w第05章静止电荷的电场[章节课程]

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1、第第5章章 真空中的静电场真空中的静电场 本章内容：本章内容：5. 1 电荷电荷5. 2库仑定律库仑定律5. 3电场强度电场强度5. 4高斯定理高斯定理5. 6电势电势 环路定理环路定理5.7等势面等势面5.8电势梯度电势梯度1基础教育a5.1 5.1 电荷电荷(electric charge)1. 两种电荷两种电荷2.电荷守恒定律电荷守恒定律(law of conservation of charge) 在一个与外界没有电荷交换的系统内在一个与外界没有电荷交换的系统内, 正正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变.3.电荷量子化电荷量子化(quantiz

2、ation of electric charge) 实验证明实验证明: 微小粒子带电量的变化不是连续的微小粒子带电量的变化不是连续的,只能是只能是某个基元电荷某个基元电荷e 的整数倍的整数倍.(库仑库仑)4.电荷的相对论不变性电荷的相对论不变性(relativistic invariance of electric charge) 电荷的电量与其运动无关即在不同的参考系内观察同一带电荷的电量与其运动无关即在不同的参考系内观察同一带电粒子的电量不变电粒子的电量不变1986年推荐值：年推荐值：夸克带有分数电荷：夸克带有分数电荷：(1/3)e ; (2/3)e夸克理论：强子（如质子、中子、介子等）由

3、夸克构成夸克理论：强子（如质子、中子、介子等）由夸克构成2基础教育a5.2 5.2 库仑定律与叠加原理库仑定律与叠加原理1. 两个点电荷相互作用两个点电荷相互作用库仑定律库仑定律(Coulomb law) 在真空中在真空中, 两个静止点电荷之间的相互作用力的大小与两个静止点电荷之间的相互作用力的大小与它们的电量它们的电量q1和和q2的乘积成正比的乘积成正比, 与它们之间的距离的平方与它们之间的距离的平方成反比成反比, 作用力的方向沿着它们的连线作用力的方向沿着它们的连线, 同号电荷相斥同号电荷相斥, 异号异号电荷相吸电荷相吸.q1q2表示单位矢量表示单位矢量SI制制: 真空介电常数（真空电容率

4、）真空介电常数（真空电容率）3基础教育a库仑定律的另一种表述库仑定律的另一种表述(1) 库仑定律适用于库仑定律适用于真空真空中的中的点电荷点电荷；(2) 库仑力满足牛顿第三定律；库仑力满足牛顿第三定律；(3) 电荷之间距离小于电荷之间距离小于 时时, 库仑定律仍保持有效库仑定律仍保持有效.至于至于 大距离方面大距离方面,虽然未作过实验验证虽然未作过实验验证,但也并没有特殊的理由但也并没有特殊的理由 预料在大距离情况下库仑定律将失效预料在大距离情况下库仑定律将失效.r讨论讨论(4) 距离相同的两个带电粒子距离相同的两个带电粒子放宽条件：施力电荷须静止，受力电荷静止或运动均可。放宽条件：施力电荷须

5、静止，受力电荷静止或运动均可。4基础教育aXian Jaotong University氢原子中电子和质子的距离为氢原子中电子和质子的距离为 解解例例此两粒子间的电力和万有引力。此两粒子间的电力和万有引力。求求两粒子间的静电力大小为两粒子间的静电力大小为两粒子间的万有引力为两粒子间的万有引力为2. 静电力的叠加原理（独立作用原理）静电力的叠加原理（独立作用原理）作用在作用在q0上的总静电力上的总静电力为为qi单独存在时单独存在时q0受力受力实验表明，库仑力满足线性叠加原理，实验表明，库仑力满足线性叠加原理，即不因第三者的存在而改变两者之间即不因第三者的存在而改变两者之间的相互作用。的相互作用。

6、6基础教育a 7.3 电场和电场强度电场和电场强度 一一.电场的物质性电场的物质性1. 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在有电场，引入该电场的任何带电体，都受到电场的作用力。存在有电场，引入该电场的任何带电体，都受到电场的作用力。2.场的物质性体现在：场的物质性体现在：a.给电场中的带电体施以力的作用。给电场中的带电体施以力的作用。b.当带电体在电场中移动时，电场力作功当带电体在电场中移动时，电场力作功. 表明电场具有能量。表明电场具有能量。c.变化的电场以光速在空间传播，表明电场具有动量变化的电场以光速在空间传播，表明电场

7、具有动量电荷电荷 电场电场 电荷电荷表明电场具有动量、质量、能量，体现了它的物质性表明电场具有动量、质量、能量，体现了它的物质性.静电场静电场静电场静电场相对于观察者静止的电荷产生的电场相对于观察者静止的电荷产生的电场相对于观察者静止的电荷产生的电场相对于观察者静止的电荷产生的电场7基础教育aQq0A B1不同点处不同点处:试探电荷受到的力的大小和方向可能不同试探电荷受到的力的大小和方向可能不同场源电荷场源电荷检验电荷检验电荷2任一固定点：比值任一固定点：比值 F/q0是一个大小和方向都与试探电荷无关的矢量是一个大小和方向都与试探电荷无关的矢量3当将电荷当将电荷Q拿走发现试探电荷不再受到力的作

8、用拿走发现试探电荷不再受到力的作用定义定义:电场强度电场强度(electric field intensity)某处的电场强度的大小等于单位电荷在该处所受到的电场力的某处的电场强度的大小等于单位电荷在该处所受到的电场力的大小大小,其方向与正电荷在该处所受到的电场力的方向一致其方向与正电荷在该处所受到的电场力的方向一致.在在SI制中制中:的单位是的单位是是矢量坐标的一个矢量函数是矢量坐标的一个矢量函数二二.电场强度电场强度 (electric field strength)带电量足够小带电量足够小检验电荷检验电荷质点质点8基础教育a一组点电荷在某点激发的场强一组点电荷在某点激发的场强,等于每个点

