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1、l题目类型：选择题，填空题，计算题。提醒注意以下几点：l1、概率论部分中的古典概率计算只要求常见类型如抽球问题和分球入盒问题l2、要求熟知事件关系及其运算，各种概率计算公式等；l3、常用分布的概率计算以及性质，数学期望与方差；l4、一维、二维随机变量的分布函数密度函数之间的关系以及运算,随机变量的独立性与相关性的关系以及判别；l5、随机变量数学期望与方差以及协方差与相关系数的性质与计算；l6、掌握正态分布随机变量的有关计算以及利用中心极限定理的计算；l7、数理统计的基本概念，常用的抽样分布以及各分布表分位点的性质；l8、掌握参数估计中的矩估计与极大似然估计、估计量的无偏性和有效性；l9、区间估
2、计与假设检验，只考单个正态总体的两个参数的区间估计和假设检验，对于假设检验，要求会区分并进行单侧或双侧检验。1 概率论与数理统计概率论与数理统计 复习复习一、填空题一、填空题 1.设设A、B、C为三事件，则事件为三事件，则事件“A发生发生B与与C都不发生都不发生”可可 表示为表示为_; 事件事件“A、B、C不都发生不都发生”可表示为可表示为_ 事件事件“A、B、C都不发生都不发生”可表示为可表示为_。 2. 100件产品中有件产品中有10件次品，任取件次品，任取5件恰有件恰有3件次品的概率为件次品的概率为_（只写算式）。（只写算式）。3. 已知随机变量已知随机变量X的分布函数为的分布函数为 ，
3、则P(X=1)=_0.4 ，P(X=2.5)= 0_ 4. 设设则则X的函数的函数Y= N(0,1) 。 25.设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 则则_1/3_ 6.已知已知，则则 7. 在假设检验中若原假设在假设检验中若原假设H0实际为真时却拒绝实际为真时却拒绝H0 ，称这类错误为称这类错误为 弃真（第一类弃真（第一类)错误错误 8.设随机变量设随机变量 则则9.若X2(10)，则E(X)=10，D(X)=2010. P(2(11)s)=0.05,则313.13.已知已知A,BA,B为两事件，为两事件，14.14.已知已知A A，B B为两事件，为两事件，
4、15. 设随机变量设随机变量X N(0,1)，Y U(0,1)，Z B(5,0.5),且且X，Y，Z独立，独立， 则则E(2X+3Y)(4Z-1) = 27/2 16.若若X与与Y相互独立，则必有相互独立，则必有X与与Y 不相关不相关4二、解答题二、解答题 1.将两信息分别编码为将两信息分别编码为A和和B传送出去，接收站收到时，传送出去，接收站收到时， A被误收作误收作B的概率为的概率为 0.02，而，而 B被误收作被误收作 A的概率为的概率为 0.01.信息信息 A与信息信息 B传送的频率程度为传送的频率程度为2:1。 (1)若接受站收到一信息，是若接受站收到一信息，是 A的概率是多少？的概
5、率是多少？ （2）若接受站收到的信息是）若接受站收到的信息是 A，问原发信息是，问原发信息是 A的概率是多少？的概率是多少？ 解：设解：设 分别表示发出分别表示发出A,B. 分别表示收到分别表示收到A,B5事件独立性的应用举例事件独立性的应用举例1、加法公式的简化加法公式的简化： 若事件A1，A2，An相互独立, 则 2、乘法公式的简化乘法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 62. 甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为率分别为0.90.9与与0.80.8，求在一次射击中，求在一次射击中( (每人各射一次每人各射一
6、次) )目标目标被击中的概率被击中的概率。解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件， C表示目标被击中的事件，则P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.90.8=0.98另解 73 .甲、乙、丙三人独立破译一份密码。已知甲、乙、丙三人能译出的概率甲、乙、丙三人独立破译一份密码。已知甲、乙、丙三人能译出的概率 分别为分别为1/5，1/3，1/4。（1）求密码能破译的概率；）求密码能破译的概率；（2）求甲、乙、丙中恰有一人破译密码的概率。）求甲、乙、丙中恰有一人破译密码的概率。解解 设设A，B，C分别表示甲、乙、丙译出的事件，分
