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1、2016年中考数学复习第一讲实数【 基础知识回顾】一、实数的分类：有理数和无理数【 名师提醒： 1、 正确理解实数的分类。 如： 工是_ _ _ _ _ 数， 不是_ _ _ _ _ _ 数， 么是 数,2 7不是数。2、0 既不是 数，也不是 数，但它是自然数】二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了、的直线叫做数轴，和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有、 等。2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的 相 反 数 是 , 0 的相反数是， a、b 互为相反数o3、倒数：实数a 的 倒 数 是 , 没有倒数，a、b 互为倒数o4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开的距离叫做这个数
2、的绝对值。f (a0)H= 0 (a=0)L (a0)因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个：、。【 名师提醒：a+b的相反数, a-b的相反数,0是唯一没有倒数的数，相反 数 等 于 本 身 的 数 ,倒 数 等 于 本 身 的 数，绝对值等于本身的数是 1三、科学记数法、近似数和有效数字。1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 o2、近似数和有效数字：般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。【 名师提醒：1、科学记数法不仅可以
3、表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数( 含整数数位上的零) 。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】四、数的开方。1、若 x2=a(a 0),则x 叫做a 的, 记做土 4a , 其中正数a 的 平方根叫做a的算术平方根，记做，正数有 个平方根，它们互为，0 的平方根是，负数 平方根。2、若 x=a， 则 x 叫做a 的, 记做W，正数有一个 的立方根，0 的立方根是, 负数 立方根。【 名师提醒: 平方根等于本身的数有 个 ,
4、算 术 平 方 根 等 于 本 身 的 数 有 ,立方根等于本身的数有 o 1【 重点考点例析】考点一：无理数的识别。例 1 （ 2012六盘水）实数 夜 ， 肛 网 ,cos450,0.麒 中 是 无 理 数 的 个 数 有 （ ）个.A.1 B. 3 2 C. 3 D. 4/ 1解：玳 = 2 ,cos45 = 所以数字近 ,肛 网 ,cos45,0./ 中无理数的有：亚 /,c o s 4 5 ,2 3共 3 个 . 故 选 C.点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数,无限不循环小数，含有n 的数。对应训练1. （ 2012盐城）下面四个实数
5、中，是无理数的为（ B ）A. 0 B. G C. -2 D . -7考点二、实数的有关概念。例 2 （ 2012乐山）如果规定收入为正，支出为负. 收入500元记作500元，那么支出237元应记作 （ ） A. - 500 元 B. - 237 元 C. 237 元 D. 500 元解：根据题意，支出237元应记作- 237元. 故选B.点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解 正 和 负 的相对性，确定一对具有相反意义的量. 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.例 3 （ 2012遵义） - （ - 2 ）的 值 是 （ ）A. -2 B. 2 C. 2
6、D. 4解：（ - 2 ）是 -2 的相反数， - 2 0 B . a +b 0 D . （ b - 1 ） （ a - 1 ） 0 _ 0 l b 解：a 、b两点在数轴上的位置可知：b l, . . . a b V O , a + b 0 , 故 A、B错误；V - l a l, /. b - l 0 , a +l 0 , a - l 0 B . a b 0 . . . .C . | a | +b 0 - 2 a - 1 O 1 2 b考点四、科学记数法。例 9 （ 2 0 1 2 潍坊）许多人由于粗心，经常造成水龙头“ 滴水”或 “ 流水”不断. 根据测定，一般情况下一个水龙头“ 滴水”
7、 1 个小时可以流掉3 . 5 千克水，若 1 年按3 6 5 天计算，这个水龙头1 年可以 流 掉 （ ）千 克 水 . （ 用科学记数法表示，保留3个有效数字）A . 3 . 1 X 1 （ / B . 0 . 3 1 X 1 05C . 3 . 0 6 X 1 04D . 3 . 0 7 X 1 04解：3 . 5 X 2 4 X 3 6 5 = 3 0 6 6 0 = 3 . 0 6 6 X 1 04 s3 . 0 7 X 1 04 故选 D .点评：此题主要考查了有理数的乘法在实际生活中的应用以及科学记数法的表示方法。用科学记数法表示一个数的方法是：（ 1 ）确定a是只有一位整数的数
8、；（ 2 ）确 定 n ：当原数的绝对值2 1 0 时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1 ；当原数的绝对值 B. 2 + A/3C. 273-1 D. 273+1B A1上- 10 有3. 解：设点C 所对应的实数是x . 则有x G = 1）,解得x = 2 6 + l. 故选D.4. （ 2012 烟台）返 的 值 是 （ B ） A. 4 B. 2 C. - 2 D . +25. （ 20127 1照）据新华社报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米. 194亿用科学记数法表示为（ A ） A. 1.94X1O10 B. O.194X1O10 C. 19.4X109 D
9、. 1.94X1096. （ 2012济南）2012年伦敦奥运会火炬传递路线全长约为12800公里，数 字 12800用科学记数法表 示 为 （ C ） A. 1.28X 103 B. 12.8X103 C. 1.28X 104 D. 0.128X1057. （ 2012泰安）已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（ C ）A. 21X10千克 B. 2.1X10-6 千克 c. 2.1X10-5千克 D. 21X10“ 千克二、填空题8. （ 2012德州） -1, 0, 0.2, - , 3 中 正 数 一 共 有 3 个.79. （ 2012青岛）为改善学生的
10、营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为. 6 X 1 元.4第二讲：实数的运算【 基础知识回顾】- 、实数的运算。1、 基本运算： 初中阶段我们学习的基本运算有、 、 、 和共六种，运 算 顺 序 是 先 算 ，再算，最后算，有括号时要先算，同一级运算，按照 的顺序依次进行。2、运算法则：加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取的符号，并用较大的 减去较小 的，任何数同零相加仍得 0减法，减去一个数等于。乘法：两数相乘，同号得，异号得,并把 相乘。除法：除 以 个 数 等 于 乘 以 这 个
11、 数 的。乘方：（ 迫 ）2 n + ,=（ -a） 2n=3、运算定律：加法交换律：a+b=加法结合律：（ a + b ） + c =乘法交换律：ab=乘法结合律：（ a b ） c =分酉己律：（ a + b ） c =二、零指数、负整数指数累。 = （ a W O ） a = （ a W O ）【 名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经 常 与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（ ）=三、实数的大小比较：1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外， ，还有比较法、比较法等，两个
12、负数 大的反而小。2、如果儿个非负数的和为零，则这儿个非负数都为 o【 重点考点例析】考点一：实数的大小比较。例1 （ 2012西城区）已 知 的 整 数 部 分 为 a , 小数部分为b , 则代数式a2-a-b的值为.解：V3V13 4 , ，a=3, b= V 13-3,贝 ij a2-a-b=3?-3-（ 万 -3） =9-3-屈+3=9-而，故答案为：9-V13 .例2 （ 2012台湾）已知甲、乙、丙三数，甲=5 +后，乙=3 + J 万 ，丙=1 + M，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？ （ ）A . 丙乙甲 B . 乙甲丙 C . 甲乙丙 D . 甲=乙=丙解：V3=79
13、 7 1 5 716= 4, .85+5/15 9, ； .8甲 9 ； V4=V 16V 17 7 2 5 =5,.,.73+V17 8, ； .7乙 8, ：4= V16 V19 V25 =5, .,51+V19 0, m、n 为整数）2、痔的乘方：不变 相乘，BP： （ am）n = （ a0, m、n 为整数）3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的基。即：（ ab） n= （ a0, b0, n 为整数） 。4、同底数基的除法: 不变 相减，即： （ a0, m、n 为整数）【 名师提醒：运用幕的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，（ 出尸= 一（ n 为奇数），（
14、-a）1 1= （ n 为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如: 已知3m=4,2=3,贝 ！ 9m8三。8【 重点考点例析】考点一：代数式的相关概念。例 1 (2012珠海 ) 计 算 -2a?+a2 的结果为( )A. -3a B. -aC. -3a2 D. -a2解答：解：-Z a+ aJ-a故选D.点评：本题考查了合并同类项法则的应用，注意：系数是-2+1 = 1 , 题目比较好，难度也不大，但是一道比较容易出错的题目.对应训练1. (2012莆III)如果单项式* 叶。 3与 2x3yb是同类项，那么ab=.解答：解：: 单项式xa+ly3与 2x3yb是同类项，a+l=3 b
15、 = 3 , 解 得 a=2 b=3,则 ab=23=8.故答案为：8.点评：本题考查了同类项的定义，要注意定义中的两个“ 相同” ：( 1)所含字母相同；( 2 ) 相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点. 解题时注意运用二元一次方程组求字母的值.2. (2012桂林) 计算 Zxf+Bxy2 的结果是( ) A. 5xy2 B. xy2 C. 2x2y4 D. x2y4解答：解 : 2xy2+3xy2=5xy2. 故选 A.点评：此题考查了合并同类项的知识，属于基础题，注意掌握合并同类项的法则是关键.考点二：整式的运算。例 2 (2012宿迁 ) 求代 数 式 (a+2b) (
16、a-2b) + (a+2b) L ab 的值，其中 a=l, b= .10解：li=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2, 当 a=l, b=- 时 ，原式=2x = 2.10点评：本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，并且注意公式的使用.对应训练2. (2012贵阳) 先化简，再求值：2b2+ (a+b) (a-b) - (a-b) 2, 其中 a=-3, b=.2解 答 : 解 ：原式=2b?+a2-b2- (a2+b2-2ab) =2b2+a2-b2-a2-b2+2ab=2ab,当 a=-3, b = 1 H 寸 ，原式=2x (-3) x =-3.2
