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1、单辉祖工力3力偶系 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3-1 力对点的矩 力对点的矩是度量力对刚体绕点转动的作用效应。力对点的矩是度量力对刚体绕点转动的作用效应。 记为记为 M O ( F F ) n n n nO O O Oa. a. 平面内力对点之矩平面内力对点之矩 h h h hO O O OA A A AB B B BF F F F 平面上力对点之平面上力对点之平面上力对点之平面上力对点之矩的两要素矩的两要素矩的两要素矩的两要素： 1 1）力
2、的大小与力）力的大小与力臂的乘积臂的乘积 2 2）转动方向）转动方向力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。 O O 称为矩心称为矩心 h h 称为力臂称为力臂 h h h hO O O OA A A AB B B Bh h h hO O O OA A A AB B B Bh h h hO O O OA A A AB B B Br r r rF F F F F F F F平面平面力对点之矩为代数量力对点之矩为代数量力对点之矩为代数量力对点之矩为代数量且且 M M O O ( ( F
3、F ) = ) = F hF h 或或 M M O O ( ( F F ) = 2 ) = 2OAB OAB 单位：单位：Nm Nm 或或 KNm KNmn n n n n n n n n n n n n n n nh h h hA A A AB B B BM M M MO O O O(F)(F)(F)(F)r r r rh h h hA A A AB B B BM M M MO O O O(F)(F)(F)(F)r r r r 空间力系中力对点空间力系中力对点空间力系中力对点空间力系中力对点之矩的三要素：之矩的三要素：之矩的三要素：之矩的三要素：h h h hA A A AB B B BO
4、O O Oz z z zx x x xy y y yM M M MO O O O(F)(F)(F)(F)M M M MO O O O ( ( ( (F F F F) =) =) =) = r r r rF F F F 力对点之矩矢（过矩心力对点之矩矢（过矩心力对点之矩矢（过矩心力对点之矩矢（过矩心O O O O的定位矢量的定位矢量的定位矢量的定位矢量 ） b. b. 空间力对点之矩矢空间力对点之矩矢3 3 3 3）转动方向转动方向2 2）力与矩心组成的平面方位）力与矩心组成的平面方位r r r r1 1 1 1）力的大小与力臂的乘积力的大小与力臂的乘积h h h hA A A AB B B B
5、M M M MO O O O(F)(F)(F)(F)r r r r 3 3）矢量的指向按右手法则确定了转向）矢量的指向按右手法则确定了转向F F F F空间力对点之矩为矢量空间力对点之矩为矢量空间力对点之矩为矢量空间力对点之矩为矢量 记作记作记作记作 M M M MO O O O ( ( ( (F F F F) ) ) ) 1 1 1 1）矢量的模等于力矩的大小）矢量的模等于力矩的大小）矢量的模等于力矩的大小）矢量的模等于力矩的大小2 2 2 2）矢量的方位与力和矩心组成的平面的法向平行）矢量的方位与力和矩心组成的平面的法向平行）矢量的方位与力和矩心组成的平面的法向平行）矢量的方位与力和矩心组
6、成的平面的法向平行矢径的矢量表达式矢径的矢量表达式矢径的矢量表达式矢径的矢量表达式： r r r r = = = = x ix ix ix i + + + + y y y y j j j j + + + + z kz kz kz k= ( = ( y Z - z Y y Z - z Y ) ) i i i i + ( + ( z X - x Zz X - x Z ) ) j j j j +( +( x Y - y Xx Y - y X ) )k k k k力力力力F F F F的矢量表达式：的矢量表达式：的矢量表达式：的矢量表达式： F F F F = = = = X X X X i i i