9、电荷单独存在时所产等于每个点电荷单独存在时所产生的电场在该点场强的矢量和生的电场在该点场强的矢量和,称为场强的叠加原理称为场强的叠加原理由由则则每个点电荷单每个点电荷单独存在的场强独存在的场强场源电荷场源电荷 检验电荷检验电荷q0 点电荷点电荷q在电场在电场 中受力中受力 总场总场三三.场强的叠加原理场强的叠加原理静电场特点静电场特点静电场特点静电场特点: : : :电场分布不随时间变化电场分布不随时间变化电场分布不随时间变化电场分布不随时间变化9基础教育a1.场源电荷场源电荷点电荷点电荷产生的场强产生的场强位矢位矢 求场点求场点O 场源场源2、场源电荷场源电荷点电荷系点电荷系电场中的场强电场

10、中的场强表示表示 的单位矢量。的单位矢量。10基础教育a3、场源电荷连续分布场源电荷连续分布（连续带电体（连续带电体)电场中的场强电场中的场强将带电体分成很多元电荷将带电体分成很多元电荷 dq dq , ,先求出它在任意场点先求出它在任意场点p p 的场强的场强对场源求积分，可得总场强：对场源求积分，可得总场强：以下的问题是以下的问题是如何选出合适如何选出合适的坐标，给出的坐标，给出具体的表达式具体的表达式和实施计算。和实施计算。pdq : 电荷线密度电荷线密度 :电荷面密度电荷面密度 :电荷体密度电荷体密度11基础教育a五、电偶极子的电场强度（五、电偶极子的电场强度（离散分布电荷的电场）离散

11、分布电荷的电场）（偶极矩）（偶极矩） 等量异号点电荷等量异号点电荷等量异号点电荷等量异号点电荷组成系统，当讨论的组成系统，当讨论的场点的距离场点的距离场点的距离场点的距离r r 远大于两远大于两远大于两远大于两电荷间距电荷间距电荷间距电荷间距 l l 时时时时，称这一带电系统，称这一带电系统-电偶极子电偶极子电偶极子电偶极子。-电偶极子的极轴电偶极子的极轴定义电偶极矩定义电偶极矩方向：方向：-q +q12基础教育a 求电偶极子延长线上的场强分布求电偶极子延长线上的场强分布由于由于或或13基础教育aO O 求电偶极子中垂线上的场强分布：求电偶极子中垂线上的场强分布：B点总场强为点总场强为或或由于

12、由于延长线上：延长线上：14基础教育a电荷与电场间的相互关系有两方面：电荷与电场间的相互关系有两方面：电荷产生电场电荷产生电场 电场对电荷施加力的作用电场对电荷施加力的作用例例1 1：计计算算电电偶偶极极子子在在均均匀匀电场中所受的力和力矩电场中所受的力和力矩 为为什什么么值值时时P P达达到到平平衡衡？是是稳稳定定平平衡衡还还是是不不稳稳定定平平衡衡？点电荷点电荷q在电场在电场 中受力中受力 带电体在电场中受的力和运动带电体在电场中受的力和运动15基础教育a F F+ +=qE=qE F F- -=-qE =-qE 大小相等方向相反则：合力大小相等方向相反则：合力F=0F=0而总力矩而总力矩

13、M M 表明：表明： （垂直）（垂直）M最大最大（平行）（平行）M=0力矩的作用总是使电偶极子转向场强力矩的作用总是使电偶极子转向场强E E的方向的方向平衡时平衡时M=0M=0： 当当=0=0时，是，是稳定平衡点定平衡点，因此时当，因此时当P P稍离开稍离开=0=0位置位置M M使之回到使之回到=0=0位置；位置； 当当=时，是是不不稳定定平平衡衡点点，因因此此时时当当P P稍稍离离开开=位位置置M M 不是使之回到不是使之回到=位置而是使之位置而是使之离开离开=位置回到位置回到=位置。位置。16基础教育a电场强度电场强度场源为点电荷：场源为点电荷：场源为点电荷系：场源为点电荷系：场源电荷连续

14、分布：场源电荷连续分布：1)电荷线分布电荷线分布.2)电荷面分布电荷面分布.3)电荷体分布电荷体分布. 电荷的线密度电荷的线密度,线元线元 电荷的面密度电荷的面密度,面元面元 电荷的体密度电荷的体密度,体积元体积元库仑定律库仑定律17基础教育a电场强度计算的步骤大致如下：电场强度计算的步骤大致如下： 任取电荷元任取电荷元dq，写出，写出dq在待求点的场强的表达式；在待求点的场强的表达式； 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式；选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； 进行积分计算；进行积分计算； 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小写出总的电场强度的矢量表达

15、式，或求出电场强度的大小和方向；和方向；在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。18基础教育a例例 2 均匀带电直线周围电场分布均匀带电直线周围电场分布,如图所示如图所示yxapo.电荷的线密度为电荷的线密度为 19基础教育a讨论讨论:1) 当当p 点落在带电直线的中垂线上点落在带电直线的中垂线上, 2=- 1则则只剩下只剩下2)当带电直线为当带电直线为 长时长时,即即 1 0 , 2 yxapo.20基础教育a讨论讨论:3)当带电直线为半当带电直线为半 长时长时,如如 1 /2 , 2 4)当当 时时,1) 当当p 点落在带电直线的中垂线上点落在带

16、电直线的中垂线上,则则只剩下只剩下2)当带电直线为当带电直线为 长时长时,即即 1 0 , 2 yxapo.21基础教育a例例3 求均匀带电细圆环轴线上任一点的电场。求均匀带电细圆环轴线上任一点的电场。解解 以圆心为原点，轴线为以圆心为原点，轴线为x轴，建轴，建立坐标系。立坐标系。设圆环半径为设圆环半径为R，带电量为，带电量为q。在环上任取电荷元在环上任取电荷元dq。由对称性分析：由对称性分析：已知：已知：22基础教育av讨论：讨论：当当xR:表明远离环心处的电场相当于一个点电荷表明远离环心处的电场相当于一个点电荷q产生产生的电场的电场 可以当作一个点电荷。可以当作一个点电荷。当当x=0:当当