17、2点评：本题考查的是整式的化简求出，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键.考点三：塞的运算。例 3 (2012南平) 下列计算正确的是( )A. a3+a2=a5 B. a+a&a C. a*a4=a4 D. (ab2) 3=ab6解：A、a?与 a?不是同类项，不能合并，故选项错误； B、a5a4=aM= a ,故选项正确：C、a-a4=a4+l=a5, 故选项错误；D、(ab2) 3=a3b6, 故选项错误. 故选B.点评：本题考查了累的有关运算性质及合并同类项的法则，属于基本运算，应重点掌握.对应训练3. (2012衢州 ) 下列计算正确的是( )A. 2a2+a2=3a4 B. aG
18、-a2=a3 C. a6,a2=a12 D. (-a6) 2=a12解：A、2a2+a2=3a2, 故本选项错误：B、a6-a2=a4, 故本选项错误；C、a6-a2=a8,故本选项错误；D、符合嘉的乘方与积的乘方法则，故 本 选 项正确. 故选D.点评：本题考查的是同底数幕的乘法及除法、合并同类项、塞的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键.考点四：完全平方公式与平方差公式例 4 (2012衡阳) 下列运算正确的是( )A. 3a+2a=5a2 B. (2a) 3=6a3 C. (x+1) 2=x2+l D. x2-4= (x+2) (x-2)9解：A、3 a+ 2 a= 5 a,
19、 故本选项错误； B 、（ 2 a） 3 = 8 a? , 故本选项错误；C、（ x + 1 ） 2=X2+2X+ 1 ,故本选项错误； D、X2-4= （X+2） （X-2） , 故本选项正确；故选D .例 5 （ 2 0 1 2 遵义）如图，从边长为（ a+ 1 ） c m的正方形纸片中剪去一个边长为（ a- 1 ） c m的正方形 （ a l ） ,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（ 不重叠无缝隙） ，则该矩形的面积是（ ）A . 2 cm2 B . 2 acm2 C . 4 acm2 D . ( a2- l ) cm2解 : 矩形的面积是( a+ 1 ) 2- ( a- 1 ) 2= a
20、2+ 2 a+ l - ( a2- 2 a+ l ) = 4 a ( cm2) 故选 C .对应训练4 . （ 2 0 1 2 哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）A . a a4= a B . （ aJ） 4= a1 2 C . a+ a4= a: D . （ a+ b） （ a- b） = a2+ b2解：A、a3- a4= a7,故本选项错误； B 、（ a3） 4= a, 2.故本选项不正确；C、a 与 a“ 不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、（ a+ b） （ a- b） = a2 - b2 , 故本选项错误. 故选B .5 . （ 2 0 1 2 绵阳）图 （ 1 ）是一个长为
21、2 m ,宽为2 n （ mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（ 对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（ 2 ）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A . 2 m n B . （ m + n ） 2 C . （ m - n ） 2 D . m2- n2图 （ 1 ） 图 （ 2）解：由题意可得，正方形的边长为（ m + n ） ,故正方形的面积为（ m + n ） 2 , 又 . 原矩形的面积为4 m n ,中间空的部分的面积=（ m + n ） 2- 4 m n = （ m - n ） 2. 故选C .点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长
22、是解答本题的关键，难度一般.考点四：规律探索。例 6 （ 2 0 1 2 株洲）一组数据为：x , - 2 x 2 , 4 x 3 , - 8 x 4 , 观察其规律，推断第n个 数 据 应 为 .解：依题意得：（ 1 ） n为奇数，单项式为：（ 2 ） n为偶数时，单项式为：立 、1 1.综 合 （ 1 ） 、（ 2 ） ,本数列的通式为: （ - 2 ） / 咏 。 故答案为：（ - 2 ） n- xn.点评：本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键. 分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.对应训
23、练6. （ 2 0 1 2 盐城） 已知整数 a” a2, a3, 如， 满足下列条件: ai = 0 a2 = - |ai + l |, aj = - |a2 + 2 |, a4= - |a3 + 3 |, . . . 依次类推，贝 i j azt m 的 值 为 （ ）A . - 1 0 0 5 B . - 1 0 0 6 C . - 1 0 0 7 D . - 2 0 1 2解：ai = 0 a2 = - |ai + l |= - |0 + l |= - l . a3= - |a2 + 2 |= - |- l + 2 |= - l , a4= - |a3 + 3 1 = - |- 1 +
24、 3 1 = - 2 , a5= - |a4 + 3 |= - |- 2 + 4 |= - 2 ,i G A i o所以，n是奇数时，an= - - ,n是偶数时，an = - - , a2o i 2=- - - - - -= - 1 0 0 6. 故选B .2 2 2点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键.10【 聚焦中考】1 . (2 0 1 4 济宁)下列运算正确的是( )A . -2 (3 x-l ) = -6 x-l B . -2 (3 x-l ) = -6 x+l C . -2 (3 x-l ) = -6 x-2 D .
25、 -2 (3 x-l ) = -6 x+2解：A . V -2 (3 x-l ) = -6 x+2 , ： .-2 (3 x-l ) = -6 x-l 错误，故此选项错误；B . V -2 (3 x-l ) = -6 x+2 , .*.-2 (3 x-l ) = -6 x+l 错误，故此选项错误；C. -2 (3 x-l ) = -6 x+2 , ； .-2 (3 x-l ) = -6 x-2 错误，故此选项错误；D . -2 (3 x-l ) = -6 x+2 , 故此选项正确；故选：D .点评：此题主要考查了去括号法则，利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原
26、来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反得出是解题关键.2 . (2 0 1 5 济南)化简 5 (2 x-3 ) +4 (3 -2 x)结 果 为 ( ) A . 2 x-3 B . 2 x+9 C . 8 x-3 D . 1 8 x-3解: 原式= 1 0 x-1 5 +1 2 -8 x = 2 x-3 .故选 A .点评：本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点.3 . (2 0 1 5 威海)下列运算正确的是( ) A . a3 a2= a6B . a5+a5= a1 0C . a
27、+a = a D . (-3 a ) 2= -9 a2解：A、aJ ,a2= a5,故本选项错误；B 、a5+a5= 2 a5,故本选项错误；C、a +r= a i -2 = a 3 , 故本选项正确；D、(-3 a ) 2 = 9 a ? , 故本选项错误.故选C .点评: 此题考查了同底数幕的乘法、 合并同类项的运算法则、 同底数幕的除法以及积的乘方的知识.此题比较简单，注意掌握是指数的变化是解此题的关键.4 . (2 0 1 3 聊城)下列计算正确的是() A . x2+x3= x5 B . x2 x3= x6 C . (x2) 3= x5 D . x5-x3= x2解：A 、x2 与
28、x3 不是同类项，不能合并，故此选项错误；B 、x2-x3= x2 +3= x5,故此选项错误；C、(x2) 3= x6,故此选项错误；D、x5-x3= x2,故此选项正确；故选：D .点评：此题主要考查了同底数嘉的除法，合并同类项，同底数累的乘法，塞的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题.5 . (2 0 1 4 临沂)下列计算正确的是( )A . 2 a2+4 a2= 6 a4 B . (a +1 ) 2= a2+l C . (a2) 3= a D . x7+x5= x2解：A、2 a2+4 a2= 6 a2,所以A选项不正确；B 、(a +1 ) 2= a2+2 a +l , 所以B
29、选项不正确；C、(a2) 5= a1 0,所以C选项不正确；D、x7x5= x2,所以D选项正确.故选D .点评：本题考查了完全平方公式：(a b ) 2 = a ? 2 a +b 2 .也考查了合并同类项、鞋的乘方以及同底数帮的除法法则.4 7 26 . (2 0 1 5 东营)若 3 、 = 4 , 9 y= 7 , 则 3 2 y 的 值 为 ( ) A . - B . C . -3 D . -7 4 7C 。 C 4解：3 *= 4 , 9y= 7, ., .3x_2 y=3M2 y= 3x- (32) y= 4 -7= 4 -7= -. 故选 A .7点评：此题考查了同底数幕的除法与
30、塞的乘方的应用.此题难度适中，注意将3 *为变形为3 *+(3 2 )y是解此题的关键.7. (2 0 1 4 滨州)求 1 +2 +22+23+.+22 0 1 2 & 0 D . x 01 0 . （ 2 0 1 4东营 ）先化简，再求代数式（ 1- 一 二 ） + 七 二 的 值 ，其 中x是不等式组 的x + 2 x + 2 2 x + l 得2 当x = G + l , y =百 一1 时，原式= 2厂 =.(x-y)(x + y) x + y 2 73 31 2 . （ 2 0 1 5莱芜）先化简，再求值：（ 1+ ；一2 ,其中a = - 3 .a-2 a2 - 4解：原式=（
31、2 1 Za - 2a 2( a + 2 ) ( a - 2 )a 3 . ( a + 2 ) ( a - 2 ) _ ( a - 3)( a + 2 )a-2 a -2 a一2Va = - 3 , . . . 原 式 = （一3一3 ）（一3 + 2 ）=- 3 - 265点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分.19第六讲：二次根式【 基础 知 识 回 顾 】一、 二 次 根 式 ：式 子 人 （）叫做二次根式【 名 师 提 醒 ： 次
32、根 式 人 必 须 注 意a_o这 一 条 件 ，其 结 果 也 是 一 个 非 数 即 ： 二 次 根 式 而（ a o ）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】二 、二 次 根 式 的 性 质 ：_ _( a o ) ( ya ) ( a 0) y/ a - - ( a ab = ( a 0 , b 0) = ( a岂0, b 0)【 名 师 提 醒 ：二 次 根 式 的 性 质 ：如 比 较2 g和3行 的 大 小 ，可 逆 用（ & ） 2 = a （ a右） 将根 号 外 的 整 数 移 到 根 号 内 再 比 较 被 开 方 数 的 大 小 】三 、最 简 二 次 根 式
