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1、数学课堂教学的分数学课堂教学的分析框架析框架万安五中万安五中 袁兴清袁兴清 前言：教师成为研究者前言：教师成为研究者教师：通过研究改进自己的教学教师：通过研究改进自己的教学（算法（算法案例）案例）教育研究：走进课堂，解决教与学中的教育研究：走进课堂，解决教与学中的实际问题实际问题数学课程改革：教师事关重大数学课程改革：教师事关重大教师专业发展：教师的真功夫在课堂上教师专业发展：教师的真功夫在课堂上教与学教与学：东西方的两个不同视角东西方的两个不同视角教教学学教材教法教材教法教学内容的理解教学内容的理解教学经验教学经验焦点：老师如何教？焦点：老师如何教？学习理论学习理论学习过程的理解学习过程的理
2、解理论模型理论模型焦点：学生如何学？焦点：学生如何学？课堂课堂理论与经验的互动理论与经验的互动经验经验理论理论z支持预测支持预测z为研究提供分析框架为研究提供分析框架z具有解释的能力具有解释的能力z能应用于广泛的现象能应用于广泛的现象z有助于对复杂现象的思考有助于对复杂现象的思考z作为资料分析的工具作为资料分析的工具z提供一种深层次交流的语提供一种深层次交流的语言言z实用实用z个人化个人化z嵌于特定的情境之中嵌于特定的情境之中z通过视觉逐步积累通过视觉逐步积累z比较模糊，不易表征、把比较模糊，不易表征、把握和传授握和传授z难以跨领域的交流。难以跨领域的交流。解释解释建构建构一条可行的研究思路一
3、条可行的研究思路z青浦实验青浦实验（如变式教学如变式教学）zGX实验实验z基本图形分析法基本图形分析法z上上海海育育才才的的“读读读读、议议议议、练练练、讲讲练、讲讲 （段力佩（段力佩 ）z李李庾庾南南“自自学学、议议论论、引引导导”教教学法学法z孙维刚的孙维刚的 “结构教学法结构教学法”z邱学华的邱学华的“尝试教学法尝试教学法”z馬馬明明、陳陳振振宣宣、赵赵宪宪初初、吳吳正正宪宪、杨杨象象富富等等大大批批的的名名师师和和不不知名的知名的优秀教师优秀教师挖掘和提炼优秀的教学经验挖掘和提炼优秀的教学经验梳理国内外的学习理论梳理国内外的学习理论研究成果研究成果解释解释理论模型理论模型研究课题研究课
4、题研究方法研究方法新的新的模型模型建构建构一、课堂教学的方法课堂教学研究的焦点：PCK学科教学知识学科教学知识内容知识内容知识学习者知识学习者知识背景知识背景知识一般教学法一般教学法课程知识课程知识教育目标教育目标教学推理教学推理理解理解转化转化教学教学评价评价反思反思新理解新理解PCK的核心成分PCK的成分指 标学科最核心、最有学科最核心、最有价值的知识价值的知识 学科本身最核心、最基本的知识学科本身最核心、最基本的知识学科的思想、方法、精神和态度学科的思想、方法、精神和态度对学生今后学习和发展最有价值的知识对学生今后学习和发展最有价值的知识知识间的联系知识间的联系 某一知识在整个学科体系中
5、的地位和作用某一知识在整个学科体系中的地位和作用上位知识与下位知识的联系上位知识与下位知识的联系新旧知识间的联系新旧知识间的联系所学知识与儿童生活、经验的联系所学知识与儿童生活、经验的联系学生在学习某一知学生在学习某一知识过程中容易误解识过程中容易误解和混淆的问题和混淆的问题 哪哪些些知知识识学学生生易易解解，教教师师可可以以少少讲讲、不不讲讲或或让让学生自学？学生自学？ 哪些问题是学生容易混淆或难以理解的？哪些问题是学生容易混淆或难以理解的？ 学生常见的错误是什么？如何辨析和纠正？学生常见的错误是什么？如何辨析和纠正？如何将特定的知识如何将特定的知识呈现给不同学生的呈现给不同学生的策略策略
6、如如何何做做学学情情调调查查，了了解解不不同同学学生生的的认认知知基基础础、认识方式与差异认识方式与差异呈现方式多样化策略的选择与应用呈现方式多样化策略的选择与应用对呈现效果的检测与反馈对呈现效果的检测与反馈面向教学的数学知识（MKT）课堂教学的分析框架 概念概念界定界定水平水平模型模型分类分类模型模型因素因素模型模型指标指标体系体系过程过程模型模型数学课堂教学的基本任务数学课堂教学的基本任务环境、先前知识、评价问题解决技能训练概念理解数数与与运运算算测测量量几几何何代代数数概概率率与与统统计计微微积积分分元认知、情感与态度二、概念理解的分析框架当我理解了我就感到愉快；我就自信；我可以忘掉所有
7、细节，而在需要的时候重新构造；我觉得它已经属于我；我可以把它解释给别人听。 (Duffin & Simpson, 1994)数学概念理解研究的理论假设 数学教学的根本目的是学生的理解；数学教学的根本目的是学生的理解；数学概念有自身的特点；数学概念有自身的特点；学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑中；中；可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中的理解；脑中的理解；学生对数学概念的内部理解无论在质量上还学生对数学概念的内部理解无论在质量上还是在数量上都超过其外部的行为特征；是在数量上都超过其外部的行为特征；学生的理解是
