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1、 3.9 3.9 微积分建立的微积分建立的 时代背景和历史意义时代背景和历史意义yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期n微积分的概念微积分的概念n微积分的萌芽微积分的萌芽n微积分的发展微积分的发展n微积分的建立微积分的建立n微积分创立的现实意义微积分创立的现实意义n牛顿与莱布尼茨牛顿与莱布尼茨n数学史料数学史料微积分建立的时代背景和历史意义微积分建立的时代背景和历史意义 微微积积分分学学是是微微分分学学和和积积分分学学的的总总称称。微微积积分分是是研研究究函函数数的的微微分分、积积分分以以及及有有关关概概念念和和应应用用的的数数学学分分支支科科学学。微微积积分分中中的的基基本本概概念
2、念是是函函数数、极极限限、实实数数、导导数数、积积分分等，其中极限是微积分的基石。等，其中极限是微积分的基石。 研研究究函函数数，从从量量的的方方面面研研究究事事物物运运动动变变化化是是微微积积分分的基本方法。这种方法叫做数学分析。的基本方法。这种方法叫做数学分析。 微微分分学学的的主主要要内内容容包包括括：极极限限理理论论、导导数数、微微分分等。等。 本本来来从从广广义义上上说说，数数学学分分析析包包括括微微积积分分、函函数数论论等等许许多多分分支支学学科科，但但是是现现在在一一般般已已习习惯惯于于把把数数学学分分析析和和微微积积分分等等同同起起来来，数数学学分分析析成成了了微微积积分分的的
3、同同义义词词，一一提提数数学学分分析析就就知知道道是是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 一、微积分的概念一、微积分的概念 微微积积分分的的产产生生和和发发展展被被誉誉为为“近近代代技技术术文文明明产产生生的的关关键键事事件件之之一一，它它引引入入了了若若干干极极其其成成功功的的、对对以以后后许许多多数数学学的的发发展展起起决决定定性性作作用用的的思思想想。”恩恩格格斯斯称称之之为为“1717世世纪纪自自然然科科学学的的三三大大发发明明之之
4、一。一。” 微微积积分分的的建建立立，无无论论是是对对数数学学还还是是对对其其他他科科学学以以至至于于技技术术的的发发展展都都产产生生了了巨巨大大的的影影响响，充充分分显显示示了了数数学学对对于于人人的的认认识识发发展展、改改造造世世界界的的能能力力的的巨大促进作用。巨大促进作用。（1 1）中国数学家的极限、积分思想）中国数学家的极限、积分思想 “割圆求周割圆求周”（三国三国刘徽刘徽） 圆周率、球体积、球表面积的研究（圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅祖冲之、祖暅）一尺之棰，日取其半，万世不竭（一尺之棰，日取其半，万世不竭（战国战国战国战国庄周庄周庄周庄周）（2 2）外国数学家的极限
5、、积分思想）外国数学家的极限、积分思想 公公元元前前三三世世纪纪，古古希希腊腊的的阿阿基基米米德德在在研研究究解解决决抛抛物物弓弓形形的的面面积积、球球和和球球冠冠面面积积、螺螺线线下下面面积积和和旋旋转转双双曲曲体体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。 欧欧几几里里得得( (公公元元前前330330年年前前275275年年) )是是古古希希腊腊数数学学家家，以以其其所所著著的的几几何何原原本本闻闻名名于于世世，其其中中对对不不可可约约量量及面积与体积的研究，包含了穷竭法的萌芽。及面积与体积的研究，包含了穷竭法的萌芽。朴素、朴素、典型的典型的极限
6、概极限概念念二、微积分的萌芽二、微积分的萌芽十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决问题作了大量的研究工作，如法国的家都为解决问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、费尔玛、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的；英国的巴罗、瓦里士；德国巴罗、瓦里士；德国的开普勒的开普勒；意大利的；意大利的卡瓦列利卡瓦列利等人都提出许多很有建树等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。的理论。为微积分的创立做出了贡献。到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由于航到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由于航海、机械制造、军事上
7、的需要，运动的研究成了自然科海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题，于是在数学中开始研究各种变化过程中学的中心议题，于是在数学中开始研究各种变化过程中的量（变量）之间的依赖关系，变量的引进，形成了数的量（变量）之间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点。学中的转折点。到了十七世纪，生产的发展提出了许多技术上的新到了十七世纪，生产的发展提出了许多技术上的新要求，这些科学问题的解决，对数学提出了新的要求，要求，这些科学问题的解决，对数学提出了新的要求，也就成了促使微积分产生的因素。也就成了促使微积分产生的因素。三、微积分的发展三、微积分的发展第一类是研究物体运动的时候直
8、接出现的，也就是第一类是研究物体运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。一物体上的引力。十七世纪中叶其他科学提出的四种亟待解决的数学问题：十七世纪中叶其他科学提出的四种亟待解决的数学问题：天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数
9、也不是直线运天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是直线运动，传统的数学方法无能为力，要求新的数学工具。动，传统的数学方法无能为力，要求新的数学工具。不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的要求，不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的要求，如物体作曲线运动，光的折射和反射。如物体作曲线运动，光的折射和反射。天文学和力学都有关，例如求行星运动的近日点远日点，抛天文学和力学都有关，例如求行星运动的近日点远日点，抛射体的最大射程和高度等。射体的最大射程和高度等。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家家牛顿牛顿和德国数学家和德
10、国数学家莱布尼茨莱布尼茨分别在自己的国度里独自研分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题积问题(积分学的中心问题积分学的中心问题)。牛顿牛顿和和莱布尼茨莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中因此这门学科早期也称为无穷小