33、 ：1、被 开 方 数 的 因 数 是，因 式 是 整 式2、被开方数不含 的因数或因式四 、二 次 根 式 的 运 算 ：1、二 次 根 式 的 加 减 ：先 将 二 次 根 式 化 简 ，再将 的 二 次 根 式 进 行 合 并 ，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除:a . b =( a 0, b 0)y/ a忑= ( a 0, b 0)3 、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算【 名 师 提 醒 ：1、二 次 根 式 除 法 运 算 过 程 一 般 情 况 下 是 用 将 分 母 中 的 根 号 化 去 这 一 方 法进 行 ：如:V 32、二 次 根 式 混 合 运
34、 算 过 程 要 特 别 注 意 两 个 乘 法 公 式 的运 用3、二 次 根 式 运 算的结果一定要化成【 重 点 考 点 例 析 】考 点 一 ：二 次根式有意义的条件例 14（ 2 01 3 潍坊）如果代数式/ 有意义, 则 x的取值范围是（)A . x W3 B . x 3 D . x 2 3解：要使代数式有意义，必须x - 3 0, 解得：x 3 .故选C .2 0对应训练1. （ 2014德阳）使代数式 一2x-l有意义的X的取值范围是（ ）A. x0 B. x # - C. x川 且 洋 , D. 一切实数2 2解：由题意得：2 x -l/） , x 0 ,解得：x 0 ,且
35、存 ,， 故选：C.2考点二：二次根式的性质例 2 （ 2015张家界）实数a、b 在轴上的位置如图所示，且|a | |b |,则 化 简 必 - | +6 的结果为( )a0 bA. 2a+b B. -2a+b C. b D. 2a-b解：根据数轴可知，a 0 ,原式=-a- （ a+b） =-a+a+b=b. 故选 C.点评：本题考查了二次根式的化筒和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性.对应训练2. （ 2012呼和浩特） 实数a ,b 在数轴上的位置如图所示， 则 而 W + a 的化简结果为.-1-1- 1 b 0 c i2 . 解：由数轴可知：
36、b 0|a|, y/ （ a + b）2+ a =|a+b|+a =-a-b+a =-b,考点三：二次根式的混合运算例 3(2012上海 ) - x ( V 3 - l)2+ - 4 + 3 - - ( )- 1.2 V 2 - 1 2 2解： 原式= - - - -+ yfl + 1 4 - V 3 - V 2 = 2 - 5 / 3 4 - / 2 +1 + / 3 - 5 / 2 = 3 .2对应训练3 . （ 2012南通）计算：百一疵+ 值 = 4 百 + 百 一 # + 2a = 4 + 痴 .考点四：与二次根式有关的求值问题1 1 r J r2 4-2X + 1 I例 4 （ 2
37、012巴中）先化简，再求值：（ 上一一二） 十 ”十1 其中x=上.X x + 1 （ x + l ）2- （ x - l ）2 2解：原式= ! 一工x ( x + l ) 4x当 * = 工时，x + l 0,2可知J ( X + 1 ) 2 = X + 1 ,故原式=1 x ( x + l ) _ 1x ( x + 1 ) 4x 4x1 1221对应训练4. (2012台湾) 计算 J 1 14? 一 64z - 5()2 之 值 为 何 ? ( )A. o B. 25 C. 50 D. 80解：V1142 -6 42-5 02 = 7(114 + 64)(114-64)-5 02 =7
38、178X5 0 -5 0 = ,5 0X(178-50)=V 50xl28 =A/2X52X82X2 =2X5X8 =80 故选 D.点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用.【 聚焦中考】1. (2013泰安) 下列运算正确的是( B )A. ( 5)2 = 5 B. (-) 2 =16 C. x6-x3=x2 D. (x3) 2=x52. (2013临沂) 计算： * 0 . (-3) + V12x V3 = 722第七讲：二元一次方程（ 组）【 基础知识回顾】一、等式的概念及性质：1、等式：用 “ = ”连接表示 关系的式子叫做等式。2、等式的性质：性质等式两边
39、都加（ 减） 所得结果仍是等式即：若 = 1 ） ,那么ac=性质2：等式两边都乘以或除以 （ 除数不为0）所得结果仍是等式，若：a=b,刃 H 么ac=若a=b （ cWo）刃 口 么 色 =【 名师提醒：用等式性质进行等式变形，必须注意“ 都”不被漏项等式两边都除以一个数式时必须保证它的值_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 】二、方程的有关概念：1、含有未知数的 叫做方程。2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的解3、叫做解方程4、方程两边都是关于未知数的 这样的方程叫做整式方程三、一元一次方程：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程
40、一般可以化成 的形式2、解一元一次方程的一般步骤：12 3 4 5【 名师提醒：1、一元一次方程的解法的多步骤的一句分别是等式的性质和合并同类法则要注意灵活准确 运 用 2、去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意 1四、二元一次方程组及解法：1二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0（ a. b. c 是常数，aWo, bWo）2、由儿个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组3、二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解4、解二元一次方程组的基本思路是：5、二元一次方程组的解法：【 名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解 厂2、二元一次方
41、程组的解应写成 J x=a 的形式五、列方程（ 组）解应用题： L y=b般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知点和未知点2、设：直接或间接设未知数3、歹 U ：根据题意寻找等关系列方程（ 组）4、解：解这个方程（ 组） ，求出未知数的值5、验：检验方程（ 组）的解是否符合题意6：答：写 出 （ 名称）【 名师提醒：1、列方程（ 组）解应用题的关键是：2、几个常用的等量关系：路程=X 工作效率=】 重点考点例析考点二等式性质及一元一次方程的解法23例1 （ 2015漳州）方程2x-4=0的解是.解：移项得，2 x = 4 ,系数化为1得，x = 2 .故答案为：x=2.点评：本题考查了移项
42、解一元一次方程，是基础题，注意移项要变号.对应训练1. （ 2014郴州）一元一次方程3x-6=0的解是_x=2_.考点二：二元一次方程组的解法（ 巧解）3x 4 * V 4例2 （ 2012厦门）解方程组： .2x - y = 1解：*3x + y = 4 一 ， + 得 ，5x= 5,解得 x=l；2 x-y = 1 把 x = l代入得，2 -y = l,解得y = l,故此方程组的解为：y = l点评：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键.对应训练x + 3 y = 12. （ 2014南京）解方程组3x-2y = S2 . 解：x
43、 + 3y = - l 3x-2y = 8 由得x=-3y-l ，将代入，得 3 (-3y-l) -2y=8,解得：y = -l.将 y=-l代入，得 x = 2 .故原方程组的解是b = - i考点三：一次方程（ 组）的应用例3 （ 2014温州）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元. 小明买20张门票共花了 1225元，设其中有x 张成人票，y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ）x + y -20 x + y - 20 (x+y = 1225A. B. C. 35x + 70y = 1225 ( 70x + 35y = 1225 170x+35y = 20x
44、+ y -1225D. 35x + 70y = 20解：设其中有x 张成人票，y 张儿童票，根据题意得，x+ y = 2070x + 35y = 1225故选：B.点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.例4 （ 2014天津）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（ 详情见下表）.设 个月内使用移动电话主叫的时间为t 分 （ t 为正整数），请根据表中月使用费/ 元主叫限定时间/ 分 主叫超时费/ （ 元/ 分） 被叫方 式 581500.25免费方式二883500.19免费温馨提示:若选用方式一， 每月固定交费58
45、元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费； 当超过150分，超过部分每分加收0. 25元.y24提供的信息回答下列问题：( I ) 用含有t 的式子填写下表:t150150t350方式一计费/ 元58108方式二计费/ 元888888( I I ) 当 t 为何值时，两种计费方式的费用相等？( I I I ) 当 330Vt 360时 、 你认为选用哪种计费方式省钱( 直接写出结果即可) .解： ( I ) 当 150Vt350 时，方式一收 费 : 58+0.25 (x-150) =0.25t+20.5；方式二当 t350 时收费：88+0.19 (x-350) =0.19t
46、+21.5.t150150t350方式一计费/ 元580.25t+20.5108025t+20.5方式二计费/ 元8888880.19t+21.5( II ) : 当 t350 时 , (0.25t+20.5) - (0.19t+21.5) =0.06t-l0,，当两种计费方式的费用相等时， t 的值在150Vt 350取得.列方程0.25t+20.5=88,解得t=270.即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等.(III)方式二.方式一收费- 方式二收费 y=0.25t+20.5-0.19t-21.5=0.06t-1,当 330Vt 0 ,即可得方式二更划算. 答：当 330Vt
47、360时，方式二计费方式省钱.点评：此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解.例 5 (2012株洲) 在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A 区和B 区的得分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分( 掷中一次记一个点) . 现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：( 1 ) 求掷中A 区、B 区一次各得多少分？ (2 ) 依此方法计算小明的得分为多少分?解：(1) 设掷到A 区和B 区的得分分别为x、y 分，依题意得：5x + 3y = 773x + 5y = 75x = 10y = 9,
48、解得：答：求掷中A 区、B 区一次各得10, 9 分.( 2 ) 由(1 ) 可知：4x+4y=76,答：依此方法计算小明的得分为76分.点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系,列出方程组.25对应训练3 . （ 2 0 1 4 宁夏）小颖家离学校1 2 0 0 米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路. 她去学校共用了1 6 分钟. 假设小颖上坡路的平均速度是3 千米/ 时，下坡路的平均速度是5千米/ 时. 若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ B ）3x + 5y = 1200x + y = 163 5 -V = 1.