7、别表示甲、乙、丙译出的事件， D表示密码被破译的事件，表示密码被破译的事件， E表示恰有一人译出的事件，则表示恰有一人译出的事件，则84.设设X是连续型随机变量，已知是连续型随机变量，已知X的密度函数为的密度函数为 试求试求 (1)常数常数A (2)X的分布函数的分布函数F(x) 解：解： 95.已知随机变量已知随机变量X的密度函数为的密度函数为求求 (1)常数常数a (2)分布函数分布函数 （4）求）求E(X),D(X) 解：解： 得得a =1106.6. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过设一汽车在开往目的地的道路上需经过3 3盏信号灯。每盏信号盏信号灯。每盏信号灯以概率灯以概率1/21/
8、2允许汽车通过或禁止汽车通过。以允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数下时，它已通过的信号灯的盏数( (各信号灯工作相互独立各信号灯工作相互独立) )。求。求X的分布律、分布函数以及概率的分布律、分布函数以及概率解解 设设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故，故X的分布律为：的分布律为：X0123P1/21/41/81/8X的分布函数：的分布函数：117. 7. 离散型随机变量离散型随机变量X X的分布函数为的分布函数为求求a,ba,
9、b及及X X的分布律的分布律,E(X),D(X),E(X),D(X)。解解 因因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 ，a+b=1a+b=1 于是于是a=1/6,b=5/6a=1/6,b=5/6 X X的分布律为的分布律为 X -1 1 2 p 1/6 1/3 1/2128. 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 求（求（1）常数）常数A，B的值；的值； （2）P（-1X1）；）； （3）求）求X的密度函数。的密度函数。 131410.二维随机变量（二维随机变量（X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为(1)试确定常数
10、试确定常数A；(2)求关于求关于X和和Y的边缘密度函数；的边缘密度函数；(3)判断判断X和和Y是否相互独立。是否相互独立。解：解：(1) 所以 X与Y不独立1511.二维随机变量（二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为 （1）确定常数）确定常数A （2）试问）试问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？ 解：解：（1）当当0x1当当0y1. 所以所以X与与Y不独立不独立 16(1)求常数求常数K；(2)求联合分布函数求联合分布函数F(x,y)；(3) 求概率求概率P(X+2Y 1)。 12.12. 已知已知解解 (1)K=6O xyx+2y=1(2)(3)1713. 设二维随机变
11、量设二维随机变量(X,Y)具具有概率密度函数有概率密度函数 (1)求求X,Y的边缘概率密度；的边缘概率密度；(2)问问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？O xy解解 由于由于f(x,y)=fX(x)fY(y) ，因此，因此X与与Y相互独立。相互独立。1814. 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为YX010q010p其中其中p+q=1，求相关系数，求相关系数XY ，判断判断X,Y相相关性和独立性。关性和独立性。解解 由题意可得由题意可得X,Y的边缘分布律为的边缘分布律为X01PqpY01Pqp均为均为01分布，分布， E(X)，D(X)=pq，E(Y)=p，D(
12、Y)=pq，所以所以Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y) =00q+010+100+11p pp =p p2=pq因此因此（1）X,Y正相关正相关（2) X,Y不独立不独立19解解15.设设(X,Y)服从区域服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布上的均匀分布,求求X与与Y的相关系数。的相关系数。2016.16. (X,Y)的联合分布律如下：的联合分布律如下： 试求试求(1)X,Y的边缘分布律。的边缘分布律。 解解YX1234pi11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4pj25/4813/487/483/48