17、x=?:23基础教育aPRxyXr24基础教育a例例3 3 求求图所所示示均均匀匀带电圆面面轴线上上的的电场分分布布，已已知面密度知面密度，半径，半径R R。OORrPXdrx1.1.取环带取环带drdr2 23 325基础教育a讨论：讨论：1)1)当当R R (xR) (xR，亦可证明，亦可证明26基础教育a 例例5. 半径为半径为 R的半圆周上均匀地分布着线密度的半圆周上均匀地分布着线密度为为的正电荷，求圆心处的场强。的正电荷，求圆心处的场强。解：（解：（1 1）由对称性知：）由对称性知：（2 2）方向沿方向沿X X轴轴dqdq四分之一圆弧段在圆心产生的场强：四分之一圆弧段在圆心产生的场强

18、：27基础教育a1.无限长带电直线周围的场强：无限长带电直线周围的场强：3.3.均匀均匀带电圆环环轴线上上任一点任一点P P的的电场：1）xa时，时，2）当）当x=0(环心处环心处) E=04.4.无限大均匀带电平面：无限大均匀带电平面：点电荷点电荷5.均匀带电半圆环圆心处的场强：均匀带电半圆环圆心处的场强：2.半无限长带电直线周围的场强：半无限长带电直线周围的场强：四分之一四分之一圆弧段在圆弧段在圆心产生圆心产生的场强：的场强：28基础教育a图中所示中所示为一沿一沿x x轴放置的放置的“无限无限长”分段均匀分段均匀带电直直线，电荷荷线密度分密度分别为( (x x0 0和和 ( (x x0)0

19、)，则OxyOxy坐坐标平面上点平面上点(0(0，a a) )处的的场强强为 (A) 0 (B) (C) (D) B3、两个平行的、两个平行的“无限大无限大”均匀带电平面，均匀带电平面， 其电荷面密其电荷面密度分别为度分别为s和和2 s，如图所示，则，如图所示，则A、B、C三个区域三个区域EB_，EC_(设方向向右为正设方向向右为正) 的电场强度分别为：的电场强度分别为： EA_，3s / (20) s / (20) 3s / (20)29基础教育a一一电电场场线（电线（电力力线）线）（ electric field line ）反映电场强度的分布反映电场强度的分布任意两条电场线不相交任意两条

20、电场线不相交. .不能相切。不能相切。起始于正电荷（或无穷远处），终起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处）止于负电荷（或无穷远处）5.4 电通量电通量 高斯定理高斯定理 电场线的特点电场线的特点: :场强方向沿电场线切线方向，场强方向沿电场线切线方向，场强大小取决于电场线的疏密场强大小取决于电场线的疏密 静电场的电场线不会形成闭合曲线静电场的电场线不会形成闭合曲线dN定量描述定量描述不中断（电场线在无电荷处连续）不中断（电场线在无电荷处连续）30基础教育a+2q-q31基础教育a32基础教育a 二二 电通量电通量 (electric flux) e1 1）均匀场中均匀场中通过通

21、过d dS S 面元的电通量面元的电通量矢量面元矢量面元2 2）非均匀场非均匀场中中通过有限大曲面通过有限大曲面 S的电通量的电通量 1 1、电通量的定义、电通量的定义、电通量的定义、电通量的定义：通过电场中某一曲面电场线条数通过电场中某一曲面电场线条数,用用e表示。表示。2 2、电通量的计算公式：、电通量的计算公式：、电通量的计算公式：、电通量的计算公式：均匀电场，均匀电场，dS 法线方向与电场强度方向成法线方向与电场强度方向成角角33基础教育a3） 闭合曲线面闭合曲线面 S 的电通量的电通量.方向的规定：方向的规定：自内向外的法向为正方向自内向外的法向为正方向(1) (2) 电通量是代数量

22、电通量是代数量穿出为正穿出为正 穿入为负穿入为负 穿出、穿入闭合面电力线条数之差穿出、穿入闭合面电力线条数之差 (3) 通过闭合曲面的电通量通过闭合曲面的电通量几何含义：几何含义：通过闭合曲面的电场线的净条数通过闭合曲面的电场线的净条数34基础教育a三三 高斯定律（高斯定律（Gauss law)如图如图 ,以点电荷的中心作半径为以点电荷的中心作半径为 r 的球面的球面.+q1.求包围点电荷求包围点电荷 q 的同心球面的同心球面 S 的电场通量的电场通量通过球面的电通量与球面半径无关，通过球面的电通量与球面半径无关，说明说明对以点电荷对以点电荷 q为中心为中心的任意球面而言，通过它们的电通量都一

23、样。即由场源电荷的任意球面而言，通过它们的电通量都一样。即由场源电荷+q发出的电场线连续的延伸到无穷远而发出的电场线连续的延伸到无穷远而不会中断不会中断35基础教育a2. 求包围点电荷求包围点电荷 q 的任意闭合曲面的电通量的任意闭合曲面的电通量由于上述结论与球面半径由于上述结论与球面半径r无关无关,说明对以点电荷说明对以点电荷 q为中为中心的任意心的任意 球面而言，通过它们的电通量都一样。球面而言，通过它们的电通量都一样。对两个无限接近的球面对两个无限接近的球面，通过它们的电通量都相同，通过它们的电通量都相同，说明说明电场线在无电荷处连续电场线在无电荷处连续SqS以以q为球心在任意为球心在任

24、意S闭合曲面内外闭合曲面内外 取同心球面取同心球面S和和S”q通过通过S”和和S的电场通量相同为的电场通量相同为所以通过所以通过S的电通量的电通量S e 与曲面的形状和与曲面的形状和 q 的位置无关，只的位置无关，只与闭合曲面包与闭合曲面包围的电荷电量围的电荷电量 q 有关。有关。36基础教育a3. 求通过不包围点电荷任意闭曲面求通过不包围点电荷任意闭曲面 S 的电通量的电通量qS电场线在无电荷处连续电场线在无电荷处连续进入与穿出进入与穿出S面的电场线数量相同面的电场线数量相同4. 多个点电荷电通量等于它们分别单独存多个点电荷电通量等于它们分别单独存在时的电场通量的代数和在时的电场通量的代数和

