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1、正态分布及其应用Normal distribution and its applications 统计学中最重要的理论分布之一 .正态分布(Normal distribution) 法国概率论学者狄莫弗 德国数学家Gauss 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution23.4p为什么如此摆放奖品？p平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。 高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验 正态分布的背景一个街头赌博游戏.5Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8这条曲线就是我们将要介绍的正态分布曲线。这条曲线就是
2、我们将要介绍的正态分布曲线。正态分布的背景高尔顿钉板试验.612413214014815616400.100.200.300.40频率图 某市120名12岁男童身高(cm)的频数分布.组 段 频 数 频 率 12410.0083 12820.0167 132100.0833 136220.1834 140370.3083 144260.2167 148150.1250 15240.0333 15620.0167 16016410.0083合 计1201.00007o极差=160.9-125.9=35o分10组，组距=极差/10=35/10=3.5，组距取 4o下界 124 ，上界164.8身高
3、的分布.正态分布的概率密度函数 如果随机变量X的概率密度函数则 称 X服 从 正 态 分 布 ,记 作 XN(,2),其中，为分布的均数，为分布的标准差。 (- X +) .正态分布图示x0.1.2.3.4f(x).方差相等、均数不等的正态分布图示312.均数相等、方差不等的正态分布图示213.正态分布的特征正态分布有两个参数(parameter)，即位置参数(均数)和变异度参数(标准差)。高峰在均数处；均数两侧完全对称。正态曲线下的面积分布有一定的规律。.正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。对称区域面积相等。S(-, -X)S( +X,)S(-, -X)X.正态曲线下的面积
4、规律对称区域面积相等。S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1).正态曲线下的面积规律 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 - + +2 +3 S(-, -3 )=0.0013S(-, -2 )=0.0228S(-, -1 )=0.1587S(-, )=0.5S(-, +3 )=0.9987S(-, +2 )=0.9772S(-, +1 )=0.8413S(-, )=1.正态曲线下的面积规律 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 - + +2 +3 1-S(-3 , +3 )=0.00261-S(-2 , +2
5、)=0.04561-S(- , + )=0.3174.正态曲线下的面积规律-3 -2 - + +2 +3 S(-, -3)=0.0013S(-, -2)=0.0228S(-, -1)=0.1587S(-, -0)=0.5S(-3, -2)=0.0215S(-2, -1)=0.1359S(-1, )=0.3413 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 .正态曲线下的面积规律-1.96+1.962.5%2.5%95%.正态曲线下的面积规律-1.64+1.645%5%90%.正态曲线下的面积规律-2.58+2.580.5%0.5%99%.S(-1.96, +1.64)=?考虑.正态曲线下的面积
6、规律正态曲线下面积总和为1；正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等；对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等；-1.64+1.64内面积为90%；-1.96+1.96内面积为95%；-2.58+2.58内面积为99%。小于-3的面积为0.13%;小于-2的面积为2.28%;小于-的面积为15.87%。.标准正态分布标准正态分布(standardnormaldistribution)是均数为0，标准差为1的正态分布。记为N(0,1)。标准正态分布是一条曲线。概率密度函数： (- u +) .正态分布转换为标准正态分布假设XN(,2)，作变换：则u服从标准正态分布。u称为标准正态离差(s
7、tandardnormaldeviate)标准正态分布曲线下面积(u) u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08-3.00.00130.00130.00120.00110.0010-2.50.00620.00590.00550.00520.0049-2.00.02280.02170.02070.01970.0188-1.90.02870.02740.02620.02500.0239-1.60.05480.05260.05050.04850.0465-1.00.15870.15390.14920.14460.1401-0.50.30850.30150.29460.28770.2810
8、 00.50000.49200.48400.47610.46810u.正态分布的应用估计频数分布质量控制确定临床参考值范围.估计频数分布某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比例。首先计算标准离差：查标准正态分布表:(-1.86)=0.0314结果：估计低体重儿的比例为3.14%.质量控制质量控制的意义监控日常工作、科研过程、生产过程中误差的变化，分析变化的趋势是否出现异常，从而引起警觉和注意，以便分析原因，并及时采取措施。.参考值范围(reference interval)参考值范围又称正常值范围(normal
9、range)。什么是参考值范围：是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。绝大多数：90%，95%，99%等等。确定参考值范围的意义：用于判断正常与异常。“正常人的定义：排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的同质的人群。.参考值范围确定的原则选定同质的正常人作为研究对象控制检测误差判断是否分组(性别,年龄组)选择百分界值(90%,95%)确定可疑范围单、双侧问题.单侧与双侧参考值范围根据医学专业知识确定！双侧：白细胞计数，血清总胆固醇，单侧：上限:转氨酶，尿铅，发汞下限:肺活量，IQ，.参考值范围的估计方法方法双侧 单侧下限单侧上限正态分布法.例20 29岁正常成年男子尿酸浓度求双侧95%的参
10、考值范围：下限上限.总结正态分布是描述个体变异的重要分布之一，也是统计学理论中的重要分布之一；正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均数和标准差；正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态离差为单位)。.需要掌握的内容正态分布的性质正态曲线下面积的分布规律参考值范围确定的原则和方法.抽样误差及其规律性Sampling variability and its attributes.从一个例子来谈抽样误差o假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。研究者从所有符合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了五次。38122.7121.0118.1108.
