衍生品定价的方法

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1、衍生品定价衍生品定价衍生品定价衍生品定价南开大学数学科学学院南开大学数学科学学院白晓棠白晓棠Contents衍生品定价的方法衍生品定价的方法1博弈论方法博弈论方法2 资产组合复制法资产组合复制法3 二叉树模型二叉树模型42衍生品定价的方法衍生品定价的方法v前面我们讨论了期权价格的上下限以及看涨看跌期权的平前面我们讨论了期权价格的上下限以及看涨看跌期权的平价公式（欧式）。价公式（欧式）。v一份期权的公平的确切的价格应该为多少呢？一份期权的公平的确切的价格应该为多少呢？v例：（看涨期权的公平价格）有一只股票现价为例：（看涨期权的公平价格）有一只股票现价为$100。在一年以后，股价可以是在一年以后，

2、股价可以是$90或或$120。概率并未给定。概率并未给定。即期利率是即期利率是5%。一年后到期的执行价格为。一年后到期的执行价格为$105的股票的股票期权的公平价格是多少？期权的公平价格是多少？v下面我们将用两种方法来回答这个问题，这两个方法是：下面我们将用两种方法来回答这个问题，这两个方法是：博弈论方法、资产组合定价法。博弈论方法、资产组合定价法。3博弈论方法博弈论方法v在下面的三种方法中我们都假设股票在到期日的价格只能在下面的三种方法中我们都假设股票在到期日的价格只能是两种特定价格中的一个。将现在视为是两种特定价格中的一个。将现在视为0时刻，到期日视时刻，到期日视为为1时刻，本例中假设时刻

3、，本例中假设1时刻股价为时刻股价为$120或或$90.vV=期权的价格；期权的价格；S=股票的价格。股票的价格。v构造资产组合构造资产组合：a股股票的期权和股股票的期权和b股股票则：股股票则：v0=aV+bSv上升状态：上升状态： 1=（120-105）a+120bv下降状态：下降状态： 1=a0+90b4博弈论方法博弈论方法v选择选择a和和b，使得并不取决于股票涨跌结果。这样，我们，使得并不取决于股票涨跌结果。这样，我们就有：就有：v（120-105）a+120b=a0+90bv从上式可得从上式可得15a=-30b，我们可以作出，我们可以作出a=-2，b=1的投资选的投资选择，此时有择，此时

4、有v0=-2V+1100v1=- 215+1120=90v由于由于1.050= 1，故，故100-2V=90/1.05，即，即V=7.14.5博弈论方法博弈论方法v假设交易商愿意以假设交易商愿意以$7.25的价格出售（或购买）期权。的价格出售（或购买）期权。博弈论定价方法告诉我们期权价格被高估了。博弈论定价方法告诉我们期权价格被高估了。v我们的策略：买入我们的策略：买入1股股票，卖出股股票，卖出2股期权股期权v该头寸的成本为该头寸的成本为v100-7.252=85.5v我们借入我们借入$85.5进行投资，一年后冲销该头寸得进行投资，一年后冲销该头寸得$90，故我们得到利润为：故我们得到利润为：

5、v90-85.51.05=90-89.775=0.225vQ:交易商以交易商以$7的价格出售（或购买）期权，交易策略？的价格出售（或购买）期权，交易策略？6博弈论方法博弈论方法v假设在时刻假设在时刻t股票处于上涨的状态时价格为股票处于上涨的状态时价格为Su，那么衍生，那么衍生品价格为品价格为U；股票处于下跌的状态时价格为；股票处于下跌的状态时价格为Sd，那么衍生，那么衍生品价格为品价格为D。 Su U S0 V0 Sd D 我们通过买我们通过买1股股票衍生品和卖出股股票衍生品和卖出a股股票构造资产组合。股股票构造资产组合。故资产组合的初始价值是：故资产组合的初始价值是： 0=V0-aS7博弈论

6、方法博弈论方法v选择选择a的值使得资产组合的价值与股票的最终状态无关，的值使得资产组合的价值与股票的最终状态无关，于是于是v上升时：上升时：u=U-aSuv下降时：下降时：d=D-aSdv令令u=d得：得：U-aSu=D-aSdv故故v而而0=V0-aS0， 1=U-aSuv于是于是V0=aS0+(U-aSu)e-rt8资产组合复制资产组合复制v假设股票在假设股票在0时刻为时刻为S0，该股票在，该股票在t时刻有两种可能价格：时刻有两种可能价格： Su U S0 V0 Sd Dv构造资产组合构造资产组合：a单位的股票和单位的股票和b单位的债券，来复制单位的债券，来复制期权，由于期权，由于v上升状

