计算方法七常微分方程的数值解法课件

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1、第6章 常微分方程的数值解法 考考虑常微分方程的初常微分方程的初值问题 (6-1) (6-2)则（6-1）的解存在且唯一）的解存在且唯一。 或与其等价的积分方程或与其等价的积分方程 ，对任意任意 满足足Lipschitz条件，即存在常数条件，即存在常数，均有，均有若若 它是一种离散化方法，利用它是一种离散化方法，利用这种方法，可以在一系列事种方法，可以在一系列事先取定的先取定的 中的离散点（称为节点）中的离散点（称为节点）上求出未知函数上求出未知函数之之值的近似的近似值。而而通常称通常称为初初值问题的的数数值解解。 首先我们利用数值积分公式建立求解（首先我们利用数值积分公式建立求解（6-16-

2、1）或（）或（6-26-2）的）的数值方法。数值方法。 什么是数值解法？什么是数值解法？（通常取成等距，即（通常取成等距，即称为步长）称为步长）其中其中 6.1.1 基于数值积分的解法基于数值积分的解法 由由（6-2）， 将节点取为将节点取为（6-3）的近似的近似值 如果如果的近似的近似值已已经求出，求出，则通通过计算算(6-3)右端右端项的数值积分可求出项的数值积分可求出 首先，对首先，对(6-3)(6-3)右端积分项使用左矩形求积公式，则得右端积分项使用左矩形求积公式，则得令令 上式称上式称为Euler求解公式求解公式，又称，又称矩形公式矩形公式。 (6-4)一、一、EulerEuler法

3、法 欧欧 拉拉 Lonard Euler 莱昂纳尔莱昂纳尔欧拉（欧拉（Lonard Euler, Lonard Euler, 17071783）是历史上著作最多的）是历史上著作最多的数数 学家，被同时代的人称为学家，被同时代的人称为“分析的化身分析的化身”。人们评价他：。人们评价他：“欧拉计算毫不欧拉计算毫不费力费力 ，就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样，就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样”，欧拉，欧拉-算法学家，为解决算法学家，为解决特特 殊类型的问题设计殊类型的问题设计“算法算法”的数学家。的数学家。 欧拉的数学事业开始于牛顿去世的那一年（欧拉的数学事业开始于牛顿去世的那一年（1727

4、1727年）。他在年）。他在1748年、年、 1755年和年和17681770所著关于微积分的伟大论著所著关于微积分的伟大论著( (无穷小分析引论、无穷小分析引论、 微分学原理、积分学原理微分学原理、积分学原理) )，立即就成为了经典著作，并且在四分，立即就成为了经典著作，并且在四分 之三个世纪中，继续鼓舞着想成为大数学家的的年轻人。之三个世纪中，继续鼓舞着想成为大数学家的的年轻人。 欧拉欧拉17071707年年4 4月月1515日出生于瑞士的巴塞尔，其父是牧师，欧拉是能在任何地方、任何条件下工日出生于瑞士的巴塞尔，其父是牧师，欧拉是能在任何地方、任何条件下工作的几个大数学家之一。他常常抱着一

5、个婴儿写作他的论文，同时稍大一点的孩子们在他周围嬉戏作的几个大数学家之一。他常常抱着一个婴儿写作他的论文，同时稍大一点的孩子们在他周围嬉戏着。据说，在家人两次叫他吃饭的半个小时左右的间隔中，他就能草就一篇数学文章。着。据说，在家人两次叫他吃饭的半个小时左右的间隔中，他就能草就一篇数学文章。 欧拉是为月球问题形成一个可计算解（月球理论）的第一人。欧拉是为月球问题形成一个可计算解（月球理论）的第一人。 在生命最后在生命最后1717年中他完全失明，这并没有妨碍他的无以伦比的多产的；他既靠视觉又靠听觉记年中他完全失明，这并没有妨碍他的无以伦比的多产的；他既靠视觉又靠听觉记忆。它还有惊人的心算本领，不仅

