2.1-22.1-2质心质心 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程C COXY 质质点点系系的的质质量量中中心心，，简简称称质质心心具具有有长长度度的的量量纲纲，，描描述述与与质质点点系系有有关关的的某某一一空间点的位置空间点的位置质心运动反映了质点系的整体运动趋势质心运动反映了质点系的整体运动趋势二、二、 质心质心 (center of mass) (center of mass)2 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出xzyOm2r2m1r1crcmirirNmN对于对于N个质点组成的质点系个质点组成的质点系：： 直角坐标系中直角坐标系中3 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出直角坐标系直角坐标系下下xzyOcrcdmr面分布面分布体分布体分布线分布线分布 对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体4 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出注意：注意：质心的位矢与参考系的选取有关质心的位矢与参考系的选取有关刚体的质心相对自身位置确定不变刚体的质心相对自身位置确定不变质量均匀的规则物体的质心在几何中心质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心质心与重心(center of gravity)不一样，物体尺寸不一样，物体尺寸不十分大时，不十分大时， 质心与重心位置重合质心与重心位置重合5 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题2-12-1求腰长为求腰长为a a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置等腰直角三角形均匀薄板的质心位置这个结果和熟知的三角形重心位置一致这个结果和熟知的三角形重心位置一致三角形质心坐标三角形质心坐标x xc c是是xdxOxya解解: :建立图示坐标建立图示坐标, ,由于面积元的高度为由于面积元的高度为2 2y，，所以其面积为所以其面积为2 2yd dx=2=2xd dx设设薄板每单位面积的质量为薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量则此面积元的质量在离原点在离原点x处取宽度为处取宽度为d dx的面积元，的面积元，6 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出* *例例 一一段段均均匀匀铁铁丝丝弯弯成成半半圆圆形形，，其其半半径径为为R R, ,求求此此半半圆圆形铁丝的质心形铁丝的质心任任取取一一小小段段铁铁丝丝，，其其长长度度为为dl，，质质量量为为dm，，以以λ表表示示铁铁丝的线密度丝的线密度解：解：建立如图坐标系建立如图坐标系7 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出* *例例 确定半径为确定半径为R的均质半球的质心位置。
的均质半球的质心位置解：解：建立如图所示坐标建立如图所示坐标已已知知薄薄圆圆盘盘的的质质心心位位于于圆圆心心，，取取厚度为厚度为dy的薄圆盘为质量微元的薄圆盘为质量微元RxyOdy质质 心心 在在 距距 球球 心心3R/8处处8 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 设设有有一一个个质质点点系系，，由由 个个质质点点组组成成，，它它的的质质心的位矢是：心的位矢是：质心的速度为质心的速度为三、三、 质心运动定理质心运动定理9 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出质心的加速度质心的加速度为为由牛顿第二定律由牛顿第二定律得得10 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出对于内力对于内力质心运质心运质心运质心运动定理动定理动定理动定理不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样个质点的运动一样11 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出12 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出§2-2 §2-2 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律牛顿第二定律的微分形式牛顿第二定律的微分形式考虑一过程，时间从考虑一过程，时间从t t1 1- -t t2 2，，两端积分两端积分一、一、 动量定理动量定理(theorem of momemtum)左侧积分表示力对时间的累积量，叫做左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量冲量(impulse)(impulse)。
于是得到积分形式于是得到积分形式13 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 这这就就是是质质点点的的动动量量定定理理：：物物体体在在运运动动过过程程中中所所受受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量动量定理的几点说明：动量定理的几点说明：(1)(1)冲量的方向：冲量的方向： 冲量冲量 的方向一般不是某一瞬时力的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而的方向，而是所有元冲量是所有元冲量 的合矢量的合矢量 的方向的方向2)(2)在直角坐标系中在直角坐标系中14 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(3)(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力 打打击击或或碰碰撞撞，，力力 的的方方向向保保持持不不变变，，曲曲线线与与t t轴轴所所包包围围的的面面积积就就是是t t1 1到到t t2 2这这段段时时间间内内力力 的的冲冲量量的的大大小小，，根根据据改改变变动动量量的的等等效效性性，，得到平均力得到平均力。