25、37基础教育a高斯定律高斯定律表述表述 :真空真空静电场中通过任意静电场中通过任意闭合曲面闭合曲面 S 的的电场通量电场通量 e,等于该曲面所等于该曲面所包围的电荷的代数和包围的电荷的代数和 除以除以 0，与闭合曲面外电荷无关与闭合曲面外电荷无关38基础教育a注：注： 高斯定律是关于场源电荷与它的电场的关系的普遍规律高斯定律是关于场源电荷与它的电场的关系的普遍规律3.3.源于库仑定律源于库仑定律 高于库仑定律。高于库仑定律。库仑定律只适用于静电场；库仑定律只适用于静电场；而高斯定律也适用于运动电荷形成的电场而高斯定律也适用于运动电荷形成的电场. .2.2. e：是：是通过封闭面的通过封闭面的总

26、电通量，总电通量，只只与与闭合面内的电量闭合面内的电量有关有关, , 与电荷的分布无关。与电荷的分布无关。即即仅仅高斯面内高斯面内的电荷的电荷对对高斯面的高斯面的电电通量通量有贡献有贡献. .(不连续分布的源电荷不连续分布的源电荷)(连续分布的源电荷连续分布的源电荷)高斯定律高斯定律1.1. 是曲面上各点的场强，是所有电荷（是曲面上各点的场强，是所有电荷（面内外电荷面内外电荷）产生的产生的总电场强度总电场强度；与电荷量，电荷的分布有关与电荷量，电荷的分布有关因此因此39基础教育a4）高斯定律的微分形式）高斯定律的微分形式a、q0，则，则 ，电场线穿出闭合曲面，电场线穿出闭合曲面故故+ +q q

27、为静电场的为静电场的为静电场的为静电场的源头源头源头源头。b、q0 , 场是面对称的场是面对称的, 做柱形高斯面做柱形高斯面. 侧面垂直与带电面侧面垂直与带电面. 由高斯定律得由高斯定律得: e若等量异号电荷若等量异号电荷 - 一对无一对无限大平行平面薄板之间的场限大平行平面薄板之间的场强强 47基础教育a例例6 一电量为一电量为 Q 的点电荷的点电荷 位于边长为位于边长为 a 的正的正方形平面的中垂线上，方形平面的中垂线上，Q与平面中心与平面中心 O 点相距点相距 a/2 ，求通过正方形平面的电通量。，求通过正方形平面的电通量。解：以正方形为一面作一立方体状平面，解：以正方形为一面作一立方体

28、状平面，将将 Q 包围，使包围，使Q位于立方体的中点，则位于立方体的中点，则通过该闭合面的电通量为：通过该闭合面的电通量为：由对称性知，通过一个面的电通量为：由对称性知，通过一个面的电通量为：48基础教育a解：把半球面的下方补上一个一个圆面解：把半球面的下方补上一个一个圆面S，即成为，即成为一个封闭曲面一个封闭曲面S，则穿过整个去面，则穿过整个去面S的电通量为零，的电通量为零，由题意得，圆面由题意得，圆面S的方向与的方向与圆面的电通量也为零，因此穿过半球面的电通量圆面的电通量也为零，因此穿过半球面的电通量为零。为零。垂直，所以穿过垂直，所以穿过7.2 一电场强度为一电场强度为的均匀电场，的均匀

29、电场， 的方向与沿的方向与沿轴正向，如图所示则通过图中一半径为轴正向，如图所示则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为的半球面的电场强度通量为 (A) (B) (C) D (D) 0 49基础教育a 例例5. 半径为半径为 R的半圆周上均匀地分布着线密度的半圆周上均匀地分布着线密度为为的正电荷，求圆心处的场强。的正电荷，求圆心处的场强。解：（解：（1 1）由对称性知：）由对称性知：（2 2）方向沿方向沿X X轴轴dqdq四分之一圆弧段在圆心产生的场强：四分之一圆弧段在圆心产生的场强：50基础教育a1.无限长带电直线周围的场强：无限长带电直线周围的场强：3.3.均匀均匀带电圆环环轴线上上任一

30、点任一点P P的的电场：1）xa时，时，2）当）当x=0(环心处环心处) E=04.4.无限大均匀带电平面：无限大均匀带电平面：点电荷点电荷5.均匀带电半圆环圆心处的场强：均匀带电半圆环圆心处的场强：2.半无限长带电直线周围的场强：半无限长带电直线周围的场强：四分之一四分之一圆弧段在圆弧段在圆心产生圆心产生的场强：的场强：51基础教育a4.将一将一“无限无限长”带电细线弯成弯成图示形状，示形状，设电荷均匀分荷均匀分布，布，电荷荷线密度密度为l，四分之一，四分之一圆弧弧AB的半径的半径为R，试求求圆心心O点的点的场强强 OBA解：在解：在O点建立坐标系如图所示点建立坐标系如图所示 半无限半无限长

31、直直线A在在O点点产生的生的场强强： 半无限长直线半无限长直线B在在O点产生的场强：点产生的场强： 四分之一圆弧段在四分之一圆弧段在O点产生的场强：点产生的场强： 由场强叠加原理，由场强叠加原理，O点合场强为：点合场强为： 52基础教育a应用高斯定理求场强的要点应用高斯定理求场强的要点:（1）分析）分析 的对称性；的对称性；（2）选取合适的）选取合适的高斯面高斯面 ，p 需通过待求需通过待求 的区域；的区域；p 让让 S 上上待求待求 处处，且且 E 等大，等大，使得使得其余处其余处必须有必须有原则：原则：（3）根据高斯定理列方程求解根据高斯定理列方程求解53基础教育a三、计算题三、计算题 5