11、3124.5121.1115.8120.9117.939=119.4cm = 4.38cm = 118.4cm S =4.41cm119.4u40119.41cm= 4.38cm.o导致总体均数与样本均数、样本均数之间有差别的可能原因是？41.抽样误差的定义o五次抽样得到了不同的结果，原因何在？42个体变异随机抽样不同男童的身高不同每次抽到的人几乎不同抽样误差.抽样误差的表现43抽样误差的表现样本均数和总体均数间的差别样本均数和样本均数间的差别.抽样误差n定义：n由于个体变异的存在,由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差别。n原因：个体变异抽样n表现：n不同样本统计量间的差别n样本统计量与总体
12、参数间的差别n抽样误差是不可避免的！n抽样误差是有规律的！44 .均数的抽样误差之特点o各样本均数未必等于总体均数；o样本均数间存在差异；o样本均数的分布很有规律；45.中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)Case 1: 从正态分布总体从正态分布总体N(,) 中随机抽样中随机抽样(每个样每个样本的含量为本的含量为n如如10)，可得无限多个样本，可得无限多个样本如如1000次次，每个样本计算样本均数，则样本，每个样本计算样本均数，则样本均数也服从正态分布。均数也服从正态分布。样本均数的均数为样本均数的均数为 ;样本均数的标准差为样本均数的标准差为 。46.中心极
13、限定理中心极限定理(central limit theorem)Case 2: 从从非非正正态态分分布布总总体体(均均数数为为，方方差差为为)中中随随机机抽抽样样(每每个个样样本本的的含含量量为为n)，可可得得无无限限多多个个样样本本，每每个个样样本本计计算算样样本本均均数数，则则只只要要抽抽样样次次数数足足够够大大(n50),样样本本均均数数也也近近似似服服从从正正态态分布。分布。样本均数的均数为样本均数的均数为 ;样本均数的标准差为样本均数的标准差为 。47.标准误(standard error)o样本统计量的标准差称为标准误。o样本均数的标准差称为均数的标准误。o均数的标准误表示样本均数
14、的变异度。o前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。48这个公式是怎这个公式是怎么来的？么来的？.o已知变量x的方差V(x)=S2，则2x的方差为？o已知变量x1的方差V(x1)=S12，变量x2的方差V(x2)=S22，则x1+x2的方差为？49.标准误与标准差1）联络：都表示变异的大小；样本含量一定时，标准差越大，标准误越大。.标准误与标准差2）标准差含义：一组变量值离散程度；标准差越小，均数的代表性越好；应用：估计参考值范围；与n的关系：样本含量越大，标准差越稳定，n很大时，标准差趋向于总体标准差。.标准误与标准差3）标准误含义：样本统计量的离散程度；标准误越小，用样本均数来反映总体均数
15、越可靠；应用：计算可信区间；与n的关系：样本含量越大，均数的标准误越小，n很大时，标准误趋向于0。.53 Sampling Distributionof sample meansSampling Distributionof sample means Sampling Distributionof sample meansPopulation BX XPopulation C XPopulation DXPopulation An=10n=4n=25n=2Sampling Distributionof sample means样本均数的抽样分布 与样本含量的关系on 越大，均数的均数就越接近总
