2023年幂函数超详细导学案

《2023年幂函数超详细导学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年幂函数超详细导学案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 2.3 幂函数 学习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质； 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习过程 任务一、课前准备 （预习教材 P77 P79，找出疑惑之处） 复习 1：求证3yx在 R 上为奇函数且为增函数. 复习 2：1992 年底世界人口达到 54.8 亿，若人口年平均增长率为 x%，2008 年底世界人口数为 y（亿），写出： （1）1993 年底、1994 年底、2000 年底世界人口数； （2）2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式 任务二、新课导学 探究任务一：幂函数的概念 问题：分析以下五个函数，

2、它们有什么共同特征？ （1）边长为a的正方形面积2Sa，S是a的函数； （2）面积为S的正方形边长12aS，a是S的函数； （3）边长为a的立方体体积3Va，V是a的函数； （4）某人ts内骑车行进了 1km，则他骑车的平均速度1/vt km s，这里v是t的函数； （5）购买每本 1 元的练习本w本，则需支付pw元，这里p是w的函数. 新知 1、幂函数的概念：一般地，形如yx()aR的函数称为幂函数，其中为常数. 试一试：判断下列函数哪些是幂函数. 1yx；22yx；3yxx；1y . 探究任务二：幂函数的图象与性质 问题：作出下列函数的图象： （1）yx； （2）12yx； （3）2yx；

3、 （4）1yx； （5）3yx 学习必备 欢迎下载 说明： 除函数12yx外，其余四个幂函数具有奇偶性 在第一象限内，函数1yx的图像向上与y轴无限接近，我们称x轴y轴为渐近线 结合以上特殊幂函数的图像得出 一般幂函数的性质 （1）所有幂函数在(0,)上都有定义，并且图像都通过点(1,1) （2）若0，则幂函数的图像都过原点，并且在区间0,)上为增函数 （3）若0,则幂函数的图像在区间(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图像在x轴上方无限地逼近x轴 （4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数 从图象分析出幂函数

4、所具有的性质. 观察图象，总结填写下表： 常见幂函数的性质 例 1、已知幂函数2121(22)23mymmxn，求,m n的值 例 2、已知函数221( )(2 ),mmf xmmxm 为何值时，( )f x是： （1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数 底世界人口达到亿若人口年平均增长率为年底世界人口数为亿写出年底是的函数面为的正方形边长是的函数边长为的立方体体是的函数某人内试判断下列函数哪些是幂函数探究任务二幂函数的图象与性质问题作出学习必备 欢迎下载 例 3 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系. （1）32yx；（2）13yx；（3）23yx；

5、（4）2yx；（5）3yx；（6）12yx 2、幂函数的定义域和值域 所有幂函数yx的定义域和值域的求法分为五种情况 （1）0时，0yx的定义域为0x x ，值域为 1 （2）为正整数时，yx的定义域为R，为偶数时，值域为0,),为奇数时，值域为R （3）为负整数时，yx的定义域为0x x ，为偶数时，值域为(0,)，为奇数时，值域为0y y （4）当为正分数nm时，化为mnyx，根据,m n的奇偶性求解 （5）当为负分数nm时，化为1mnyx，根据,m n的的奇偶性求解 例 4、 （1）函数23yx的定义域是 ，值域是 ； （2）函数23yx的定义域是 ，值域是 ； 练 1（1）函数32yx

6、的定义域是 ，值域是 ； （2）函数32yx的定义域是 ，值域是 ； 练 2、幂函数2yx，45yx，54yx，23yx，45yx，其中定义域为R 的是（ ） A B C D 例 5设 1,1，12，3，则使函数 yx的定义域为 R，且为奇函数的所有 值为( ) A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3 底世界人口达到亿若人口年平均增长率为年底世界人口数为亿写出年底是的函数面为的正方形边长是的函数边长为的立方体体是的函数某人内试判断下列函数哪些是幂函数探究任务二幂函数的图象与性质问题作出学习必备 欢迎下载 3、 幂函数的单调性和奇偶性 （1）幂函数的单调性：在区间(0,)上，当0时，yx是增

