:mm0, 其中m0为已知常数. 可得拒绝域为3030(3)左侧检验: 检验假设H0:mm0, H1:m1.96计算出所以,故应拒绝H0, 即认为折断力的均值发生了变化3333例例2 有一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命X服从正态分布N(m,40000), 根据以往的生产经验, 知道灯管的平均寿命不会超过1500小时. 为了提高灯管的平均寿命, 工厂采用了新的工艺. 为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命, 他们测试了采用新工艺
7、生产的25只灯管的寿命, 其平均值是1575小时. 尽管样本的平均值大于1500小时, 试问: 可否由此判定这恰是新工艺的效应而非偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿命较长呢?3434解解 可把问题转述为假设检验问题:H0:m1500, H1:m1500从而可用右侧检验法来检验, 相应于m0=1500, s=200, n=25取显著性水平为a=0.05, 查附表得ua=1.645, 因已测出x=1575, 从而3535由于u=1.875ua=1.645, 从而否定原假设H0, 接受备择假设H1, 即认为新工艺事实上提高了灯管的平均寿命.36362. 方差方差s s2未知情形未知情形设总体X
8、N(m,s2), 其中总体方差s2未知, X1,X2,Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为样本均值与样本方差.(1) 检验假设H0:m=m0, H1:mm0. 其中m0为已知常数. 则当H0为真时,3737故选取T为检验统计量, 记其观察值为t, 相应的检验法称为t检验法. 由于X是m的无偏估计量, S2是s2的无偏估计量, 当H0成立时, |t|不应太大, 当H1成立时, |t|有偏大的趋势. 对于给定的显著性水平a, 查分布表得ta/2(n-1), 使P|T|ta/2(n-1)=a3838由此得拒绝域为即 W=(-, -ta/2(n-1)(ta/2(n-1),+) (2.6)根据一次抽
9、样后得到的样本观察值x1,x2,xn计算出T的观察值t, 若|t|ta/2(n-1), 则拒绝原假设H0, 即认为总体均值与m0有显著差异; 若|t|ta/2(n-1), 则接受原假设H0, 即认为总体均值与m0无显著差异.3939类似地, 对单侧检验有:(2)右侧检验: 检验假设H0:mm0, H1:mm0, 其中m0为已知常数. 可得拒绝域为4040(3)左侧检验: 检验假设H0:mm0, H1:m2.306. 由数据计算出x=49.9, s2=0.29,故应接受H0, 即认为包装机工作正常.4343例例4 一公司声称某种类型的电池的平均寿命至少为21.5小时. 有一实验室检验了该公司制造
10、的6套电池, 得到如下的寿命小时数:19, 18, 22, 20, 16, 25试问: 这些结果是否表明, 这种类型的电池低于该公司所声称的寿命? (显著性水平a=0.05).4444解解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题: H0:m21.5, H1:m-2.015=-t0.05(5), 所以不能否定原假设H0, 认为这类电池寿命不比公司宣称的寿命差.454546464747484849495050例例5 厂生产的某种型号的电池, 其寿命(以小时计)长期以来服从方差s2=5000的正态分布, 现有一批这种电池, 从它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变. 现在随机取26只电池, 测出其寿命
11、的样本方差s2=9200. 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化(取a=0.02)?5151解解 检验假设H0:s2=5000,H1:s25000.算出故拒绝H0, 认为这批电池寿命的波动性较以往有显著变化.5252例例6 某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力, 折断力的方差被用作工厂生产精度的表征. 方差越小, 表明精度越高. 以往工厂一直把方差保持在64(kg2)与64以下. 最近从一批产品中抽取10根作折断力试验, 测得的结果(单位为千克)如下:578,572,570,568,572,570,572,596,584,570由上述样本数据得: x=575.2,
12、s2=76.74.判断折断力的方差是否变大了.5353解解 作假设检验 H0:s264, H1:s264不能拒绝原假设H0. 生产流程正常无须调整5454课堂练习课堂练习1. 某饲养厂规定, 屠宰的肉用鸡体重不得少于3kg, 现从该饲养厂的鸡群中, 随机抓16只, 且计算平均体重x=2.8kg, 标准差s=0.2kg, 设肉用鸡重量X服从正态分布, 试以a=0.05的显著性水平作出该批鸡可否屠宰的判断.55552. 某厂生产一种保险丝. 规定保险丝熔化时间的方差不超过400, 现从一批产品中抽取25个, 测得其熔化时间的方差为388.58, 试根据所给数据, 检验这批产品的方差是否符合要求(a=0.05).5656作业 习题7-2 第234页开始第1,4,5,9题5757
