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1、会计学1多元多元(du yun)函数积分学函数积分学第一页，共62页。第1页/共61页第二页，共62页。11向量向量(xingling)(xingling)的概念及向量的概念及向量(xingling)(xingling)的表示的表示一、向量一、向量(xingling)的基本概念的基本概念1.向量向量:既有大小既有大小,又有方向的量又有方向的量,称为称为(chn wi)向量向量.(或矢量或矢量) 2.向量的几何表示法向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.AB以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, , a .向量AB的大小
2、叫做向量的模. 记为 |AB| 或 (一一)向量的概念向量的概念第2页/共61页第三页，共62页。3.自由自由(zyu)向量向量自自由由(zyu)向向量量：只只有有大大小小、方方向向,而而无无特特定定起起点点的的向向量量. 具具有有在在空空间间中中可可以以任任意意平平移移的性质的性质.大小相等且方向相同,特别特别: 模为模为1的向量的向量(xingling)称为单位向量称为单位向量(xingling).模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的 .第3页/共61页第四页，共62页。1、向量、向量(xingling)加法加法(1) 平行四边形法则(fz)设有(若起点不重合, 可平移至重合)
3、. 作以为邻边的平行四边形, 对角线向量(xingling), 称为的和, 记作(2) 三角形法则将之一平行移动,使的起点与的终点重合, 则由 的起点到的终点所引的向量为(二二)向量的加减法向量的加减法第4页/共61页第五页，共62页。2.向量向量(xingling)加法的运算规律加法的运算规律.(1)交换律: (2)结合律:例如例如(lr):第5页/共61页第六页，共62页。3.向量向量(xingling)减法减法.(1)负向量:与模相同而方向相反(xingfn)的向量, 称为的负向量.记作(2)向量(xingling) 减法.规定:第6页/共61页第七页，共62页。平行四边形法则平行四边形
4、法则(fz).(fz).将之一平移(pn y), 使起点重合, 作以为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为 三角形法则三角形法则(fz).(fz).将之一平移, 使起点重合, 由的终点向的终点作一向量, 即为第7页/共61页第八页，共62页。1. 定义定义(dngy)实数与向量(xingling) 的为一个向量(xingling).其中: 当 0时, 当 0时, 当 = 0时, 2. 数与向量数与向量(xingling)的乘积的运算规律的乘积的运算规律:(1) 结合律:(2) 分配律:( 0)(三三) 数与向量的乘法数与向量的乘法第8页/共61页第九页，共62页。结论结论(jiln): 设表示
5、与非零向量同向的单位向量设表示与非零向量同向的单位向量.则或定理定理1:两个非零向量平行存在唯一实数，使得(方向相同(xin tn)或相反)第9页/共61页第十页，共62页。例例1:在平行四边形ABCD中, 设AB=,AD =试用表示(biosh) 向量MA,MB,MC和MD.其中(qzhng), M是平行四边形对角线的交点 .解:= AC = 2MC有MC = 又 = BD = 2MD有MD = MB = MD MA = MC DABCM第10页/共61页第十一页，共62页。1. 点在轴上投影点在轴上投影(tuyng)设有空间一点A及轴u, 过A作u轴的垂直(chuzh)平面,平面与u轴的交
6、点A叫做点A在轴u上的投影.AAu(四四)向量向量(xingling)在轴上的投影在轴上的投影第11页/共61页第十二页，共62页。2. 向量向量(xingling)在轴上的投影在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B . 定义定义(dngy)BBAAu向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A B 为第12页/共61页第十三页，共62页。如果(rgu)向量e为与轴u的正方向的单位向量，则称 x 为向量(xingling) AB 在轴u上的投影，记作即则向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue显然(xinrn)；|当 与u轴同向时，当 与u轴反向
7、时，|第13页/共61页第十四页，共62页。3. 两向量两向量(xingling)的夹角的夹角设有非零向量(起点同).规定(gudng) ：正向间位于0到之间的那个(n ge)夹角为的夹角,记为或(1) 若同向，则(2) 若反向，则(3) 若不平行，则第14页/共61页第十五页，共62页。4. 向量的投影向量的投影(tuyng)性质性质.定理定理 2. (投影定理) 设向量AB与轴u的夹角为则 PrjuAB = | AB |cos BBAAuB1第15页/共61页第十六页，共62页。定理定理(dngl)3: 两个向量的和在轴两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在上的投影等于两个向量在该轴上的
8、投影的和。该轴上的投影的和。推论推论(tuln):BBAAuCC即第16页/共61页第十七页，共62页。即定理定理4: 实数实数 与向量的乘积与向量的乘积(chngj)在轴在轴u上上的投影，的投影，等于等于 乘以向量在该轴上的投影。乘以向量在该轴上的投影。第17页/共61页第十八页，共62页。二二. 空间直角坐标空间直角坐标(zh jio zu bio)系与空间向量的坐标表示系与空间向量的坐标表示1. 空间直角坐标空间直角坐标(zh jio zu bio)系的建立系的建立ozxyzxy x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间(kngjin)直角坐标系,又称笛卡尔(Descars
