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1、秘籍01 排列与组合目录【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测【应试秘籍】总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点易错点：对两个计数原理理解混乱【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）【题型一】排列数与组合数（押题型）【题型二】 人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空【题型三】 人坐座位模型2：染色（平面、空间）【题型四】 分配问题：球不同，盒不同【题型五】 分配问题：球同，盒不同【题型六】 书架插书模型【题型七】 代替元法：最短路径【题型八】 代替元法： 空车位停车等【题型九】 环排问题：直排策略【题型十】 数列思想：上楼梯等概率预测题型预测选择题、填空题考向预测排列组
2、合题型考察排列组合和二项式定理是高考热点知识点，有了多选题型后常和概率结合起来考察，所以需要考生对于排列组合的基础题型有所了解，以及一些特殊的方法，这块有很多固定的题型，当然在掌握题型的基础上还需要明白其原理，能够冷静分析，合理运用好排列组合的解题思维。根据高考回归课本的趋势，排列数与组合数的运算以及术与式的归纳理解要求要相继变高，而这块内容也是因为传统的固定题型容易被学生忽略的知识点，需要重视起来。易错点：对两个计数原理理解混乱两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法Nmn种不同的方法分步乘
3、法计数原理需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法Nmn种不同的方法(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.易错提醒：1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法在第n类方案中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方
4、法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.例 设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（）A从东面上山有20种走法B从西面上山有27种走法C从南面上山有30种走法D从北面上山有32种走法破解：若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从南面上山，则上山走法有3
5、种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法；故选：ABD变式1：近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的美食吸引着各地游客，成为“网红城市”远道而来的小明计划用2天的时间游览以下五个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡点、磁器口，另外还要安排一次自由购物，因此共计6项内容现将每天分成上午、下午、晚上3个时间段，每个时段完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，“轻轨穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有 种方案.破解：将第1天的上午
6、、下午、晚上3个时间段分别编号为1，2，3，第2天的上午、下午、晚上3个时间段分别编号为4，5，6，由于大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，则仅有2、3或5、6两种排法，若大剧院与洪崖洞的时段为2、3，则“轻轨穿楼”在1，4，5中选一个，有种选法，其余3个项目在剩下的3个时段全排列，共有种排法，故共有种排法；同理若大剧院与洪崖洞的时段为5、6，也有18种排法，故共有（种）方案，故答案为：36变式2：从，这个数字中取出个数字，试问：(1)有多少个没有重复数字的排列(2)能组成多少个没有重复数字的四位数破解：（1）问题等价于从个不同元素中选出个元素的排列问题，故有（种
7、）无重复数字的排列（2）分两类：第一类：若选到数字，不排在首位，则有种排法，其他个位置由其余个数字选出个排列即可，有种排法，故有（个）四位数第二类：若选不到数字，从个数字中选个进行排列即可，故有（个）综上知，有（个）无重复数字的四位数【题型一】排列数与组合数（押题型）1.排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn，m，nN*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取
8、出m(mn，m，nN*)个元素的所有不同组合的个数公式n(n1)(n2)(nm1) 性质n！，0！11，正确理解组合数的性质(1) ：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余nm个元素的方法数.(2) ：从n1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：不含特殊元素A有种方法；含特殊元素A有种方法. 【例1】组合数恒等于（）ABCD【答案】D【详解】由.【例2】规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广(1)求的值(2)组合数的两个性质：；是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；(3)已知组合数是正整数，
9、证明：当，m是正整数时，【答案】(1)(2)性质不能推广，理由见解析；性质能推广，证明见解析.(3)证明见解析.【详解】（1）（2）性质不能推广，例如当时有定义，但无意义；性质能推广，它的推广形式是：，m是正整数证明：当时，有，当时，（3）当时，组合数；当时，；当时，由可知，所以因为组合数是正整数，所以证毕.【例3】（1）求的值；（2）设m，nN*，nm，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）+n+（n+1）=（m+1）.【答案】（1）0（2）详见解析【详解】解：（1）（2）当时，结论显然成立，当时又因为所以因此 【变式1】（2024辽宁沈阳模拟预测）（多选）若，为正整数且，则（）ABCD
10、【答案】BD【详解】对A：，又，故A错误；对B：，故B正确；对C： ，即，故C错误；对D：，即，故D正确.故选：BD.【变式2】（2024山东济南一模）（多选）下列等式中正确的是（）ABCD【答案】BCD【详解】对于A，因为，令，得，则，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确.对于D，对于，其含有的项的系数为，对于，要得到含有的项的系数，须从第一个式子取出个，再从第二个式子取出个，它们对应的系数为，所以，故D正确.故选：BCD.【变式3】（2024安徽合肥一模）“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数
11、”，即对任意，(1)计算：；(2)证明：对于任意，(3)证明：对于任意，【答案】(1)155(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由定义可知，.（2）因为，.又,所以（3）由定义得：对任意.结合（2）可知即，也即.所以，.上述个等式两边分别相加得：.【题型二】 人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：容斥原理【例1】高二年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中
12、一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ）ABCD【答案】B【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：将一班的3位同学“捆绑”在一起，有种方法；将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有种方法；在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，
13、有种方法根据分步计数原理（乘法原理），共有种方法一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：P= =故选B【例2】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A504种B960种C1008种D1108种【答案】C【详解】试题分析：若丙排月日，共有，若丁排月日，共有，若丙排日且丁排日共有，若不考虑丙，丁的条件限制，共有，共有(种）【例3】在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能连着出场，且女生甲
14、不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A30B36C60D72【答案】C【分析】记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，因此，出场顺序的排法种数种，故选C【变式1】（2023陕西安康模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（）A144B120C108D96【答案】A【详解】命题意图本题考查排列