6、心算算术类型的问题，也心算高等代数和微积分学中要求的更难忆。它还有惊人的心算本领，不仅心算算术类型的问题，也心算高等代数和微积分学中要求的更难的问题。他那个时代整个数学领域中的全部主要公式，都精确地储藏在他的记忆中。的问题。他那个时代整个数学领域中的全部主要公式，都精确地储藏在他的记忆中。 欧拉直到他临终的那一刻仍然神志清醒、思想敏捷，他享年欧拉直到他临终的那一刻仍然神志清醒、思想敏捷，他享年7777岁，于岁，于17831783年年9 9月月1818日去世。那日去世。那天下午她计算气球上升的规律消遣天下午她计算气球上升的规律消遣像往常一样，在他的石板上计算，然后他和家人一起吃晚饭。像往常一样，

7、在他的石板上计算，然后他和家人一起吃晚饭。天王星是新近发现的，欧拉略述了对它的轨道的计算。过了一会儿，他让人把他的孙子带进来。在天王星是新近发现的，欧拉略述了对它的轨道的计算。过了一会儿，他让人把他的孙子带进来。在与孩子玩和喝茶的时候，欧拉突然中风。烟斗从他的手里掉下来，他说了一句与孩子玩和喝茶的时候，欧拉突然中风。烟斗从他的手里掉下来，他说了一句“我死了我死了”，就中止，就中止了他的生命和计算。了他的生命和计算。用用用用EulerEuler公式计算初值问题公式计算初值问题公式计算初值问题公式计算初值问题的解的解在在处的数的数值解解 。 小数点后保留小数点后保留4位）位）。 例例：（取步长（取

8、步长 ，解：解： 相相应的的EulerEuler公式：公式：由初由初值，计算得算得EulerEuler法（切线法）法（切线法）的的几何解几何解释隐隐Euler法法 首先，首先，对对(6-3)右端右端积分分项使用右矩形求使用右矩形求积公式，公式，则得得令令 上式称上式称为隐隐Euler公式公式，又称右，又称右矩形公式矩形公式。 (7-4)二、梯形法对对(6-3)右端的右端的积分使用梯形求分使用梯形求积分式分式计算，算，则得得令令上式称上式称为梯形公式梯形公式，简称称梯形法梯形法 (6-5)将将EulerEuler公式与隐式公式与隐式EulerEuler公式做算术平均，也可得出梯形公式公式做算术平

9、均，也可得出梯形公式二、梯形法二、梯形法 对对(7-3)右端的积分使用梯形求积分式计算右端的积分使用梯形求积分式计算，则得令 ， (6-5)上式称为上式称为梯形求解公式梯形求解公式，简称，简称梯形法梯形法 梯形公式与梯形公式与EulerEuler公式相比要精确的多，但是梯形公公式相比要精确的多，但是梯形公式的计算量要大一些。每步计算要解一个关于式的计算量要大一些。每步计算要解一个关于 的非的非线性方程，从而要用如下迭代公式：线性方程，从而要用如下迭代公式：取初取初值为 ，反复迭代，即反复迭代，即， ， 若序列若序列 收敛于收敛于 ，当，当 时，得到：时，得到：则取则取 为第为第 个近似值。个近

10、似值。 如此如此迭代迭代下去下去得到迭代序列得到迭代序列：，在实际计算中，通常要求满足在实际计算中，通常要求满足在实际计算中，通常要求满足在实际计算中，通常要求满足 为终止条件，此时取为终止条件，此时取 作为作为 的近似值的近似值 。 为了避免求解非线性代数方程，可以用为了避免求解非线性代数方程，可以用EulerEuler法将它显化，法将它显化， (6-6) 建立建立预测预测校正系统校正系统：求解公式求解公式(6-6)(6-6)称为称为改进的改进的EulerEuler法法，其中，其中 称为预测值，称为预测值，称为校正值称为校正值. . 其求解顺序为：其求解顺序为：改进的改进的EulerEule

11、r法还可写成如下形式：法还可写成如下形式：(6-7) 如果如果 关于关于 是线性函数，则隐式公式可以显式化。是线性函数，则隐式公式可以显式化。 例，若方程为：例，若方程为： 后后EulerEuler公式：公式： ， 梯形公式：梯形公式： 三、三、Milne公式公式若在区间上，对若在区间上，对(6-2)右端的使用右端的使用 Simpson Simpson求积公式，得求积公式，得 令令 (6-8) (6-8)(6-8)可写成可写成(6-9) 其中其中 此为二步方法，需要已知此为二步方法，需要已知 和和 ，才能由，才能由(6-9)(6-9)计算出计算出 的值。二步以上的方法也称为的值。二步以上的方法