7、i + + + + Y Y Y Y j j j j + + + + Z Z Z Z k k k k力力力力F F F F对对对对 o o o o 点之矩矢的表达式：点之矩矢的表达式：点之矩矢的表达式：点之矩矢的表达式： O O O Oz z z zx x x xy y y yAr F1 1）力对点之矩随矩心的变化而变化（力关于各点的转动力对点之矩随矩心的变化而变化（力关于各点的转动力对点之矩随矩心的变化而变化（力关于各点的转动力对点之矩随矩心的变化而变化（力关于各点的转动作用效应不同）作用效应不同）作用效应不同）作用效应不同）2 2）力沿作用线滑移时，）力沿作用线滑移时，力对点之矩不变（力对点
8、之矩不变（力对点之矩不变（力对点之矩不变（h h h h不变）不变）不变）不变）3 3）F=0F=0或力作用线通过或力作用线通过矩心，力对点之矩为零矩心，力对点之矩为零矩心，力对点之矩为零矩心，力对点之矩为零合力矩定理 设 r r 为矩心到汇交点的矢径，R R 为F F1、F F2、F Fn的合力，即：R R = F F1 + F F2 + F Fn可得：M M M MO O ( (R R R R) = ) = r r r rR R R R = = = = r r r r( ( F F1 + F F2 + F Fn ) = = = = r r r r F F1 + + r r r r F F2
9、 + + + + r r r r F Fn = M M M MO O ( (F F1) + ) + M M M MO O ( (F F2) + + ) + + M M M MO O ( (F F n ) ) 也就是：汇交力系的合力对点的矩等于该力系汇交力系的合力对点的矩等于该力系所有分力对同一点之矩矢的矢量和所有分力对同一点之矩矢的矢量和。证：F1F2 F3 RO Oz zx xy yAr 合力矩定理的两个用处合力矩定理的两个用处: :1)1)求力矩求力矩 2) 2)确定合力作用线位置确定合力作用线位置例例3-13-1曲拐曲拐OABOAB。已知。已知 OAABP,OAABP,求求M M M M
10、O O O O ( P )( P )( P )( P )。 OABhP解法一解法一 依定义解依定义解 M M M MO O O O ( P ) = ( P ) = ( P ) = ( P ) = P h P h P h P h = = = = P P P P OBOBOBOB sin sin sin sin M M M MO O O O ( P ) =( P ) =( P ) =( P ) =P P P P ( ( ( (OAOAOAOA2 2 2 2+ + + +ABABABAB2 2 2 2 ) ) ) )1 1 1 12 2 2 2 sin sin sin sin 解法二解法二 合力矩定
11、理解合力矩定理解 M M M MO O O O ( P )= ( P )= ( P )= ( P )= M M M MO O O O ( Px ) + ( Px ) + ( Px ) + ( Px ) + M M M MO O O O ( Py ) ( Py ) ( Py ) ( Py ) = = = = M M M MO O O O ( Py )=( Py )=( Py )=( Py )=P sin OBP sin OBP sin OBP sin OB M M M MO O O O ( P ) = ( P ) = ( P ) = ( P ) = P P P P ( ( ( ( OAOAOAO
12、A2 2 2 2+ + + +ABABABAB2 2 2 2 ) ) ) )1 1 1 12 2 2 2 sinsinsinsin 水平梁水平梁 AB AB 受三角形分布载荷作用，载荷的最大载受三角形分布载荷作用，载荷的最大载荷集度为荷集度为 q q，梁长，梁长 l l 。求合力作用线的位置。求合力作用线的位置。例例3-23-2合力对合力对 A A 点的矩可由合力矩定理得：点的矩可由合力矩定理得：l l l lA A A AB B B Bq q q qx x x x解：距解：距解：距解：距 A A A A 端为端为端为端为 x x x x 的微段的微段的微段的微段 dxdxdxdx上上上上作用
13、力的大小为作用力的大小为作用力的大小为作用力的大小为 q q q qx x x x dxdxdxdx三角形面积三角形面积三角形面积三角形面积作用线过作用线过作用线过作用线过几何中心几何中心几何中心几何中心h h h hP P P P其中其中其中其中 q q q qx x x x = = = = q xq xq xq x / / / / l l l l设合力设合力设合力设合力P P P P 到到到到 A A A A点的距离点的距离点的距离点的距离 h h h h合力的大小为合力的大小为合力的大小为合力的大小为h h h hP P P Ph h h hP P P Px x x xdxdxdxdxq