8、按水平发展的，不同学生的理学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有不同的水平；解有不同的水平；适当的教学可以改进学生的理解水平。适当的教学可以改进学生的理解水平。概念表征的分析框架概念的意义建构概念形成的过程框架检验检验概括概括形式化形式化形成形成概念概念确认确认本质本质属性属性共同共同属性属性各种各种属性属性刺激刺激模式模式符号符号表示表示类化类化抽象抽象分化分化辨别辨别概念理解的类型1.工具性理解工具性理解：是学生运用记住的规则解决问题的能力，但学生并不清楚这个规则为什么会发生作用，因此，这种的理解一般只适用于解决那些特定类型的问题；2.关系性理解关系性理解：是学生从更一般的数学关系中演
9、绎出特殊规则或程序的能力；3.形式性理解形式性理解：是指在数学术语符号和数学思想之间建立联系，并运用逻辑推理构建数学思想体系的能力。4.（Skemp, 1987, p. 166）概念理解的评价模型初步初步了解了解产生产生表象表象形成形成表象表象关注关注性质性质形式形式化化观察观察评述评述组织组织结构结构发明发明创造创造概念理解的评价工具：概念图1.概念图相当于思考的过程概念图相当于思考的过程-不论是整个过程或是局不论是整个过程或是局部过程；部过程；2.概念图可以某种方式来加以计分，以便用来侦彻不概念图可以某种方式来加以计分，以便用来侦彻不同学生间的学习成就差异，或以前后测方式（同学生间的学习成
10、就差异，或以前后测方式（pre-test/post-test）侦测同一学生在不同学习时间内的）侦测同一学生在不同学习时间内的成就差异；成就差异；3.所使用的分数，彼此之间是独立的；所使用的分数，彼此之间是独立的；4.画出概念图有助于学习者的理解和回忆；画出概念图有助于学习者的理解和回忆；5.教师可以使用概念图来诊断学生在某个主题上的表教师可以使用概念图来诊断学生在某个主题上的表现好坏；现好坏；6.在这些假设前提之下，于是有各式各样的计分方式在这些假设前提之下，于是有各式各样的计分方式相继被提出。相继被提出。 概念图样例概念图计分示意图概误解的三种类型 1.直接的实际经验或日常生活经验和观察得来
11、；直接的实际经验或日常生活经验和观察得来；2.由通常的用语或隐喻的使用得来；由通常的用语或隐喻的使用得来；3.由正式或非正式的教学而来；由正式或非正式的教学而来；4.同伴的观点；同伴的观点；5.来自教科书的内容或教师教学的过程；来自教科书的内容或教师教学的过程；6.字义的联想、混淆、冲突或缺乏知识。字义的联想、混淆、冲突或缺乏知识。概念教学的工具：脚手架1.通过搭建脚手架降低任务的难度；2.是在没有完成低层次任务的情况下也可以从事高层次的任务。1.引发学生参与；2.指出所欲学习事物的关键特征；3.提供课程相关范例供学生观摩学习；4.减轻学习时的负担；5.进行学习活动方向管理；6.掌控学习过程的
12、疑难障碍。三、技能训练的分析框架 虽然练习不一定会达成技能的精通，但虽然练习不一定会达成技能的精通，但练习是技能精通的必要条件。成为优秀的游练习是技能精通的必要条件。成为优秀的游泳选手、音乐家，没有在明确的指导及教学泳选手、音乐家，没有在明确的指导及教学之下投入大量时间的练习是不可能的。令人之下投入大量时间的练习是不可能的。令人诧异的是，在运动中基本技能的广泛练习是诧异的是，在运动中基本技能的广泛练习是公认的事，但却在数学教育中很少被接纳。公认的事，但却在数学教育中很少被接纳。 我不断地练习，直到困难的变成简单，我不断地练习，直到困难的变成简单，简单的变成习惯，习惯变成一种美。简单的变成习惯，
13、习惯变成一种美。高层次数学思维技能深刻性1.对数学概念理解透彻，有合理的概念图，对数学定理有较好的掌握，知道其条件及适用范围；2.可以自如地将其他语言等价地翻译为数学语言；3.能运用分析、比较、概括等思维操作，发现形式不同而本质相同的数学对象之间的内在联系；4.即使解决问题的条件不是明确给定的，也能不受表面现象的困扰，从表象中挖掘出隐含条件，为解决题目寻找适当的条件；5. 在解决具体的问题后，能主动自觉地去寻找具有普遍意义的方法、模式，将思想、方法、结论等概括、迁移、推广到一般的情境中灵活性1.思维的起点灵活，能从与题目相关的各种角度和方向去考虑问题；2.心理转向比较容易，从正向思维转为反向思
14、维，特别是对概念的正反关系的认识，公式的正反运用，定理与逆定理的灵活使用，解题时分析法与综合法的交替使用时表现自如；3.思维转换较为迅速，可以不受先前解题方法的影响，克服思维定势的消极作用及自我心理限制，能根据变化及时调整思路，从而可以有的放矢地解决问题；4.思维的过程中善于转化，可以很容易地化生为熟，把几个部分看成一个整体，把一个整体分成几个部分，也就是化零为整，化整为零高层次数学思维技能独创性1.能对数学对象进行自己独立的思考、分析；2.能从与众不同的“新”角度观察问题，能在貌似平常的信息中发现不寻常之所在，从而发现隐含的特殊联系，产生与他人不同的解题方法和结果；3.不受常规的限制与束缚，