7、函数；当0时，yx是减函数 （2）幂函数的奇偶性：令qp（其中p、q互质，p、qN） 当q为奇数，则pqyx的奇偶性取决于p是奇数还是偶数.当p是奇数时，则pqyx是奇函数；当p是偶数时，则pqyx是偶函数 当q为偶数，则p必是奇数，此时pqyx既不是奇函数，也不是偶函数 例 6、若当(0,)x时，幂函数253(1)mymmx 为减函数，则实数m的值为（ ） A2m B1m C1m 或2m D152m 例 7、已知函数223()( )mmm Zf xx 为偶函数，且(3)(5)ff （1） 求m的值，并确定( )f x的解析式 （2） 若( )log ( )(0,1)ag xf xaxaa在2

8、,3上为增函数，求实数a的取值范围 例 8、已知幂函数223( )()mmf xxmZ为偶函数，且在区间(0,)上市减函数 （1）求函数( )f x的解析式 （2）讨论( )( )( )bF xaf xxf x的奇偶性 练 3、下列说法正确的是（ ） A12yx是奇函数 B3yx是奇函数 C2yx是非奇非偶函数 D13yx是非奇非偶函数 底世界人口达到亿若人口年平均增长率为年底世界人口数为亿写出年底是的函数面为的正方形边长是的函数边长为的立方体体是的函数某人内试判断下列函数哪些是幂函数探究任务二幂函数的图象与性质问题作出学习必备 欢迎下载 构造幂函数比较两个幂值得大小 比较两个幂值的大小，关键

9、是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较 例 9、比较下列各组数大小： （1）1.5(1)a 1.5(0)aa （2）223(2)a 232 （3）121.1 120.9 练 4、比较下列各组数大小： （1）3( 2) 3( 2.5) （2）78( 8) 781( )9 （3）25(4.1)，23(3.8)，35( 1.9) 练 5、若01ab ，则下列不等式成立的是（ ） A1(1)(1)bbaa B(1)(1)abab C2(1)(1)bbaa D(

10、1)(1)abab 任务三、课后作业 第一题、选择题 1在函数 y2x3，yx2，yx2x，yx0中，幂函数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：选 B.yx2与 yx0是幂函数 2 若幂函数( )f xx在(0,)上是增函数，则（ ）. A0 B0 C=0 D不能确定 3函数 f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在 x(0，)上是减函数，则实数 m( ) A2 B3 C4 D5 4使(32xx2)34有意义的 x 的取值范围是( ) AR Bx1 且 x3 C3x1 Dx3 或 x1 解析：选 C.(32xx2)3414 32xx23， 要使上式有意义，需32xx2

11、0， 解得3x1. 解析：选 A.m2m11，得 m1 或 m2，再把 m1 和 m2 分别代入 m22m30，经检验得 m2. 5. 若11221.1 ,0.9ab，那么下列不等式成立的是（ ）. Aalb B1ab 底世界人口达到亿若人口年平均增长率为年底世界人口数为亿写出年底是的函数面为的正方形边长是的函数边长为的立方体体是的函数某人内试判断下列函数哪些是幂函数探究任务二幂函数的图象与性质问题作出学习必备 欢迎下载 Cbla D1ba 6函数43yx的图象是（ ）. A. B. C. D. 7函数 y(x4)2的递减区间是( ) A(，4) B(4，) C(4，) D(，4) 解析：选

12、A.y(x4)2开口向上，关于 x4 对称，在(，4)递减 8给出四个说法： 当 n0 时，yxn的图象是一个点； 幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； 幂函数的图象不可能出现在第四象限； 幂函数 yxn在第一象限为减函数，则 n0. 其中正确的说法个数是( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 B.显然错误；中如 yx12的图象就不过点(0,0)根据幂函数的图象可知、正确，故选 B. 第二题、填空题 9. 已知幂函数( )yf x的图象过点(2,2)，则它的解析式为 . 10比较下列两组数的大小： （1）11221.3 _1.5； （2）225.1_ 5.09. 11已知 2.42.