14、 q q q x x x x3-2 3-2 力偶矩矢力偶矩矢1.1.两个共面力的合成两个共面力的合成1)1)相交的两力相交的两力F F F FR R R RF F F F1 1 1 1F F F F2 2 2 22)2)平行同向的两力平行同向的两力A O B A O B F F1 1R R1 1F F2 23)3)平行反向且大小不等的两力平行反向且大小不等的两力R R1 1= = F F1 1+ F+ F2 2O A B O A B R R2 2F F1 1F F2 2R R2 2= = F F1 1- F- F2 2合力作用线位置由合力矩定理确定合力作用线位置由合力矩定理确定: : M M
15、M MO O O O ( ( ( ( R R )= )= )= )= M M M MO O O O ( ( ( ( F F1 1 ) + ) + ) + ) + M M M MO O O O ( ( ( (F F2 2 ) ) ) ) AO/BO AO/BO = = F F2 2 / / F F1 1 4)平行反向且大小相等的两力 力偶只能对物体发生转力偶只能对物体发生转动作用效应动作用效应R = 0？力力 偶偶 由两个等值、反由两个等值、反向且不共线的平行力向且不共线的平行力组成的力系。记作组成的力系。记作 （ F F，F F ）2. 2. 力偶与力偶矩力偶与力偶矩 力偶力偶 由两个等值、由
16、两个等值、反向且不共线的平行力组成的反向且不共线的平行力组成的力系。记作（力系。记作（ F F，F F ） 这一矢量称作这一矢量称作 力偶矩矢力偶矩矢 记记 作作 M Md d d dF F F FFFFFB B B BA A A A两个力所在平面两个力所在平面 力偶作用面力偶作用面两个力间的垂距两个力间的垂距d d 力偶臂力偶臂空间力偶三要素空间力偶三要素M M M M M M2 2）方位与作用面法向方位与作用面法向n n平行平行3 3）指向与力偶转向的关系服指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则从右手螺旋法则n n n nM M M M M Md d d d d d d d d d d dM
17、 M M M M Mn n n nM M M M M M M M M M M Mn n n nM M M M M M M M M M M Mn n n nM M M M M M1)1)力和力偶臂乘积力和力偶臂乘积2)2)力偶作用面的方位力偶作用面的方位3)3)力偶的转向力偶的转向空间力偶系的力偶为矢量空间力偶系的力偶为矢量1 1）其长度表示力偶矩大小其长度表示力偶矩大小空间力偶系的力偶空间力偶系的力偶 平面力偶系的力偶平面力偶系的力偶若在所研究的问题中，所若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在同一平面内，有的力偶都作用在同一平面内，则称为平面力偶系。则称为平面力偶系。F F F FF F F
18、FB B B BA A A AC C C Cd d d d平面力偶系的力偶为代数量平面力偶系的力偶为代数量, ,以力偶矩以力偶矩 M M 描述描述 力偶矩力偶矩 M M = = F dF d = 2 = 2 ACBACB一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。平面力偶的两要素平面力偶的两要素1)1)力和力偶臂的乘积力和力偶臂的乘积2)2)力偶的转向力偶的转向力偶矩矢可以平行搬移，且不需确定矢的初力偶矩矢可以平行搬移，且不需确定矢的初端位置。端位置。n n n nd d d dF F F FFFFFB B B BA A A AM M M M M M
19、n n n nM M M M M M F F F F = -= -= -= - F F F F 注意到力偶矩的大小为注意到力偶矩的大小为注意到力偶矩的大小为注意到力偶矩的大小为 M M M M为为为为自自自自由由由由矢矢矢矢M M M M为为为为自自自自由由由由矢矢矢矢M M M M为为为为自自自自由由由由矢矢矢矢M M M M为为为为自自自自由由由由矢矢矢矢O O O O力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量 力偶对空间任一点的矩都相力偶对空间任一点的矩都相力偶对空间任一点的矩都相力偶对空间任一点的矩都相等，即等于力偶矩矢。等，即等于力偶矩矢。等，即等于力偶矩矢。等，即等于力偶矩矢。证：证：