9、tes)坐标系，点O叫做坐标原点.o(一一) 空间直角坐标系空间直角坐标系第18页/共61页第十九页，共62页。2. 坐标坐标(zubio)面面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们(t men)将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII第19页/共61页第二十页，共62页。1. 点在空间直角坐标点在空间直角坐标(zubio)系中的坐标系中的坐标(zubio)表示表示.RQP (x, y, z)记: 点M为M (x, y, z)OxyzMxyz(二二) 空间向量空间向量(xingling)的表示的表示第20页/共
10、61页第二十一页，共62页。(1) 若点M在yz面上(min shn), 则 x = 0; 在zx面上(min shn), 则 y = 0; 在xy面上(min shn), 则 z = 0.(2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0在 y 轴上, 则 x = z = 0在 z 轴上, 则 x = y = 0特别特别(tbi):第21页/共61页第二十二页，共62页。2.空间向量空间向量(xingling)的坐标表示的坐标表示(1)起点在原点的向量OM设点 M (x, y,z)以 i, j, k分别(fnbi)表示沿x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量. OM = OA
11、+ AN +NM= OA + OB + OC= xi + yj + zkx, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为 OM =(x, y, z)称为向量OM的坐标表示式.第22页/共61页第二十三页，共62页。zijkMoxyCABzyxN由于(yuy) ：从而(cng r)：(1)第23页/共61页第二十四页，共62页。(2). 起点(qdin) 不在原点O的任一向量 a = M1M2设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)a = M1M2 = OM2 OM1= (x2 i+ y2 j + z2 k
12、) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k即 a = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) 为向量a的坐标(zubio) 表示式记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影(tuyng), 称为a的坐标.zxyM1M2ao第24页/共61页第二十五页，共62页。a = M1M2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)两点间距离(jl)公式：由此得(2)(3)第25页/共61页第二十六页，共62页。(3). 运算(yn sun)性质设
13、 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且为常数(chngsh)a b = (ax bx , ay by , az bz ) a = (ax , ay , az)证明(zhngmng): a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )第26页/共61页第二十七页，共
14、62页。(4) 两向量(xingling) 平行的充要条件.设非零向量(xingling) a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 即ax =bx, ay =by, az =bz,于是(ysh)注: 在(*) 式中, 规定若某个分母为零相应的分子也为零. a / b(*) a / b a = b则(为常数)例如：(4, 0, 6) / (2, 0, 3)第27页/共61页第二十八页，共62页。1. 方方向向角角: 非非零零向向量量a 与与x, y, z 轴轴正正向向夹夹角角(ji jio), , 称称为为a 的方向角的方向角.2. 方向余弦方向余弦(yxin
15、): 方向角的余弦方向角的余弦(yxin) cos, cos, cos 称为方向余弦称为方向余弦(yxin).3. 向量向量(xingling)的模与方向余弦的坐标表达式的模与方向余弦的坐标表达式故有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a | cosayzx0设a =(ax, ay, az,)(三三) 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式第28页/共61页第二十九页，共62页。又：(4)(5)第29页/共61页第三十页，共62页。由(5)式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1(6)设ao是与a同向的单位向量ao= (cos ,
16、cos , cos )(7)第30页/共61页第三十一页，共62页。例例2. 已知两点已知两点M1(2, 2, )和和M2(1, 3, 0). 计算计算(j sun)向量向量M1 M2的模的模, 方向余弦和方方向余弦和方向角向角. 解: M1 M2 = (1, 1, )|M1 M2 | =第31页/共61页第三十二页，共62页。例例3: 在在z轴轴上上求求与与两两点点 A(4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等距离等距离(jl)的点的点.解: 设该点为M(0, 0, z)由题设 |MA| = |MB|.即:解得:所求点为 M (0, 0, )第32页/共61页第三十三页，共62页。例例4
17、 证明证明(zhngmng)以以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以(suy) M1 M2 M3 是等腰三角形.第33页/共61页第三十四页，共62页。22向量的数量向量的数量(shling)(shling)积积. .向量积及混合积向量积及混合积一、一、 向量向量(xingling)的数量积的数量积例如例如(lr): 设力设力F 作用于某物体上作用于某物体上, 物体有一段位移物体有一段位移S , 求功的表示式求功的表示式.解解: 由物
