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1、理解空间向量的概念理解空间向量的概念/掌握空间向量的加法、减法和数乘掌握空间向量的加法、减法和数乘/掌握空间向量的数量积掌握空间向量的数量积的定义及其性质的定义及其性质/理解向量在平面内的射影等概念理解向量在平面内的射影等概念 第第4747课时课时 空间向量的概念和运算空间向量的概念和运算1空间向量的概念：空间向量的概念：在空间在空间，我，我们们把具有大小和方向的量叫做向量把具有大小和方向的量叫做向量 (1)向量一般用有向向量一般用有向线线段表示同向等段表示同向等长长的有向的有向线线段表示段表示 的向量的向量 (2)空空间间的两个向量可用的两个向量可用 的两条有向的两条有向线线段来表示段来表示
2、2空间向量的运算空间向量的运算 定义定义：与平面向量运算一：与平面向量运算一样样，空，空间间向量的加法、减法与数乘向量运算，如向量的加法、减法与数乘向量运算，如 下：下： ab； 同一或相等同一或相等同一平面内同一平面内3运算律：运算律：(1)加法交换律：加法交换律：ab . (2)加法结合律：加法结合律：(ab)c (3)数乘分配律：数乘分配律：(ab) .4共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量空间任意两个向量a、 b(b0), ab的充要条件是存在实的充要条件是存在实 数数，使，使 .5共面向量定理：共面向量定理：如果两个向量如果两个向量a，b不共线，不共线，p与向量与向量a，b共
3、面的充要条件共面的充要条件 是存在实数是存在实数x，y使使 .baa(bc)aba bpxayb6空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果如果三个向量三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使，使 .7空间向量的夹角及其表示：空间向量的夹角及其表示：已已知两非零向量知两非零向量a，b，在空间任取一点，在空间任取一点O，作，作 ，则，则AOB叫做向量叫做向量a与与b的夹角，记作的夹角，记作a，b；且规定；且规定 0a，b，显然有，显然有a，bb，a；若；若a，b ， 则称则称a与与b ，记作：，记作
4、：ab.8向量的模：向量的模：设设 a，则有向线段，则有向线段 的的 叫做向量叫做向量a的长度或模，的长度或模， 记作：记作：|a|.pxaybzc互相垂直互相垂直长度长度9向量的数量积：向量的数量积：已知向量已知向量a，b，则则|a|b|cosa，b叫做叫做a，b的的 ，记作记作 ab，即即ab|a|b|cosa，b10空间向量数量积的性质空间向量数量积的性质 (1)ae|a|cosa，e；(2)abab0；(3)|a|2aa.11空间向量数量积运算律空间向量数量积运算律 (1)(a)b(ab) ；(2)ab (交换律交换律)； (3)a(bc) (分配律分配律)数量积数量积a(b)baab
5、ac1已知向量已知向量a平面平面，向量，向量a所在直所在直线为线为a，则则() Aa Ba Ca交交于一点于一点 Da或或a 答案：答案：D2如如图图，在四面体，在四面体PABC中，中，G为为ABC的重心，且的重心，且 ， 则则 _.(用用a，b，c表示表示) 答案：答案： (abc)3已知向量已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且，且k kab与与2ab相互垂直，相互垂直，则则k k值值是是() A1 B. C. D. 答案答案：D4如如图图，在四面体，在四面体OABC中，中， a， b， c，D为为BC的中点，的中点，E为为 AD的中点，的中点，则则 _.(用用a，b，c表示表示)
6、 解析：解析： 答案：答案： 计计算平行六面体体算平行六面体体对对角角线线的的长长度与求异面直度与求异面直线线上两点上两点间间的距离的距离实质实质上是同一上是同一问题问题利用向量法求平行六面体的体利用向量法求平行六面体的体对对角角线长线长与几何法相比有着非常明与几何法相比有着非常明显显的的优势优势【例【例1】 已知在一个已知在一个60的二面角的棱上，如右图，有两的二面角的棱上，如右图，有两 个点个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个分别是在这个二面角的两个 面内垂直于面内垂直于AB的线段，且的线段，且AB4 cm，AC6 cm， BD8 cm则则CD的长为的长为_解析：解析： ，则，则
