2023年因式分解精品讲义

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1、学习必备 欢迎下载 3、1 多项式的因式分解 教学目标 1. 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. 2. 通过观察， 发现分解因式与整式乘法的关系， 培养学生的观察能力和语言概括能力. 教学重点 1. 理解因式分解的意义. 2. 识别分解因式与整式乘法的关系. 教学难点 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 教学过程 一、情境引入（复习巩固） 讨论 6 能被 2 整除吗？你是怎样想的？与同伴交流. 6 能被 2 整除. 因为 6=32 其中有一个因数为 2，所以 6 能被 2 整除.6 还能被哪些正整数整除？ 还能被 3 整除. 从上面的推导过程看， 等号

2、左边是一个数， 而等号右边是变成了几个数的积的形式. 二、自主学习 你能尝试把a3a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. 观察x2x 与 x21 这两个代数式. 3. 做一做 （1）计算下列各式： （m+4） （m4）=_; （y3）2=_; 3x（x1）=_; m（a+b+c）=_; a（a+1） （a1）=_. （2）根据上面的算式填空： 3x23x=（ ） （ ）; m216=（ ） （ ）; 学习必备 欢迎下载 ma+mb+mc=（ ） （ ）; y26y+9=（ ）2. 能分析一下两个题中的形式变换吗？ 三、合作探究 在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式； 在（

3、2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式. 在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法； 在（2）中由多项式变成整式乘积的形式是因式分解. 把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式分解因式 4. 想一想 由a（a+1） （a1）得到a3a的变形是什么运算？由a3a得到a（a+1）（a1） 的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ 由a（a+1） （a1）得到a3a的变形是整式乘法，由a3a得到a（a+1）（a1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反. 由（a+b） （ab）=a2b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2

4、b2=（a+b） （ab）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反. 如： （1）m（a+b+c）=ma+mb+mc （2）ma+mb+mc=m（a+b+c） 联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式. 区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算. 等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解. 所以，因式分解与整式乘法是互逆方向的变形. 四. 典例精讲 5. 例题：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab; （2）6ax3ax2=3ax（2x）; （3）a24=（a+2）（

5、a2）; （4）x23x+2=x（x3）+2. 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 （1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，不是因式分解； （2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解； （3）和（2）相同，是因式分解； （4）不是因式分解，左右都是和形式 五、课堂检测 1. 连一连 解： 2 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a(a2b)4a28

6、ab； （2）6ax3ax23ax(2x)； （3）a24(a2)(a2)； （4）x23x2x(x3)2 六、课堂小结 本节课学习了因式分解的意义， 即把一个多项式化成几个整式的积的形式； 还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形 家庭作业：P57.58 习题 板书设计: 2.1 多项式的因式分解 定义： 例题讲解 课堂练习 教学反思： 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 3.2 提公因式法（1） 教学目标 1. 通

7、过对具体问题的分析及逆用分配律， 使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式 2. 树立学生“化零为整” 、 “化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。 3. 在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。 教学重点掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。 教学难点正确地找出公因式 教学过程 一创设情境， （复习巩固） 让学生观察多项式：ma+mb （让学生说出其特点：都有 m ，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。 ） 二自主学习 各项都含有一个公共的因式 m ，我们把因式 m

8、叫做这个多项式各项的公因式。 注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式 。 又如：b 是多项式 ab-b2各项的公因式 2xy 是多项式 4x2y-6xy2z 各项的公因式 让学生说出公因式，学生可能会说是 2 或者是 x 、 y 、2x、2y、2xy 等，最后一起确定公因式 2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。 三合作探究 指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式） ax+ay-a （a） 5x2y3-10x2y （5x2y） 24abc-9a2b2 （3ab） m2n+mn2 （mn ） x(x-y)2-y(x-y) (x-y) 显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何

9、正确地寻找确定公因式的方法： （可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳） 公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时） 字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂 根据分配律， 可得 m （a+b） =ma+mb 逆变形， 使得到 ma+mb的因式分解形式： ma+mb=m（a+b） 这说明多项式 ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式 ma+mb义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 写成 m （a+b

10、）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。 四. 典例精讲 例 1：把xxyx 352因式分解 例 2：把xx642因式分解 例 3：把zxyyx242128因式分解 五、课堂检测 1写出下列多项式各项的公因式 （1）mamb； （2）4kx8ky； （3）5y320y2； （4）a2b2ab2ab。 2把下列各式分解因式 （1）8x728(x9)（2）a2b5abab(a5) （3）4m36m22m2(2m 3)（4）a2b5ab9bb(a25a9) （5）a2abac(a2abac)

11、a(abc) （6）2x34x22x(2x34x22x)2x(x22x1) 3把 3x26xyx 分解因式。 六、课堂小结 1提公因式法分解因式的一般形式，如：mambmcm(abc) 这里的字母 a、b、c、m 可以是一个系数不为 1 的、多字母的、幂指数大于 1 的单项式 2找公因式的一般步骤 （1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的 （4）所有这些因式的乘积即为公因式 3初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘 1 的形式，这样可以防范错误，即漏项