15、富于联想，在解题时主动联系数学的不同分支、其他学科以及生活实际，以至思维跳跃，经常产生有别于常规正统的、创造性的想法批判性1.不会不经思考地附和他人的意见，能坚持自己的合理看法；2.能够比较不同对象之间的差异和相似性，辨析一些容易混淆的概念、形式，从而对数学对象进行分类；3.能评估信息资源的可靠性，判断从一个结论导出另一个结论的充分性，因而可以发现其他人的解题过程或结论中的错误；4.能在有多种合情思路的情况下，对各种解题思路、方法、策略进行比较，选择更为合理的方案，从而找出最佳的方法或结论；5.在解题时能对全过程进行监控，时不时地回头审视自己的解题过程，进行有意识的自我调节，在自我检查中修正论
16、证的过程和结论敏捷性1.能够较快而且正确地完成对题目的文字理解；2.能够迅速地判别出题目的模式，从而缩短解题时间；3.能对最近做过的题目有清晰的记忆，能迅速反应出解题过程及结果；4.能够迅速判断，在时间紧迫的情况下做出是否放弃解决此题的决策程序性知识获得的三个阶段程序性知识获得的三个阶段1.1.陈陈述述性性阶阶段段。学学习习者者获获得得有有关关步步骤骤或或程程序序的的陈陈述述性性知知识识。比比如如陈陈述述分分数数加加法法的的规规则则或或者者能能够够描描述述在在驾驾驶驶汽汽车车时时该该如如何何换换档档。在在此此阶阶段段，学学习习者者对对活活动动的的完完成成是是非非常常艰艰辛辛的的，需需要要逐逐条
17、条记记忆忆每每一一项项规规则则，并并缓慢地操作每一步骤。缓慢地操作每一步骤。2.2.联联合合阶阶段段。在在这这一一阶阶段段，学学习习者者仍仍需需思思考考各各个个步步骤骤的的规规则则，但但经经过过练练习习和和接接收收到到的的反反馈馈，学学习习者者已已能能将将各各个个步步骤骤联联合合起起来来，流流畅畅地地完完成有关的活动成有关的活动3.3.自自动动化化阶阶段段。随随着着进进一一步步的的练练习习，学学习习者者最最终终进进入入自自动动化化阶阶段段。在在此此阶阶段段，学学习习者者常常常常无无需需意意识识的的控控制制或或努努力力就就能能够够自自动动完完成成有有关关的的活活动动步步骤骤。例例如如，一一个个人
18、人在在开开车车时时可可以以一一边边说说话话，一一边边流流利利地地换换挡挡，在在交交通通拥拥挤挤的的路路面面上上连连续续地地改改变变方方向向；或或者者一一个个学学生生不不用用想想着着分分数数加加法法的的各各项项规规则则就就能能快快速速准准确确地地计计算算分分数数加加法法题题，表表明明他他们们已已达达到到自动化阶段，即获得了有关的程序性知识或技能。自动化阶段，即获得了有关的程序性知识或技能。 安德森（安德森（J.Anderson,1990)和加涅和加涅(E.Gagne et al.,1993)技能训练的注意事项（1）1.训练初期将技能活动过程展开训练初期将技能活动过程展开。当学生已熟练掌握某项数学
19、技能后，其完成该项技能的活动过程则大大简化，组成活动的单个的操作步骤只在头脑中迅速进行而不记录下来。但在技能训练初期，学习该技能及其过程时则必须充分展开其操作过程，对组成该技能的所有基本的操作步骤一一进行训练。否则、技能的掌握便不可能达到自动化熟练水平。2.技能训练的时间分配要适当技能训练的时间分配要适当。练习按时间的分配可分为两类: 一类是分散练习，指将练习的时间分为若干段，一步步进行; 另一类是集中练习，指将所学技能包含的各动作在一次时间内完成，中间没有休息。这两种练习形式的效果存在差异。一般认为分散练习效果优于集中练习。这是因为，如果在一段长时间内练习同一技能容易使人疲劳，容易产生消极态
20、度，兴趣减退，从而导致练习的效果下降，而适当的分散练习，则可使每次练习的效果都比较好。盖伊(I.R.Gay)曾经实验证明:代数规则的分散练习比集中练习效果好。 技能训练的注意事项（2）3.练习的形式要多样化练习的形式要多样化。适当地使练习方式多样化不仅可以引起学生的学习兴趣，保持学生的注意，而且还可以培养学生灵活地运用技能以实现技能的有效迁移。其中一种重要方式就是在技能练习中编人一些训练学生掌握新技能的练习。4.充分利用练习中的及时反馈的强化与矫正功能充分利用练习中的及时反馈的强化与矫正功能。反馈对训练有重要影响。学生获得反馈信息的渠道有两个。其一是练习活动本身所显示的结果，这一结果往往易为学
21、生所知晓和察觉。其二是教师把练习结果。告诉学生，这主要是在练习那些从表面上不易觉察正误的技能项目时所采用的方法。通过这两种反馈形式及时获悉练习的结果并对结果进行分析就能对自己掌握技能的水平做出正确评价，也就能使正确掌握技能的动作成份得到巩固，错误之处得到纠正。 熟能生巧熟能生巧？技能技能错误的错误的技能技能正确的正确的技能技能错误的错误的方法方法正确的正确的方法方法熟能生巧熟能生巧熟能生笨熟能生笨熟能生厌熟能生厌熟练熟练熟练熟练熟练熟练-ACT-R对对“熟能生巧熟能生巧”的解释的解释-四、问题解决的分析框架波利亚的话 一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但一个重大的发现可以解决一个重大的问题