13、5，则 的取值范围是_ 解析： 02.42.5，而 2.42.5， yx在(0，)为减函数 答案： 0 第三题、解答题 12求函数 y(x1)23的单调区间 解：y(x1)231 x12313 x12，定义域为 x1.令 tx1，则 yt23，t0 为偶函数 因为 230，所以 yt23在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增又 tx1 单调递增，故 y(x1)23在(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增 13已知(m4)12(32m)12，求 m 的取值范围 解： yx12的定义域为(0，)，且为减函数 原不等式化为 m4032m0m432m， 解得13m32. 底世界人口达到亿若人口年

14、平均增长率为年底世界人口数为亿写出年底是的函数面为的正方形边长是的函数边长为的立方体体是的函数某人内试判断下列函数哪些是幂函数探究任务二幂函数的图象与性质问题作出学习必备 欢迎下载 m 的取值范围是(13，32) 14已知幂函数 yxm22m3(mZ)在(0，)上是减函数，求 y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性 解：由幂函数的性质可知 m22m30(m1)(m3)03m1， 又 mZ， m2，1,0. 当 m0 或 m2 时，yx3， 定义域是(，0)(0，) 30， yx3在(，0)和(0，)上都是减函数， 又 f(x)(x)3x3f(x)， yx3是奇函数 当 m1 时，yx4，定

15、义域是(，0)(0，) f(x)(x)41 x41x4x4f(x)， 函数yx4是偶函数 40， yx4在(0，)上是减函数， 又 yx4是偶函数， yx4在( ，0) 上是增函数 任务四、巩固训练 第一题、选择题 1已知幂函数 f(x)的图象经过点(2，22)，则 f(4)的值为( ) A16 B.116 C.12 D2 解析：选 C.设 f(x)xn，则有 2n22，解得 n12， 即 f(x)x12，所以 f(4)41212. 2下列幂函数中，定义域为x|x0的是( ) Ayx23 Byx32 Cyx13 Dyx34 解析：选 D.A.yx233x2，xR；B.yx32 x3，x0；C.

16、yx1313x，x0；D.yx3414x3，x0. 3函数3xy 和31xy 图象满足 （ ） A关于原点对称 B关于x轴对称 C关于y轴对称 D关于直线xy 对称 4函数2xy在区间 2 ,21上的最大值是 （ ） A41 B1 C4 D4 5设 T1 2312，T2 2315，T3 1312，则下列关系式正确的是 ( ) 底世界人口达到亿若人口年平均增长率为年底世界人口数为亿写出年底是的函数面为的正方形边长是的函数边长为的立方体体是的函数某人内试判断下列函数哪些是幂函数探究任务二幂函数的图象与性质问题作出学习必备 欢迎下载 AT1T2T3 BT3T1T2 CT2T3T1 DT2T1T3 6

17、.幂函数213112xy,xy,xy,xy在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ） A. 2134,CCCC B. 2314C,C,C,C C. 4123C,C,C,C D. 3241C,C,C,C 7. 下列函数在,0上为减函数的是（ ） A. 13yx B. 2yx C. 3yx D. 2yx 答案： 8幂函数 f(x)x满足 x1 时 f(x)1，则 满足条件( ) A 1 B0 1 C 0 D 0 且 1 解析：选 A.当 x1 时 f(x)1，即 f(x)f(1)，f(x)x为增函数，且 1. 解析：选 D.yx233x2，其定义域为 R，值域为0，)，故定义域与值域不同 9. 当x