32、 图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径，球层内表面半径为为R1，外表面半径为，外表面半径为R2设无穷远处为电势零点，求球层中半径为设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势处的电势 54基础教育a5.6静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能Lqaq0brdrq0 由由 a 点点b 点，点，q的电场力的所做的功的电场力的所做的功移动单位正电荷静电场力对移动单位正电荷静电场力对 q0 做功与路径无关，仅与做功与路径无关，仅与 q0 的始的始末位置有关末位置有关或者：或者：电场强度的线积分与积分路径无关，仅与起点电场强度的线积分与积

33、分路径无关，仅与起点a和终点和终点b的的位置有关位置有关一一 静电力的功静电力的功-点电荷电场力作功只与试验电荷始末点电荷电场力作功只与试验电荷始末位置有关，而与其运动路径无关。位置有关，而与其运动路径无关。由上式得由上式得55基础教育a静电力是保守力静电力是保守力,静电场是保守场静电场是保守场若点电荷系若点电荷系 q1,q2,qn 激发场激发场 q0 从从P1P2电场强度的线积分为电场强度的线积分为以上每一项为点电荷的电场强度的线积分，均与积分路径无关以上每一项为点电荷的电场强度的线积分，均与积分路径无关对任意静电场，电场强度的线积分（静电场力移动单位正对任意静电场，电场强度的线积分（静电场

34、力移动单位正电荷做功）均与路径无关，仅与始末位置有关电荷做功）均与路径无关，仅与始末位置有关r结论结论56基础教育a二二.静电场的环路定理静电场的环路定理(circuital theorem of electrostatic field).LP1P2L1L2对任意静电场，电场强度的线积分与对任意静电场，电场强度的线积分与路径路径无关无关，仅与，仅与 q0 的的始末始末位置位置有关有关在静电场中在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分场强沿任意闭合路径的线积分(沿任一闭合路径的沿任一闭合路径的环流环流)恒等于零恒等于零静电场环路定理静电场环路定理(1) 环路定理要求电场线不能闭合。环路定理要求电场

35、线不能闭合。r讨论讨论（积分形式）（积分形式）（积分形式）（积分形式）57基础教育a(2) 静电场是静电场是有源有源、无旋场无旋场，可引进电势能。，可引进电势能。环路定理的微分形式：环路定理的微分形式：说明静电场是无旋场说明静电场是无旋场 结论结论结论结论: : : : 静电场是有源无旋场静电场是有源无旋场静电场是有源无旋场静电场是有源无旋场根据矢量场的斯托克斯公式根据矢量场的斯托克斯公式说明静电场是有源场说明静电场是有源场 称称 的旋度的旋度58基础教育a三三. 电势能电势能q0q0v电势能的定义电势能的定义q0 在电场中某点在电场中某点 a 的电势能：的电势能：将将 q0 从从ab 电场力

36、做功电场力做功保守力做功等于势能增量的负值保守力做功等于势能增量的负值 -系统在系统在a点电势能点电势能 -系统在系统在b点电势能点电势能令令 -b点为电势能参考点点为电势能参考点59基础教育a如图所示如图所示, , 在带电量为在带电量为 Q 的点电荷所产生的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为的静电场中，有一带电量为q 的点电荷的点电荷解解选无穷远为电势能零点选无穷远为电势能零点bacQq 在在a 点和点和 b 点的电势能点的电势能求求例例两点间的电势能差为：两点间的电势能差为：选选 C 点为电势能零点点为电势能零点60基础教育a(1) 电势能应属于电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统

37、所共有。和产生电场的源电荷系统所共有。(3) 选电势能零点原则：选电势能零点原则：(2) 电荷在某点电势能的值与电荷在某点电势能的值与电势能零点电势能零点有关有关, ,而两点的差而两点的差值与值与电势能零点电势能零点无关无关 实际应用中取实际应用中取大地、仪器外壳大地、仪器外壳等为势能零点。等为势能零点。 当当( (源源) )电荷分布在电荷分布在有限范围内有限范围内时，一般选时，一般选无穷远处无穷远处。 无限大带电体，无限大带电体，势能零点一般势能零点一般选在选在有限远处有限远处一点。一点。r说明说明61基础教育a四四 电势电势 电势差电势差(electric potential and po

38、tential difference) 电势定义电势定义 电势差电势差移动单位正电荷自移动单位正电荷自该点该点“势能零点势能零点”过程中电场力作的功过程中电场力作的功 。移动单位正电荷自移动单位正电荷自 ab过程中电场力作的功。过程中电场力作的功。1. 电势电势 电势差电势差（任意路径）（任意路径）（任意路径）（任意路径）62基础教育a已知静电场的电势分布，可以方便的计算出点电荷在静电场中已知静电场的电势分布，可以方便的计算出点电荷在静电场中移动时电场力所做的功移动时电场力所做的功. 场源点电荷的电势：场源点电荷的电势：2电势的叠加原理电势的叠加原理(superposition princpl

39、e of electric potential )电势的叠加原理电势的叠加原理一个一个电荷系电荷系的电场中任一点的电势等于的电场中任一点的电势等于每一个带电体单独存在时每一个带电体单独存在时 在该点所产生的电势的代数和在该点所产生的电势的代数和球对称球对称标量标量 有正负有正负63基础教育a1）. 点电荷的电势：点电荷的电势： 2）. 点电荷系的电势：点电荷系的电势：(q1,q2,qn)3）.电荷连续分布带电体电荷连续分布带电体,场中场中 P 点电势：点电势：线电荷分布线电荷分布面电荷分布面电荷分布体电荷分布体电荷分布64基础教育a电势的计算：电势的计算：（一）定义式：（普遍适用）（一）定义式