将积分用平将积分用平均力代替均力代替动量定动量定理写为理写为平均力写为平均力写为平均力大小：平均力大小：15 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例 动量定理解释了动量定理解释了““逆风行舟逆风行舟””船船前前进进方方向向风吹来风吹来取一小块风取一小块风dm为研究对象为研究对象初初末末由牛顿第由牛顿第三定律三定律前前进进方方向向风对帆的冲量大小风对帆的冲量大小方向与方向与 相反相反16 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例题题2-22-2 质质量量m m=3t=3t的的重重锤锤，，从从高高度度h h=1.5m=1.5m处处自自由由落落到到受受锻锻压压的的工工件件上上，，工工件件发发生生形形变变如如果果作作用用的的时时间间(1)(1)t t=0.1s=0.1s，， (2)(2)t t=0.01s =0.01s 试求锤对工件的平均冲力试求锤对工件的平均冲力 解：解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：： 解解法法一一：：锤锤对对工工件件的的冲冲力力变变化化范范围围很很大大，，采采用用平平均均冲冲力力计计算算，，其其反作用力用平均支持力代替。
反作用力用平均支持力代替 在竖直方向利用动量定理，取竖直在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正向上为正初状态动量为初状态动量为末状态动量为末状态动量为0 017 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出得得到到解得解得代入代入m m、、h h、、t t的值，求得：的值，求得：(1)(1)(2)(2)18 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 解解法法二二：：考考虑虑从从锤锤自自由由下下落落到到静静止止的的整整个个过程，动量变化为零过程，动量变化为零重力作用时间重力作用时间为为支持力的作用时间为支持力的作用时间为t t根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，得到解法一相同的结果得到解法一相同的结果即即19 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例题题2-3 2-3 一一绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，，两两端端分分别别拴拴有有质质量量为为m m及及的的m’m’物物体体A A和和B B，， m’m’大大于于m mB B静静止止在在地地面面上上，，当当A A自自由由下下落落距距离离h h后后，，绳绳子子才才被被拉拉紧紧。
求求绳绳子子刚刚被被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度m’mBAh解解：：以以物物体体A A和和B B为为系系统统作作为为研研究究对对象象，，采采用用隔隔离离法法分分析析受受力力，，作出绳拉紧时的受力图：作出绳拉紧时的受力图：AB 绳绳子子刚刚好好拉拉紧紧前前的的瞬瞬间间，，物体物体A A的速度为：的速度为：取竖直向上为正方向取竖直向上为正方向20 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 绳绳子子拉拉紧紧后后，，经经过过短短暂暂时时间间的的作作用用，，两两物物体体速速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：忽略重力，考虑到绳不可伸长，有：忽略重力，考虑到绳不可伸长，有：解得：解得：当物体当物体B B上升速度为零时，达到最大高度上升速度为零时，达到最大高度21 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题2-42-4 矿砂从传送带矿砂从传送带A A落到另一传送带落到另一传送带B B，其速度，其速度v v1 1=4m/s=4m/s，方向与竖直方向成，方向与竖直方向成30°30°角，而传送带角，而传送带B B与水与水平成平成15°15°角，其速度角，其速度v v2 2=2 m/s=2 m/s．如传送带的运送量恒．如传送带的运送量恒定，设为定，设为k k=20 kg/s=20 kg/s，求落到传送带，求落到传送带B B上的矿砂在落上上的矿砂在落上时所受到的力．时所受到的力．解解: :设在某极短的时间设在某极短的时间△△t t内落在传送带上矿砂的质量内落在传送带上矿砂的质量为为m m，即，即m m= =k k△△t t，这些矿砂动量的增量为，这些矿砂动量的增量为22 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出于是于是其量值可用矢量差方法求得其量值可用矢量差方法求得 设这些矿砂在设这些矿砂在△t△t时间内的平均作用力为时间内的平均作用力为F F，根，根据动量定理，据动量定理，作用力作用力F F的方向与的方向与△(mv)△(mv)的方向相同，图的方向相同，图(b)(b)中的中的θθ角可由下式求得：角可由下式求得： 23 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出2. 2. 2. 2. 变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程 物物体体m与与质质元元dm在在t时时刻刻的的速速度度以以及及在在t+dt时时刻刻合并后的共同速度如图所示：合并后的共同速度如图所示：mdmm+dm 把把物物体体与与质质元元作作为为系系统统考考虑虑，，初初始始时时刻刻与与末末时时刻的动量分别为：刻的动量分别为：初始时刻初始时刻末时刻末时刻动量定理动量定理24 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出变质量问题变质量问题对系统利用动量定理对系统利用动量定理略去二阶小量，两端除略去二阶小量，两端除dt变质量物变质量物体运动微体运动微分方程分方程 值值得得注注意意的的是是，，dm可可正正可可负负，，当当dm取取负负时时，，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，为尾气推力。
