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1、4.6 4.6 二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用(一一):二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用【二重积分的概念】【二重积分的概念】1.曲顶柱体曲顶柱体非负且连续函数非负且连续函数.设设 是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 上上我们称我们称以曲面以曲面 为顶为顶,面上面上的区域的区域 为底为底, 以平行于以平行于 轴轴且沿着底面区域且沿着底面区域 的边界的边界曲线的直线围成的立体曲线的直线围成的立体称为曲顶柱体称为曲顶柱体. .:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积特
2、点：平顶特点：平顶. .曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶. .底面积底面积 高高柱体体积柱体体积= =:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用求曲顶柱体的体积的步骤：求曲顶柱体的体积的步骤：的面积为的面积为 分割分割:将区域将区域 任意任意分割成分割成 个小个小区域：区域：第第 块小区域块小区域:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用求近似代替求近似代替: :任取一点任取一点求和求和: :二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用取极限取极限: :令令 的直
3、径的直径 , ,那么那么3.二重积分的概念二重积分的概念设设 是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 上的上的有界函数有界函数. .将将 任意分成任意分成 个小区域个小区域区域的面积区域的面积.其中其中 表示第表示第 块小块小在每个小区域在每个小区域 上任取上任取:一点一点作乘积作乘积并作和并作和令令当当 时时, ,和式和式 的极限存在的极限存在.且其值与且其值与的分法和点的分法和点 的选法无关的选法无关, ,并称此并称此极限值为极限值为 在在D D上的二重积分上的二重积分. . 记作记作 即即二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用:其中其中“ ”称为二
4、重积分符号称为二重积分符号, D称为积分区域称为积分区域, 二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用称为被积函数称为被积函数, ,面积元素面积元素, d 称为称为称为积分和称为积分和.和式和式称为积分变量称为积分变量. :二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用说明说明:1 1、定义中对区域、定义中对区域D D的划分是任意的的划分是任意的. .2 2、假设、假设 在闭区域在闭区域D D上连续上连续, ,则函数则函数在该区域上可积在该区域上可积. .3 3、在直角坐标系中、在直角坐标系中, ,D D一般用平行于坐标轴
5、的一般用平行于坐标轴的直线网来划分区域直线网来划分区域D D，则面积元素为则面积元素为:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用故二重积分可表示为故二重积分可表示为4.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大当被积函数大的体积的体积二重积分是柱体二重积分是柱体于零时于零时. .:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用当被积函数小当被积函数小于零时于零时. .的体积的负值的体积的负值二重积分是柱体二重积分是柱体当被积函数有正有负时当被积函数有正有负时. .二重积分的值就等于各个部分二重积分的值就等于各个部分
6、区域上曲顶柱体体积的代数和区域上曲顶柱体体积的代数和. .:不等式不等式 确定的确定的闭闭区域，区域， 设设 ,其中其中 是由是由练习练习则则必有（必有（ ）B C D A二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用【二重积分的性质】【二重积分的性质】性质性质2被积函数中的常数因子可以提到被积函数中的常数因子可以提到积分号外面积分号外面, ,即即为常数为常数性质性质1有限个函数代数和的二重积分有限个函数代数和的二重积分等于各个函数二重积分的代数和等于各个函数二重积分的代数和,
7、,:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用即即性质性质3若积分区域若积分区域 被一曲线分成两个被一曲线分成两个部分区域部分区域 和和 则在则在 上的二重积上的二重积分等于在分等于在 和和 上二重积分的和上二重积分的和. .即即:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用性质性质4若在区域若在区域 上上, 且且 的面的面积为积为 那那么么性质性质5若在区域若在区域 上上,恒有恒有那么那么:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用的大小的大小. .其中其中 是三角形闭区域是三角形
8、闭区域, ,三三比较积分比较积分 与与例例1 个顶点分别为个顶点分别为解解如下图如下图三角形斜边方程三角形斜边方程在在 内有内有:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用由性质得由性质得练习练习设设D是第一象限内的一个有界是第一象限内的一个有界闭闭区域，且区域，且 假设假设那么那么 的大小顺序为（的大小顺序为（ ）B C D A:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用性质性质6设设 分别是函数分别是函数 在在 上的上的为为 的面积的面积, ,那么那么最大值和最小值最大值和最小值, ,例例2 不作计算，估计不作计算
9、，估计 的值的值. .其中其中 为圆域为圆域:解：解： 如下图，如下图， 积分域积分域 的边界的边界为圆周区域为圆周区域 的面积为的面积为在在 上有上有即即二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用性质性质7若函数若函数 在有界闭区域在有界闭区域 上连续，上连续，为为 的面积，则在的面积，则在 内至少存在一内至少存在一点点 使得使得:【二重积分的计算】【二重积分的计算】二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用类型类型1积分区域积分区域
10、是边平行于坐标是边平行于坐标轴的矩形域轴的矩形域设二元函数设二元函数 是定义于是定义于 上的连续函数上的连续函数, ,则二重积分则二重积分一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分:注注1 1、二重积分的计算就是分别对变量、二重积分的计算就是分别对变量和和 作两次定积分的计算作两次定积分的计算. .2 2、化二重积分为二次积分的关键是、化二重积分为二次积分的关键是: :选择积分次序和确定积分上、下限选择积分次序和确定积分上、下限即积分区域即积分区域D D是一矩形时是一矩形时, ,其积分其积分次序可交换次序可交换二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及
