§3.4 §3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换（（Z Z平面变换法）平面变换法） 上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行 DF低通原型函数 这种变换是由 所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一个映射变换 为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的 Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示： ①各种DF的 H（z） 于是，DF的原型变换可表为： 且必有 ，其中 是 的相位函数， 即函数在单位圆上的幅度必须恒为1，称为全通函数。
函数 的特性：1) 是 的有理函数2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求 u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部3） 必须是全通函数 为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，若以 分别表示u平面和Z平面的单位圆，则 全通函数的基本特性：其中 为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即 ，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭 的所有零点 都是其极点的共轭倒数 N：全通函数的阶数 变化时，相位函数 的变化量为 不同的N和 对应 各类不同的变换 任何全通函数都可以表示为： 下面具体讨论几种原型变换： ① 低通——低通（LP） LP→LP的变换中， 和 都是低通函数，只是截止频率互不相同(或低通滤波器的带宽不同)，因此当 时，相应的 ，如图1(a)，根据全通函数相位 变化量为 的性质，可确定全通函数的阶数N=1，且必须满足以下两条件： G(1) = 1 , G(-1) = -1 满足以上要求的映射函数应为其中 是实数，且 图1(a) LP-LP变换（有对称性） 代入上式，可得到上述变换所反映的频率变换关系： 由此得 上式把 ， 。
频率特性: 呈线性关系，其余为非线性 当 时， ， 带宽变窄， 当 时， ， 带宽变宽， 适当选择 ，可使 变换为 ，如图1(b)所示 :低通原型截止频率， : 变换后截止 频率 确定 ： 把变换关系 带入（2）式 ，有： 得 （2） 式的 频率关系，如图1(b) LP-LP频率变换图1(b) LP-LP频率变换特性 ② LP-HP a .基本思想：上述 LP 变换中的Z代以–Z , 则 LP => HP b. 高通变换或LP-HP变换把如图2（a）， 在上述LP-LP 变换中，将 Z代以–Z , 得 LP - HP变换关系：旋转180，所以 原型低通的截止频率 对应于高通的边界频率 ，欲将 变换到 ，由（2）式， 有： ③ LP-BP LP-BP变换把带通的中心频率 故 N=2。
由以上分析得变换关系： 或如图3(a),全通函数取负号只是位置的对应关系，从图(3)a看到 LP-BP变换图3 (a) LP-BP变换可以看出边界频率的对应关系 把变换关系 代入（2）式得 ：消去 r1，得：令 确定r1, r2 ： 可证明， 其中 r1,r2代入（2）式，则可确定频率变换关系，如图3（b） LP-BP频率关系 ④ LP——BS 如图4(a), LP——BS变换把带阻的中心频率 的变化范围为 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以，全通函数取正号 由以上分析得变换关系： （1） 或 （2） LP-BS变换图4 (a) LP-BS变换 确定r1, r2 ： 把变换关系 代入（2）式得 ： 其中 ， r1, r2代入（2）式，得图4（b）,此频率变换关系与前面的分析相吻合。
LP-B S频率变换关系 LP-BS变换的又一种实现方法: 两步来做 由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用的方式由低阻到带阻,即 其中 的求取可利用低通到高通公式, 可利用低通到带通公式求,最后可求得 ,如书中表格内表达式低通 •z域直接进行数字变换，其映射关系由G表示•这一切都是由边界频率的对应关系决定 •全通滤波器G阶数及其参数•重点掌握好变换前后的频率对应关系 。