为尾气推力25 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出变质量问题变质量问题用火箭发射卫星用火箭发射卫星26 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出变质量问题变质量问题例例*一长为一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为 ，将其卷成一堆放在地面上，如图所示若用手握住链，将其卷成一堆放在地面上，如图所示若用手握住链条的一端，以加速度条的一端，以加速度a从静止匀加速上提当链条端点离从静止匀加速上提当链条端点离地面的高度为地面的高度为x时，求手提力的大小时，求手提力的大小解：解：以以链链条条为为系系统统，，向向上上为为X X正正向向，，地地面面为为原原点点建建立立坐标系t时刻，系统总动量时刻，系统总动量OX27 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出变质量问题变质量问题t t时刻，系统受合外力时刻，系统受合外力OX系统动量对时间的变化率为：系统动量对时间的变化率为：根据动量定理，得到根据动量定理，得到28 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例2-5 质量为质量为m的匀质链条，全长为的匀质链条，全长为L，手持其上端，，手持其上端，使下端离地面为使下端离地面为h.然后放手让它自由下落到地面上，然后放手让它自由下落到地面上，如图所示如图所示.求链条落到地上的长度为求链条落到地上的长度为l时，地面所受链条时，地面所受链条作用力的大小作用力的大小. 解解：：此此题题可可用用变变质质量量物物体体运运动动微微分分方方程求解，用链条为系统，向下为程求解，用链条为系统，向下为x正向，正向，x t时刻，落地面链段时刻，落地面链段ml速度为零，即速度为零，即u=0，空中链段（，空中链段（m-ml）速度为）速度为v，受力，受力如图。
如图x 由由变质量物体运动微分方程可得变质量物体运动微分方程可得29 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出因在自由下落中因在自由下落中 ，所以上式化简为，所以上式化简为 或或因因 , ,又又 所以所以 地面所受链条的作用力的大小地面所受链条的作用力的大小30 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出三、动量守恒定律三、动量守恒定律 若若系统所受的合外力＝系统所受的合外力＝0系统总动量守恒系统总动量守恒31 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出分量式分量式系统系统x方向动量守恒方向动量守恒系统系统y方向动量守恒方向动量守恒系统系统z方向动量守恒方向动量守恒32 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出说明：说明：（（1 1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变质点的动量不变，而是指系统动量总和不变2 2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。
如：碰撞，打击等）为系统的总动量守恒如：碰撞，打击等） （（3 3）动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍）动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合的定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域微观领域33 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题2-6 如图所示如图所示, ,设炮车以仰角设炮车以仰角 发射一炮弹，炮发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为车和炮弹的质量分别为M和和m，，炮弹的出口速度为炮弹的出口速度为v，，求炮车的反冲速度求炮车的反冲速度V炮车与地面间的摩擦力不计炮车与地面间的摩擦力不计解解: : 把炮车和炮弹看成一个系统发炮前系统在竖把炮车和炮弹看成一个系统发炮前系统在竖直方向上的外力有重力直方向上的外力有重力 和地面支持力和地面支持力 ，而且，而且 ，在发射过程中，在发射过程中 并不成立（想一想为什并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒系统的总动量不守恒。
vmM34 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度度 ，按速度变换定理为，按速度变换定理为它的水平分量它的水平分量为为于是，炮弹在水平方向的动量为于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，，而炮而炮车在水平方向的动量为车在水平方向的动量为- -MV根据动量守恒定理有根据动量守恒定理有由此得炮车的反冲速度为由此得炮车的反冲速度为 35 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出解解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒由此它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即等于零，即例题例题2-7 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。