12、的错误发生 家庭作业：P60 练习 板书设计: 2.2.1 提公因式法（一） 一、1公因式与提公因式法分解因式的概念 2例题讲解（例 1） 二、课堂练习（1随堂练习，2补充练习） 教学反思 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 3.2 提公因式法（二） 教学目标 1进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法。 2进一步培养学生的观察能力和类比推理能力。 3通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点 教学重点 能

13、观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式 教学难点 准确找出公因式，并能正确进行分解因式 教学过程 一创设情境， （复习巩固） 上节课我们学习了用提公因式法分解因式， 知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式， 那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜 二自主学习，合作探究 1例题讲解 例 2 把 a(x3)2b(x3)分解因式 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a(x3)与 2b(x3)，每项中都含有(x3)，因此可以把(x3)作为公因式提出来 例 3 把下列各式分解因式： （1）a(xy)b(yx)； （2）6(mn)31

14、2(nm)2 分析：虽然 a(xy)与 b(yx)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(xy)与(yx)是互为相反数，如果把其中一个提取一个“ ” 号，则可以出现公因式，如yx(xy)(m n)3 与(nm)2 也是如此 2做一做 请在下列各式等号右边的括号前填入“ ” 或“ ” 号，使等式成立： （1）2a_(a2)； （2）yx_(xy)； （3）ba_(a b)； （4）(ba)2_(ab)2； （5）mn_(mn)； （6）s2t2_(s2t2) 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形

15、式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 三课堂检测 1把下列各式分解因式： （1）x(ab)y(ab)； （2）3a(xy)(xy)； （3）6(pq)212(qp)； （4）a(m2)b(2m)； （5）2(yx)23(xy)； （6）mn(m n)m(nm)2 2把下列各式分解因式 5(xy)310(yx)2；m(ab)n(ba) m(mn)n(nm)；m(mn)n(mn) m(mn)(pq)n(nm)(pq)；(ba)2a(ab)b(ba) 四.课堂小结 本节课进一步学习了用提公因式法分解因式， 公因式可以是单项式， 也可以是多项式， 要认真观察多项式的结构特点

16、， 从而能准确熟练地进行多项式的分解因式 家庭作业 把下列各式分解因式： 1a(xy)b(yx)c(xy)；2x2y3xy2y3； 32(xy)23(yx)；45(mn)22(nm)3 学法P40.41 I 板书设计 2.2.2 提公因式法（二） 一、1例题讲解 2做一做 二、课堂练习 三、课时小结 教学反思 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 3.3 公式法（一） 教学目标 1使学生掌握用平方差公式分解因式。 2使学生了解，

17、提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。 3通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力。 教学重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式 教学难点 将某些单项式化为平方形式， 再用平方差公式分解因式； 培养学生多步骤分解因式的能力 教学过程 一创设情境， （复习巩固） 在前两节课中我们学习了因式分解的定义， 即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式 如果一个多项式的各项， 不具备相同的因式， 是否就不能分解因式了呢？当然不是， 只

18、要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程， 就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法公式法 二自主学习 请看乘法公式 (ab)(ab)a2b2（1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2b2(ab)(ab)（2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积判断，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ 三，合作探究 公式讲解 观察式子 a2b2，找出它的特点 是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差 如果一个二项式， 它能够化成两个整式的平方差， 就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积如 x216

19、(x)242(x4)(x4)；9m24n2(3m)2(2n)2(3m2n)(3m2n)。 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 四. 典例精讲 例 1 把22425yx 因式分解， 例 2 把 22yxyx因式分解， 例 3 把44yx 因式分解 例 4 把523xyx因式分解 五课堂检测 （一）随堂练习 1判断正误 （1）x2y2(xy)(x y)； （2）x2y2(xy)(x y)； （3）x2y2(xy)(xy)； （4）

20、x2y2(xy)(x y) 2把下列各式分解因式 （1）a2b2m2； （2）(ma)2(nb)2； （3）x2(abc)2； （4）16x481y4。 3 把下列各式分解因式 （1）36(xy)249(xy)2； （2）(x1)b2(1x)； （3）(x2x1)21 六.课堂小结 我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法 如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行 第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止 家庭作业 P64 练习 板书设计 2.3.1 运用公式法（

21、一） 一、1由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式 2公式讲解 3例题讲解补充例题 二、课堂练习 三、课时小结 教学反思 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 3.3 公式法（二） 教学目标 1使学生会用完全平方公式分解因式。 2在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力。 3通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力 教学重点 让学生掌握多步

