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1、第第2 24 4章章 解直角三角形解直角三角形2 24 4.2 .2 锐角三角函数锐角三角函数 锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念（1）正弦的概念）正弦的概念如图，在如图，在RtMNP中，中，N90P的对边是的对边是_, P的邻边是的邻边是_;M的对边是的对边是_,M的邻边是的邻边是_. MNPMPNPM观察图中的观察图中的RtRtABAB1 1C C1 1、RtRtABAB2 2C C2 2和和ttABAB3 3C C3 3，易知易知 RtRtABAB1 1C C1 1Rt_Rt_.Rt_Rt_.所以所以 = = AB2C2AB3C3由此说明：在一个直角三角形中，只要角由此说明：在一个直角
2、三角形中，只要角的大小一定，它的对边与斜边的比也是确定的，与这个角所在三的大小一定，它的对边与斜边的比也是确定的，与这个角所在三角形的大小无关。角形的大小无关。正弦定义：正弦定义：在直角三角形中，角在直角三角形中，角的的对边对边与与斜边斜边的的比值比值叫做这个角的叫做这个角的正弦正弦。的正弦的正弦=记作：记作：sinsin= =A AB BC C如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，C=900C=900则则sinA= sinA= 注意：注意： sinAsinA是一个整体符号，不能看成是是一个整体符号，不能看成是 sinsinA A；在一个直角三角形中，当在一个直角三角形中，当A A固定时
3、，固定时，A A的正弦值也的正弦值也是固定的，是固定的， 与与A A两边的长短无关；当两边的长短无关；当A A变化时，正弦变化时，正弦值也随之变化；值也随之变化； “sinAsinA”只表示用一个大写字母一个只表示用一个大写字母一个角的正弦，对于用三个大写字母表示的角，在表示它的角的正弦，对于用三个大写字母表示的角，在表示它的正弦时，角的符号正弦时，角的符号“”不能省略，例如表示不能省略，例如表示“ABCABC”的正弦时应写成的正弦时应写成“sinABCsinABC”，而不能写成，而不能写成“sinABCsinABC”sinB该该怎么比怎么比？仿照正弦的定义，在仿照正弦的定义，在RtABCRt
4、ABC中，中，把把A A的的邻边邻边与与斜边斜边的的比值叫做比值叫做A A的的余弦余弦；把；把A A的的对边对边与与邻边邻边的比叫做的比叫做A A的的正切正切；把把A A 邻边邻边与与对边对边的比叫做的比叫做A A的的余切余切。 （2）余弦、正切、余切的概念）余弦、正切、余切的概念A AB BC Cc cb ba a记作：记作：cosA=cosA=tanA=tanA=cotA=cotA=看出点名堂没有？锐角锐角A的的正弦、余弦、正切、余切正弦、余弦、正切、余切统称为统称为A A的的三角函数三角函数（3）锐角三角函数的概念）锐角三角函数的概念注意：注意： 由于锐角三角函数都是线段的比值，因而都是
5、由于锐角三角函数都是线段的比值，因而都是正数，而且没有单位；正数，而且没有单位；锐角的锐角的正弦、余弦、正切、余正弦、余弦、正切、余切的不同点之一：正弦和余弦的定义中涉及斜边，而正切的不同点之一：正弦和余弦的定义中涉及斜边，而正切和余切的定义中不涉及斜边。切和余切的定义中不涉及斜边。四兄弟来了！四兄弟来了！sinAsinAcosAcosAtanAtanAcotAcotA1.如右图所示的如右图所示的Rt ABC中中C=90，a=8，b=15，那么那么c=_sinA= cosA=tanA=cotA=思思思思 考考考考17互为倒数互为倒数相相 等等同角的正切与余同角的正切与余同角的正切与余同角的正切
6、与余切有何关系？切有何关系？切有何关系？切有何关系？互余两角的正弦互余两角的正弦互余两角的正弦互余两角的正弦与余弦有何关系与余弦有何关系与余弦有何关系与余弦有何关系？ sinB= cosB= tanB= cotB=ABC815练练练练 习习习习2、 sinA=cos（90- A ） cosA=sin（90- A） tanA =cot（90 - A） cotA= tan（90 - A）互余两个角的三角函数关系互余两个角的三角函数关系（4 4）几个重要关系式）几个重要关系式）几个重要关系式）几个重要关系式条件：条件：A为锐角为锐角1、tanAcotA=1同角的正切余互为倒数同角的正切余互为倒数 已
7、知角A为锐角，且tanA=0.6，则cotA=( ).5/3(2) tan44tan46= ( ).13、sin2A+cos2A=1同角的正弦和余弦的关系同角的正弦和余弦的关系(3) sin244+cos244= ( ).11.如右图所示的如右图所示的RtABC中中C=90，5a=3c，求，求sinA，cosA，tanA，cotA2.如图，已知如图，已知ABC =BCD=90 ，AB=6，sinA=0.8，CD=12，求，求D的四个三角函数值。的四个三角函数值。A AB BC Cc cb ba aADC CB B精讲：精讲：sinA=sinA=cosA=cosA=tanA=tanA=cotA=
8、cotA=A AB BC Cc cb ba a因为斜边永远大于直角边，且各边长均为正数，所以有因为斜边永远大于直角边，且各边长均为正数，所以有以下不等式成立：以下不等式成立：0sinA10sinA10cosA10cosA0tanA0cotA0cotA0已知已知为锐角，下列结论为锐角，下列结论sinsin+cos+cos=1； tantansin；其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是 。A AB BC Cc cb ba a评析：解决此类问题的关键是评析：解决此类问题的关键是正确利用三角函数的定义。正确利用三角函数的定义。 四个方面的应用四个方面的应用四个方面的应用四个方面的应用1. 1.已知角，求值已知角，求值已知角，求值已知角，求值2. 2.已知值，求角已知值，求角已知值，求角已知值，求角3. 3.求线段的长度求线段的长度课课 堂堂 小小 结结一、基本概念一、基本概念一、基本概念一、基本概念二、几个重要关系式二、几个重要关系式二、几个重要关系式二、几个重要关系式tgActgA=1sinA=cos（90- A ）cosA=sin（90- A） tanA =cot（90- A）cotA= tan（90- A）sin2A+cos2A=1三、取值范围三、取值范围三、取值范围三、取值范围4. 4.三角函数转换三角函数转换三角函数转换三角函数转换