20、如图求力偶（如图求力偶（F F，F F ）对任）对任意点，如意点，如 O O 点的矩。点的矩。画出画出 O O 点到二力作用点点到二力作用点 A A、B B 的矢径的矢径 所以，力偶对空间任意点的矩矢所以，力偶对空间任意点的矩矢所以，力偶对空间任意点的矩矢所以，力偶对空间任意点的矩矢与矩心无与矩心无与矩心无与矩心无关关关关。空间力偶对任一点的转动效应相同。空间力偶对任一点的转动效应相同。空间力偶对任一点的转动效应相同。空间力偶对任一点的转动效应相同. . . .3-3 3-3 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质 作用于刚体上的两力偶，若它们的作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等，则
21、此二力偶等效力偶矩矢相等，则此二力偶等效。 作用于同一平面的两力偶，若它们的作用于同一平面的两力偶，若它们的力偶矩相等，则此二力偶等效力偶矩相等，则此二力偶等效。力偶的等效条件力偶的等效条件性质一性质一（1 1） 力偶在其作用面力偶在其作用面内只要力偶矩不变（即力与力内只要力偶矩不变（即力与力偶臂的积不变），它就可以随偶臂的积不变），它就可以随意的转移，意的转移，（2 2） 力偶的作力偶的作用面可以随意平行搬移，用面可以随意平行搬移，不改变它对刚体的作用不改变它对刚体的作用效应。效应。 也可以增大力也可以增大力的同时减小力偶臂（或减小力的同时减小力偶臂（或减小力的同时增大力偶臂），不改变的同时
22、增大力偶臂），不改变它对刚体的作用效应。它对刚体的作用效应。性质二性质二 力偶不能与一个力相平衡力偶不能与一个力相平衡。由性质一知总可以转动力偶和平行由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使三力有两个交点，搬移力偶作用面使三力有两个交点，这与平衡汇交定理相矛盾这与平衡汇交定理相矛盾。仍由性质一知总可以转动力偶和仍由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使力偶中的平行搬移力偶作用面使力偶中的一个力与所谓的平衡力合成为一一个力与所谓的平衡力合成为一个大小及方位都与力偶的另一个个大小及方位都与力偶的另一个力不同的力力不同的力, ,这与二力平衡原理相这与二力平衡原理相矛盾矛盾 。证：用反证法
23、。即假设平衡力存在证：用反证法。即假设平衡力存在1 1、平衡力与力偶作用面平行。、平衡力与力偶作用面平行。2 2、 平衡力与力偶作用面不平行。平衡力与力偶作用面不平行。性质三性质三 力偶没有合力力偶没有合力证：证：证：证： 仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线共找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线共找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线共找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质线的力与此力平
24、衡，即力与力偶相平衡。与性质线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质二矛盾。二矛盾。二矛盾。二矛盾。 性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等效而不能与单个力等效。效而不能与单个力等效。效而不能与单个力等效。效而不能与单个力等效。力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡3-4 3-4 力偶系的合成力偶系的合成 任意个力偶可
25、以合成为一个任意个力偶可以合成为一个任意个力偶可以合成为一个任意个力偶可以合成为一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各合力偶，这个合力偶矩矢等于各合力偶，这个合力偶矩矢等于各合力偶，这个合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和分力偶矩矢的矢量和分力偶矩矢的矢量和分力偶矩矢的矢量和。M M M M = = = = M M M M1 1 1 1+ + + +M M M M2 2 2 2+ + + + +M M M Mn n n n = = = = M M M M i i i iM M1 1 + + M M2 2 = = r rBABAF F1 1 + + r rBABAF F2 2 = = r rBABA(