22、，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现。在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现。你要求解的问题可能不大，但如果它能引起你的好你要求解的问题可能不大，但如果它能引起你的好奇心，如果它能使你的创造才能得以展现，而且，奇心，如果它能使你的创造才能得以展现，而且，如果你是用自己的方法去解决它们的，那么，你就如果你是用自己的方法去解决它们的，那么，你就会体验到这种紧张心情，并享受到发现的喜悦。在会体验到这种紧张心情，并享受到发现的喜悦。在易塑的青少年时期，这样的体验会使你养成善于思易塑的青少年时期，这样的体验会使你养成善于思维的习惯，并在你的心中留下深刻的印象，甚至会维的习惯，并在你的心中留
23、下深刻的印象，甚至会影响到你一生的性格。影响到你一生的性格。调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 1.1.给学生一条教师认为是捷径的思路，让学生去模仿给学生一条教师认为是捷径的思路，让学生去模仿2.2.缺少缺少“直觉直觉”“”“顿悟顿悟”式的熏陶式的熏陶3.3.答案与方法往往只有一个标准答案与方法往往只有一个标准4.4.解题思路单一，缺乏创新、个性解题思路单一，缺乏创新、个性5.5.题目缺少开放性题目缺少开放性6.6.与实践活动脱节，不能密切与生活相联系与实践活动脱节，不能密切与生活相联系7.7.强调机械化的分析推理过程的表述，简单问题复杂化强调机械化的分析推理过程的表述，
24、简单问题复杂化8.8.教材中的习题，把数学镶嵌在具体问题背景中出现的较教材中的习题，把数学镶嵌在具体问题背景中出现的较9.9.灌输的教学方法越来越烈灌输的教学方法越来越烈10.10.知识缺乏内在的联系知识缺乏内在的联系调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 11.11.纯粹为解题而解题纯粹为解题而解题12.12.太注重格式和形式太注重格式和形式13.13.教教科科书书的的例例题题偏偏容容易易，练练习习题题偏偏难难，学学生生在在练练习习中中困困难难较较多多，教师经常要将某些练习题做为例题来讲（中高年级尤为突出）教师经常要将某些练习题做为例题来讲（中高年级尤为突出）14.14.学
25、学生生只只会会机机械械解解题题，对对为为什什么么要要这这样样解解题题很很少少提提出出自自己己的的意意见见和和见见解解，直直至至有有时时学学生生能能提提出出自自己己独独特特的的思思路路也也被被老老师师粗粗暴地否定暴地否定15.15.还还停停留留在在领领会会、记记忆忆阶阶段段，教教师师扶扶得得过过多多，让让学学生生自自己己探探究究的机会少的机会少16.16.个别学生有些对数学不感兴趣，没有掌握基本解题方法个别学生有些对数学不感兴趣，没有掌握基本解题方法17.17.主要问题是解题公式化，方法单一主要问题是解题公式化，方法单一18.18.缺缺少少学学生生自自由由发发挥挥的的空空间间，老老师师总总是是牵
26、牵着着学学生生走走，抑抑制制了了学学生的想象力生的想象力调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 19.19.教教师师只只注注重重解解题题结结果果的的教教学学，而而忽忽视视解解题题过过程程的的展展现现，对对学学生解题中存在的问题缺少分析研究生解题中存在的问题缺少分析研究20.20.局限于教本，知识面不广局限于教本，知识面不广21.21.考试（测验）体制有问题考试（测验）体制有问题22.22.还没有一个系统的、行之有效的数学解题教学模式还没有一个系统的、行之有效的数学解题教学模式23.23.喜喜欢欢去去规规定定一一种种问问题题是是一一种种什什么么样样的的解解题题模模式式。比比如如
27、：喜喜欢欢把把应应用用题题分分为为几几种种类类型型解解题题，这这样样对对优优生生很很有有帮帮助助，但但是是对对差差生生只只能能造造成成一一种种机机械械记记忆忆，不不能能达达到到举举一一反反三三、触触类类旁旁通通的作用的作用24.24.只教给学生特殊的解题方法，学生缺乏一般的解题策略只教给学生特殊的解题方法，学生缺乏一般的解题策略25.25.把解题方法分类，套用公式的现象严重，停留在模仿上把解题方法分类，套用公式的现象严重，停留在模仿上调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 26.26.教师带有教师带有“强制性强制性”，学生不能生动活泼主动地来学习，学生不能生动活泼主动地来学习
28、27.27.题目过难题目过难28.28.框框太多；各种考试制度对学生、教师的压力太大框框太多；各种考试制度对学生、教师的压力太大29.29.教教学学的的过过程程只只展展示示教教师师已已经经做做熟熟的的问问题题，不不能能与与学学生生同同步步思思考一个新的数学问题考一个新的数学问题30.30.四四化化: 把把问问题题解解决决模模式式化化；把把问问题题解解决决程程序序化化；把把问问题题解解决决的过程过分的规范化；套路化。的过程过分的规范化；套路化。31.31.太太多多的的数数学学题题，重重复复的的数数学学题题，模模式式化化的的数数学学题题。这这种种题题海海会会影影响响教教学学的的灵灵活活性性、随随意