49、260 6 0 -x + y -16C 3x + 5y = 1.2x + y = 16D.3 5一XH- V 60 60 = 1200B . x + y = 164 . （ 2 0 1 5 淮安）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下:第一档电量第二档电量第三档电量月用电量2 1 0 度以下， 每度月用电量2 1 0 度至3 5 0 度， 每度比第月用电量3 5 0 度以上，每度比第价格0 . 5 2 元一档提价0 . 0 5 元一档提价0 . 3 0 元某户用 4 0 0 度,则需交 2 1 0 x 0 . 5 2 + （ 3 5 0 - 2 1 0 ） x （ 0 . 5 2 + 0 .
50、0 5 ） + （ 4 0 0 - 3 5 0 ） x （ 0 . 5 2 + 0 . 3 0 ） = 2 3 0 （ 元）（ 1 ）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为1 3 8 . 8 4 元，请你求出小华家5月份的用电量；（ 2 ）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为a 元，则小华家该月用电量属于第几档？4 . 解： （ 1 ） 用电量为2 1 0 度时， 需要交纳2 1 0 x 0 . 5 2 =1 0 9 . 2 元， 用电量为3 5 0 度时， 需要交纳2 1 0 x 0 . 5 2 +（ 3 5 0 - 2 1 0 ） x （ 0 . 5 2 +0 . 0 5 ） =1 8
51、9 元，故可得小华家5月份的用电量在第二档,设小华家 5 月份的用电量为 x,则 2 1 0 x 0 . 5 2 + （ x - 2 1 0 ） x （ 0 . 5 2 +0 . 0 5 ） =1 3 8 . 8 4 ,解得：x =2 6 2 , 即小华家5月份的用电量为2 6 2 度.（ 2 ）由 （ 1 ）得，当 a W 1 0 9 . 2 时，小华家的用电量在第一档；当 1 0 9 . 2 1 8 9 时，华家的用电量在第三档；5 . （ 2 0 1 4 云南）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2 0 0 0 件. 已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少4 0 0 件.
52、 求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水个多少件？5 . 解：设该企业向甲学校捐了 x 件矿泉水，向乙学校捐了 y 件矿泉水，由题意得,x + y = 2000x = 2y -400x = 1200y = 800,解得:答：设该企业向甲学校捐了 1 2 0 0 件矿泉水，向乙学校捐了 8 0 0 件矿泉水.【 聚 焦 中 考 】1 . （ 2 0 1 4 滨州） 李明同学早上骑自行车上学， 中途因道路施工步行一段路， 到学校共用时1 5 分钟. 他骑自行车的平均速度是2 5 0 米/ 分钟， 步行的平均速度是8 0 米/ 分钟. 他家离学校的距离是2 9 0 0 米. 如果他骑车和步行的时间分
53、别为x , y分钟，列出的方程是（ D ）A. 1X4- V = . 4B. （ x-2） 2=5, .,.x-2=-/5 , .,.XI=2+V5 , X2=2- y5 .点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右边； （ 2）把二次项的系数化为1；（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（ 4） 选择用配方法解一元二次方程时， 最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2 的倍数.例 3 （ 2014黔西南州） 三角形的两边长分别为2 和 6 , 第三边是方程X2-10X+21=0的解，则第三边的 长 为 （ ） A. 7 B. 3 C.
54、 7 或 3 D . 无法确定解：X2-10X+ 2 1 = 0 ,因 式 分 解 得 : （ x-3） （ x-7） = 0 ,解得：X|=3, x*7,. . 三角形的第三边是X2-10X+21=0的解，. . 三角形的第三边为3 或 7,当三角形第三边为3 时，2 + 3 b ,则 2a-b之值为何？（ D ）A. -57 B. 63 C. 179 D. 1812 . 解：X2-2X-3599=0,移 项 得 : x2-2x=3599, x2-2x+l=3599+l, 即 （ x-1） 2=3600,x-l=60 x-l=-60 解得：x=61, x=-59, : 一元二次方程式（-2*
55、-3599=0 的两根为 a、b且 ab, /.a=61, b=-59, /.2a-b=2x61- （ -59） = 1 8 1 ,故选 D.3. （ 2012南充）方程 x （ x-2） +x-2=0 的 解 是 （ D ） A. 2 B. -2, 1 C. -1 D. 2, -1考点三：根的判别式的运用例 3 （ 2014襄阳）如果关于x 的 一元二次方程kx2-V2T+T x+l=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是（ ）A. k - B. k i 且 以02 211C. W k V 一D . - 生且 2 02 22 229例4 (2012绵阳) 已知关于x 的方程X?- (m+
56、2) x+ (2m-l) =0.( 1 ) 求证：方程恒有两个不相等的实数根：(2 ) 若此方程的一个根是1 , 请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.解： ( 1) 证 明 : V= (m+2) 2-4 (2m -l) = (m-2) 2+4,. . 在实数范围内，m 无论取何值，(m-2) 2+4羽 ，即羽，关于x 的方程X?- (m+2) x+ (2m-l) =0恒有两个不相等的实数根：( 2 ) 根据题意，得：I? /、(m+2) + (2m-1) = 0 ,解得，m = 2 ,则方程的另一根为：3；当该直角三角形的两直角边是1、3 时，由勾股定理得斜边的长度为：
57、V 10；该直角三角形的周长为1+3+710=4+710；当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、 3 时， 由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 8；则该直角三角形的周长为1+3+2厢=4+29.对应训练3. (2015桂林) 关于x 的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( A )A. k l C. k -l4. (2014珠海) 已知关于x 的一元二次方程x2+2x+m=0.( 1 ) 当 m=3时，判断方程的根的情况；(2 ) 当 m=-3时，求方程的根.4 . 解： ( 1) , 当 m=3 时，=b；!-4ac=2：!-4x3=-8 1 0 时，根据题
58、意得x(O .lx+O .9) +x=12,整理得X2+19X-120=0,解方程，得力=-2 4 ( 不合题意，舍 去 ) ，X2=5,因为5 且 厚 2 B . Q 且 2 C . k且 后 2D.心 一 且 已23 3 4 4解： 方程为一元二次方程，； . k -2 翔 ，即厚2 , . 方程有两个不相等的实数根，. , . 0 , 二 ( 2 k + l ) 2-4 ( k -2 ) 2 0 , ( 2 k + l -2 k + 4 ) ( 2 k + l + 2 k -4 ) 0 ,3 3A5 ( 4 k -3 ) 0 , k- ,故k- 且 原2.故选 C .4 43 . ( 2
59、 0 1 3 潍坊) 如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3 x 3 个位置相邻的9 个数 ( 如 6 , 7, 8 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 2 0 , 2 1 , 2 2 ) .若圈出的9 个数中，最大数与最小数的积为1 92 , 则这 9 个数的和为( )A . 3 2 B . 1 2 6 C . 1 3 5 D . 1 4 4August o .3rHu致驾a9昨支智者22 W 且 kw 2 B . k2 9 且 kw 2 C . k 2& k H 2D . 心出且kw 23 3 4 4解： . 方程为一元二次方程，.k- 2 3 0 , 即修2 , . 方
60、程有两个不相等的实数根,., . 0 , . . . ( 2 k+ l) 2 - 4 ( k- 2 ) 2 0 , ( 2 k+ l - 2 k+ 4) ( 2 k+ l+ 2 k- 4) 0 ,.* .5 ( 4k - 3 ) 0 , k W 故 k 2 且 k x2. 故选 C .4 4点评：本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断出二次项系数不为0是解题的关键.6. ( 2 0 1 4烟台)下列一元二次方程两实数根和为- 4 的 是 ( )7 7 9 ?A . x+ 2 x - 4= 0 B . x - 4x + 4= 0 C . x+ 4x + 1 0 =
61、0 D. x+ 4x - 5= 0解：A、X2+ 2X - 4= 0 , V a = L b = 2 , c = - 4, .* .b2 - 4a c = 4+ 1 6= 2 0 0 ,31设方程的两个根为X I，X 2 ，.X i+ X 2 = - M - 2 , 本选项不合题意；B 、x2 - 4x + 4= 0 , Va = l, b = - 4, c = 4, ., .b2 - 4a c = 1 6 - 1 6= 0 ,设方程的两个根为X i，X 2 ，X 1 + X 2 = - - f = 4, 本选项不合题意；C、X2+ 4X+ 1 0 = 0 , V a = l, b = 4,
62、c = 1 0 , A b2 - 4a c = 1 6 - 40 = - 2 8 0 ,设方程的两个根为x i，x2, . , .X I+X2= - 1 = - 4(本选项符号题意，故选D二、填空题7 . ( 2 0 1 5聊城)一元二次方程 x 2 - 2 x = 0 的解是X | = 0 , x2= 2 _ _ _ .8 . ( 2 0 1 3青岛)如图，在一块长为2 2 米、宽 为 1 7 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路( 两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为3 0 0 平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为_ ( 2 2 - x )
63、 ( 1 7 - x ) = 3 0 0 .9 . ( 2 0 1 5德州)若关于x的方程a x ? + 2 ( a + 2 ) x + a = 0 有实数解，那么实数a的取值范围是 .解：当 a = 0 时，方程是一元一次方程，有实数根，当 a # 0 时，方程是一元二次方程，若关于 x 的方程 a x ? + 2 ( a + 2 ) x + a = 0 有实数解，则4= 2 ( a + 2 ) 2- 4a a 0 .解得：a - l.1 0 . ( 2 0 1 5莱芜)为落实两免一补” 政策，某市2 0 1 1 年投入教育经费2 50 0 万元，预计2 0 1 3 年要投入教育经费3 60
64、 0 万 元 .已 知 2 0 1 1 年至2 0 1 3 年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则 2 0 1 2年该市要投入的教育经费为 万元.解：根据题意 2 0 1 2 年为年0 0 ( 1 + x ), 2 0 1 3 年为 2 50 0 ( 1 + x ) ( 1 + x ).则 2 50 0 ( 1 + x ) ( 1 + x ) = 3 60 0 , 解得 x = 0 .2 或 x = - 2 .2 ( 不合题意舍去).故这两年投入教育经费的平均增长率为2 0 %, 2 0 1 2 年该市要投入的教育经费为： 2 50 0 ( 1 + 2 0 %)= 3 0 0 0万元.点评
65、： 本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量x ( 1 + 年平均增长率)年 数 = 增长后的量.1 1 . ( 2 0 1 5枣庄)已知关于x的方程x2+ mx - 6= 0 的一个根为2 , 则 这 个 方 程 的 另 一 个 根 是 .解：. . 方程x + mx - 6= 0 的一根为2,设另一个为a,，2 a = - 6 , 解得：a = - 3,则另一根是- 3 .点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程a x2+ b x + c = 0 ( a O ), 当 b2 - 4a c 0时方程有解，此时设方程的解为X I，X 2 , 则有X i+ X 2 =
66、- 2 , X 1 X 2 卫.a a1 2 . ( 2 0 1 4威海)若关于x的方程x ? + ( a - 1 ) x + a ? ： 。的两根互为倒数，则 a=.解：设已知方程的两根分别为m, n,由题意得：m 与 n互为倒数，即 mn = l,由方程有解，得到- 4a c = ( a - 1 ) 2 - 4a2 0 , 解得： -3又 mn = a2, . a2= l , 解得：a = l ( 舍去)或 a = - 1 , 则 a = - 1 .点评： 此题考查了根与系数的关系，倒数的定义，以及一元二次方程解的判定，一元二次方程a x2+ b x + c = 0 ( a 0 ), 当
