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1、第二节第二节 数列的极限数列的极限一、一、 数列极限的定义数列极限的定义二、二、 收敛数列的性质收敛数列的性质返回返回一、数列极限的定义一、数列极限的定义割圆术：割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽概念的概念的引入引入正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积数列的概念数列的概念定义定义:如果按照某一法则如果按照某一法则,对每个对每个 ,对应着一个确定对应着一个确定的实数的实数 ,这些实数这些实数 按照下标按照下标n从小到大排列得到的一从
2、小到大排列得到的一个序列个序列就叫做数列就叫做数列,简记为数列简记为数列 . 数列中的每一个数叫做数列的数列中的每一个数叫做数列的项项，第，第n项项 叫做数列的叫做数列的一般项一般项. .例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在可看作一动点在数轴上依次取数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一确定的是否无限接近于某一确定的数值数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.通过观察通过观察:当当n无限
3、增大时无限增大时,无限接近于无限接近于1.数列的极限数列的极限观察数列观察数列当当时的时的变化趋势变化趋势.注意：注意：如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.1.1.具有任意给定性，它是描述具有任意给定性，它是描述 与与 的无限接近程度的无限接近程度. .2 2. . N N 与与有关，且不唯一有关，且不唯一. .几何解释几何解释:当当 时时,所有的点所有的点 都落在开区间都落在开区间 ,只只有有限个有有限个(至多只有至多只有N个个)落在这区间以外落在这区间以外.其中其中任给的或每一个任给的或每一个;存在或至少有一个存在或至少有一个.定义定义:使使 时时,恒有恒有
4、数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.定义定义注意：注意：证证例例1 1 证明数列证明数列的的极限是极限是1.为了使为了使小于任意给定的正数小于任意给定的正数只要只要或或所以所以,则则当当 时时, 就有就有即即例例2 已知已知 , 证明数列证明数列 的极限是的极限是0.证证:(设设 ),只要只要或或不等式不等式 必定成立必定成立.所以所以,取取则当则当 时时, 就有就有即即小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给定关键是任意给定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.证证(设设 ),例例3 3 设设证明等比数列证明等比数列的的极
5、限是极限是0.要使要使只要只要取取自然对数自然对数,得得取取则当则当 时时,就有就有即即返回返回二、二、 收敛数列的性质收敛数列的性质定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) ) 如果数列如果数列 收敛收敛, ,那么它的极限唯一那么它的极限唯一. .故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.证证 用用反证法反证法.假设同时有假设同时有且且由定义由定义,取取取取使得当使得当 时时, 恒有恒有(2)当当 时时,恒有恒有(3)当当 时时, (2)式及式及(3)式会同时成立式会同时成立.但由但由(2)式有式有 由由(3)式有式有这是不可能的这是不可能的.例例4 4 证明数列证明数列是是发散的发散的.证证
6、如果这数列收敛如果这数列收敛,根据定理根据定理1它有唯一的极限它有唯一的极限.设设由数列极限的定义由数列极限的定义, 对于对于则则当当 时时,成立成立;即即当当 时时,都在开都在开区间区间内内.因此这数列发散因此这数列发散.但但这是不可能的这是不可能的, 因为因为 时时,无休止地一再重复无休止地一再重复取得取得1和和-1这两个数这两个数,而这两个数不可能同时属于而这两个数不可能同时属于长度长度为为1的开区间的开区间 内内.有界性有界性例如例如,数列数列有界有界无界无界数列数列定理定理2(2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性) ) 如果数列如果数列 收敛收敛, ,那么那么数列数列 一定有界一定有
7、界. .证证注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件. .推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .由定义由定义,对于对于则则使得当使得当 时恒有时恒有于是于是, 当当 时时,取取故故数列数列 是有界的是有界的.证证 就就 的情形证明的情形证明. 由由数列极限的定义数列极限的定义, 对对当当 时时, 有有从而从而定理定理3(收敛数列的保号性收敛数列的保号性) 如果如果 ,且且(或或 ),那么存在正整数那么存在正整数 ,当当 时时,都有都有 (或或 ).推论推论 如果数列如果数列 从某项起有从某项起有 (或或 ),且且 ,那么那么 (或或 ).证证 设数列设数列 从
8、第从第 项起项起,即当即当 时有时有 .用用反证法反证法: 若若由由定理定理3知知, 当当 时时, 有有取取当当 时时,按按假定有假定有按按定理定理3有有引起矛盾引起矛盾.所以所以子数列的收敛性子数列的收敛性注意：注意：例如例如，所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列在原数列 xn n 中的先后次序，这样得到的一个数列称为原中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列数列 xn n 的子数列（或子列）的子数列（或子列）. .在子在子数列数列 中，一般项中，一般项 是第是第 项，而项，而 在原数列在原数列 中却是第中却是第 项，显然，项，显然， 定理定理4(4(收敛数列与子数列间的关系）收敛数列与子数列间的关系）如果数列如果数列 xn 收敛于收敛于a，那末它任一子数列也收敛那末它任一子数列也收敛, ,且极且极限也是限也是a. .证毕证毕证证 设数列设数列 是数列是数列 的任一子数列的任一子数列.使使 时时, 恒有恒有 .取取则则当当 时时, 故数列故数列 发散发散. 证：因为当证：因为当 时时, 证明数列证明数列 是发散的是发散的.返回返回
