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1、作作 业业p.51:1. 3.第二章第二章 热传导热传导方程方程 1 1 热传导方程及其定解问题的热传导方程及其定解问题的导出导出1. 1. 一均匀细杆直径为一均匀细杆直径为 ，假设它在同一截面上的温度是，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并并服从于规服从于规律律又假设杆的密度为又假设杆的密度为 ，比热为，比热为 ，热传导系数为，热传导系数为 ，试，试导出此时温度导出此时温度 满足的方程。满足的方程。解解 引坐标系：以杆的对称轴为引坐标系：以杆的对称轴为 轴，此时杆为温度轴，此时杆为温度 。记杆的截面面积记杆的截面面积 为为
2、。热传导定律热传导定律由假设，在任意时刻由假设，在任意时刻 到到 内流入截面坐标为内流入截面坐标为 到到一小段细杆的热量为一小段细杆的热量为杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动被动”的的热源。由假设，在时刻热源。由假设，在时刻 到到 在截面为在截面为 到到 一一小段中产生的热量为小段中产生的热量为又在时刻又在时刻 到到 在截面为在截面为 到到 这一小段内由于这一小段内由于温度变化所需的热量为温度变化所需的热量为由由热量守恒原理得热量守恒原理得消去消去 ，再令，再令 ， 得得或或其中其中3.3. 砼砼( (混凝土混凝土) )内部储藏着热量，称为水化热
3、，在它浇筑内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以 表示它在单位体积中所储的热量，表示它在单位体积中所储的热量， 为初始时刻所为初始时刻所储的热量，则储的热量，则 ，其中，其中 为常数。又假设砼的为常数。又假设砼的比热为比热为 ，密度为，密度为 ，热传导系数为，热传导系数为 ，求它在浇后温度，求它在浇后温度 满足的方程。满足的方程。解：可将水化热视为一热源。解：可将水化热视为一热源。 由由 及及 , ,知单位体积知单位体积放热速度为放热速度为 。它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书它就是单位时间所产
4、生的热量，因此，由原书4848页，页，(1.7)(1.7)式得式得2 2 初边值初边值问题的分离变量法问题的分离变量法1.1.用分离变量法求用分离变量法求下下列列的定解问题的定解问题求非零解求非零解 得得对应对应 为为 。p.56:1. 4.解解 设设 代入方程及边值得代入方程及边值得因此得因此得由初始值得由初始值得因此因此故解为故解为4.4.在区域在区域 中求解如下的定解问题中求解如下的定解问题其中其中 均为常数，均为常数， 为已知函数为已知函数。解解 按提示，引按提示，引 ，则，则 满足满足由分离变量法满足方程及边值条件的解为由分离变量法满足方程及边值条件的解为再由再由初初始值得始值得故故
5、因此因此 3 3 柯西问题柯西问题2.2.证明当证明当 在在 内绝对可积时，内绝对可积时， 为连为连续函数。续函数。p.62:2.5(1).8.p.62:2.5(1).8.解解且且由控制收敛定理由控制收敛定理5(2).5(2).用延拓法求解半有界直线上热传导方程（用延拓法求解半有界直线上热传导方程（3.173.17）的柯西问题，的柯西问题，假设假设解解 根据根据柯西问题柯西问题的解的公式的解的公式知，只需要开拓知，只需要开拓 ，使之对任何，使之对任何 值有意义即可。值有意义即可。为此，将积分分为两个为此，将积分分为两个 与与 ，再，再在在第一个中用第一个中用来替换来替换 就得就得由边界条件得由
6、边界条件得要此式成立，只需要此式成立，只需即即 作奇开拓，由此得解公式为作奇开拓，由此得解公式为8. 8. 导出下列热传导方程柯西问题解的表达式导出下列热传导方程柯西问题解的表达式解：由解：由7 7题，只需分别求出题，只需分别求出的解，然后再相乘迭加即得。的解，然后再相乘迭加即得。由于由于所以所以4 4 极值原理，定解问题的解的唯一性和稳定性极值原理，定解问题的解的唯一性和稳定性1. 1. 证明证明方程方程 具有狄利克雷边界条具有狄利克雷边界条件的初边值问题的件的初边值问题的唯一性与稳定性。唯一性与稳定性。证证令令 ，则，则 满足满足 ，由极值原理（定理由极值原理（定理4.14.1）知）知即即
7、p.67:1.2.p.67:1.2.* * 下证唯一性下证唯一性若若 为为初边值初边值问题的两个解，则问题的两个解，则 满足满足由估计由估计（1 1）得得推出推出即即解是唯一的！解是唯一的！（1 1）* * 下证稳定性下证稳定性因此如果因此如果 则则因此在限时间内解关于初边值是稳定的！因此在限时间内解关于初边值是稳定的！若若 满足满足令令 则则证明证明 反证法。反证法。2.2. 利用证明热传导方程极值原理的方法，证明满足方利用证明热传导方程极值原理的方法，证明满足方程程 的函数在界闭区域的函数在界闭区域 上的最大值不会上的最大值不会超过它在超过它在边边界上的最大值。界上的最大值。的边界的边界
8、上的最大值。若定理不成立，则上的最大值。若定理不成立，则 。以以 表表 在在 上的最大值，上的最大值， 表表 在在因而，在因而，在 内部内部有一点有一点 使使作函数作函数在在 上上 其其中中 为为 的直径。的直径。故假设不成立，证毕！故假设不成立，证毕！ 而而故故 也在也在 内一点内一点 上取到其最大值，上取到其最大值，因而在该点处有：因而在该点处有：即即 另一方面另一方面所以所以与与 矛盾。矛盾。5 5 解的渐近性态解的渐近性态p.70:1.2.p.70:1.2.1. 1. 证明下列热传导方程初边值问题证明下列热传导方程初边值问题的解当的解当 时指数地衰减于零，其中时指数地衰减于零，其中 且且解解由分离变量法满足方程及边值条件的由分离变量法满足方程及边值条件的古典古典解为解为（参（参考考p.56:4p.56:4题）题）其中其中结果结果，成立成立（2 2）（1 1）注意到注意到（利用（利用 的有界性）的有界性）2. 2. 证明：当证明：当 为为 上的有界连续函数，且上的有界连续函数，且时，二维热传导方程柯西问题的解，当时，二维热传导方程柯西问题的解，当 时，以时，以衰减率趋于零。衰减率趋于零。证明证明 由由p.63p.63第第9 9题知，二维热传导方程柯西问题的解为题知，二维热传导方程柯西问题的解为