试求第三块的速的质量恰好等于这两块质量的总和试求第三块的速度（大小和方向）度（大小和方向） 所以，这三个动量必处于所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示小相等方向相反，如图所示因为因为v v1 1和和v v2 2相互垂直所以相互垂直所以m3v3m2v2m1v1 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律36 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出由于由于 和和 所成角所成角 由下式决定：由下式决定：因因所以所以即即 和和 及及 都成都成 且三者都在同一平面内且三者都在同一平面内由于由于 , ,所以所以 的大小为的大小为动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律37 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 例题例题3-10 质量为质量为m1 和和m2的两个小孩，在光滑水平冰面的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方开始时静止，相距为上用绳彼此拉对方。
开始时静止，相距为l问他们将在问他们将在何处相遇？何处相遇？解解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒受外力，此方向的动量守恒 建立如图坐标系以两个小孩的中点为原点，向右建立如图坐标系以两个小孩的中点为原点，向右为为x轴为正方向设开始时质量为轴为正方向设开始时质量为m1 的小孩坐标为的小孩坐标为x10,质量为质量为m2的小孩坐标为的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分，他们在任意时刻的速度分别别v1为为v2,相应坐标为相应坐标为x1和和x2由运动学公式得由运动学公式得Cm2m1x10x20xO动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律38 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(1)(2)在相遇时，在相遇时，x1=x2=xc，于是有，于是有即即(3)因动量守恒，所以因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式（代入式（3）得）得动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律39 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出代入式（代入式（1））,并令并令x1=xc得得(4)上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。
上述结果也可直接由质心运动定共同的质心相遇上述结果也可直接由质心运动定律求出律求出动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律40 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出41 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出由此得由此得移项得移项得又又d为船的质心向左偏移的距离为船的质心向左偏移的距离所以得所以得42 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出* * * *四、四、四、四、 火箭飞行原理火箭飞行原理火箭飞行原理火箭飞行原理 设设在在某某一一瞬瞬时时 ，，火火箭箭的的质质量量为为 ，，速速度度为为 ，，在在其其后后 到到 时时间间内内，，火火箭箭喷喷出出了了质质量量为为 的的气气体体，， 是是质质量量 在在 时时间间内内的的增增量量，，喷喷出出的的气气体体相相对对于于火火箭箭的的速速度度为为 ，，使使火火箭箭的的速速度度增增加加了了 喷气前总动量为：喷气前总动量为：喷气后火箭的动量为：喷气后火箭的动量为：所喷出燃气的动量为：所喷出燃气的动量为：Mt时刻t+dt时刻M-dmdm43 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。
由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变根据动量受恒定律根据动量受恒定律设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量化简化简火箭飞行火箭飞行火箭飞行火箭飞行44 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 设火箭开始飞行的速度为零，质量为设火箭开始飞行的速度为零，质量为 ，燃，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为料烧尽时，火箭剩下的质量为 ，此时火箭能达，此时火箭能达到的速度是到的速度是火箭的质量比多级火箭多级火箭第第i i级火箭喷气速率级火箭喷气速率第第i i级火箭质量比级火箭质量比火箭飞行火箭飞行火箭飞行火箭飞行45 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出作业:P1021、3、5、846 结束语结束语谢谢大家聆听！！！谢谢大家聆听！！！47 。