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1、浏阳市北盛中学浏阳市北盛中学 刘刘 晖晖 弧长和扇形面积制造弯形管道时，经常要先按中心线制造弯形管道时，经常要先按中心线计算计算“展直长度展直长度”(图中虚线的长度图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算，再下料，这就涉及到计算弧长弧长的问的问题题问题：已知问题：已知O O半径为半径为R R，求，求n n圆心角所对弧长圆心角所对弧长（1 1）半径为半径为R的的圆圆, ,周长是多少？周长是多少？C=2R （2 2）1 1圆心角所对弧长是多少？圆心角所对弧长是多少？ l lABOn（3 3）n n圆心角所对的弧长是圆心角所对的弧长是1 1圆心角所对的弧长的多少倍？圆心角所对的弧长的多少倍？ n倍倍
2、（4 4）n n圆心角所对弧长是多少？圆心角所对弧长是多少？ 弧长公式弧长公式 （1 1）在在应应用用弧弧长长公公式式 ， 进进行行计计算算时时，要要注注意意公公式式中中n n的的意意义义n n表表示示1 1圆圆心心角角的的倍倍数数，它是不带单位的；它是不带单位的；（2 2）区区分分弧弧、弧弧的的度度数数、弧弧长长三三概概念念度度数数相相等等的的弧弧，弧弧长长不不一一定定相相等等，弧弧长长相相等等的的弧弧也也不不一一定定是是等等孤孤，而而只只有有在同圆或等圆中，才可能是等弧在同圆或等圆中，才可能是等弧注意：注意：ABOn若设若设O O半径为半径为R R， n n的圆心角所对的圆心角所对的弧长为
3、的弧长为 ，则，则 例例1、制制造造弯弯形形管管道道时时，要要先先按按中中心心线线计计算算“展展直直长长度度”，再再下下料料，试试计计算算图图所所示示管管道道的的展展直直长长度度L(单位：单位：mm，精确到，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧AB 的长的长 （mm） 因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 L （mm） 答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm 1 1、制作弯形管道时，先按中心线计、制作弯形管道时，先按中心线计算算“展直长度展直长度”，再下料。试计算图，再下料。试计算图中所示的管道的展直长度中所示的管道的展直长度L L（即弧（即弧ABAB的
4、长）。（单位：的长）。（单位：mm）2、有一段弯道是圆弧形的、有一段弯道是圆弧形的,道道长是长是12m,弧所对的圆心角是弧所对的圆心角是81o,求这段圆弧的半径求这段圆弧的半径R(精确到精确到0.1m)扇形的定义是什么扇形的定义是什么?由由组组成成圆圆心心角角的的两两条条半半径径和和圆圆心心角角所所对的弧围成的图形叫做对的弧围成的图形叫做扇形扇形ABO图中阴影部分的图形叫什么呢？图中阴影部分的图形叫什么呢？扇形扇形问题问题: :已知已知O半径为半径为R，如何求圆心角，如何求圆心角n的扇形的面的扇形的面积积? ? （1）半径为）半径为R R的圆的圆, ,面积是多少面积是多少? ? S=R2 （2
5、）圆心角为）圆心角为1的扇形的面积是多少的扇形的面积是多少? ? （3）圆心角为）圆心角为n的扇形的面积是圆心角为的扇形的面积是圆心角为1的扇形的扇形的面积的多少倍？的面积的多少倍？ n倍倍 （4）圆心角为）圆心角为n的扇形的面积是多少的扇形的面积是多少? ? 扇形面积公式扇形面积公式 若设若设 O半径为半径为R，圆心角为，圆心角为n的扇形的面积的扇形的面积S扇形扇形，则则（1）在应用扇形的面积公式）在应用扇形的面积公式S扇形扇形= 进行计算时，进行计算时，要要注注意意公公式式中中n的的意意义义n表表示示1圆圆心心角角的的倍倍数数，它它是是不带单位的；不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即按照
6、上面推导过程记忆）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. . ABO注意：注意：1 1、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120120，半径为，半径为2 2，则这个，则这个扇形的面积，扇形的面积，S S扇扇= = . .2 2、已知扇形面积为、已知扇形面积为 ，圆心角为，圆心角为5050，则这个，则这个扇形的半径扇形的半径R=_R=_ 63 3、已知半径为、已知半径为2 2的扇形，面积为的扇形，面积为 ，则它，则它的圆心角的度数为的圆心角的度数为 120思考：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？思考：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？ 如果扇形的半径为如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为
7、的圆中，圆心角为no ，那么扇，那么扇形面积的计算公式为：形面积的计算公式为：扇形的弧长与扇形面积的关系为：扇形的弧长与扇形面积的关系为：想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？：扇形的面积公式与什么公式类似？ 1 1、已知半径为、已知半径为2cm2cm的扇形，其弧长为的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，则这个扇形的面积，S S扇扇= = 2 2、一扇形的弧长是、一扇形的弧长是 ，面积为，面积为那么扇形的圆心角为那么扇形的圆心角为 . . 150150度度例例2、如图，水平放置的圆柱形排水管道的、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是截面半径是0.6m，其中水面高，其中水面高0.3m
8、.求截面求截面上有水部分的面积（精确到上有水部分的面积（精确到0.01m2）弓形的面积弓形的面积 = S扇扇- S 解：如图，连接解：如图，连接OA、OB，作弦，作弦AB的垂直平分线，垂足为的垂直平分线，垂足为D，交弧，交弧AB于点于点C,连接连接AC.OC=0.6m，DC=0.3 m OD=OCDC=0.3mOD=DC 又又ADOC AD是线段是线段OC的垂直平分线的垂直平分线 AC=AO=OC A OD=60， AOB=120有水部分的面积有水部分的面积变式：变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9c
9、m，求截面，求截面上有水部分的面积。（精确到上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。）。0ABDCE弓形的面积弓形的面积 = S扇扇+ S 1 1、如图，、如图， A、 B、 C、 D两两不相交，且半径都两两不相交，且半径都是是2cm，求图中阴影部分的面积。，求图中阴影部分的面积。2.2.已已知知; ;正正三三角角形形ABCABC的的边边长长为为a a，D D、E E、F F分分别别为为BCBC、CACA、ABAB的的中中点点，以以A A、B B、C C三三点点为为圆圆心心，a/2a/2长长为为半半径径作作圆圆。求求图中阴影部分的面积图中阴影部分的面积S.S.一、弧长的计算公式一、弧长的计算公式二、二、扇形面积计算公式扇形面积计算公式