7、态：上升状态：u=aSu+bert=Uv下降状态：下降状态：u=aSd+bert=D9资产组合复制资产组合复制v于是有：于是有：v于是衍生品的定价公式为：于是衍生品的定价公式为：v即即10资产组合复制资产组合复制v将上面表达式中的含有将上面表达式中的含有U的项和含有的项和含有D的项分开，则衍生的项分开，则衍生品价格为：品价格为：v忽略指数项，则忽略指数项，则U的系数是的系数是v而而D的系数恰好为的系数恰好为v故衍生品价格可记为故衍生品价格可记为11风险中度概率风险中度概率v对于对于v现在我们来考虑现在我们来考虑q的取值范围：的取值范围：v若若q0，则，则e-rtS01，那么，那么1-q0，则，

8、则Su1且且d1，价格上升的概率为，价格上升的概率为p，下，下降的概率为降的概率为1-p。 uS0 S0 dS0v相应地，期权价值分别为相应地，期权价值分别为Vu和和Vd。23二叉树模型二叉树模型v由前面讨论的由前面讨论的 ，我们有，我们有 。v从而从而 。v故对于单期的情形期权的合理价格是可以确定。故对于单期的情形期权的合理价格是可以确定。v下面我们讨论多期二叉树，首先先考虑二期的情形：下面我们讨论多期二叉树，首先先考虑二期的情形：v为了研究问题方便，我们假设股票从第一步的两个状态的为了研究问题方便，我们假设股票从第一步的两个状态的一个开始，继续保持与第一步相同的规律变动。即股票只一个开始，

9、继续保持与第一步相同的规律变动。即股票只可能以可能以u因子增长，以因子增长，以d的因子下降。的因子下降。24二叉树模型二叉树模型v故我们可以得到二期股票二叉树图故我们可以得到二期股票二叉树图25二叉树模型二叉树模型v由于由于ud=du，故我们可以将刚才的二叉树简化：，故我们可以将刚才的二叉树简化：26二叉树模型二叉树模型v假设一项金融衍生品对于股票二叉树中的每一个最终结果假设一项金融衍生品对于股票二叉树中的每一个最终结果都有一个特定的价格。三种可能的价格是都有一个特定的价格。三种可能的价格是U、M和和D，分，分别对应股票价值别对应股票价值u2S0、 udS0和和d2S0。27二叉树模型二叉树模

10、型v如何确定衍生品的价格如何确定衍生品的价格V0？关键是找到衍生品在第一期？关键是找到衍生品在第一期的价格，假设分别为的价格，假设分别为X和和Y。v那么我们可以利用前面讨论的结果先给出那么我们可以利用前面讨论的结果先给出X和和Y的值，从的值，从而确定而确定V0 。28二叉树模型二叉树模型v例例 假设开始时，股价为假设开始时，股价为$20，在两步二叉树中的每个单，在两步二叉树中的每个单步二叉树中，股票价格将上升步二叉树中，股票价格将上升10%或是下降或是下降10%。我。我们假设每个单步二叉树的时间步长是们假设每个单步二叉树的时间步长是3个月，无风险年利个月，无风险年利率为率为12%。问执行价格为

11、。问执行价格为$21的欧式看涨期权的价格为的欧式看涨期权的价格为多少？多少？29二叉树模型二叉树模型v股票价格二叉树为：股票价格二叉树为：30二叉树模型二叉树模型vu=1.1，d=0.9 ，r=0.12 ，t=0.25v于是于是v则则B点处期权价值为：点处期权价值为：31二叉树模型二叉树模型vC点处期权价值为点处期权价值为0，故，故A点处期权价值为点处期权价值为v也可以根据我们之前推导的公式，一步求得也可以根据我们之前推导的公式，一步求得32欧式看跌期权欧式看跌期权v例例 一个一个2年期欧式股票看跌期权，执行价格为年期欧式股票看跌期权，执行价格为52，当前，当前股价为股价为50。我们假设价格为

