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1、人民教育出版社人民教育出版社 高中数学高中数学 选修选修1-13.1 3.1 变化率与导数变化率与导数 （第一课时）（第一课时）教学过程教学过程一一 引入引入谁是导数概念的第一发明人？谁是导数概念的第一发明人？二二 传授新课传授新课问题：很多人都吹过气球，可以发现，问题：很多人都吹过气球，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越来越慢。从数学的半径增加得越来越来越慢。从数学的角度，如何描述这种现象？角度，如何描述这种现象？分析：分析：（1）上面的语句所描述的现象中涉及到几个量，它们之间的关系如何？分析：分析：（2）如何理解“气球半径增加得越来越
2、来越慢”？随着气球体积的增大，当气球体积增加量相同时，相应半径的增加量越来越小。从数学角度进行描述就是，随着气球体积的增大，比值 越来越小。这个比值就是气球的平均膨胀率平均膨胀率当空气容量从增加时，半径增加了当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r(1)r(0)= 0.62 r(0)= 0.62 气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为1这一现象中，哪些量在改变？这一现象中，哪些量在改变？2 变量的变化情况？变量的变化情况？3 引入气球平均膨胀率的概念引入气球平均膨胀率的概念当空气容量当空气容量V从从1L增加到增加到2 L , 气球半径增加了气球半径增加了气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当空
3、气容量从增加时，半径增加了当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r(1)r(0)= 0.62 r(0)= 0.62 气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小它的平均膨胀率逐渐变小当空气容量当空气容量V从从1L增加到增加到2 L , 气球半径增加了气球半径增加了气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当空气容量从增加时，半径增加了当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r(1)r(0)= 0.62 r(0)= 0.62 气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?时间时间3 3月月月月18
4、18日日日日4 4月月月月1818日日日日4 4月月月月2020日日日日日最高气温日最高气温日最高气温日最高气温3.53.518.618.633.433.4现有温州市某年现有温州市某年3月和月和4月某天日最高气温记载月某天日最高气温记载.观察：观察：3月月18日到日到4月月18日与日与4月月18日到日到4月月20日的温度日的温度变化，用曲线图表示为：变化，用曲线图表示为： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（注：（注： 3 3月月1818日日为第一天）为第一天）问题：问题： t(d)2030342102030A
5、 (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210问题问题1 1：“气温陡增气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）是什么？（形与数两方面）问题问题2 2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（1 ）曲线上）曲线上BC之间一段几乎成了之间一段几乎成了“直线直线”，由此联想，由此联想如何量化直线的倾斜程度。如何量化直线的倾斜程度。 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（2）由点）由点B上升到上
6、升到C点，必须考察点，必须考察yCyB的大小，但仅仅注意的大小，但仅仅注意yCyB的大小能否精确量化的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？段陡峭程度，为什么？在考察在考察yCyB的同时必须考察的同时必须考察xCxB，函数的本质在于一个，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210(3)我们用比值我们用比值 近似地量化近似地量化B、C这一段曲这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为线的陡峭程度，并称
7、该比值为【32，34】上的上的平平均变化率均变化率(4)分别计算气温在区间分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平的平均变化率均变化率现在回答问题现在回答问题1 1：“气温陡增气温陡增”是一句生活用语，它的是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）数学意义是什么？（形与数两方面）探究活动探究活动 “气球的平均膨胀率气球的平均膨胀率”是一个特殊的情况，是一个特殊的情况，“气温陡增气温陡增”也是一个特殊的情况，也是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上：我们把这一思路延伸到函数上：函数的平均变化率函数的平均变化率定义定义:平均变化率平均变化率: 式子式子 称为函数称为函数
8、f (x)从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则则探究活动探究活动 思考：平均变化率的几何意义？思考：平均变化率的几何意义？ flash动画演示动画演示两点间的斜率两点间的斜率.例：荣勃去例：荣勃去崩极崩极，假设荣勃下降，假设荣勃下降的运动符合方程的运动符合方程 ， 请同学们计算荣勃从请同学们计算荣勃从3秒到秒到4秒间秒间的平均速度，计算从的平均速度，计算从9秒到秒到10秒秒的平均速度。的平均速度。 实实践践活活动动探究活动探究活动 观看观看十运会中跳水男子十米台田亮逆转夺十运会中跳水男子十米台田亮逆转夺冠冠的影片剪辑的影
9、片剪辑请同学们把这一生活现象用数学语言来解释。请同学们把这一生活现象用数学语言来解释。你能描绘出田亮重心移动的图像吗？你能描绘出田亮重心移动的图像吗？ 实践活动实践活动 假假设相相对于水面的高度于水面的高度h(单位：米位：米)与起跳后的与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.，那么，那么田亮田亮在在0秒到秒到0.5秒秒时间段内的平均速度是多少，在段内的平均速度是多少，在1秒到秒到2秒秒时间段段内呢，在内呢，在 时间段内呢段内呢? 小结小结 （1）变化率的概念）变化率的概念（2）注意发现生活中和变化率有关的例子）注意发现生活中和变化率有
10、关的例子 课外思考课外思考 思考：关于田亮跳水的例子，当我们计算田思考：关于田亮跳水的例子，当我们计算田亮在某一段时间里的平均变化率分别为正数，亮在某一段时间里的平均变化率分别为正数，负数，负数，0的时候，其运动状态是怎样的？能不的时候，其运动状态是怎样的？能不能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态呢？呢？ 理解：理解：1，式子中，式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0， y 的值可以为的值可以为02，若函数，若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 3, 变式变式练习练习: 1.甲用甲用5年时间挣到年时
11、间挣到10万元万元, 乙用乙用5个月时间挣到个月时间挣到2万万元元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计分别计算在下列区间上算在下列区间上 f (x) 及及 g (x) 的平均变化率的平均变化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .做两个题吧!l1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 、 3 B、 3x-(x)2C 、 3-(x)2 D 、3-x Dl2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x 小结：小结：l1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率