22、骤、多方法分解因式方法 教学难点 让学生学会观察多项式的特点， 恰当地安排步骤， 恰当地选用不同方法分解因式 教学过程 一创设情境， （复习巩固） 因式分解是整式乘法的反过程， 倒用乘法公式， 我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？ 在前面我们不仅学习了平方差公式(ab)(ab)a2b2，而且还学习了完全平方公式(a b)2a2 2abb2。本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式 二自主学习 1推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点 由因式分解和整式乘法的关系， 大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式

23、呢？ 将完全平方公式倒写：a22abb2(ab)2；a22abb2(ab)2 便得到用完全平方公式分解因式的公式 什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？互相交流， 找出这个多项式的特点 三，合作探究 左边的特点有： （1）多项式是三项式； （2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式； （3）另一项是这两数或两式乘积的 2 倍 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方 用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右

24、边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 形如 a22abb2 或 a22abb2 的式子称为完全平方式 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法 练一练：下列各式是不是完全平方式？ （1）a24a4； （2）x24x4y2； （3）4a22ab b2； （4）a2abb2； （5）x26x9； （6）a2a0.25 四. 典例精讲 例 1 把41392 xx因式分解 例 2 把229124yxyx因式分解 例 3 把2242bbaa因式分解 例 4 把1

25、224 xx因式分解 五课堂检测 把下列各式分解因式： （1）4a24abb2； （2）a2b28abc16c2； （3）(xy)26(xy)9； （4）4(2ab)212(2ab)9； 六.课堂小结 这节课我们学习了用完全平方公式分解因式它与平方差公式不同之处是： （1）要求多项式有三项 （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负 同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式 家庭作业 学法P42.43 板书设计 2.3.2 运用公式法（二） 一、1推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点 2例题讲解

26、（例 1、例 2） 课堂检测 教学反思 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 因式分解复习 教学目标： 1复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式。 2 通过知识结构图的教学，培养学生归纳总结能力。 3 通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。 教学重点 复习综合应用提公因式法，运用公式法分解因式 教学难点 利用分解因式进

27、行计算及讨论 教学过程 一创设情境， （复习巩固） 前面我们已学习了因式分解概念， 提公因式法分解因式， 运用公式法分解因式的方法，并做了一些练习今天，我们来综合总结一下 二自主学习，合作探究 （一）讨论推导本章知识结构图 请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些? （1）有因式分解的意义，提公因式法和运用公式法的概念 （2）分解因式与整式乘法的关系 （3）分解因式的方法 能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难，给予帮助） （二）重点知识讲解 1举例说明什么是分解因式 如 15x3y25x2y20x2y35x2y(3xy 14y2) 把多项式15x3y25x2y20x2y3 分解成为

28、因式5x2y 与3xy14y2 的乘积的形式，就是把多项式 15x3y25x2y20x2y3 分解因式 学习因式分解的概念应注意以下几点： （1）因式分解是一种恒等变形，即变形前后的两式恒等 （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止 2分解因式与整式乘法有什么关系? 分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形如：mambmcm(abc)，从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法 3分解因式常用的方法有哪些? 提公因式法和运用公式法 三典例精讲 例 1 下列各式的变形中，哪些是因式分解?哪些不是?说明理由 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面

29、的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等学习必备 欢迎下载 （1）x23x4(x2)(x1)2； （2）6x2y33xy2xy2 ； （3）(3x2)(2x1)6x2x2； （4）4ab2ac2a(2bc)。 例 2 将下列各式分解因式 （1）8a4b34a3b42a2b5； （2）9ab18a2b227a3b3； （3） x2； （4）9(xy)24(xy)2； （5）x425x2y2； （6）4x220xy25y2； （7）(ab)210c(ab)25c2 例 3 把下列各式分解因式： （1）x7y3x3y3； （2）

30、16x472x2y281y4。 从上面的例题中，大家能否总结一下分解因式的步骤呢? 分解因式的一般步骤为： （1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式 （2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式 （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止 四.课堂检测 1把下列各式分解因式 （1）16a29b2； （2）(x24)2(x3)2； （3）4a29b212ab； （4）(xy)22510(xy) 2利用因式分解进行计算 （1）9x212xy4y2，其中 x ，y ； （2）( )2( )2，其中 a ，b2 五课堂小结 1共同回顾，总结因式分解的意义，因式分解的方法及一般步骤，其中要特别指出：必须使每一个因式都不能再进行因式分解 2利用因式分解简化某些计算 家庭作业 复习题 A 组 板书设计 1讨论推导本章知识结构图 2重点知识讲解（1）举例说明什么是因式分解 （2）分解因式与整式乘法有什么关系?（3）分解因式常用的方法有哪些?（4）例题讲解（例 1、例 2、例 3） （5）分解因式的一般步骤 2、课堂练习 教学反思 义识别分解因式与整式乘法的关系教学难点通过观察归纳分解因式与整被整除从上面的推导过程看等号左边是一个数而等号右边是变成了几个一下两个题中的形式变换吗三合作探究在中等号左边都是乘积的形式等