12、两步二叉树，每个步长为。我们假设价格为两步二叉树，每个步长为1年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比例上升年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比例上升20%，或者按比例下降，或者按比例下降20%，若无风险利率为，若无风险利率为5%，求此期，求此期权的价格。权的价格。33欧式看跌期权欧式看跌期权v我们求得我们求得v故故34欧式看跌期权欧式看跌期权v采用逐步回推的方式也可得到类似的结果，股票期权的二采用逐步回推的方式也可得到类似的结果，股票期权的二叉树为：叉树为：35美式期权定价美式期权定价v还是刚才的例子，若为美式看涨期权应该如何定价？方法还是刚才的例子，若为美式看涨期权应该如何定价？方法是从树

13、图的末端向开始的起点倒推计算，在每个节点检验是从树图的末端向开始的起点倒推计算，在每个节点检验提前执行是否最佳，期权价值是如下两者中较大的：提前执行是否最佳，期权价值是如下两者中较大的：v1、后继两点的期权价值期望的本节点现值；、后继两点的期权价值期望的本节点现值；v2、提前执行的收益。、提前执行的收益。v我们将前面的例子按照美式期权计算，可以得到下面结论。我们将前面的例子按照美式期权计算，可以得到下面结论。36美式期权定价美式期权定价v股票期权二叉树股票期权二叉树37美式期权定价美式期权定价v例：为一美式看跌期权定价，例：为一美式看跌期权定价，S0=$100，X=$100， u=1.1，d=

14、0.9，r=0.05，期权到期时间为，期权到期时间为t=3.v解：先给出此股票的价格二叉树解：先给出此股票的价格二叉树38美式期权定价美式期权定价v期权二叉树期权二叉树39美式期权定价美式期权定价v我们曾经计算过此题的我们曾经计算过此题的q=0.7564，这样通过连锁法我，这样通过连锁法我们可以得到后继两点的期权价值期望的本节点现值，比如们可以得到后继两点的期权价值期望的本节点现值，比如时刻时刻2最下方节点的连锁法值为最下方节点的连锁法值为ve-0.05(10.90.7564+27.10.2436)=14.12v由于是美式期权可以选择立即执行，立即行权期权值为：由于是美式期权可以选择立即执行，

15、立即行权期权值为：v100-81=19v我们要对比这两个值取最大值作为美式期权此节点处的价我们要对比这两个值取最大值作为美式期权此节点处的价值，也就是值，也就是19美元。美元。40美式期权定价美式期权定价v总结一下刚才的过程，也就是说对于每个节点我们会得到总结一下刚才的过程，也就是说对于每个节点我们会得到下面的图：下面的图：v刚才例子的具体数值为：刚才例子的具体数值为：41美式期权定价美式期权定价v对所有的节点都进行相应的计算，得对所有的节点都进行相应的计算，得42奇异期权奇异期权v障碍期权（障碍期权（barrier option ）分为敲出期权和敲入期）分为敲出期权和敲入期权。权。v我们考察

16、一个欧式看涨敲出期权，我们考察一个欧式看涨敲出期权，3年后到期，执行价格年后到期，执行价格是是$105，在价格为，在价格为$95美元处设一个障碍，即一旦股票美元处设一个障碍，即一旦股票价格低于价格低于$95，那么无论其到期的价格是多少，该期权，那么无论其到期的价格是多少，该期权都不再有任何价值。都不再有任何价值。v其他条件和刚才是一样的，即其他条件和刚才是一样的，即S0=$100，u=1.1，d=0.9，r=0.05。43奇异期权奇异期权v我们可以绘出股票价格的二叉树图，并在价格我们可以绘出股票价格的二叉树图，并在价格$95处画处画一条虚线作为障碍：一条虚线作为障碍：44奇异期权奇异期权v时刻

17、时刻3期权的价值为期权的价值为45奇异期权奇异期权v注意虚线下期权的取值，其它计算和前面是类似的仍然用注意虚线下期权的取值，其它计算和前面是类似的仍然用回推的方式得期权价格二叉树图为：回推的方式得期权价格二叉树图为：46障碍期权障碍期权v刚才求出的障碍期权和之前我们求过的普通欧式期权相比，刚才求出的障碍期权和之前我们求过的普通欧式期权相比，价格发生了怎样的变化？你认为这种变化是否合理？价格发生了怎样的变化？你认为这种变化是否合理？v障碍期权一般归为两类，即敲出期权和敲入期权。障碍期权一般归为两类，即敲出期权和敲入期权。 敲出敲出期权是这当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期期权是这当标的资

