《八年级最短路径问题归纳小结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级最短路径问题归纳小结（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题 即已知起始结点,求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径 全局最短路径问题 求图中所有的最短路径 【问题原型】“将军饮马” ， “造桥选址”,“费马点” 【涉及知识】“两点之间线段最短” ， “垂线段最短,“三角形三边关系” ， “轴对称” ， “平移” 【出题背景
2、】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直等变式问题考查 【十二个基本问题】 【问题 1】 作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小 连 AB，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 AB 【问题 2】 “将军饮马” 作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小 作 B 关于 l 的对称点 B连 A B,与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 A B 【问题 3】 作法 图形 原理 在直线1l、2l上分别求点M、N，使PM
3、N 的周长最小 分别作点 P 关于两直线的对称点 P 和 P ， 连 P P ,与两直线交点即为 M，N 两点之间线段最短 PM+MN+PN 的最小值为 线段 P P 的长 【问题 4】 作法 图形 原理 在直线1l、2l上分别求点M、N，使四边形 PQMN的周长最小 分别作点 Q 、P 关于直线1l、2l的对称点 Q和 P连 Q P ，与两直线交点即为 M，N 两点之间线段最短 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P P 的长 【问题 5】 “造桥选址” 作法 图形 原理 lABlPBAlBAlPBABl1l2Pl1l2NMPPPl1l2NMPQQPl1l2PQ- 2 - 直线mn,在m、
4、n，上分别求点 M、N，使 MNm,且 AM+MN+BN 的值最小 将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A ， 连 A B， 交n于点N， 过 N 作 NMm于M 两点之间线段最短 AM+MN+BN 的最小值为 A B+MN 【问题 6】 作法 图形 原理 在直线l上求两点 M、 N （M在左）,使aMN ,并使AM+MN+NB 的值最小 将点 A 向右平移a个长度单位得 A ,作 A 关于l的对称点 A ， 连 A B， 交直线l于点 N,将 N 点向左平移a个单位得 M 两点之间线段最短 AM+MN+BN 的最小值为 A B+MN 【问题 7】 作法 图形 原理 在1l上求点 A，在2
5、l上求点 B，使 PA+AB 值最小 作点 P 关于1l的对称点P ， 作 P B2l于 B， 交2l于 A 点到直线，垂线段最短 PA+AB 的最小值为线段 PB的长 【问题 8】 作法 图形 原理 A为1l上一定点， B为2l上一定点，在2l上求点 M，在1l上 求 点N, 使AM+MN+NB 的值最小 作点 A 关于2l的对称点A ，作点 B 关于1l的对称点 B,连 A B 交2l于 M，交1l于 N 两点之间线段最短 AM+MN+NB 的最小值为线段AB的长 【问题9】 作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P,使PBPA的值最小 连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为
6、 P 垂直平分上的点到线段两端点的距离相等 PBPA0 【问题 10】 作法 图形 原理 mnMNABAlaABMNmnABMNlAABAMNl1l2ABPPl1l2Pl2l1ABNMl2l1MNABABlBAlPBA- 3 - 在直线 l 上求一点 P，使PBPA的值最大 作直线AB,与直线l的交点即为 P 三角形任意两边之差小于第三边PBPAAB PBPA的最大值AB 【问题 11】 作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使PBPA的值最大 作 B 关于 l 的对称点 B作直线 A B ,与 l 交点即为P 三角形任意两边之差小于第三边PBPAAB PBPA最大值AB 【问题 12】
7、 “费马点” 作法 图形 原理 ABC 中每一内角都小于120,在ABC 内求一点P，使 PA+PB+PC 值最小 所求点为“费马点” ，即满足APBBPCAPC120以 AB、AC为边向外作等边ABD、ACE,连 CD、BE 相交于P，点 P 即为所求 两点之间线段最短 PA+PB+PC 最小值CD 【精品练习】 1如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小,则这个最小值为( ) A2 3 B2 6 C3 D6 2如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，若将ACD 绕点
8、 A 旋转，当 AC、AD分别与 BC、CD交于点 E、F，则CEF 的周长的最小值为（ ） A2 B32 C32 D4 lBAlPABlABlBPABABCPEDCBAA D E P B C - 4 - 3四边形 ABCD 中，BD90,C70，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使 AMN 的周长最小时，AMN+ANM 的度数为（ ) A120 B130 C110 D140 4如图，在锐角ABC 中，AB42，BAC45,BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5如图,Rt ABC 中,C90,B30，AB6，点 E 在 A
9、B 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B、C 重合） ， 且 EDAE，则线段 AE 的取值范围是 6如图,AOB30，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM1，ON3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则MPPQQN 的最小值是_ （注“勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,即 RtABC 中,C90，则有222ABBCAC） 7如图，三角形ABC 中，OABAOB15,点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B（36，0） OC 平分AOB，点 M 在 OC 的延长线上,点 N 为边 OA 上的点，则 MAMN 的最小值是_ DEABCDABCMNCADBMN-
10、 5 - 8已知 A（2，4)、B(4，2） C 在y轴上，D 在x轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为 ， 此时 C、D 两点的坐标分别为 9已知 A（1，1） 、B（4，2) (1)P 为x轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标； （2）P 为x轴上一动点，求PBPA的值最大时 P 点的坐标； （3)CD 为x轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标； 10点 C 为AOB 内一点 (1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使CDE 的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10,求CDE 周长的最小值和此时DCE 的度数 yxBOACDyxBOAyxBOACOBAyxBAO- 6 - 11 （1）如图，ABD 和ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CFCD； （2）在ABC 中，ABC30，AB6，BC8，A，C 均小于 120,求作一点 P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由 12荆州护城河在 CC处直角转弯,河宽相等，从 A 处到达 B 处,需经过两座桥 DD 、EE ，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短? 图ACB图FEDBAC