18、（1，）时，函数）yax的图象恒在直线yx的下方，则a的取值范围是 （ A ） A、a1 B、0a1 C、a0 D、a0 10若点 ,A a b在幂函数nyxnQ的图象上，则下列结论中不能成立的是 ( B ) A00ab B00ab 00ab D00ab 第二题、填空题 11函数102( )(1)(1)f xxx 的定义域为_ 解析： 1x01x0， x13n，则 n_1,2_. 13942aaxy是偶函数，且在), 0(是减函数，则整数a的值是 5 . 14设 x(0,1)时，yxp(pR)的图象在直线 yx 的上方，则 p 的取值范围是_ 解析：结合幂函数的图象性质可知 p1. 答案：p1

19、 15已知函数 f(x) x (0 1),对于下列命题： 若 x1,则 f(x) 1； 若 0x1,则 0f(x) 1; 若 f(x1)f(x2),则 x1x2； 若 0x1x2,则2211)()(xxfxxf. 其中正确的命题序号是 _ _. 第三题、解答题 16已知幂函数 f（x）13222ppx （pZ）在(0,)上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求 p 的值，并写出相应的函数 f（x） 17函数 f(x)(m2m5)xm1是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增函数，试确定 m 的值 解：根据幂函数的定义得：m2m51， 解得 m3 或 m2， 当 m3 时，f(x)x2在(0，)

20、上是增函数； 当 m2 时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故 m3. 18已知幂函数2223(1)mmymmx ，当x(0，)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？ 解： 由于2223(1)mmymmx 为幂函数，所以 m2m11，解得 m2，或 m1. 当 m2 时，m22m33，yx3，在(0，) 上为减函数； 当 m1 时，m22m30，yx01(x0) 在(0，) 上为常函数，不合题意，舍去 故所求幂函数为 yx3.这个函数是奇函数，其定义域是( ，0)(0，) ，根据函数在 x(0，) 上为减函数，推知函数在( ，0)上也为减函数。 19已知点(

21、 2,2)在幂函数( )f x的图象上，点1( 2,)2 在幂函数( )g x的图象上，当x为何值时： (1)( )( )f xg x； (2)( )( )f xg x； (3)( )( )f xg x 解: 根据幂函数的概念，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合图象确定满足条件的 x 的取值范围 设 f(x) x，则(2)2，得2，所以 f(x) x2；同理可得 g(x) x1. 在同一直角坐标系内作出函数21( )( )f xxg xx与 的图象( 如图所示) ， 底世界人口达到亿若人口年平均增长率为年底世界人口数为亿写出年底是的函数面为的正方形边长是的函数边长为的立方体体是的函数某人

22、内试判断下列函数哪些是幂函数探究任务二幂函数的图象与性质问题作出学习必备 欢迎下载 (1)当 x1 时，f(x)g(x) ； (2)当 x=1 时，f(x)=g(x) ； (3)当 0x1 时，f(x)g(x) 20已知幂函数3pyx()pN的图象关于 y 轴对称，且在(0 ，) 上是减函数，求满足33(1)(32 )ppaa 的 a 的取值范围 解: 函数 yxp3在(0 ，)上是减函数，p 30，即 p3，又pN*，p1，或 p2. 函数 yxp3的图象关于 y 轴对称，p3 是偶数，取 p1，即 yx2， 由1133(1)(32 )aa ， 函数13yx在( ，)上是增函数， 由1133

23、(1)(32 )aa ，得 132aa ， 即4a . 所求a的取值范围是( 4，) 21一个幂函数yf (x) 的图象过点(3, 427), 另一个幂函数yg(x) 的图象过点( 8, 2), (1) 求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得 f (x) g(x)的解集. 解（1）设f (x) xa, 将x3, y427代入，得a43, 34( )f xx； 设g(x) xb, 将x8, y2 代入，得b31,13( )g xx； （2）f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数；g(x) 是奇函数；（3） (0,1) 底世界人口达到亿若人口年平均增长率为年底世界人口数为亿写出年底是的函数面为的正方形边长是的函数边长为的立方体体是的函数某人内试判断下列函数哪些是幂函数探究任务二幂函数的图象与性质问题作出