40、：（普遍适用）（二）点电荷电势叠加法（二）点电荷电势叠加法：1）2）（条件是无穷远处电势为零才适用）（条件是无穷远处电势为零才适用）步骤：步骤： （1）选取坐标系，写出选取坐标系，写出dq、r, 并选取零电势点并选取零电势点.（2）统一变量，确定积分上下限，积分求解统一变量，确定积分上下限，积分求解选择一简洁的路径选择一简洁的路径65基础教育a例求均匀带电圆环轴线上的电势分布例求均匀带电圆环轴线上的电势分布QRPxdqr1）2）66基础教育a三、计算题三、计算题 5 图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径，球层内表面半径为为R1，外表面半径

41、为，外表面半径为R2设无穷远处为电势零点，求球层中半径为设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势处的电势 67基础教育a68基础教育aqRrr(0rR)例例3：rE0R求半径为求半径为R的均匀球面电荷的均匀球面电荷q的场强和电势的场强和电势 分布？分布？69基础教育a例例4 求无限长均匀带电直线电场中的电势分布求无限长均匀带电直线电场中的电势分布PrP0P点点P0点点路径的选择路径的选择 PP1P0P1若取若取=1m70基础教育a静电场中的静电场中的两个定理两个定理发出的电场线来自电荷发出的电场线来自电荷有源场有源场保守场、无旋场保守场、无旋场电势的计算：电势的计算：（一）定义式：（普遍

42、适用）（一）定义式：（普遍适用）（二）点电荷电势叠加法（二）点电荷电势叠加法：1）2）（条件是无穷远处电势为零才适用）（条件是无穷远处电势为零才适用）步骤：步骤： （1）选取坐标系，写出选取坐标系，写出dq、r, 并选取零电势点并选取零电势点.（2）统一变量，确定积分上下限，积分求解统一变量，确定积分上下限，积分求解选择一简洁的路径选择一简洁的路径71基础教育a5.8 5.8 等势面等势面 电势梯度电势梯度一一. 等势面等势面电场中电势相等的点组成的面叫等势面电场中电势相等的点组成的面叫等势面规定：规定：电场中任电场中任相邻相邻两两等势面间的电势差为常数等势面间的电势差为常数. 72基础教育a

43、二二 等势面的性质：等势面的性质：证明：因为将单位正电荷从等势面上证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到点移到N点，点，电场力做功为零，而路径不为零电场力做功为零，而路径不为零2.电场线的方向指向电势降落的方向。电场线的方向指向电势降落的方向。因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。3.规定规定两个相邻等势面的电势差相等两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。1.除电场强度为零处外，除电场强度为零处外，电场线与等势面处处正

44、交电场线与等势面处处正交。73基础教育a由由规定：规定：场中任场中任相邻相邻相邻相邻的两等势面之间的电势差为的两等势面之间的电势差为常量常量常量常量。可以看出：可以看出：3）场强越大的地方，等势面越密。）场强越大的地方，等势面越密。2 2）场强总是从高电势）场强总是从高电势沿变化最快沿变化最快的方向的方向指向低电势。指向低电势。74基础教育a点电荷的电场线与等势面点电荷的电场线与等势面电偶极子的电场线和等势电偶极子的电场线和等势面面等量正电荷的电场线和等势面等量正电荷的电场线和等势面+平行板电容器的电场线与等势面平行板电容器的电场线与等势面75基础教育a三、三、 电势梯度电势梯度 沿着沿着 的

45、方向时，变化率的方向时，变化率 有最大值有最大值当当电势电势 U在在 方向上的变化率的负值等于方向上的变化率的负值等于场强场强 在在 方向上的分量。方向上的分量。76基础教育a大小大小: 等于电势在该点最大的空间变化率；等于电势在该点最大的空间变化率；方向方向: 沿等势面法向，指向电势增加最快的方向。沿等势面法向，指向电势增加最快的方向。直角坐标系中：直角坐标系中： 数学上，若某一标量数学上，若某一标量对某一方向有最大变化率对某一方向有最大变化率对某一方向有最大变化率对某一方向有最大变化率（称为方（称为方向导数最大），则定义此最大变化率为向导数最大），则定义此最大变化率为 该标量的梯度该标量的

46、梯度该标量的梯度该标量的梯度。即即“场强等于电势梯度矢量的负值场强等于电势梯度矢量的负值”。负号表示场强方向沿电势降低的方向。负号表示场强方向沿电势降低的方向。定义电势梯度定义电势梯度定义电势梯度定义电势梯度定义电势梯度定义电势梯度77基础教育a标准化作业（标准化作业（16）一、选择题一、选择题 1 1、关于电场强度定义式、关于电场强度定义式 (B) (B) 对场中某点，试探电荷受力对场中某点，试探电荷受力(C) (C) 试探电荷受力试探电荷受力的方向就是场强的方向就是场强(D) (D) 若场中某点不放试探电荷若场中某点不放试探电荷q q0 0，则，则 0 0 ，从而，从而 0 0 下列说法中

47、哪个是正确的？下列说法中哪个是正确的？ (A) 场强场强的大小与试探电荷的大小与试探电荷q0的大小成反比的大小成反比与与q0的比值不因的比值不因q0而变而变 的方向的方向2、将一个试验电荷、将一个试验电荷q0 (正电荷正电荷)放在带有负电荷的大导体附近放在带有负电荷的大导体附近P点点处处(如图如图)，测得它所受的力为，测得它所受的力为F若考虑到电荷若考虑到电荷q0不是足够小，则不是足够小，则 (A) F / q0比比P点处原先的场强数值大点处原先的场强数值大 (B) F / q0比比P点处原先的场强数值小点处原先的场强数值小 (C) F / q0等于等于P点处原先场强的数值点处原先场强的数值

48、(D) F / q0与与P点处原先场强的数值哪个大无法确定点处原先场强的数值哪个大无法确定 BA78基础教育a二、填空题二、填空题3、静电场中某点的电场强度，其大小和方向与、静电场中某点的电场强度，其大小和方向与_ _相同相同4、电荷均荷均为q的两个点的两个点电荷分荷分别位于位于x轴上的上的a和和a位置，如位置，如图所示所示则y轴上各点上各点电场强强度的表度的表示式示式为_ _ ，场强最大值的位置在场强最大值的位置在y_单位正试验电荷置于该点时所受到的电场力单位正试验电荷置于该点时所受到的电场力 (为y方向方向单位矢量位矢量) 79基础教育a三、计算题三、计算题 5、如图所示，真空中一长为、如