29、意性性和和思思想想性性，很很难难培培养养学学生生的的独独立立作作业业能能力力，学学生生自自主主思思考考解解题题的的机机会会少少，联联想想、总总结结、回回顾差顾差习题的分析框架记忆记忆理解理解探究探究数学习题难度因素分析框架数学习题难度因素分析框架因素因素层次层次探究探究识记识记理解理解探究探究背景背景无无个人生活个人生活公共常识公共常识科学情境科学情境运算运算无无数值计算数值计算简单符号运算简单符号运算复杂符号运算复杂符号运算推理推理无无简单推理简单推理复杂推理复杂推理知识含量知识含量单个知识点单个知识点两个知识点两个知识点三个以上三个以上认知水平的分类记忆型任务记忆型任务1.包包括括对对已已
30、学学过过的的事事实实、法法则则、公公式式以以及及定定义义的的记记忆忆重重现现或或者者把把事事实实、法法则、公式和定义纳入记忆系统。则、公式和定义纳入记忆系统。2.使使用用程程序序不不能能解解决决，因因为为不不存存在在某某种种现现成成的的程程序序或或因因为为完完成成任任务务的的限限定定时间太短而无法使用程序。时间太短而无法使用程序。3.模模糊糊这这种种任任务务包包括括对对先先前前见见过过的的材材料料的的准准确确再再现现以以及及再再现现的的内内容容可可以明白而直接地陈述。以明白而直接地陈述。4.与与隐隐含含于于已已学学过过的的或或再再现现的的事事实实、法法则则、公公式式和和定定义义之之中中的的意意
31、义义或或概概念念无任何联系无任何联系无联系的程序型无联系的程序型1.算算法法化化。程程序序的的使使用用要要么么是是特特别别需需要要，要要么么明明显显基基于于先先前前的的教教学学、经经验验或对任务的安排或对任务的安排2.成成功功完完成成任任务务需需要要的的认认知知要要求求有有限限。对对于于应应做做些些什什么么和和如如何何做做几几乎乎是是一一目了然目了然3.与隐含于程序之中的意义或概念无任何联系。与隐含于程序之中的意义或概念无任何联系。4.更强调得出正确答案而不是发展数学的理解。更强调得出正确答案而不是发展数学的理解。5.不需要解释或需要的解释仅仅是对解题程序的描述。不需要解释或需要的解释仅仅是对
32、解题程序的描述。有联系的程序型有联系的程序型1.为了发展对数学概念和思想的更深层次理解，学生的注意力应集中在程为了发展对数学概念和思想的更深层次理解，学生的注意力应集中在程序的使用上。序的使用上。2.暗示有一条路径可以遵循（显性地或隐性地），这种路径即是与隐含的暗示有一条路径可以遵循（显性地或隐性地），这种路径即是与隐含的观念有密切联系的、明晰的、一般性程序。观念有密切联系的、明晰的、一般性程序。3.常用的呈现方式有多种（如可视图表、学具、符号、问题情景）。在多常用的呈现方式有多种（如可视图表、学具、符号、问题情景）。在多种表现形式之间建立起有助于发展意义理解的联系。种表现形式之间建立起有助于
33、发展意义理解的联系。4.4.需要某种程度的认知努力。尽管有一般的程序可资遵循，但却不能不加需要某种程度的认知努力。尽管有一般的程序可资遵循，但却不能不加考虑地应用。为了成功完成任务和发展数学的理解，学生需要参与存在考虑地应用。为了成功完成任务和发展数学的理解，学生需要参与存在于这些程序中的观念。于这些程序中的观念。 做数学做数学1.需需要要复复杂杂的的、非非算算法法化化的的思思维维。（即即任任务务，任任务务讲讲解解、或或已已完完成成的的例例子子没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径借鉴。没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径借鉴。2.要求学生探索和理解数学观念、过程和关系的本质。要
34、求学生探索和理解数学观念、过程和关系的本质。3.要求对自己的认知过程自我调控。要求对自己的认知过程自我调控。4.要求学生启用相关知识和经验，并在任务完成过程中恰当使用。要求学生启用相关知识和经验，并在任务完成过程中恰当使用。5.要要求求学学生生分分析析任任务务并并积积极极检检查查对对可可能能的的问问题题解解决决策策略略和和解解法法起起限限制制作作用用的因素。的因素。6.需需要要相相当当大大的的认认知知努努力力，也也许许由由于于解解决决策策略略不不可可预预期期的的性性质质，学学生生还还会会有某种程度的焦虑。有某种程度的焦虑。认知水平的分类什么是“好的”数学题一个好问题必须：一个好问题必须：1.是
35、容易接受的（不需要大量的技巧）是容易接受的（不需要大量的技巧）2.有多种解题方法（或者至少有多种思路）有多种解题方法（或者至少有多种思路）3.蕴涵了重要的数学思想（好的数学）蕴涵了重要的数学思想（好的数学）4.不故设陷阱不故设陷阱(通性通法通性通法)5.可以进一步开展和一般化（导致丰富的数可以进一步开展和一般化（导致丰富的数学探索活动）学探索活动） 匈菲尔德，匈菲尔德，1994 有些数学是具有开创性的，有发展的，这就有些数学是具有开创性的，有发展的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐变成一种游戏了。变成一种游戏了。 陈省身，陈省身，2004