67、b ? - 4a c 2 0 时， 方程有解， 设此时方程的解为x i和 X 2 , 则有x i+ x 2 = - 2 x iX 2 = .321 3 . ( 2 0 1 4日照)已知x i、 X 2 是方程2X2+ 1 4X - 1 6= 0 的两实数根,那么上的值为.X1 x2解：；x i、X 2 是方程2 x ? + 1 4x - 1 6= 0 的两实数根，根据韦达定理知，x j+ x 2 = - 7 x pX 2 = - 8 .一 X1 72 -2X (-8 ) _ 65+一 一 X X2 - 8 8点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是种经常使用
68、的解题方法.三、解答题1 4. ( 2 0 1 4荷泽)解方程： ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 2 ( x + 3 ) = 8 .1 4.解：原方程可化为 X2+ 2X- 3 = O . (X+ 3 ) (X- 1 ) = 0 , / .X i= - 3 , X 2 = l.1 5. ( 2 0 1 4滨州) 滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式( 每两队之间都赛一场) ，计划安排2 8 场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空.解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为.根据题意，可列出方程.整理，得.解这个方程，得.
69、合乎实际意义的解为,答：应邀请 支球队参赛.1 5 . 解： 设应邀请x支球队参赛， 则 每 对 共 打 ( x - 1 ) 场比赛， 比赛总场数用代数式表示为, x ( x - l ) .2根据题意，可 列 出 方 程 ( x - 1 ) = 2 8 . 整理，得LX2 -X= 2 8 ,2 2 2解这个方程，得 x , = 8 , X2= - 7 . 合乎实际意义的解为x = 8 . 答：应 邀 请 8支球队参赛.1 6 . ( 2 0 1 5 济宁) 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过6 0 棵，每棵售价1 2 0 元；如果购买树苗超过6
70、 0 棵，每增加1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0 . 5 元，但每棵树苗最低售价不得少于1 0 0 元，该校最终向园林公司支付树苗款8 8 0 0 元，请问该校共购买了多少棵树苗？1 6 . 解：因为6 0 棵树苗售价为1 2 0 元 6 0 = 7 2 0 0 元8 8 0 0 元，所以该校购买树苗超过6 0 棵，设该校共购买了 x棵树苗，山题意得：x 1 2 0 - 0 . 5 ( x - 6 0 ) = 8 8 0 0 , 解得：x , = 2 2 0 , x2= 8 0 . 当 X 2 = 2 2 0 时，1 2 0 - 0 . 5 x ( 2 2 0 - 6 0 ) = 4
71、0 1 0 0 , / . x = 8 0 ,答：该校共购买了 8 0 棵树苗.33第九讲：分式方程【 基础知识回顾】一、 分式方程的概念：分母中含有 的方程叫做分式方程【 名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：2、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。【 名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略2、分式方程的增根与无解并非用一个概念，无解完包含产
72、生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解 。 】三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。【 名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】 重点考点例析】考点一：分式方程的概念( 解为正、负数)例 1 (2014孝感) 关于x 的 方 程 生 吆 = 1 的解是正数，则 a 的取值范围是( )x -1A. a -l B. a -l 且 a#) C. a -l D. a- l 且 a齐2解：去分母得，2
73、x+a=x-l,，x=-l-a, 方程的解是正数，即 a -l。又因为x-1/0, ；.a齐2。则 a 的取值范围是a 0 且 aW2 .34a 2z Y* 2. (2015黑龙江) 已知关于x 的分式方程 一一 - =0无解，则 a 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x + l X +Xa Y* 12 . 解：去分母得ax-2a+x+l=0. I 关于x 的分式方程-. . . . . =0无解，X+1 X +X(1) x (x+1) = 0 ,解 得 : x=-l, 或 x=0,当 x=-l 时，ax-2a+x+l=0,即-a-2a-l+l=0,解得 a=0,当
74、x=0 时，-2a+l=0,解得 a=.2( 2 ) 方程 ax-2a+x+l=0 无解，即 (a+1) x=2a-l 无解，.*.a+l=0 a=-l.故答案为：0、一或-1.2点评：本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中.考点二：分式方程的解法x 6 例 3 (2014上海) 解方程： + = .x + 3 x2 -9 x-3解：方程的两边同乘(x+3) (x -3 ), 得 x (x-3) +6=x+3,整理，得 x2-4x+3=0,解得 x1=l, x2=3.经检验：x=3是方程的增根，x = l是原方程的根，故原方程的根为x=l.点评：本题考查了分式方程的
75、解法. 注意： ( 1) 解分式方程的基本思想是“ 转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解. (2 ) 解分式方程一定要验根.对应训练3 1 43. (2015苏州) 解分式方程：上 一 + 一二一5.x + 2 x x +2x3 . 解：去分母得：3x+x+2=4,解得：x = - , 经检验，x=是原方程的解.2 2考点三：分式方程的增根问题1 -kx 1例 4 (2012攀枝花) 若分式方程：2+ =有增根，贝 ljk=_.x - 2 2 - x1 kx 1解： 分式方程2 + / f = 5 一有增根，去分母得：2 (x-2) + l-k x = -L 整理得： (2-k) x=2
76、,x 2 2 - x2当 2 2 0 时，x = ；当 2 k=0是，此方程无解，即此题不符合要求；2 _ k1 - Lx 1 21分式方程 2+-=-有增根，x-2=0, 2-x=0,解得：x = 2 ,即- - - - -= 2 ,解得：k=l.x 2 2 -x 2 - k点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题目比较典型，是一道比较好的题目，增根问题可按如下步骤进行：根据最简公分母确定增根的值；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.对应训练4. (2015佳木斯) 已知关于x 的分式方程幺二1*=1有增根，则 2=_ .x + 2354.解：方程两边都乘以
77、（ x + 2 ）得 , a - l = x + 2 , . 分式方程有增根，. . x + 2 = 0 ,解得 x = - 2 , a - 1 = - 2 + 2 ,解得 a = 1 .考点四：分式方程的应用例 5 （ 2 0 1 5 岳阳）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成.（ 1 ）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（ 2 ）已知甲队每月施工费用为1 5 万元，比乙队多6 万元，按要求该工程总费用不超过1 4 1 万元，工程必须在- 年内竣工（ 包 括 1 2 个月）.为
78、了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b个月（ a 、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？解： （ 1 ）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（ x - 5 ）个月完成，根据题意得：解得：x = 1 5 , 经检验x = 1 5 是原方程的根.x-5 x 6答：甲队需要1 0个月完成，乙队需要1 5 个月完成；（ 2 ）根据题意得：1 5 a + 9 b W 1 4 1 , + 解得：a 9 .1 0 1 5；a 、b 都 是 整 数 .a = 4 b = 9 或 a = 2 b = 1 2点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，
79、列分式方程解应用题的, 般步骤：设、歹 I J 、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等.对应训练5 . （ 2 01 5 珠海）某商店第一次用6 00元购进2 B 铅笔若干支，第二次又用6 00元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的2倍，购进数量比第一次少了 3 0支.4（ 1 ）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（ 2 ） 若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于4 2 0元，问每支售价至少是多少元？5 . 解 ： （ 1 ）设第一次每支铅笔进价为x 元，根据题意列方程得，理-等= 3 0,x 二4解
80、得，x = 4 , 检验：当 x = 4 时，分母不为0 ,故 x = 4 是原分式方程的解.答：第一次卷只铅笔的进价为4元.（ 2 ）设售价为y 元，根据题意列不等式为： x （ y - 4 ） + 芈x （ y 5 ） 4 2 0 ,4 4 x 34解得，y 次 . 答：每支售价至少是6元.【 聚焦中考】1 . （ 2 01 4 莱芜）对于非零的实数a 、b,规定若2 （ 2 x - 1 ） = 1 , 则 x=（ ）b a解：V 2 ( 2 x - 1 ) = 1 , - A = l , 去分母得 2 - ( 2 x - l ) = 22 x - 1 236解得x至 ，检验：当 x至 时
81、 ，2 （ 2 X -1 ）工 0 , 故分式方程的解为x至 . 故 选 A.6 6 6点评： 本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解.也考查了阅读理解能力.2. （ 2015潍坊）方 程 血 -如 = 0 的根是_x=30.x + 3 x3. （ 2014日照）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8 折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8 折优惠，需付款1936元； 若多买88个， 可享受8 折优惠， 同样只需付款1936元。 请问该学
82、校九年级学生有多少人？3 . 解：设九年级学生有x 人，根据题意，列方程得： 也、 0.8 = 里 立 ，x x + 88整理得：0.8 （ x+88） = x , 解之得：x=352,经检验x=352是原方程的解.答：这个学校九年级学生有352人.4 . （ 2015青岛）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米. 小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟. 求小丽所乘汽车返回时的平均速度.4 . 解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x 千米/ 时，根据题意得：84 45 20- = ,解这个
83、方程，得 x=75,经检验，x=75是原方程的解.1.2x x 60答：小丽所乘汽车返回时的速度是75千米/ 时.5. （ 2015临沂）某工厂加工某种产品. 机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的 2 倍多9 件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的巳倍，求手7工每小时加工产品的数量.5 . 解：设手工每小时加工产品x 件，则机器每小时加工产品（ 2x+9）件，根据题意可得：x - = - 2 2 _ ,解方程得x=27,经检验，x=27是原方程的解，x 7 2x + 9答：手工每小时加工产品27件.6. （ 2014济南）冬冬全家周末一起去济南山
84、区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了 5 斤，若采摘油桃和樱桃分别用了 80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？6 . 解：设油桃每斤为x 元，则樱桃每斤是2x元，根据题意得出： = + 5,x 2x解得：x = 8 ,经检验得出：x=8是原方程的根，则 2x=16,答：油桃每斤为8 元，则樱桃每斤是16元.7. （ 2013泰安）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（ 1）甲，乙