18、产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废；权作废； 敲入期权当只有当标的资产价格达到一个特定敲入期权当只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。障碍水平时，该期权才有效。 v障碍的设置接近正常价格时，敲出期权价格（较普通期权）障碍的设置接近正常价格时，敲出期权价格（较普通期权）的贴水越多。的贴水越多。47障碍期权障碍期权v一般来说，障碍期权是以同一种资产的价格同时作标的资一般来说，障碍期权是以同一种资产的价格同时作标的资产价格和障碍价格的期权，这样的叫产价格和障碍价格的期权，这样的叫“内部内部”障碍期权；障碍期权；v也有障碍期权的障碍价格与标的价格不同的，这样的叫也有障碍期权的障

19、碍价格与标的价格不同的，这样的叫“外部外部”障碍期权。障碍期权。v比如，在日本证券市场上，当美元兑日元的汇率在比如，在日本证券市场上，当美元兑日元的汇率在80以以上是，资产组合经理就会以上是，资产组合经理就会以15000点买入日经点买入日经225指数指数的看涨期权，这样的看涨期权只有在美元兑日元汇率低于的看涨期权，这样的看涨期权只有在美元兑日元汇率低于79时才算敲出。时才算敲出。48障碍期权的应用障碍期权的应用v对冲基金，卖空标的资产同时买入该资产的障碍期权，障对冲基金，卖空标的资产同时买入该资产的障碍期权，障碍的期权价格比较低，当标的资产价格突破障碍时，他们碍的期权价格比较低，当标的资产价格

20、突破障碍时，他们就会大幅获益。就会大幅获益。v美林证券出售给一个某基金公司债券的敲入期权，债券涨美林证券出售给一个某基金公司债券的敲入期权，债券涨到一定价格时期权就会生效。到一定价格时期权就会生效。v当债券位于障碍价格附近时，基金公司极力将债券价格推当债券位于障碍价格附近时，基金公司极力将债券价格推高，而美林则需打压债券价格。高，而美林则需打压债券价格。49奇异期权奇异期权v亚式期权：是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异亚式期权：是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。它的到期回报依赖于标的资产在一段特定时间期权之一。它的到期回报依赖于标的资产在一段特定时间(整个期权有效期或其中

21、部分时段整个期权有效期或其中部分时段)内的平均价格。内的平均价格。v打包期权：由常规的欧式期权，远期合约，现金和标的资打包期权：由常规的欧式期权，远期合约，现金和标的资产等构成的证券组合。产等构成的证券组合。 v回望期权：回望期权的收益依附于标的资产在某个确定的回望期权：回望期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段时段(称为回望时段称为回望时段)中达到的最大或最小价格中达到的最大或最小价格(又称为回又称为回望价望价)。 50回望期权回望期权v我们为一三个月后到期回望期权定价，我们为一三个月后到期回望期权定价， S0=$100，X=$120， u=1.2，d=0.9，年，年r=0.05.v我们先

22、做出股价的二叉树图：我们先做出股价的二叉树图：51回望期权回望期权v各路径下的最高价、概率、及期权价值。各路径下的最高价、概率、及期权价值。路径路径概率概率最高价最高价期权价值期权价值uuuq3172.852.8uudq2(1-q)14424uduq2(1-q)129.69.6duuq2(1-q)129.69.6dudq(1-q)21080dduq(1-q)21000uddq(1-q)21200ddd(1-q)3100052回望期权回望期权v计算计算q值：值：v计算计算E(V3)v故回望期权现价为：故回望期权现价为：53总总 结结v博弈法定价博弈法定价v资产复制法定价资产复制法定价v风险中度定

23、价风险中度定价v二叉树模型二叉树模型v欧式期权定价欧式期权定价v美式期权定价美式期权定价v部分奇异期权定价部分奇异期权定价54作作 业业v1、一股票价格模型参数是：、一股票价格模型参数是：S0=$16，u=2，d=0.5， 一欧式看涨期权的执行价格一欧式看涨期权的执行价格X=$20，到期时间，到期时间 t=4，每期的利率，每期的利率r=0.1。试求出该期权在。试求出该期权在t=0时刻价格。时刻价格。v2、股票模型参数、执行价格和到期时间与上题均相同的、股票模型参数、执行价格和到期时间与上题均相同的美式看涨期权在美式看涨期权在t=0时刻的价格应为多少？时刻的价格应为多少？55作作 业业v3、S0=$100，u=1.1，d=0.9，r=0.06，设置向，设置向上敲出障碍为上敲出障碍为$115，执行价格，执行价格X=$85，期权到期时间，期权到期时间为为t=3，求，求t=0时刻看涨期权的价格。时刻看涨期权的价格。 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！