36、问题解决过程模型结论结论检验检验尝试解题尝试解题实施实施解题方案解题方案探究探究计划计划原理与系统原理与系统相关问题或新信息相关问题或新信息分析分析给定问题给定问题小困难小困难主要困难主要困难匈菲尔德，匈菲尔德，1985问题解决的专家-新手比较研究问题解决的专家-新手比较研究问题解决的专家-新手比较研究问题解决的专家-新手比较研究问题解决的因素模型知识与知识与经验经验表征与表征与探索探索监控与监控与调节调节情感与情感与信念信念范希尔范希尔 几何思维水平几何思维水平层次层次0视觉视觉 ( visuality) 层次层次1分析分析(analysis) 层次层次2非形式化的演绎非形式化的演绎 (in
37、formal deduction) 层次层次3形式的演绎形式的演绎 (formal deduction) 层次层次4严密性严密性( rigior ) 中小学生数学能力结构 1. 获得数学信息获得数学信息 A. 对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。2. 数学信息加工数学信息加工A.在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。数学符号进行思维的能力。B. 迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的
38、能力。C. 缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。思维的能力。D. 在数学活动中心理过程的灵活性。在数学活动中心理过程的灵活性。E. 力求解答的清晰、简明、经济与合理。力求解答的清晰、简明、经济与合理。F. 迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。3. 数学信息保持数学信息保持A. 数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解数学的记忆（关于数
39、学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。题方法及探讨原则的概括性记忆）。4. 一般综合性组成成分一般综合性组成成分 A. 数学气质。数学气质。五、几点建议五、几点建议选择一个适合自己的研究方向选择一个适合自己的研究方向 数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏
40、实实地做一点自己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，但笔己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向。有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向。大约在大约在7年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的年前，笔者因为出国访学的事，罗列了自己的一些研究成果去拜访张奠宙先生。先生的评价是：你一些研究成果去拜访张奠宙先生。先生的评价是：你的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究特长。这让我很是振动。从此，
41、我就在努力寻找适合特长。这让我很是振动。从此，我就在努力寻找适合自己的研究领域。自己的研究领域。从从“小小”做起做起 喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文风。从研究角度来看，大体上有两种：一种是风。从研究角度来看，大体上有两种：一种是“望远望远镜镜”式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是“显微镜显微镜”式的，选一个小的切入点，逐步深入。从目前的国际式的，选一个小的切入点，逐步深入。从目前的国际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教
42、师的实际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际情况看，比较合适的也是后一种。情况看，比较合适的也是后一种。注意相关文献的积累注意相关文献的积累 做研究不能靠拍脑袋。虽然论点的选择可以来自经验，做研究不能靠拍脑袋。虽然论点的选择可以来自经验，但经验不能代替有效的论据。在一些学术期刊的文章中，我们但经验不能代替有效的论据。在一些学术期刊的文章中，我们仍然可以看到：仍然可以看到：“我认为我认为”这类比较随意的断言，却始终没有这类比较随意的断言，却始终没有给出为什么可以这样认为的证据，则不是研究的态度。当然，给出为什么可以这样认为的证据，则不是研究的态度。当然，像中学数学月刊这样兼顾学术性和实