18、理知, 与位移平行的分力作功, 与位移垂直的分力不作功. 于是W=|F |cos |S | = |F | |S | cossF且当时，做正功；当时，做负功；当时，不做功。第34页/共61页第三十五页，共62页。设有两个向量(xingling) a、b, 它们的夹角为,即: a b = |a| |b| cos1. 定义定义(dngy)1:将数值|a |b|cos 称为a与b的数量积( 或 点积 ),记作 a b .内积第35页/共61页第三十六页，共62页。注注1: 当 a 0时, | b | cos = Prjab当 b 0时, | a |cos = Prjba于是于是(ysh)a b = |
19、a| Prjab = |b| Prjba注注2:a a = | a |2例如例如(lr):i i = j j = k k = 1a b = |a| |b| cos第36页/共61页第三十七页，共62页。(1) 交换律 a b = b a (2) 分配律 (a + b) c = a c + b c(3) 数量积满足如下(rxi) 结合律: ( a) b = a ( b) = (a b), 为实数2. 数量数量(shling)积的性质积的性质(4) a a 0 ，a = 0且a a = 0 a b = |a| |b| cos a b = |a| Prjab = |b| Prjba第37页/共61页
20、第三十八页，共62页。证证: :必要性:设a b, 充分性: 设a b = | a | |b |cos =0; 由a 0, b 0,得: cos =0 ,即a b例如例如(lr): i、j、k 互相垂直互相垂直, 所以所以i j = j k = i k = 0(5) 两个非零向量(xingling)a , b 垂直a b = 0第38页/共61页第三十九页，共62页。如图, 利用数量(shling) 积证明三角形的余弦定理| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos证证:| c |2 = | a b |2 = (a b) (a b)= a a + b b
21、2 a b= | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos故故:abc例例1. 由于(yuy)c = a b , 于是= a (a b)b (a b)第39页/共61页第四十页，共62页。3. 数量数量(shling)积的坐标表示式积的坐标表示式设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), 则a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j
22、(bx i + by j + bz k ) + az k (bx i + by j + bz k )= ax bx i i + ax by i j + ax bz i k + ay bx j i +ay by j j + ay bz j k + az bx k i + az by k j + azbz k k = ax bx + ay by + az bz得公式(gngsh):a b = ax bx + ay by + az bz(1)第40页/共61页第四十一页，共62页。推论推论(tuln): 两个非零向量两个非零向量a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz)
23、垂直(chuzh)ax bx + ay by + az bz = 0第41页/共61页第四十二页，共62页。4. 数量积在几何数量积在几何(j h)中的应用中的应用设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), (1) 求 a 在 b 上的投影(tuyng).Prjba = | a | 由 |a | |b | = a b , 得(2)已知已知:第42页/共61页第四十三页，共62页。(2) 求两向量(xingling) a, b 的夹角由 | a | | b |cos = a b, 知 (3)第43页/共61页第四十四页，共62页。已知三点(sn din) M
24、(1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB.AMB即为向量MA与MB的夹角. 由MA= (1, 1, 0), MB = (1, 0, 1)得得:cosAMB=所以所以(suy)例例2解解:第44页/共61页第四十五页，共62页。由力学规定(gudng): 力F 对支点O的力矩是一个向量M .其中其中(qzhng): FOQPL(1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin |F | = |OP| |F | sin(2) M的方向: 垂直于OP与F 所在的平面, 指向满足右手规则. 即:右手四指从OP以不超过的角转向F 握拳, 大拇指的指向就是M
25、的方向.设O为一根(y n)杠杆L的支点, 有一个力F 作用于这杠杆上P点处, F 与OP的夹角为 , 考虑 F 对支点 O 的力矩.例如例如:二、两向量的向量积二、两向量的向量积第45页/共61页第四十六页，共62页。 abc = a b(1) | c | = | a | | b | sin(2) c 与a、b所在的平面(pngmin) 垂直, (即 c a且c b). c 的指向按右手(yushu)规则从 a 转向 b 来确定.则将向量(xingling)c 称为 a 与 b 的向量(xingling) 积, 记作: a b.即: c = a b注注: 向量积的模的几何意义.以a、b为邻边
