《高等数学方明亮43分部积分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学方明亮43分部积分法（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、返回返回上页上页下页下页目录目录新课引入新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法换元积分法” 。但是，但是，对于形如对于形如的积分用的积分用直接积分法直接积分法或或换元积分法换元积分法都无法计算都无法计算. 注意到，注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点这些积分的被积函数都有共同的特点都是两种不同类型函数的乘积。都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：这就是另一个基本的积分方法：分部积分法分部积分法. 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，函数
2、乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，8/19/20241返回返回上页上页下页下页目录目录积分得:分部积分公式分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .由导数乘法公式：8/19/20242返回返回上页上页下页下页目录目录第三节第三节 分部积分法分部积分法 第四章第四章 （Integration by Parts）例例1 求解解: 令则 原式另解另解: 令则 原式8/19/20243返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 令则原式 =例例2 求（课本（课本 例例3）8/19/20244返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 令则 原式例例3 求（课本（课本例例4）8/19/20245返回
3、返回上页上页下页下页目录目录解解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说明说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 例例4 求（课本（课本例例7）8/19/20246返回返回上页上页下页下页目录目录把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为例例5（补充题）（补充题）求解解: 令, 则原式 =反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数解题技巧解题技巧:（自学课本（自学课本例例56）8/19/20247返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 令, 则原式 =例
4、例6（补充题）（补充题）求8/19/20248返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 令则原式令例例7（课本课本 例例10）求8/19/20249返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 令则得递推公式例例8 求（课本（课本 例例9）8/19/202410返回返回上页上页下页下页目录目录递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明说明:8/19/202411返回返回上页上页下页下页目录目录分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积
5、分建立递 推公式 .说明说明:8/19/202412返回返回上页上页下页下页目录目录的一个原函数是求解解:说明说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.例例9 已知（补充题）（补充题）8/19/202413返回返回上页上页下页下页目录目录解法解法1 先换元后分部先换元后分部令即则故例例10 求（补充题）（补充题）8/19/202414返回返回上页上页下页下页目录目录解法解法2 用分部积分法用分部积分法8/19/202415返回返回上页上页下页下页目录目录本节小结本节小结分部积分公式分部积分公式1. 使用原则使用原则 :易求出易求出,易积分易积分2. 使用经验使用经验 : “反对幂指三反对幂指三”
6、, 前前 u 后后3. 题目类型题目类型 :分部化简分部化简 ;循环解出循环解出;递推公式递推公式8/19/202416返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习题习题4-3 （偶数题）（偶数题）思考与练习思考与练习1. 下述运算错在哪里下述运算错在哪里? 应如何改正应如何改正?得 0 = 1答答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .8/19/202417返回返回上页上页下页下页目录目录2. 求不定积分求不定积分解解： 方法方法1(先分部先分部 , 再换元再换元)令则8/19/202418返回返回上页上页下页下页目录目录方法方法2(先换元先换元,再分部再分部)令则故8/19/202419返回返回上页上页下页下页目录目录3. 求求解解: 令令则则8/19/202420返回返回上页上页下页下页目录目录4. 证明递推公式证明递推公式证：证：注：注：或或8/19/202421