85、两公司单独完成此项工程，各需多少天？（ 2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？7 . 解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x 天，则乙公司单独完成此项工程需L5x天.根据题意，得+ 一 = , 解得x=20,经检验知x=20是方程的解且符合题意.1.5x=30x 1.5x 12故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；（ 2）设甲公司每天的施工费为y 元，则乙公司每天的施工费为（y-1500）元，根据题意得 12 （ y+y-1500） =102000,解得 y=5000,37甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20x5000=100000 （ 元）；乙公司单独完成
86、此项工程所需的施工费: 30x （ 5000-1500） =105000 （ 元）；故甲公司的施工费较少.8. （ 2015威海）小明计划用360元从大型系列科普丛书 什么是什么（ 每本价格相同）中选购部分图书. 六一 期间， 书店推出优惠政策： 该系列丛书8 折销售. 这样， 小明比原计划多买了 6 本. 求每本书的原价和小明实际购买图书的数量.解：设每本书的原价为x 元，根据题意，得 国 -酗 =6，0. 8x x解这个方程，得 x=15,经检验，x=15是所列方程的根，则 360 = 3 0 （ 本） ，所以，每本书的原价为15元，小明实际可购买图书30本.点评：本题考查了分式方程的应用
87、. 利用分式方程解应用题时， 般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数.38第十讲：一元一次不等式（ 组）【 基础知识回顾】一、 不等式的基本概念：1、不等式：用 连接起来的式子叫做不等式2、不等式的解：使不等式成立的 值，叫做不等式的解3、不等式的解集：一个含有未知数的不等的解的 叫做不等式的解集【 名师提醒：1、常用的不等号有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 等2、不等式的解与解集是不同的两个概念，不等式的解事单独的未知数的值 ，而解集是一个包
88、围的未知数的值组成的机合，一般由无数个解组成3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。注意在数轴上表示为，而“ 2 ” “ 小”在数轴上表示为二、不等式的基本性质：基 本 性 质1、不等式两边都加上（ 或减去）同一个 或同一个 不等号的方向 ,即：若 ab,则 a +c b+c（ 或 a- c b-c）基本性质2：不等式两边都乘以（ 或除以）同一个 不 等 号 的 方 向 ,即：若a ba0 贝ij a c b c （ 或一一 一 ）c c基本性质3、不等式两边都乘以（ 或除以）同一个 不 等 号 的 方 向 ,即：若a bab , cb, cwO ,则下列关系一定成立的是（D ）A. acb
89、c B. C. c - ac - b D. c+ac+bC c点评：主要考查了不等式的基本性质. 不等式的基本性质：39（ 1 ）不等式两边加（ 或减）同一个数（ 或式子） ，不等号的方向不变.（ 2 ）不等式两边乘（ 或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（ 3 ）不等式两边乘（ 或除以）同一个负数，不等号的方向改变.对应训练1 . （ 2 0 1 4怀化）已知a b ,下列式子不成立的是（D ）A . a + l b + l B . 3 a - l b D.如果 c x的解是2解：去分母得，4 x - 2 x ,移项得，4 x - x 2 ,合并同类项得，3 x 2 ,系数化为1得，x 2
90、 .3点评： 本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解答此题的关键.例3 （ 2 0 1 4长沙）一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示, 则下列符合条件的不等式组上 二， 1 ， 7， 为 （ ）- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5rx 2rx2f x 2f x 2A . , , B . Ic .、 D . Jx - 1- 1解：由图示可看出，从- I出发向右画出的折线且表示-I的点是实心圆，表示X 2 -1 ;从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x 2 ,所以这个不等式组的解集为-1 4 x l点评： 考查了不等式的解集，不等式
91、的解集在数轴上表示出来的方法： 空心圆点向右画折线, 2 实心圆点向右画折线， 空心圆点向左画折线， 4 ”实心圆点向左画折线.对应训练2 . （ 2 01 5白银）不等式2 - 2 x 2 .解：2 -2 x 2 ,则原不等式的解集为x 2 .点评： 此题考查了一元一次不等式的解法，解法步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数系数化为1 ,求出解集.3 . （ 2 01 4咸宁）不等式组J 、二的解集在数轴上表示为（ ）4 - 2 x 3 0404 - 2 x 0, 由得，x l ；由得，x 2 ,故此不等式组的解集为：1 V X V 2 .在数轴上.表示为:-1 0点评：本题考查
92、的是在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键.考点三：不等式（ 组）的特殊解例3 （ 2 01 2毕节地区）不等式组 2 f 的整数解是.1 - 2 x 4解：2、 J , 解得：x - 2Q l -2 x 4 2则不等式组的解集是：-W X 4 1 ,则整数解是：-1 , 0, 1 .2点评：本题考查了不等式组的整数解，正确解不等式组是解题的关键.对应训练f 2 x +5 2 ,解得：x 3 ,则不等式组的解集是：2 5A” （ 2 x3 x -3 5 +解：1 由得，x 包33 x -a 5 3 . 此不等式组有实数解，.空 3 ,解 得a
93、 x +23 25 . （ 2 01 2鄂州）若关于x的不等式 的解集为x V 2 ,则a的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _卫 x +2事0 , 解不等式得：x 2 ,解不等式得：x -a ) 不等式组的解集是x 2 , ，-a 2 2 ,，a V -2 ,点评： 本题考查了不等式的性质、解 元一次不等式（ 组）的应用，关键是能根据不等式的解集得出关于a的不等式，题目比较好，难度不大.考点五：不等式（ 组）的应用例5 （ 2 01 2自贡）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织2 8个中国结，已知弟弟单独编织一周（ 7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成.哥哥平均每天比
94、弟弟多编2个.求：（ 1 ）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？ （ 答案取整数）（ 2 ）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？解：（ 1 ）设弟弟每天编x个中国结，则哥哥每天编（ x +2 ）个中国结. f ?x 2 8依题怠得： ,、 ，解得：2 x 2 8（ 2 ）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，依题意得：3 （ m +2 ） = 5 m ,解得：m = 3 .答：弟弟每天编3个中国结；若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作3天，两人所编中国结数量相同.点评： 本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，
95、找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系.对应训练5 . （ 2 01 2铜仁地区） 为了抓住梵净山文化艺术节的商机， 某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品. 若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要9 5 0元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要8 0 0元.（ 1 ）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（ 2 ）若该商店决定购进这两种纪念品共1 0 0件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这1 0 0件纪念品的资金不少于7 5 0 0元，但不超过7 6 5 0元，那么该商店共有几种进货方案？（ 3 ）若销售每件A种纪念品可获利润2 0元，每件B种纪念品可获利润3 0元
96、，在 第（ 2 ）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？解：（ 1 ）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据题意得方程组得：0 a+ 3 b= 9 5 0 ,解方程组得： a= 1 0 0 ,1 5 a+ 6 b= 8 0 0 lb= 5 0. . . 购进一件A种纪念品需要1 0 0元，购进一件B种纪念品需要5 0元；（ 2 ）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（1 0 0 - x ）个， lO O x + 5 0 (1 0 0 - x ) 7 5 0 01 0 0 x + 5 0 (1 0 0 - x ) 7 6 5 0解得：5
97、 0 x 5 3 , Vx为正整数，共有4种进货方案;（ 3 ）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，因此选择购A种5 0件，B种5 0件. 总利润= 5 0 x 2 0 + 5 0 x 3 0 = 2 5 0 0 （ 元）当购进A种纪念品5 0件，B种纪念品5 0件时, 可获最大利润, 最大利润是2 5 0 0元.点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键，注意第二问应求得整数解.42【 聚 焦 中 考 】 - 1 51 . （ 2 0 1 2临沂）不等式组3 x - l的解集在数轴上表示正确的是（在数轴上表示为:x - 1
98、,D .B . 不等式组的解集为:- l x 3 ,2-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 .点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意 两定J 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可. . 定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是： 小于向左，大于向右” .2 . （ 2 0 1 2泰安）将不等式组.rx + 8 3 ；由得，x 0 1 2 3 4 5点评：本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆
99、点的区别.3 . （ 2 0 1 2烟台）不等式组.一 覆 3、 的解集在数轴上表示正确的是（ ）X - 1A .- 1 0 1 2B .- 1 0 1 243C. -1 0 1 2D. -1 0 1 2解: 2 x - l4 3 x - 1 (2 )解不等式得，x - 1,所以不等式组的解集为-1 5/的解 等 于 ( )3 x - 2 4A. l x lC. x2 D. x 2 2 x + 35 3 x - 2 l;由得，x 2 ,故此不等式组的解集为：l x 2 .点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 的原则是解答此题的关键.5
100、. （ 2012滨州）不等式 : 的解集是（ ）x + 8 3 B. x2 C. 2x 3 .则不等式组的解集是：x3.x + 8 4 4 x - 1 点评： 本题考查的是元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断. 还可以观察不等式的解，若 x 较小的数、较大的数，那么解集为x 介于两数之间.6. （ 2012日照）某校学生志愿服务小组在“ 学雷锋” 活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老 人 .如果分给每位老人4 盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5 盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4 盒，但至少1 盒.则这个敬老院的老人最少有（ ）A. 29 人 B. 30 人 C.