16、体均数；越大，均数的均数就越接近总体均数；on 越大，变异越小，分布越窄；越大，变异越小，分布越窄；o对称分布接近正态分布的速度，大于非对称对称分布接近正态分布的速度，大于非对称分布。分布越偏，接近正态分布所需样本含分布。分布越偏，接近正态分布所需样本含量就越大。量就越大。54.抽样误差的规律性(1)o均数的抽样误差规律：o在样本含量足够大时，无论总体分布如何，其均数的分布趋于正态分布55.56 f(t)(标准正态曲线) =30.10.2-4-3-2-1012340.3如果样本含量较小时均数的抽样分布如果样本含量较小时均数的抽样分布？.t 分布57.正态分布的标准化变化o假设 X N(,2)
17、, 那么 。 58n因因 , 那么那么 。 .t 分布的概念o实际工作中，总体方差未知。所以，用样本方差代替总体方差，o且当样本含量较小时 的分布如何？59.t分布起源60t 分布的概念o用样本方差代替总体方差，此时o不服从正态分布。而服从 t 分布。记为： 61.62 f(t) =(标准正态曲线) =5 =10.10.2-4-3-2-1012340.3自由度分别为自由度分别为1、5、 时的时的 t 分布分布.t 分布的性质t分布为一簇单峰分布曲线。t分布以0为中心，左右对称。分布的高峰位置比 u 分布低，尾部高。即相同的尾部面积对应的界值，比 u 分布大。例如：P=0.05，u=1.64，而
18、自由度为3的 t分布界值，t = 3.182。t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低，而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是标准正态分布。每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界值表 。.t界值表单侧：P(t=t,)=双侧：P(t=t,)=即:P(-t,tt,)=1-例查t界值表得t值表达式t0.05,10=2.228(双侧）t0.05,10=1.812(单侧）-tt0t 分布曲线下面积o双侧：t0.05,10=2.228o说明，从正态分布总体中抽取样本含量为n=11的样本，由该样本计算的t值大与等于2.228的概率为0
19、.025，小于等于-2.228的概率亦为0.025oP(t-2.228)+P(t2.228)=0.05o或：P(-2.228t2.228)=0.95样本统计量的抽样分布任何一个样本统计量均有其分布规律。任何一个样本统计量均有其分布规律。从正态分布总体中抽样：从正态分布总体中抽样：均数的抽样分布为正态分布；均数的抽样分布为正态分布；样本方差的分布服从样本方差的分布服从 2 2分布；分布；样本方差之比服从样本方差之比服从F F分布；分布；tt值服从值服从tt分布；分布；.研究抽样分布的目的o样本统计量的抽样分布规律是统计推断(statistical inference)的理论基础。o只有了解抽样分
20、布规律，才能深刻理解统计推断的内涵。67.需要掌握的内容抽样误差的概念、产生的原因及其表现中心极限定理的涵义标准误的涵义、标准误与标准差的区别和联系t分布的性质.o 表示总体均数的标准误。( )o 表示样本均数的标准误。( )o同一批数值变量资料的标准差不会比标准误大。( )o即使变量X偏离正态分布，只要每次抽样的样本数足够大，样本均数也近似服从正态分布。( )69o 表示（ ）oA 总体标准差oB 样本标准差oC 抽样分布均数的理论标准差oD 抽样分布均数的估计标准差70.o 表示 （ ）oA 总体均数的离散程度oB 总体标准差的离散程度oC 样本均数的离散程度oD 样本标准差的离散程度71o从连续性变量X中反复随机抽样，随样本含量n增大， 将趋于（ ）o A X的原始分布 B 正态分布o C 均数的抽样分布 D 标准正态分布72o下面关于标准误的四种说法中，哪一种最不正确（ ）oA 标准误是样本统计量的标准差oB 标准误反映了样本统计量的变异oC 标准误反映了总体参数的变异oD 标准误反映了抽样误差的大小73.简答题o请简述标准差与标准误的区别和联系。o区别：o联络：74.