7、624282268cos 12068.| |2 (cm)答案：答案：2 cm变式变式1.平行平行六面体六面体ABCDA1B1C1D1中，向量中，向量 两两的两两的夹夹角均角均为为60， 且且| |1， ，则则 等于等于() A5 B6 C4 D8 解析：解析： ， 12223212233125. 则则 5. 答案：答案：A利用共面向量定理可解决四点共面和直利用共面向量定理可解决四点共面和直线线与平面平行等与平面平行等问题问题【例【例2】 如右图如右图，已知平行六面体，已知平行六面体ABCDABCD，E、F、G、H分分别别是棱是棱AD、DC、CC 和和AB的中点，求的中点，求证证E、F、G、H四
8、点共面四点共面证明证明:取取 则则 与与b、c共面共面. .即即E、F、G、H 四点共面四点共面. .变式变式2.如右图如右图，PA平面平面ABCD，ABCD是矩形，是矩形，M、N 分分别别是是AB、PC的中点，求的中点，求证证：MN平面平面PAD. 证明证明:设设 ,则则 与与b、c向量共面，即向量共面，即MN平面平面PAD. 利用平行向量的充要条件可解决三点共利用平行向量的充要条件可解决三点共线线和直和直线线与直与直线线平行等平行等问题问题【例【例3】 如右图如右图，在棱，在棱长为长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，G为为BC1D的重心，的重心，(1)试证试证A1、G、C
9、三点共三点共线线；(2)试证试证A1C平面平面BC1D；(3)求点求点C到平面到平面BC1D的距离的距离解答：解答：(1)证明证明： 可以可以证证明：明： 即即A1、G、C三点共三点共线线(2)证证明：明：设设 则则|a|b|c|a，且，且abbcca0， abc， ca， (abc)(ca)c2a20， ，同理可，同理可证证： ，因此，因此A1C平面平面BC1D.(3) abc， a2b2c23a2，即，即| | a，因此，因此 .即即C到平面到平面BC1D的距离为的距离为 a. 1利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线
10、平行等问题 2利利用用共共面面向向量量定定理理，可可解解决决立立体体几几何何中中，直直线线在在平平面面内内，直直线线与与平平面面平平行行以以及及四点共面等问题四点共面等问题 3要要注注意意空空间间向向量量基基底底的的选选取取，同同时时要要重重视视空空间间向向量量基基本本定定理理的的使使用用，用用基基底底表表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程 4通过向量的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直线通过向量的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直线所成角以及距离等问题所成
11、角以及距离等问题. 【方法规律】【方法规律】 (本本题题满满分分12分分)已已知知如如图图所所示示，平平行行六六面面体体ABCDA1B1C1D1的的底底面面ABCD是是菱形，且菱形，且C1CDC1CBBCD60 (1)求证求证：C1CBD； (2)当当 的值是多少时，能使的值是多少时，能使A1C平面平面C1BD？请给出证明请给出证明.解解答答：(1)证证明明：连连结结A1C1、AC；AC交交BD于于O，连连C1O，四四边边形形ABCD为为菱菱形形 ， ACBD， DO BO， 又又 BCC1 DCC1， CC1 CC1，C1BCC1DC，C1BC1D，DOBO，C1OBD，又又ACBD，所以所
12、以BD平面平面AC1，又，又CC1平面平面AC1.CC1BD.(2)由由(1)知：知：BD平面平面AC1，因，因为为A1C平面平面AC1，所所以以BDA1C，当当 1时时，平平行行六六面面体体的的六六个个面面是是全全等等的的菱菱形形，同同理理：BC1A1C.又又BDBC1B，A1C平面平面C1BD. 向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程这样就本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程这样就很好地解决：很好地解决：“会做的题目花费时间过多会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中方法的选择就这一矛盾，考试过程中方法的选择就显的尤为重要显的尤为重要. 【分析点评】【分析点评】 点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册