13、(1)X和和Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为X1234P1/41/41/41/4Y1234P25/48 13/487/483/482117.某校抽样调查结果表明，考生的概率论与数理统计成绩某校抽样调查结果表明，考生的概率论与数理统计成绩X近似地服从正态近似地服从正态分布分布 ,平均成绩平均成绩 72分，分，96分以上的占考生总数的分以上的占考生总数的2.3，求考生，求考生的概率统计成绩在的概率统计成绩在60分至分至84分之间的概率。分之间的概率。2218 . 某车间有某车间有200台车床，每台车床有台车床，每台车床有60%的时间在开动，每台车的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为床开动
14、期间的耗电量为1千瓦，问至少应供应给此车间多少电量千瓦，问至少应供应给此车间多少电量才能以才能以99.9%的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？解：设至少需供给解：设至少需供给nE千瓦电量千瓦电量,X为同时开动的车床数，则为同时开动的车床数，则 23为总体的一个样本，总体为总体的一个样本，总体X的概率密度函数为的概率密度函数为 其中其中 为未知参数。为未知参数。 求：（求：（1） 的矩估计量的矩估计量 （2） 的极大似然估计量。的极大似然估计量。 解：解：(1) 解得矩估计量为：解得矩估计量为： 24(2)似然函数为似然函数为 解得极大似然估计为：解得
15、极大似然估计为： 2520.为了解灯泡使用时数的均值为了解灯泡使用时数的均值 及标准差及标准差 ，测量，测量10个灯泡，得个灯泡，得 如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求 的的95%的置信区间的置信区间 解解:(1)这是一个总体方差未知求这是一个总体方差未知求 的置信度为的置信度为0.95的置信区间的问题的置信区间的问题 (2)这是一个求这是一个求 的置信度为的置信度为0.95的置信区间的问题的置信区间的问题 2621 .某校进行教学改革，一学科学生成绩某校进行教学改革，一学科学生成绩X服从正态分布，服从正态分布， 均未知。均未知。现抽测现抽测19人的成
16、绩如下：人的成绩如下：70 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 47问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？ 解：检验解：检验 选取统计量：选取统计量： 由题意条件得：由题意条件得： 故拒绝故拒绝 H0即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70。拒绝域拒绝域假设检验九种类型！假设检验九种类型！2722. (X1,X2,X6)为为X的一个样本的一个样本求常数求常数C使得使得CY服从服从 2分布。分布。解解 因为因为(X1,X
17、2X6)为为X的一个样本的一个样本,XiN(0,1)，i=1,26则则所以，取常数所以，取常数C=1/3使得使得CY服从服从 2分布分布2823.设总体设总体X服从服从N(0,1)，样本，样本X1,X2Xn来自总体来自总体X，试求，试求常数常数c使统计量使统计量 服从服从t-分布分布.2924. (X1,X2,X5)为取自正态总体为取自正态总体XN(0,2)的样本，的样本，求统计量求统计量的分布的分布解解3025. 25. 设离散型随机变量设离散型随机变量X有如下分布律，试求随机有如下分布律，试求随机变量变量Y=(X- -3)2+1的分布律的分布律 X1357P0.50.1 0.15 0.25
18、解解 Y的所有可能取值为的所有可能取值为1，5，17故，故，Y的分布律为的分布律为Y1517P0.10.650.2531设设(X1,X2,Xn)是正态总体是正态总体N(,2)的样本，则的样本，则 (1)(2)(3)与与S2独立独立(4)322626.设设X X1 1， X X2 2 ，X X2525是取自是取自N N（2121，4)4)的样本的样本, , 求（求（1 1）样本均值的数学期望和方差；）样本均值的数学期望和方差；解解：332727.设设X X1 1， ，X X1010是取自是取自N N（2 2，16)16)的样本的样本, , 求求a a。解：解：3428. 28. 设设X X1 1
19、，X X2 2, , ，X X8 8 是取自是取自N(1,9)N(1,9)的样本的样本, ,求样本方差求样本方差 S S2 2的期望与方差。的期望与方差。解：解：3529.29.设设X X1 1，X X2 2, , ，X X9 9 是取自是取自N(0,9)N(0,9)的样本的样本, ,求求解：解：3630. 设总体设总体X的的k阶矩存在，则不论阶矩存在，则不论X的分布如何，样本的分布如何，样本k阶原点矩阶原点矩是总体是总体k阶矩的无偏估计。阶矩的无偏估计。证明证明设设X的的k阶矩阶矩 k=E(Xk)，k1(X1,X2,Xn)是来自正态总体是来自正态总体X的一个样本，则的一个样本，则所以所以Ak