49、图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端试求在直杆延长线上距杆的一端 距离为距离为d的的P点的电场强度点的电场强度 解：设杆的左端为坐标原点解：设杆的左端为坐标原点O O，x x轴沿直方向轴沿直方向带电直杆的电荷线密度为带电直杆的电荷线密度为l l= =q q / / L L，在，在x x处取一处取一电荷元电荷元d dq q = = l ld dx x = = q qd dx x / / L L，它在，它在P P点的场强：点的场强： Lddqx(L+dx)dExO总场强为总场强为 方向沿方向沿x x轴，即杆的延长线方向轴，即杆的

50、延长线方向 80基础教育a标准化作业（标准化作业（17） 1选择题选择题C1、在边长为、在边长为a的正方体中心处放置一电荷为的正方体中心处放置一电荷为Q的点电荷，则正方体的点电荷，则正方体顶角处的电场强度的大小为：顶角处的电场强度的大小为： (A) (A) (B) (B) (C) (C) (D) (D) 图中所示中所示为一沿一沿x x轴放置的放置的“无限无限长”分段均匀分段均匀带电直直线，电荷荷线密度分密度分别为l l( (x x0 0和和l l ( (x x0)0)，则OxyOxy坐坐标平面上点平面上点(0(0，a a) )处的的场强强为 (A) 0 (B) (C) (D) B81基础教育a

51、3、两个平行的、两个平行的“无限大无限大”均匀带电平面，均匀带电平面， 其电荷面密其电荷面密度分别为度分别为和和2，如图所示，则，如图所示，则A、B、C三个区域三个区域EB_，EC_(设方向向右为正设方向向右为正) 的电场强度分别为：的电场强度分别为： EA_，3 / (20) / (20) 3 / (20)填空题填空题4、一半径为、一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长度为的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (dR)，方向沿半径向外方向沿半径向外 89基础教育a (r1R)，(r2 R)， (3) 球内电势球内电势 球外电势球外电势 90基础教育a标准化作业（标准化作业（20） 一、选择题一

52、、选择题 (B)(C) (D) (A) (A) EA=EB=EC， (B) UBUA=UC(C) EBECEA， (D)UBUAUC C D 1、图示一均匀带电球体，总电荷为、图示一均匀带电球体，总电荷为+Q，其外部同，其外部同心地罩一内、外半径分别为心地罩一内、外半径分别为r1、r2的金属球壳的金属球壳设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r的的P点处的场强和电势为：点处的场强和电势为： ， 2、如图所示，一封闭的导体壳、如图所示，一封闭的导体壳A内有两个导体内有两个导体B和和CA、C不带电，不带电，B带正电，则带正电，则A、B、C三导体的电势三导体的电

53、势UA、UB、UC的大小关系是的大小关系是 91基础教育a二、填空题二、填空题 3.如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电荷如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电荷+q，外球壳带电荷外球壳带电荷-2q静电平衡时，外球壳的电荷分布为：静电平衡时，外球壳的电荷分布为： 内表面内表面_ ； 外表面外表面_ -q -q 4.如如图所示，将一所示，将一负电荷从无荷从无穷远处移到一个不移到一个不带电的的导体附近，体附近，则导体内的体内的电场强强度度_，导体的体的电势_(填增大、不填增大、不变、减小、减小) 不变 减小 92基础教育a三、计算题三、计算题 5 图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为图示一个均匀带

54、电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径，球层内表面半径为为R1，外表面半径为，外表面半径为R2设无穷远处为电势零点，求球层中半径为设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势处的电势 93基础教育a94基础教育a三、计算题三、计算题 5 图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为，球层内表面半径为R1，外表，外表面半径为面半径为R2设无穷远处为电势零点，求球层中半径为设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势处的电势 解：解：r处的电势等于以处的电势等于以r为半径的球面以内的为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势电荷在该处产生的电势U

55、1和球面以外的电荷和球面以外的电荷产生的电势产生的电势U2之和，即之和，即 U= U1 + U2 ，其中，其中为计算以为计算以r为半径的球面外电荷产生的电势在球面外取为半径的球面外电荷产生的电势在球面外取它它对该薄薄层内任一点内任一点产生的生的电势为 的薄层其电荷为的薄层其电荷为 于是全部电荷在半径为于是全部电荷在半径为r处产生的电势为处产生的电势为 95基础教育a标准化作业（标准化作业（21） 一、选择题一、选择题1. 真空中有真空中有“孤立的孤立的”均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它的均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它的半径和所带的电荷都相等则它们的静电能之间的关系是半径和所带的电荷都

56、相等则它们的静电能之间的关系是 (D) 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能小于球面外的静电能(A) 球体的静电能等于球面的静电能球体的静电能等于球面的静电能 (B) 球体的静电能大于球面的静电能球体的静电能大于球面的静电能 (C) 球体的静电能小于球面的静电能球体的静电能小于球面的静电能 B1.一导体球外充满相对介电常量为一导体球外充满相对介电常量为e er的均匀电介质，若测得导的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度，则导体球面上的自由电荷面密度 为为 (A) e e

57、 0 E (B) e e 0 e e r E (C) e e r E (D) (e e 0 e e r - e e 0)E B96基础教育a3. 一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板间距离增加，一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板间距离增加，则二极板间场强则二极板间场强_，电容，电容_ (填增大或减小或不变填增大或减小或不变不变不变 减小减小 二、填空题二、填空题 4、真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径和总电、真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径和总电荷都相等，则带电球面的电场能量荷都相等，则带电球面的电场能量W1与带电球体的电场能与带电球体的电场能量量W2相比，相比，W