101、 31 人 D. 32 人解：设这个敬老院的老人有x 人，依题意得：( 4x + 28- 5 ( x -1) 1解得：29 37. （ 2012荷泽）若不等式组 的解集是x 3 ,则 m 的取值范围是解：, 不等式组广 的解集是x3, m43.点评：本题考查的是不等式的解集，熟知 同大取较大的法则是解答此题的关键.448 . （ 2012济南）不 等 式（2x组 0的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .x+l0解：2x14个 ，由得，x2 ；由得，X 2 - 1 , 故此不等式组的解集为：-14X 0 0点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知 同大取大；同小取
102、小；大小小大中间找；大大小小找不到 的原则是解答此题的关键.r2x- 53 （ x - 1） 9 . （ 2012威海）解不等式组，并把解集表示在数轴上：J X-1 .3 - 一一1 解：解不等式，得 X 4 - 2 , 解不等式，得 x - 3 , 故原不等式组的解集为-3 V x s - 2,在数轴上表示为（ 如图）- 6- - -3 -2 -1 0 1 2点评： 本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键.10. （ 2012日照）解不等式组：,4x+6l - x3 ( x - 1 ) 4x+5并把解集在数轴上表示出来.解：4
103、 , 、 x,（ i ）7 由不等式移项得：4x + x l - 6 , 整理得：5x -5,3 （ x -1 ） -l , . . . （ 1 分）由不等式去括号得：3x -34x + 5, 移项得：3X-X45+3,合并得:2x 48, 解得：x “，. . . 则不等式组的解集为- I V x . . . .在数轴上表示不等式组的解集如图所示，. . .-5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5点评：此题考查了一元一出不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，然后利用取解集的方法（ 同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解）来找出不等式组
104、的解集.3x+l2 （ x+2）11. （ 2012聊城）解不等式组 1彳5- g x4百x+23x+l2 （ x+2） 0解： 1 / 5 解不等式，得 x 3 , 解不等式，得 XN - 1.- x y + 2 所以原不等式组的解集为- l x 3. x+512. （ 2012济宁）解不等式组X ,并在数轴上表示出它的解集.x -3 （ x - 1） 2x , 解得：x 5 ：x 3 （ x - 1）4 5 由不等式去括号得：x - 3x + 3 - 1,把不等式、的解集表示在数轴上为：则原不等式组的解集为-14x1 000,解得tl 心 ，所以t的最小值为1 1 .答：t的最小值为1 1
105、 .3点评：此题主要考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，再设出未知数列出方程组与不等式组.46第十一讲：平面直角坐标系与函数【 基础知识回顾】一、 平面直角坐标系：1、定义：具有 的两条 的数轴组成平面直角坐标系，两 条 数 轴 分 别 称 轴轴或 轴 轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对 来表示，如A ( a . b ) , ( a . b )即为点A的 其中a是该点的 坐标，b是 该 点 的 坐标平面内的点和有序数对具有 的关系。3、各象限内点的特点：平面内
106、点的坐标特征 P ( a . b ) ：第一象限第二象限第三象限 第四象限X轴上 Y轴上对称点：P对称点特殊位置点的特点：P ( a . b )若在一、三象限角的平分线上，则若在二、四象限角的平分线上，则对坐标轴的距离：P ( a . b )到x轴的距离 到y轴的距离 到原点的距离 坐 标 平 面 内 点 的 平 移 ：将点P ( a . b )向左右平移h个点位，对应点坐标为 或向 上 ( 下 ) 平 移K个点位，对 应 点 坐 标 为 一 或【 名师提醒： 坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆， 不可生硬死记一些结论】二、确信位置常用的方法：- 、般由两种：1、 平面
107、百角坐标系中的有序数时2、方位角与距离三、函数的有关概念：1、常量与变量：在某一变化过程中，始终保持 的量叫做常量，数值发生_ _ _ _ _ _ 的量叫做变量【 名师提醒：常量与变量是相对的，在一个变化过程中，用一个量在不同情况下可以是常量，也可以是变量，要根据问题的条件来确定】2、函数：、函数的概念：一 般 的 在 某 个 过程中如果有两个变量x、y对于x德每一个确定的值，y都有 的值与之对应，我们就成x是 y是x的、自变量的取值范围：主要有两种情况：、解析或有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景、函数的表示方法：、法、法、法、函数的同象：
108、对于一个函数，把自变象x和函数y的 每 对 对 应 值 作 为 点 的 与在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫做这个函数的同象【 名师提醒：1、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即 被 开 数 应 同 时 分 母 应 2、 函数的三种表示方法应根据实际需要选择， 有时需同时使用几种方法3、函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，同象上任意一点的坐标是解析式方程的一个解，反之满足解析式方程的每一个解都在函数同象上】【 重点考点例析】考点一：平面直角坐标系中点的特征例1 ( 2 0 1 2扬州) 在平面直角坐标系中， 点P ( m , m - 2
109、)在第一象限内， 则m的取值范围是.m0解：由第一象限点的坐标的特点可得： ,解得：m 2 .in-2 047对应训练1 . ( 2 0 1 4怀化) 在平面直角坐标系中，点( - 3 , 3 )所在的象限是(B )A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限考点二：平面直角坐标系与其只是例2 ( 2 0 1 5济南) 如图，矩 形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A( 2 , 0 )同时出发，沿矩形B C D E的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2 0 1 2次相遇
110、地点的坐标是( ) A . (2 , 0 ) B . ( - 1 , 1 ) C . ( - 2 , 1 ) D . ( - 1 , - 1 )解：矩形边长为4和2 ,因为乙是甲速度的2倍，时间相同，甲与乙的路程比为1 ： 2 ,山题意知:第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为1 2 x 1 ,物体甲行的路程为1 2 x工=4 ,物体乙行的路程为31 2 x 2 = 8 ,在B C边相遇;3第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为1 2 x 2 ,物体甲行的路程为1 2 x 2 x 1 = 8 ,物体乙行的路程3为1 2 x 2 x 2 = 1 6 ,在D E边相遇；3第三次相遇物体甲与物体乙行的路
111、程和为1 2 x 3 ,物体甲行的路程为1 2 x 3 x=1 2 ,物体乙行的路程3为1 2 x 3 x 2 = 2 4 ,在A点相遇；3此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，.2 0 1 2 +3 = 6 70 2 ,故两个物体运动后的第2 0 1 2次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为1 2 x 2、 工8 ,3物体乙行的路程为1 2 x 2 x 2 = 1 6 ,在D E边相遇；此时相遇点的坐标为：(-1 , - 1 ),3对应训练2 . (2 0 1 2莆田)如图， 在平面直角坐标系中，A (1 , 1 ), B ( - 1 , 1 ), C ( - 1
112、, -2 ), D (1 , -2 ).把一条长为2 0 1 2个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A-B - C - D - A -的规律紧绕在四边形A B C D的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( ) A . (1 , - 1 ) B . ( - 1 , 1 ) C . ( - 1 , -2 ) D . (1 , - 2 )48解：V A （ I , 1 ） , B （ - 1 , 1 ） , C （ - 1 , - 2 ） , D （ 1 , - 2 ） ,A A B = 1 - （ - 1 ） = 2 , B C = 1 - （ - 2 ） =
113、 3 , C D = 1 - （ - 1 ） = 2 , D A = 1 - （ - 2 ） = 3 ,，绕四边形A B C D一周的细线长度为2 +3 +2 +3 = 1 0 , 2 0 1 2 -1 0 = 2 0 1 .2 ,； 细线另一端在绕四边形第2 0 2圈的第2个单位长度的位置，即点B的位置，坐标 为（ -1 , 1 ） .考点三：函数的概念及函数自变量的取值范围例3 （ 2 0 1 2凉山州）在函数y = 中，自变量x的取值范围是.x解：根据题意得：x +l K ）且 原0 解得：x N -l且 存0 .对应训练23 . （ 2 0 1 4衡阳）函数y = 中自变量x的取值范围
114、是（A ）-Vx + 2A . x -2 B . x 2 C . x ， -2 D . x -2考点四：函数图象的运用例4 （ 2 0 1 5鸡西）一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S （ 米）与散步时间t （ 分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（ ）A .从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了 B .从家出发，到了一家书店，看了一会儿书,继续向前走了一段，然后回家了 C.从家出发，一直 散 步 （ 没有停留） ，然后回家了D.从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，1 8分钟后开始解：A、从家出发，到了