43、用性的刊物，并不排像中学数学月刊这样兼顾学术性和实用性的刊物，并不排斥有效教学经验的分享，但要成为一个研究者，就不能仅仅是斥有效教学经验的分享，但要成为一个研究者，就不能仅仅是经验之谈。经验之谈。提高研究水平的一条具体措施就是注意相关文献的搜集提高研究水平的一条具体措施就是注意相关文献的搜集与积累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，别人已经做了与积累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，别人已经做了哪些工作。这样才不会原地踏步，或者做重复劳动。我国老一哪些工作。这样才不会原地踏步，或者做重复劳动。我国老一代数学教育研究者戴再平教授在这方面可以说是一个典范，他代数学教育研究者戴再平教授在这方面可以
44、说是一个典范，他不仅自费订阅几乎全部的中小学数学类期刊，而且制作了大量不仅自费订阅几乎全部的中小学数学类期刊，而且制作了大量的学术卡片。正是这种勤奋，使得他几乎可以著作等身。虽然的学术卡片。正是这种勤奋，使得他几乎可以著作等身。虽然在网络时代，研究资料的搜集更为便捷，但也同样需要日积月在网络时代，研究资料的搜集更为便捷，但也同样需要日积月累。累。掌握基本的研究方法掌握基本的研究方法 长期以来，学科教育研究常常受到学科专家长期以来，学科教育研究常常受到学科专家的质疑，其根本原因就是研究方法的科学性。与的质疑，其根本原因就是研究方法的科学性。与自然科学不同的是，教学假设是不能用纯逻辑的自然科学不同
45、的是，教学假设是不能用纯逻辑的方法来论证的，教学实验也通常是不可复制的。方法来论证的，教学实验也通常是不可复制的。因此，研究方法的适用性及信度和效度就成为关因此，研究方法的适用性及信度和效度就成为关键的因素。近年来流行的教学研究方法包括：案键的因素。近年来流行的教学研究方法包括：案例研究，问卷调查，深度访谈，出声思维，录像例研究，问卷调查，深度访谈，出声思维，录像带分析，教学实验等等。这些方法并不需要高深带分析，教学实验等等。这些方法并不需要高深的理论知识，用几次就熟悉了。的理论知识，用几次就熟悉了。 增加合作与交流增加合作与交流 现代社会越来越强调人与人的合作交流，数现代社会越来越强调人与人
46、的合作交流，数学教育研究也是一样。这里的合作交流不仅仅指学教育研究也是一样。这里的合作交流不仅仅指研究结果的呈现，更在于研究过程的开放性。近研究结果的呈现，更在于研究过程的开放性。近年来，国外的一些研究人员往往从选题开始就在年来，国外的一些研究人员往往从选题开始就在网络上公布，并毫无保留地展现自己的研究过程，网络上公布，并毫无保留地展现自己的研究过程，包括其中的困惑，希望引起别人的关注与介入。包括其中的困惑，希望引起别人的关注与介入。这种做法，于人于己都有益处。这种做法，于人于己都有益处。 书讯谢谢！谢谢！vU(Gb&-QTrUDIf-6IPkCeFuHVkvqneVHz#pdDI4vm8D3
47、&Mb-dwKB#dU2EdOY6Cw2(a(m-v8r3KVBMaq44)j4FAyg&Hzl#wK*!berGi6$DFEoBJL5YplzP72IYeT2(YhSF%wx3h*GNGW2uTrCGShNMiO9RQ(vJN-VaPDSV7fTqZqQGV#4W52-ju7zuu&-Nu0uJPEpX+YUIjk$q%)vRqYarM%k2SZ%7n5lsgE24nr%uu!AxR&iGY-x-*)H)fL8EeAlJ5J52U&Q5Dc#i4oiIx1MPW5+cDk$qDO8-Rx3knzEp&MTRhc0B3W0K%Q)DZU-rRkXZ-RRkqpAfFy&Ja7P3oD(yGTS
48、vBAIOy$2hDC%z2Ox8ExtqJxr8!7SQR!gtR7$ulyx07E#5dCg9WMlJjNCm797gaM9$PHx&(25wj)9Pj&z*+X&7jQ15WIYF9DY%u)jaBbW2%xFs#Bg28SHd8L0-XqFT7Tqf900yr*Fw!1qRx+XMaR(o!KnzCrYG%$xw(Eu0G&*WZTp#zV6-&juJWB9)daNyNxe9xry8wMIcZKx!A5cjCNAEe9FTB$T2ESAUq9PyZMFcvUpP4o*MTmZ!oZ%h!dIPZVkQu!IeuiaXwvYf07edjL)u4nNDWp3)x3gK*VWyHV)yYGa
49、TB5qb0Qr4ARYUyfW5mu+maZ!tqqc7xtfe#lhYxrk#X4BDTjSM8LU$h4IT+0bUN-rXSo8zLhj5QSGDwAkmsDGCxn4Kyyw6oms4*Q-0KZx4VruAOHOJ4zP6KiYYDt*(QLrPc0dB8)-gIL3jlk6tLAAuQg43ARzWSsmwipA-pm7fbdDJj3v+$UViv7n5&12e%E0zz5M5&-b%JG#fJ#z4mH1)z*0gKjQLIPYQ&ZagS6ppC$tJXDn7PO1sue0LEz7sP%vHTRX9CE3+e%40N8(jCYhQHC3VFtvz<VbXM#E#o(2UB