20、是是k的无偏估计的无偏估计.3731. 设设XN(0,2)，(1)证明证明 是是2无偏估计无偏估计。（2）求）求(X1,X2,Xn)是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本是是2无偏估计。无偏估计。3832. 设设(X1,X2,Xn)是总体是总体X的一个样本，的一个样本，3933.33.设设(X,Y)(X,Y)服从服从N(1,0,9,16,-0.5)N(1,0,9,16,-0.5)分布，分布，Z=X/3+Y/2Z=X/3+Y/21)1)求求Z Z的概率密度，的概率密度，2)2)求求X X与与Z Z的相关系数，的相关系数，3) X3) X与与Z Z是否相互独立？是否相互独立？解解：（）：（）X
21、 XN(1,9),YN(1,9),YN(0,16),N(0,16), XYXY=-0.5=-0.5 注：注：(X,Y)(X,Y)N(N( 1 1, , 2 2, , 1 12 2, , 2 22 2, , ) )，X X与与Y Y相互独立相互独立 X X与与Y Y不相关。不相关。其中其中 =cov(X,Y)=cov(X,Y)。（2 2）cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1
22、/2)(-6)=0=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0(3) X(3) X与与Z Z相互独立相互独立ZN(1/3,3),4034.34.设随机变量设随机变量X XB(12,0.5),YB(12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,N(0,1),COV(X,Y)=-1,求求V=4X+3Y+1V=4X+3Y+1与与W=-2X+4YW=-2X+4Y的方差与协方差。的方差与协方差。解：解： X XB(12,0.5),YB(12,0.5),YN(0,1)N(0,1) E(X)=12*0.5=6,D(X)=12*0.5*0.5=
23、3E(X)=12*0.5=6,D(X)=12*0.5*0.5=3E(Y)=0,D(Y)=1E(Y)=0,D(Y)=1D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y)D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y)=D(4X)+D(3Y)+2COV(4X,3Y)=D(4X)+D(3Y)+2COV(4X,3Y)=16D(X)+9D(Y)+24COV(X,Y)=16*3+9*1-24=33=16D(X)+9D(Y)+24COV(X,Y)=16*3+9*1-24=33D(W)=D(-2X+4Y)=D(-2X)+D(4Y)+2COV(-2X,4Y)D(W)=D(-2X+4Y)=D(-2X)+D(4Y)+
24、2COV(-2X,4Y)=4D(X)+16D(Y)-16COV(X,Y)=4*3+16*1+16=44=4D(X)+16D(Y)-16COV(X,Y)=4*3+16*1+16=44COV(V,W)=COV(4X+3Y+1,-2X+4Y)COV(V,W)=COV(4X+3Y+1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X+4Y)+ COV(3Y,-2X+4Y)+ COV(1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X+4Y)+ COV(3Y,-2X+4Y)+ COV(1,-2X+4Y)=COV(4X,-2X)+COV(4X,4Y)+ COV(3Y,-2X)+COV(3Y,4Y)=COV(4X,-2X)+CO
25、V(4X,4Y)+ COV(3Y,-2X)+COV(3Y,4Y)=-8D(X)+16COV(X,Y)-6COV(Y,X)+12D(Y)=-8D(X)+16COV(X,Y)-6COV(Y,X)+12D(Y)=-8*3+10*(-1)+12=-22=-8*3+10*(-1)+12=-2241六个重要分布的数学期望和方差六个重要分布的数学期望和方差（1）01分布分布 XB(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1- -p=qE(X)=p，D(X）=p(1-p）（2）二项分布）二项分布XB(n,p) E(X)=np D(X)=npq分布律为分布律为P(X=k)=Cnkpkqn- -k，(p+q=1)，k=0,1,2,n（3）Poisson分布分布 XP() （4）均匀分布均匀分布XUa, b 密度函数为密度函数为 （5 )正态分布正态分布 (6)指数分布指数分布 P48与与P100两种定义式两种定义式E(X)=,D(X)=242