58、1_ W2 (填填) q时，导体体B的的电势为正正 答：答：(1) 错误接地导体是否带电与其周围带电体情况有关，错误接地导体是否带电与其周围带电体情况有关， 例如：例如：(a) 周围有带正电物体时，接地导体带负电周围有带正电物体时，接地导体带负电 (b) 周围有带负电物体时，接地导体带正电周围有带负电物体时，接地导体带正电 (c) 孤立导体接地不带电孤立导体接地不带电 3分分116基础教育aORSQ例例5 真空中有一半径为真空中有一半径为 R的均匀带电球面，总电量为的均匀带电球面，总电量为 +Q ，在球，在球面上挖去一小面积面上挖去一小面积 ，设此动作不影响原来的电荷分布，求球，设此动作不影响

59、原来的电荷分布，求球心处的电场强度。心处的电场强度。解：用补偿法求解。解：用补偿法求解。方向由方向由 指向球心。指向球心。方向由球心指向方向由球心指向117基础教育a例例1真空中一长为真空中一长为L的均匀带电直线杆，总电量为的均匀带电直线杆，总电量为q，求在直线杆，求在直线杆延长线上矩杆的一端距离为延长线上矩杆的一端距离为d的的P点的电场及电势分布点的电场及电势分布LqPdOdxx118基础教育aLqPdOdxx119基础教育a例例QRPxdqr120基础教育a例例7 一点电荷一点电荷 q 位于边长为位于边长为 L的正方体的的正方体的A 角上，问通过侧面角上，问通过侧面 abcd 的电通量是多

60、少？的电通量是多少？解：以解：以 A 为中心，作边长为为中心，作边长为 2L 的正方体，的正方体，由对称性知：由对称性知：121基础教育a例例8 半径为半径为 R的带电球体，电荷体密度为的带电球体，电荷体密度为 K为正的为正的常数，求其周围的场强分布。常数，求其周围的场强分布。解：（解：（1）r R ，取高斯面如图，取高斯面如图，122基础教育a例例9 试计算无限长均匀带电圆柱面内、外的电场强度。设圆柱试计算无限长均匀带电圆柱面内、外的电场强度。设圆柱面半径为面半径为R，单位长度圆柱面上带有电荷，单位长度圆柱面上带有电荷 （电荷线密度）。（电荷线密度）。解：解：对称性分析：由于电荷分布是轴对称

61、的，而且圆柱是无限对称性分析：由于电荷分布是轴对称的，而且圆柱是无限长，可以确定其电场也具有轴对称性，即电场的分布必沿长，可以确定其电场也具有轴对称性，即电场的分布必沿圆柱面的径向，距轴线等远的同一圆柱面上各点的场强大圆柱面的径向，距轴线等远的同一圆柱面上各点的场强大小相等。小相等。(1)R时时 过场点过场点P作一与带电圆柱面同作一与带电圆柱面同轴的闭合圆柱面，高为轴的闭合圆柱面，高为L；P .L123基础教育a(2)R时时:R时时:124基础教育a例例10 有一带电球壳，内、外半径分别、，电荷体密度有一带电球壳，内、外半径分别、，电荷体密度A/，在球心处有一点电荷，在球心处有一点电荷Q（如图

62、），试证明球壳区域内的（如图），试证明球壳区域内的场强大小为：场强大小为：证明：取高斯面如图，证明：取高斯面如图，125基础教育a 思考题思考题1一带电体可作为点电荷处理的条件是一带电体可作为点电荷处理的条件是（A)电荷必须呈球形分布；电荷必须呈球形分布；（B)带电体的线度很小；带电体的线度很小；（C)带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计；带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计；（D)电量很小。电量很小。答：答：(C) 对。对。思考题思考题2在一个带正电的大导体附近在一个带正电的大导体附近 P点放置一正的点电荷点放置一正的点电荷 实际测得它受力大小为实际测得它受力大小为 F ，若考虑，若

63、考虑 不是足够小，则不是足够小，则 比比 P 点原来的场强点原来的场强 大还是小？大还是小？答：若答：若 不足够小，当不足够小，当 进入大导体的电场中时，由于静进入大导体的电场中时，由于静电感应，大导体的电荷将重新分布，正电荷受到排斥而远离电感应，大导体的电荷将重新分布，正电荷受到排斥而远离 P点，所以点，所以问：若大导体带负电情况如何？问：若大导体带负电情况如何？答：答：126基础教育a思考题思考题3 点电荷点电荷 Q被曲面被曲面 S所包围，从无穷远处引入另一点电所包围，从无穷远处引入另一点电荷荷 q至曲面外一点，如图所示，则引入前后至曲面外一点，如图所示，则引入前后（A) 曲面曲面S的电通

64、量不变，曲面上各点场强不变。的电通量不变，曲面上各点场强不变。（B) 曲面曲面S的电通量变化，曲面上各点场强不变。的电通量变化，曲面上各点场强不变。（C) 曲面曲面S的电通量变化，曲面上各点场强变化。的电通量变化，曲面上各点场强变化。（D) 曲面曲面S的电通量不变，曲面上各点场强变化。的电通量不变，曲面上各点场强变化。解：曲面解：曲面S的电通量仅和曲面的电通量仅和曲面内的电荷有关，曲面上的场强内的电荷有关，曲面上的场强由全空间的电荷引起由全空间的电荷引起（D)对。对。127基础教育a思考题思考题4关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：是：（

65、A)如果高斯面上如果高斯面上 处处为零，则该面内必无电荷。处处为零，则该面内必无电荷。（B)如果高斯面内无电荷，则高斯面上如果高斯面内无电荷，则高斯面上 处处为零。处处为零。（C)如果高斯面上如果高斯面上 处处不为零，则高斯面内必有电荷。处处不为零，则高斯面内必有电荷。（D)如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零。如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零。（E)高斯定理仅适用于具有高度对称的电场。高斯定理仅适用于具有高度对称的电场。解：（解：（A) 错。反例：错。反例：（B) 错。反例：错。反例：（C) 错，反例：同（错，反例：同（B).(D) 对。对。（E) 错。高斯定理适用于任何电场。错。高斯定理适用于任何电场。128基础教育a