115、 家书店，看了一会儿书就回家了，图象为梯形，错误；B、 从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了，描述不准确，错误;C、从家出发， 一直散步（ 没有停留） ，然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；D、从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，1 8分钟后开始返回从家出发，符合图象的特点，正确. 故选D .例5 （ 2 0 1 4铁岭）如图， A B C D的边长为8 ,面积为3 2 ,四个全等的小平行四边形对称中心分别在A B C D的顶点上，它 们 的 各 边 与A B C D的各边分别平行，且 与A B C D相似. 若小平行四
116、边形的一边长为X ,且0 3 B. x3 C. x?3 D. x 0 ,解得x3. 故选A.点评： 本题考查了函数式有意义的x的取值范围. 判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数. 易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆.2. （ 2012蒲泽）点P （ -2, 1）在平面直角坐标系中所在的象限是（B ）50A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限3. （ 2011青岛）如图，若将直角坐标系中“ 鱼” 的每个“ 顶点” 的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来 的 则 点 A 的
117、对应点的坐标是（ A ）2A. （ -4, 3） B. （ 4, 3） C. （ -2, 6） D. （ -2, 3）4. （ 2012日照）洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（ 工作前洗衣机内无水） . 在这三个过程中，洗衣机内的水量y （ 升）与浆洗一遍的时间x （ 分）之间函数关系的图象大致为（ D ）解：每浆洗一遍，注水阶段，洗衣机内的水量从0 开始逐渐增多，清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间，排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0 , 纵观各选项，只有D 选项图象符合.5. （ 2012济宁）周的升旗仪式匕同学们看到匀速上升的旗子，能反
118、应其高度与时间关系的图象解：；旗子是匀速上升的，且开始时是拿在同学手中，旗子的高度与时间关系是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大，纵观各选项，只有D 选项图象符合.7. （ 2012临沂）如图，正方形ABCD的边长为4 cm ,动点P、Q 同时从点A 出发，以 lcm /s的速度分别沿A -B C 和 AD - C 的路径向点C 运动，设运动时间为x （ 单位：s） , 四边形PBDQ的面积为y （ 单位：cm2） , 则 y 与 x （ 0x 0时，其同象过、 象限，时y随x的增大而 ) 当1 0时，其同象过、 象限，时y随x的增大而3、一 次函数产k x +b ,同象及函数性质
119、 当 k0, b 0 ,函数户kx+b的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大； 当 k0, b 0 ,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大； 当 k 0 时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小； 当 kVO , b 0或kx+b 0 时，y 随 x 的增大而增大，则一次h函数y=x+b的图象不经过第几象限. （ ）A. B. - C . 三 D . 四X解： . 反比例函数产一（ b 为常数） ，当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大，.b ,一次函数产x+b中 k=l0, b 0 ,解得 m 0 时
120、 ， ，= 2 ,解得 k=l；当 k0 时，- = 2 ,解得 k=-l.k k故此函数的解析式为：y=x+2或 y=-x+2.54考点三：一次函数与方程（ 组）不等式（ 组）的关系例 4 （ 201 4恩施州）如图，直线尸k x +b经过A （ 3, 1 ）和B （ 6 , 0）两点，则不等式组0k x +b解：将 A ( 3, 1 )和 B ( 6 , 0）分别代入产1 +1 得，”3k+b = 16 k + b = 0k = - -3b = 2，解得 x + 20则函数解析式为尸-；x +2.可得不等式组 ”1 c 1 1 + 2 - x3 3解得3 x V 6 .点评：本题考查了一次
121、函数与元一次不等式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键.例 5 （ 201 5贵阳）如图，一次函数kk | X +b 的图象4与y = k 2 x +b 2的图象4相交于点P ，则方程组y - k1x +仄y = k2x + b2的 解 是 （)A.x = -2y = 3y = -3B . = 2C. x = 2j = 3D . 2 的解集是方法一: 把 （ 1, 2）代入 y=ax-l 得：2=a-l, 解得：a=3,y=3x-l 2 , 解得：x l,方法二：根据图象可知：产a x-l2的 x 的范围是x l , 即不等式ax-1 2 的解集是x l,点评：本题考查了一次函数与一元一
122、次不等式的应用， 主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，能把一次函数与一元一次不等式结合起来是解此题的关键.5. （ 2012呼和浩特） 下面四条直线， 其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是（ ）. . . 一次函数y=；x - l, 与 y 轴交于点（0 ,-1 ） , 与 x 轴交于点（2, 0） , 即可得出C 符合要求，考点四：一次函数的应用例 6 （ 2015遵义）为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案,图中折线反映了每户每月用电电费y （ 元）与用电量x （ 度）间的函数关系式.（ 1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
123、（2）小明家某月用电120度，需交电费 元；（3）求第二档每月电费y （ 元）与用电量x （ 度）之间的函数关系式；（ 4）在每月用电量超过230度忖，每 多 用 1 度电要比第二档多付电费m 元，小刚家某月用电290档次第一档第二档第三档每月用电量X （ 度）0230；（ 2）根据第一档范围是：0 x 1 4 0 ,根据图象上点的坐标得出：设解析式为：y=kx,63将 （ 140 , 63）代入得出: k= =0.45,故 y=0.45x,当 x=120, y=0.45X 120=54 （ 元） ,（ 3）设第二档每月电费y （ 元）与用电量x （ 度 ）之间的函数关系式为：产ax+c,56
124、将 (140, 63), (230, 108)代入得出:140a + c = 63230。 +。= 108,解得c = -7则第二档每月电费y （ 元）与用电量x （ 度）之间的函数关系式为：y=1x-7 （ 1400, ； .y 随 x 的增大而增大，；x28, . . . 当x=8时，y 最小，购买甲种原料8 千克时，总费用最少.【 聚焦中考】1. （ 2015济南）一次函数产kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的 解 为 （ C ）A. x=2 B. y=2 C. x=-l D. y=-l2. (2015潍坊)A. -4b8若直线y=-2x-4与直线y=4x+b的交点在第三象限，则
125、 b 的取值范围是（B. -4b0 C. b 8 D. 4WbW8)572 . 解：，y = -lx -, 4，解得：y = 4x + bb + 4x = -6b-Sy = ，;交点在第三象限,b+4 b-80, -4, b8, A-4b200时，y 与 x 的函数表达式；（ 2）小明家5 月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？5 . 解：（1）当 0WxW200时，y 与 x 的函数表达式是y=0.55x；当 x200 时，y 与 x 的函数表达式是 y=0.55X200+0.7 （ x-200） , 即 y=0.7x-30；（ 2）因为小明家5 月份的电费超过110元，所以把y=1
126、17代入y=0.7x-30中，得 x=210.答：小明家5 月份用电210度.6. （ 2015临沂）小明家今年种植的“ 红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y （ 单位：千克）与上市时间x （ 单位：天）的函数关系如图1 所示，樱桃价格z （ 单位：元/ 千克）与上市时间x （ 单位：天）的函数关系式如图 2 所示.（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；（ 2）求小明家樱桃的日销售量y 与上市时间x 的函数解析式；58( 3 ) 试比较第10天与第12 天的销售金额哪天多？6 . 解：( 1 ) 由图象得：12 0千克，
127、( 2 ) 当 0 W x W 1 2 时，设日销售量与上市的时间的函数解析式为尸k x , . 点 ( 12 , 12 0) 在 产 k x 的图象，. .k WO , . .函数解析式为y = 10x ,当 1 2 x W 2 0 , 设日销售量与上市时间的函数解析式为尸k x + b ,丁 点 ( 12 , 12 0) , ( 2 0, 0 ) 在 月 c x + b 的图象上,12 攵+ b = 12020k+b = 0% = -15 b=3Q0函数解析式为y = - 15 x + 3 00,小明家樱桃的11销售量y与上市时间x的函数解析式为：y = 10x ( 0Wx W12 ) - 15 x + 3 00 ( 1 2 x 2 0 ) ；( 3 ) . 第 10天和第12 天在第5 天和第15 天之间,. .当5 2 16 0, . .第10天的销售金额多.59