11、其简单应用:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用3 3、几种写法的比较、几种写法的比较、知、知: : 比较比较:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用、知、知: :比较比较 :二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用例例3计算计算其中其中 为矩形：为矩形：解法一：解法一：先对 再对 的累次积分.对 积分时要固定为常数.:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用解法二：解法二：先对 再对 的累次积分.对 积分时要固定为常数.:二重积
12、分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用说明说明: :1 1、若函数可积，、若函数可积，且且 ，那么，那么如如:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用2 2、有的题用两种方法均可、有的题用两种方法均可, ,且难移程度且难移程度一样一样, ,但有的题只能对一种可行但有的题只能对一种可行, ,另一另一种则不行或难移程度不同种则不行或难移程度不同. .例例4计算积分计算积分 其中其中D D是正方形是正方形区域：区域：解解:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用3、计算、计算 其中其中
13、D是是练习练习1、计算积分、计算积分 其中其中D是是正方形区域：正方形区域：2 2、计算、计算 其中其中D D是是矩形：矩形：:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用解解:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用注注: :、利用直系计算二重积分的步骤：、利用直系计算二重积分的步骤：（1 1画出积分区域的图形画出积分区域的图形, ,求出边界求出边界（3 3确定积分限，化为二次定积分确定积分限，化为二次定积分（2 2根据积分域类型根据积
14、分域类型, , 确定积分次序确定积分次序（4 4计算两次定积分，即可得出结果计算两次定积分，即可得出结果曲线交点坐标曲线交点坐标:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用、积分限确定法、积分限确定法:域中一线插域中一线插, , 域边两线夹，域边两线夹，内限定上下，内限定上下，外限依靠它外限依靠它. .:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用此时此时D称为称为Y型区域型区域. 若积分区域若积分区域D用用 来表示来表示. 类型类型2:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用Y型
15、区域的特点：型区域的特点：区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点. .计算公式：计算公式：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 轴的直线与轴的直线与:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用例例5围成的第一象限的区域围成的第一象限的区域计算积分计算积分 其中其中D由由 和和解解:解方程组解方程组如下图如下图xy0y=x+2y=x2112解得交点解得交点:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用练习练习1、计算积分、计算积分
16、其中其中D由由围成的区域围成的区域.围成的区域围成的区域.2、计算积分、计算积分 其中其中D由由:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用解解: 1、如图、如图解方程组解方程组解得交点解得交点:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用2、如图、如图解方程组解方程组解得交点解得交点:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用 若积分区域若积分区域D用用 来表示来表示. 类型类型3此时此时D称为称为X型区域型区域.:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积
17、分及其简单应用X型区域的特点：型区域的特点：计算公式：计算公式：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 轴的直线与轴的直线与:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用例例6所围成的图形所围成的图形计算积分计算积分 其中其中D由直线由直线解法一解法一:如下图如下图那么那么 可表示为：可表示为：若按先对若按先对 再对再对 积分积分, ,:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用解法二解法二: 如下图如下图三条直线的交点为三条直线的交点为若按先对
18、若按先对 再对再对 积分积分, ,那么那么 可表示为：可表示为：:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用说明说明在计算过程中在计算过程中,恰当地选择积分次序恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键是化二重积分为二次积分的关键.例例7所围成的图形所围成的图形计算积分计算积分 其中其中D由直线由直线解解: 如下图如下图若按先对若按先对 再对再对 积分积分, ,:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用那么那么 可表示为：可表示为：
19、:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用说明说明本题如果先对本题如果先对 积分积分, ,后后 对积分，则不对积分，则不能计算出结果能计算出结果. .因为因为 没有初等函数没有初等函数. .1 1、计算二重积分、计算二重积分 , ,其中其中D D是由是由所围成的区域所围成的区域. .练习练习2 2、计算二重积分、计算二重积分 , ,其中其中D D是由是由所围成的区域所围成的区域. .:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用解解:1、如下图、如下图若按先对若按先对 再对再对 积分积分, ,那么那么 可表示为：可表示为：:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用2、如下图、如下图解方程组解方程组解得交点解得交点若按先对若按先对 再对再对 积分积分, ,那么那么 可表示为：可表示为：:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用:二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用类型类型4若区域为组合域，如图：若区域为组合域，如图：0那那么么: :