11、分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。分析学这一大分支名称的来源。牛顿牛顿研究微积分着重于从研究微积分着重于从运动学来考虑，运动学来考虑，莱布尼茨莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。却是侧重于几何学来考虑的。四、微积分的建立四、微积分的建立微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。而解，显示出微积分学的非凡威力。一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努
12、力后，在积累了大量成果的基础上，最经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的于拘泥在牛顿的“流数
13、术流数术”中停步不前，因而数学发展整中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。整落后了一百年。五、微积分创立的历史意义五、微积分创立的历史意义其实，其实，牛顿牛顿和和莱布尼茨莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿牛顿创立微积创立微积分要比分要比莱布尼茨莱布尼茨早早10年左右，但是正式公开发表微积分这年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，一理论，莱布尼茨莱布尼茨却要比却要比牛顿牛顿发表早三年。他们的研究各发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发有长处，也都各有
14、短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，要经历一段时间一样，牛顿牛顿和和莱布尼茨莱布尼茨的工作也都是很不的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。十分含糊。牛顿牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；而是有限的小量；莱布尼茨莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础的也不能自圆其说
15、。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到世纪初，法国科学学院的科学家以直到世纪初，法国科学学院的科学家以柯西柯西为首，对为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，後来又经过微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家德国数学家维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学
16、工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的的雅科布雅科布贝努利贝努利和他的兄弟和他的兄弟约翰约翰贝努利贝努利、欧拉欧拉、法国的、法国的拉拉格朗日、科西格朗日、科西欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的问
17、题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。丰功伟绩。六、微积分创立的现实意义六、微积分创立的现实意义 微积分是与应用联系着发展起来的，最初微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
18、自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。机的出现更有助于这些应用的不断发展。牛顿牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。天文学家和自然哲学家。1642年年12月月25日日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村普村,1727年年3月月20日在伦敦病逝。日在伦敦病逝。牛顿牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲年获文学士
19、学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到年任卢卡斯教授直到1701年。年。1696年年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年年任英国皇家学会会长。任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。牛顿牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。
20、和经典力学的创建。牛顿牛顿牛顿在在1671年写了年写了流数法和流数法和无穷级数无穷级数，这本书直到，这本书直到1736年才年才出版，它在这本书里指出，变量是出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流动量，把这些流动量的导数叫做叫做流数流数。牛顿牛顿在流数术中所提出在流数术中所提出的中心问题是：的中心问题是：已知连续运动的路已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；径，求给定时刻的速度（微
21、分法）；已知运动的速度求给定时间内经过已知运动的速度求给定时间内经过的路程的路程(积分法积分法)。牛顿莱布尼茨莱布尼茨莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；为微积分的创始人；1646年年7月月1日生于莱比锡，日生于莱比锡，1716年年11月月14日卒于德国的汉诺威。日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在年在纽伦堡阿尔特多夫取得法
22、学博士学位。他当时写纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文的论文论组合的技巧论组合的技巧已含有数理逻辑的早期已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、他相比，他的著作包括数学、历史、语言、
23、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。莱布尼茨莱布尼茨是一个博才多学的学者是一个博才多学的学者,1684年，他发表了现在世界上认为是最年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字且很古怪的名字一种求极大极小和切线一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算及这种新方法的奇妙类型的计算。就是。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。本微分法则。1686年，年，莱布尼茨莱布尼茨发表了第发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时用符号就是当时莱布尼茨莱布尼茨精心选用的精心选用的.莱布尼茨