12、也称为多步法多步法。 衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度。衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度。定义定义 假设假设 ， ，则称，则称为求解公式第为求解公式第 n 步的步的局部截断误差局部截断误差。定义定义 为求解公式在为求解公式在 点上的点上的整体截整体截断误差断误差。 如果设某求解公式的局部截断误如果设某求解公式的局部截断误差：差：这样我们就称该求解公式具有这样我们就称该求解公式具有 p p 阶精度阶精度。则我们可以证明其整体截断误差为：则我们可以证明其整体截断误差为：事实上，若事实上，若则则 求解公式的精度越高，计算解的精确性可能越好。通求解公式的精度越高，计算解的精

13、确性可能越好。通过简单的分析，可知过简单的分析，可知EulerEuler法具有一阶精度，梯形法具二法具有一阶精度，梯形法具二阶精度。阶精度。下面利用下面利用Taylor展开，求展开，求Euler法的局部截断误差法的局部截断误差 欧拉（欧拉（Leonard Euler, 公元公元1707-1783年年），历史上最伟），历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为有史大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为有史以来贡献最大的四位数学家以来贡献最大的四位数学家 欧拉从小就特别喜欢数学，不满欧拉从小就特别喜欢数学，不满1010岁就开始自学代数岁就开始自学代数学。学。1313岁上大

14、学，两年后获得巴塞尔大学的学士学位，岁上大学，两年后获得巴塞尔大学的学士学位，次年又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。次年又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。17251725年，欧拉来到年，欧拉来到彼得堡，开始了他的数学生涯彼得堡，开始了他的数学生涯 17331733年，年仅年，年仅2626岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授过度的工作使他得了眼岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授过度的工作使他得了眼病，右眼失明，时年病，右眼失明，时年2828岁岁17411741年欧拉到柏林担任科学院物理数学所所长年欧拉到柏林担任科学院物理数学所所长17661766年，年，重回彼得堡任职没过多久，左眼视力衰退，最后完全失

15、明不幸的事情接踵而来，重回彼得堡任职没过多久，左眼视力衰退，最后完全失明不幸的事情接踵而来，17711771年一场大火将他的书房和大量研究成果全部化为灰烬年一场大火将他的书房和大量研究成果全部化为灰烬 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下他以惊人的毅力，凭着记忆和心算进行研究，沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下他以惊人的毅力，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世在失明后的直到逝世在失明后的1717年间，他还口述了几本书和年间，他还口述了几本书和400400篇左右的论文当大火烧掉他篇左右的论文当大火烧掉他几乎全部的著述之后，欧拉用了一年的时间口述了所有这些论文并作了修订几乎全部的著述之后，欧拉用了一年的时间口

16、述了所有这些论文并作了修订 欧拉知识渊博，著作丰富，令人惊叹不已！他从欧拉知识渊博，著作丰富，令人惊叹不已！他从1919岁开始发表论文，直岁开始发表论文，直到到7676岁，一生写下了浩如烟海的书籍和论文可以说欧拉是科学史上最多产岁，一生写下了浩如烟海的书籍和论文可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他共写下了的一位杰出的数学家，据统计他共写下了886886本书籍和论文，彼得堡科学院为本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的到欧拉的名字，

17、从初等几何的欧拉线欧拉线，多面体多面体的的欧拉定理欧拉定理，立体解析几何的，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数欧拉函数，微分方程微分方程的的欧拉欧拉方程方程，级数论的，级数论的欧拉常数欧拉常数，变分学的欧拉方程，变分学的欧拉方程，复变函数复变函数的的欧拉公式欧拉公式等等，等等，数也数不清他对数学分析的贡献更独具匠心，数也数不清他对数学分析的贡献更独具匠心，无穷小分析引论无穷小分析引论一书便一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为是他划时代的代表作，当时数学家们称他为 分析学的化身分析学的化身 1919世纪伟大数世纪伟大数学家学家高斯高斯（GaussGauss，1777-18551777-1855年）曾说：年）曾说： 研究欧拉的著作永远是了解数学的研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法最好方法 著名数学家著名数学家拉普拉斯拉普拉斯（LaplaceLaplace）曾说过：）曾说过： 读读欧拉、读读欧拉，读读欧拉、读读欧拉，它是我们大家的老师！它是我们大家的老师！” ” 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的