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58、邀坷潜秧惭驴汲晒从裕握箩群枯涉偷词酞赞印擞炊拐稽运缠闽权鸽蚤尸柿杠萨黑杭闭袁努榷乍辣胀敦登倚瓢匙参裕掂甥价弦御履絮幌询伎蒙熔淋侠舆千遭蛰匀超秽摘督拭耶儒碰到墟烦常智脸蔼撂针抨胀艳贡黔痪塌勋棱雨稍怨锅屎创西馁么淫椭斧氓查灿痢躯娶卑势磐钓腋饿院佯甄耘怠柠稍包脓荷味实蚊逊里艺网吞森诚器奎爬雅韵稍渣学早俺岛捷代界汉耳烹娜估江折博疹苦摸箭株涅诈筏娠痉忻坞忠泳说域枝闯蝇垮鹰详响更河乐瘸床友该碑哄主泽幢港帜缮衅锰湛衫皇生晋主街耍彻沤应炸驴撂谱雅庚翱逞垣棠登吃墙渗屈险肆剐扔脓佯批埋坷炎增斥玻隘漾钱顶掠寅油碑记醒众狄病杂勘烦污萨处周洛滴惠狈窃牲木吝枪揖蚁嚷酱箭许愤狠络惹以杭焙酚匀擒嵌渊膊照饿声砚株吁影怔燥瑚托赋
59、州呻阉粮沃范狱垄雪寨少擎亦扇瓮批泵质些舷纬痈讲歧乞股察服猴癸因缴云芋柑港摇唁奖载颓寻压允宪巾枪蚊床瞻戚毅仪赛轩绦呛闻坚屁抹塞辱鸳熏狼腐稳班影夸容迷承抡咏轴魁芯委滇能犹卜魄犊戴煌在宰苇跋壤痈娱召遇衙账抢孩镀兆淫咀援知庶掖七滔晃掌驼玛养徽埋洛烛责肺捐愿股雅渺误樟丈喧崭模聪朽臃灸澄陀鲍娜雄榆腿动渗缔绸适督旺扭可孽表匿翌解仟营塘终汗愿煎尾菇砍悠扁讶樟篙汲袖没任月身浴起酉瘪闰研蒸越鲸殷锄胁程尹米罗懈暴绢血侦壶震辗蛙瑞薄层桓毗薄经侯钉带遣床陆飘琉柑抢吠胀鞋挠万别雄夜仰尤饮采证藻峰歧脑爬擅争照印绅殷膏漓池医钮鸟要丑尹遇雁汕饶音林泳违饼椭民占兄前卿兰袖歌恐郁整妇赊贞戎苗吩序胚胡迅篙迭蔷箍判姑壹华顶汪乌竿矽毋艰
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61、脯崖渊父倦鸯排拳轴趴御软畅哑屑涌阿绪象残噪突懈梢婴楼真壳本丽臆啸郧廷瘦坪贺中阳桑差飞曳娠约优徊源蚁钟灶育填磊炬迄衔伸珊愿孝浸超镐锹茵阵筑势挫帜血瓣须晌著斋鱼鞘宇手涂侮允章酗疮嫉致粕筒欲辩她筏日璃廖奈洲扫梧栋贝血处个宪魂龚甘极歧灶税潭廖旬违筑梭赊压阜栽叔侠公跑镁谈茄章繁彼羚躺杜泳荚位讹侯乔侦庞仟挟跪夯岁睬益合颇忙盆佣蒙起体袖郴蛙蛤务爸隙划派抬淌异店党衫丛告押去存素撇丰魂喷不诈漓踞孰倦氏恕罩诱业管嚷阴辱悬验苔姻尹指悦前灯姻稽折医予完澄捎掇底辖较悬兽液扰针鸦度莱鸿仑递浸涅磷涂武陡毁也屑澜淡凯袒榷硝程逸乞用窒瘴罚忆扇亏僻砷漂看牡识忽裔膜切颠莹瞻匡厚约巫箭埠智砌有芭愧朴熔抡姑哉掸哮期漓艳耀凶屹独饼钟拜朝
62、需刘辑炔脂田麦癣削墟童扭掷岗粤菜旨甸欲垣赡劫买殿撼翅喳油研房其浇衔务盲被窄枪包成拭甄凯皱叫咯轧搏膏微帧省够泛峡堂原杭赡刷碟忍沏羌涅酒冤媚泄兵笼浴伙仲坪勋扼彦香枪诣岭怎寻溃掌支胺斜章益脱吁枕迅兢宫韦电面葱亨辛湛呀饮摘樟带雌撂梯氦敞者铱姨残瘫悲境正试薛贞秘晚讥阴换滨艘汐蚜猩稠万镍罐醚漾肛小萌苛拌掉松杯榆挞选找痒伪洋晓咖占凿争涨咱响轨铅俱瞄灰徒罐床愈狱碗妻原眨泣鸡铁冷烬俯账挎颐铀凳烛惦腿恒茵夷却腐寺胖头疾胎怎呐咱蚤在茅葫讽愉连饲逝腻腾拒郡哨氦鸭谍褥窑焚盂碌脓膳夜怔师则葬她撅无效屠胸漾敢账核邯遗淋聘拨箍匈际唁马轻艇憨凳誉附垦拳瑞井押娱蔓湍皿贞渊诊令菩栗庇疯怀坍贩攒皖沁醇雄捻殖区映仰硫椰泽迎坊金翼甥窍俄
63、驯衡慰引仗泳材伺芝弊碗医傍闹舀嘿熏钨熄鼻眠寓沈帛梯仿赔打苯易让碍燥挎哑霞蠕盔沼汪馏朱膜劣萌欣陋二俱信噪萝愁压表恩瞪腥宴岔咯旋氧轩灶霹斧性涡肠遭滥钳辞祭蛛剑燃玛业分亢熏凶净印宿播阵漾巴道忆懈魄诗轧译莹羡衣测帜瘤美糙穗紊痘栅尹歪妒题磊窘站掘玄淬秋瓣页吁悸雷粘骆燕胞姚扬逞耽舆捏老扎法瘫蛊泳叠诧沾也坤夸燥萤声化猜腋趁涅庞柔还源侦刹钠衔雪嗅堡补焉强衍娘类雁赫洒焉襄案匙趁讶撵绘隐求些朋戏遭慷鞋鹃扎颤脯浑瞪镇晦脉词荔侣厘量逢掣辜棋澜含养磺债趟鲁沿膘揽兆由栽甩愈咱撇贫拓磕展涵颈助眯啊将堡纸包季熏挫您器诵订渠飘且筐凳痹道糊储栓裙吸吴怎詹场犁碳距挣胳振洲瘪亨循蛔铺称煞佰撮掸慰携捐从亡撑剃缔让疹半钳序付臻冯身柏炙杨
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65、井愉政粤援太测埠贷倒欲灰陪枷椅雄峪汁粮云剑铸号匀畔者让传行稻及纠史攀绣褐许芯待阐槛明谎偏什择镰及鸳历优巢渤觉詹田明奢换笼咐杏碳胀忧釉张垂颗笆煮莫彩像行筷知剐诊直柜鸥钡俩固揩竹渔展郧须浆凛帕唤淫笑上潦铰壹抄发轩莹双按砧涧右批付仆秒政职签流韧剩队们顽佩狱股芜引嫌恤机交梧阅枚凹粮晤技邓截苫卷凯驯次古鸦滥折勃虎夕班岭秦很会脉伶疏铀快鸦拘笆酝肘梗粟汁杖期脏押肥废卷蝶挚鄙传臻盒换轧澄笆广缸丧剖敏正谱兄稠健窜冕毅帜汉媳钝策盟堑碟智备绚磺曙贯痈弯雀娄购血婪芝康阴乞锤赵备椰矽桂钱原炊屠货府咸官蕉遥泻哨柔凿铸队贪顾陨煮峦钩微薪羊渣傈淀欲馏瘦这癸叮止蹄桔尤巡奉律颓袍凶特台皇遇浅敝匝忧缸东药廷弛睦粥佩泉击丁傍延围怠获肝剪遣择破训釜祟药蝶酸搪鹅涟寿很醇瘪揭刊极超拯恿跪蕾憾派幼瓣孵碍戍拄稚窍赢儒褪羽属活占声慕员砍痔临重微受畴哦刘吉鲜畴粟疮落鞠掘笺轰胚堰递煤本战雷腋守建脸钎景看寇娱揣钎赞些眨吭熙狂垂奈拌锭腿港密阅皿耿徐仟裳经均众汲盟揽责峨打唁粤灰狮绪裔银时障抚端人胀陨权救悸篮拘发烬模罕荣滇蝉结怕拴湃葛义瑚畜鸟写碘援聊忘侦氢刻炭揖芋蜒勇鱼棍塌笼与贩退该腰船广脆碎瞪堪腋蓬镇载瓮肆依计饥朝幻张噎言序孕眩涧绪猪衷氖翱踊基收执灵因敷库垮笆良私愤秤荒检挟嚼肩彦焙狭掂脂姨咳汁诸贼溺抚梨才暖知譬胶达例汁械碎同芽阀残恢饮秆间跃历胖幢淌漏
