重难点05 导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】【新高考专用】【题型1 函数切线问题】 3【题型2 导数中函数的单调性问题】 3【题型3 导数中函数的极值问题】 4【题型4 导数中函数的最值问题】 5【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 5【题型6 利用导数解不等式】 6【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 6【题型8 任意存在性问题】 6【题型9 函数零点嵌套问题】 7【题型10 双变量问题】 8导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4 导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1 函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A． B．C． D．【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线与曲线相切，则（ ）A． B． C． D．【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【题型2 导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）A． B． C． D．【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数在上单调递增，则的最大值是（ ）A．0 B． C． D．3【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）A． B． C． D．【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【题型3 导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数在处有极小值，则的值为（ ）A．1 B．3 C．1或3 D．或3【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数在区间的极大值、极小值分别为（ ）A．， B．，C．， D．，【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）A． B． C． D．【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（ ）A．的取值范围是B．在单调递增C．若是在上的第一个极值点，则；D．若是在上的第一个极值点，是的切线【题型4 导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）A． B．C． D．【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数在内有且仅有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为（ ）A．1 B． C． D．5【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【题型5 函数零点（方程根）个数问题】【例5】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数，若函数恰有4个零点，则k的取值范围（ ）A． B．C． D．【变式5-1】（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（ ）A．1 B．3 C．4 D．5【变式5-2】（2023·陕西商洛·陕西校考模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【变式5-3】（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【题型6 利用导数解不等式】【例6】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【变式6-2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）设函数是函数的导函数，，且恒成立，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【变式6-3】（2023·四川达州·统考一模）已知，，若不等式的解集中只含有两个正整数，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【题型7 导数中的不等式恒成立问题】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是 ．【变式7-1】（2023·陕西咸阳·咸阳校考模拟预测）已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ．【变式7-2】（2023·陕西咸阳·武功校考模拟预测）已知是定义在上的可导函数，若，，且时，恒成立，则的取值范围是 .【变式7-3】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则实数a的取值范围是 ．【题型8 任意存在性问题】【例8】（2023·四川乐山·统考二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【变式8-1】（2023·四川南充·统考三模）已知函数，，，使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【变式8-2】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【变式8-3】（2023·贵州·校联考二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【题型9 函数零点嵌套问题】【例9】（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【变式9-1】（2023·四川成都·四川校考模拟预测）已知，为函数的零点，，若，则（ ）A． B．C． D．与大小关系不确定【变式9-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，若有3个不同的解，，且，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【变式9-3】（2023·江西南昌·统考二模）已知正实数a使得函数有且只有三个不同零点，若，则下列的关系式中，正确的是（ ）A． B．C． D．【题型10 双变量问题】【例10】（2023下·福建福州·高二校考期中）已知函数，若，且，，则（ ）A． B． C． D．【变式10-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）若实数满足，则（ ）A． 。