26、的平行四边形, 其面积等于| a | | b |sin, 所以a b的模, 等于以a、b为邻边的平行四边形的面积 .1. 定义定义1:设有两个向量 a、b, 夹角为, 作一个向量c, 使得第46页/共61页第四十七页，共62页。向量(xingling) 积的性质(1) a a = 0 (2) 反交换律 a b = b a (3) 分配律 a (b + c) = a b + a c (4) 向量积与数乘满足结合律 : (b + c) a = b a + c a ( a) b = a ( b) = (a b ), 为实数(shsh)| c | = | a | | b | sin第47页/共61页第
27、四十八页，共62页。必要性: 设a 、b 平行(pngxng), 则 = 0或 = . 于是| a b | = | a | | b |sin = 0所以所以(suy) a b = 0 充分性: 设 a b = 0 则则 | a b | = | a | | b |sin = 0由 | a | 0, | b | 0, 得 = 0或 = . 所以(suy) a 与 b 平行证证:(5) 两个非零向量 a 、b 平行 a b = 0 第48页/共61页第四十九页，共62页。例如例如(lr): i i = j j = k k = 0 i j = k j i = k k j = i i k = jkjix
28、yzk i = jj k = i第49页/共61页第五十页，共62页。2、向量积的坐标、向量积的坐标(zubio)表示式表示式设 a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 则a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k ) + az k (bx i + by j + bz k )= ax bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k ) + ay bx (j i) + ay
29、 by ( j j ) + ay bz (j k ) + az bx (k i) + az by ( k j ) + azbz( k k )= ax by k + ax bz( j ) + ay bx(k) + ay bz i + az bx j + az by( i )= ( ay bz az by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k第50页/共61页第五十一页，共62页。得公式(gngsh):a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k第51页/共61页第五十二页，共62页。求垂直于向量(x
30、ingling) a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量(xingling)c.a b 同时(tngsh)垂直于a、b= 6i + 4j + 10k 8k 6j 5i= i 2j + 2k取 c = a b = (1, 2 , 2).显然, 对于任意(rny) 0R, c = (,2, 2) 也与a、b垂直.例例3:解解:而第52页/共61页第五十三页，共62页。已知ABC的顶点(dngdin)分别是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求ABC的面积.xyzABCo由向量(xingling) 积的定义.而AB = (2, 2, 2)AC
31、 = (1, 2, 4)所以(suy)= 4i 6j + 2k于是例例4:解解:第53页/共61页第五十四页，共62页。三、两向量三、两向量(xingling)的混和积的混和积1.定义定义(dngy)2 称 与 的向量(xingling)积 再与向量(xingling) 的数量积为向量(xingling) , , ( ) 即的混合积，记作 设有三个向量, , ,第54页/共61页第五十五页，共62页。则有设向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz), = (bx , by , bz),2.混合混合(hnh)积的坐标表示式积的坐标表示式ijk ,cxcycz,ij
32、k 第55页/共61页第五十六页，共62页。混合(hnh) 积性质：(1) = = = = = 第56页/共61页第五十七页，共62页。事实上，若 , , 在同一个平面(pngmin)上，则 垂直于它们所在的平面(pngmin)，故 垂直于 , 即( ) = 0(2) , , 共面 = 0 第57页/共61页第五十八页，共62页。混合积( ) 的绝对值等于以 , , 为棱的平行六面体的体积(tj) V 的数值。h平行六面体所以(suy)，= |( ) | 3、混合积、混合积 ( ) 的几何的几何(j h)意义意义hV = S h = 底面积高 h 为 在 上的投影的绝对值a b = |a| P
33、rjab第58页/共61页第五十九页，共62页。例例5:已知空间(kngjin) 内不在一个平面上的四点 A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2), C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4) 求四面体 ABCD 的体积。解：解：四面体 ABCD 的体积等于以 AB, AC 和 AD 为棱的平行六面体体积的六分之一，AB = (x2 x1, y2 y1, z2 z1),AC = (x3 x1, y3 y1, z3 z1),AD = (x4 x1, y4 y1, z4 z1),即第59页/共61页第六十页，共62页。所以(suy)，V = 其中行列式前的符号(fho) 必须与行列式的符号(fho) 一致。第60页/共61页第六十一页，共62页。内容(nirng)总结会计学。2.向量加法的运算规律.。结论: 设表示与非零向量同向的单位向量.。定理1:两个非零向量平行。2. 向量在轴上的投影.。(1) 若同向，则。(2) 若反向(fn xin)，则。(3) 若不平行，则。二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示。1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示.。1. 定义1:。V =第六十二页，共62页。
