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1、学习必备 欢迎下载 知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()nnnnnnmpqnnnnaq naaa qaad naandnn nSaanadaaaamnpq 两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()nnnnmpqaa qaqqqqSnaqa aa amnpq 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他 掌握了数
2、列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。 （2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数） 例 1、 已知an满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。 例 1、解 an+1-an=2 为常数 an是首项为 1，公差为 2 的等差数列 an=1+2（n-1） 即 an=2n-1 例 2
3、、已知na满足112nnaa，而12a ，求na=？ 学习必备 欢迎下载 （2）递推式为 an+1=an+f（n） 例 3、已知na中112a ，12141nnaan，求na. 解： 由已知可知) 12)(12(11nnaann)121121(21nn 令 n=1，2， （n-1） ，代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1） 2434)1211 (211nnnaan 说明 只要和 f （1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由 an+1=an+f（n）以 n=1，2，（n-1）代入，可得 n-1个等式累加而求 an。 (3) 递推式为 an+1=p
4、an+q（p，q 为常数） 例 4、na中，11a ，对于 n1（nN）有132nnaa，求na. 解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1） 因此数列an+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1=（31+2）-1=4 an+1-an=43n-1 an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1 解法二： 上法得an+1-an是公比为 3 的等比数列， 于是有： a2-a1=4， a3-a2=4 3， a4-a3=4 32， ， an-an-1=4 3n-2， 把 n-1 个等
5、式累加得： an=23n-1-1 (4) 递推式为 an+1=p an+q n （p，q 为常数） )(3211nnnnbbbb 由上题的解法，得：nnb)32( 23 nnnnnba)31( 2)21( 32 (5) 递推式为21nnnapaqa 思路：设21nnnapaqa, 可以变形为：211()nnnnaaaa， 握了数列的基本知识特别是等差等比数列的定义通项公式求和公式及性的性质公式法分组求和错位相减求和数列求和裂项求和倒序相加求和累列或等比数列问题递推式例及常数已知满足而且例解常数即求是首项公学习必备 欢迎下载 想 于是an+1-an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。 求na
6、。 (6) 递推式为 Sn与 an的关系式 关系； （2）试用 n 表示 an。 )2121()(1211nnnnnnaaSS 11121nnnnaaa nnnaa21211 上式两边同乘以 2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2nan是公差为 2 的等差数列。 2nan= 2+（n-1） 2=2n 2数列求和问题的方法 （1） 、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 握了数列的基本知识特别是等差等比数列的定义通项公式求和公式及性的性质公式法分组求和错位相减求和数列求和裂项求和倒序相加求和累列或等比数列问题递推
7、式例及常数已知满足而且例解常数即求是首项公学习必备 欢迎下载 135(2n-1)=n2 【例 8】 求数列 1， （3+5） ， （7+9+10） ， （13+15+17+19） ，前 n 项的和。 解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n 项中，共有 1+2+n=) 1(21nn个奇数， 最后一个奇数为：1+21n(n+1)-1 2=n2+n-1 因此所求数列的前 n 项的和为 （2） 、分解转化法 对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。 【例 9】求和 S=1 （n2-1）+ 2 （n2-22）+3 （n2-32）+n（n2-n2） 解 S=n2（1+2+3+n）-（13
8、+23+33+n3） （3） 、倒序相加法 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。 例 10、求和：12363nnnnnSCCnC 例 10、解 0120363nnnnnnSCCCnC Sn=3n2n-1 （4） 、错位相减法 如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和 例 11、 求数列 1，3x，5x2, ,(2n-1)xn-1前 n 项的和 握了数列的基本知识特别是等差等比数列的定义通项公式求和公式及性的性质公式法分组求和错位相减求和数列求和裂项求和倒序
9、相加求和累列或等比数列问题递推式例及常数已知满足而且例解常数即求是首项公学习必备 欢迎下载 解 设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0 时，Sn=1 (3) 当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以 x 得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn， -，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn (5) 裂项法： 把通项公式整理成两项( 式多项) 差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法： 例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nn 注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。 在掌握常
10、见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。 二、常用数学思想方法 1函数思想 运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。 【例 13】 等差数列an的首项 a10，前 n 项的和为 Sn，若 Sl=Sk（l k）问 n 为何值时 Sn最大？ 此函数以 n 为自变量的二次函数。a10 Sl=Sk（l k），d0 故此二次函数的图像开口向下 f （l ）=f（k） 握了数列的基本知识特别是等差等比数列的定义通项公式求和公式及性的性质公式法分组求和错位相减求和数列求和裂项求和倒序相加求和累列或等比数列问题递推式例及常数已知满足而且例解常数即求是首项公学习必备 欢迎下载
11、 2方程思想 【例 14】设等比数列an前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q。 分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。 解 依题意可知 q1。 如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出 a1=0 与等比数列不符。 q1 整理得 q3（2q6-q3-1）=0 q0 此题还可以作如下思考： S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6）， 由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0 3换元思想 【例 15】 已知 a，b，c 是不为 1 的正数，x，y，zR+ ，且 求证：a，b，c 顺次成等比数列。 证明 依题意令 ax=by=cz=k x=1ogak，y=logbk，z=logck b2=ac a，b，c 成等比数列（a，b，c 均不为 0） 握了数列的基本知识特别是等差等比数列的定义通项公式求和公式及性的性质公式法分组求和错位相减求和数列求和裂项求和倒序相加求和累列或等比数列问题递推式例及常数已知满足而且例解常数即求是首项公