26、( F F1 1 + + F F2 2 ) = ) = r rBABAR R = = M MM M M M1 1 1 1M M M M 2 2 2 2r r r rBABABABAB B B BA A A A 设有两个力偶，由性质一设有两个力偶，由性质一, ,将将力偶中两力分别移到两力偶作用面力偶中两力分别移到两力偶作用面交线上的两点交线上的两点 A A 和和 B,B,可得到两个可得到两个汇交力系，其合力分别为汇交力系，其合力分别为R R 、 R R 。如有如有n n个力偶，按上法依次合成个力偶，按上法依次合成, ,最后得一力偶最后得一力偶, ,合力偶矩矢为合力偶矩矢为M M M M = =
27、= = M M M M1 1 1 1+ + + +M M M M2 2 2 2+ + + + +M M M Mn n n n = = = = M M M M I I I I3-53-5 力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件 在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。M M M M = = = = M M M M1 1 1 1+ + + +M M M M2 2 2 2+ + + + + + + + M M M Mn n n n = = = = M M M M
28、i i i i由合成结果可知：由合成结果可知： 力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。平面力偶系平衡条件：平面力偶系平衡条件：平面力偶系平衡条件：平面力偶系平衡条件： 三铰刚架由两直角刚架组成，三铰刚架由两直角刚架组成，AC AC 部分上作部分上作用一力偶，其力偶矩为用一力偶，其力偶矩为 M M， 自重不计，自重不计， 且
29、且 a a : : c c = = b b : : a a，求，求A A、B B支座的反力。支座的反力。例例3-33-3M M M MA A A AC C C CM M M Mb b b bc c c ca a a aA A A AC C C CB B B BC C C CB B B BACACACAC为对象，为对象，为对象，为对象，M M M M = 0 , = 0 , = 0 , = 0 , 考虑考虑考虑考虑CBCBCBCB部分为二力构件，得：部分为二力构件，得：部分为二力构件，得：部分为二力构件，得：解：解：解：解：由由由由 a a a a : : : : c c c c = = = =
30、 b b b b : : : : a a a a 知：知：知：知：AC AC AC AC CBCBCBCB，受力分析受力分析受力分析受力分析 图示机构自重不记。圆轮上的销子图示机构自重不记。圆轮上的销子 A A 放在放在摇杆摇杆 BCBC上的光滑导槽内。上的光滑导槽内。M M 1 1 = 2kNm= 2kNm，OAOA = = r r = = 0.5m 0.5m 。图示位置。图示位置OAOAOBOB，= 30= 30，且系统平衡。求，且系统平衡。求作用于摇杆作用于摇杆 BC BC 上力偶的矩上力偶的矩 M M 2 2 及及 O O、B B 支座的反力。支座的反力。A A A AO O O O例
31、例3-43-4M M M M 2 2 2 2M M M M 1 1 1 1B B B BA A A AC C C CB B B BA A A AC C C CO O O Or r r rM M M M2 2 2 2M M M M 1 1 1 1解：受力分析解：受力分析解：受力分析解：受力分析 续例续例2-52-5 先以轮为对象，先以轮为对象，M M = 0 = 0 ，M M1 1 - - F FA A r r sin sin = 0 = 0M M M M2 2 2 2B B B BA A A AC C C CA A A AO O O OM M M M 1 1 1 1 再以摇杆为研究对象再以摇杆为研究对象再以摇杆为研究对象再以摇杆为研究对象 由力偶平衡条件由力偶平衡条件由力偶平衡条件由力偶平衡条件M M = 0 = 0 ，M M2 2 = 4 = 4M M1 1 = 8kNm = 8kNmM M 1 1 =2kNm=2kNm，OA = rOA = r = 0.5m = 0.5m
