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1、角动量算符角动量算符哈密顿算符哈密顿算符1可求出可求出比较；比较；（处理处理H 原子时用）原子时用）2角动量各分量之间的对易关系：角动量各分量之间的对易关系：角动量平方算符（角动量大小）与角动量的任一分量角动量平方算符（角动量大小）与角动量的任一分量是对易的：是对易的：326.1 径向薛定谔方程径向薛定谔方程 一一 氢原子的薛定谔方程氢原子的薛定谔方程在氢原子中，电子的势能函数为：在氢原子中，电子的势能函数为：考虑到势能是考虑到势能是 r 的函数，采用球极坐的函数，采用球极坐标系标系 ( r, , )代替直角坐标代替直角坐标 (x, y, z)yxzOPzyx r第第26章章 氢原子的量子理论
2、氢原子的量子理论4两边对x求偏导两边对x求偏导56通常采用分离变量法求解，即设通常采用分离变量法求解，即设由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为：由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为：式中式中拉普拉斯算符拉普拉斯算符7解此三个方程，并考虑到波函数应满足的解此三个方程，并考虑到波函数应满足的标准化条件，即可得到波函数标准化条件，即可得到波函数(1)(2)(3)能量量子化能量量子化角动量量子化角动量量子化角动量空间量子化角动量空间量子化并且可得到：并且可得到：其中其中 和和 l 是引入的常数。是引入的常数。8如何用分离变量法求解如何用分离变量法求解氢原子的薛定谔方程？氢原子的薛定谔方程？代入上式代入上式
3、同乘同乘 r 2/RY,并且移项并且移项9分分别别得得(3)代入上式代入上式同乘同乘10分别得分别得(1)(2)(3)前面已经得到前面已经得到11由自然周期条件由自然周期条件例：例：(1(1) )12对对方方程程 (1)求求解解，而而又又使使 ( )能能满满足足标标准准化化条条件件，就就自自然然得出得出 ml 只能取只能取 0， 1， 2， 3 等整数值。等整数值。(1)(2)把把一一定定的的 ml 值值代代入入方方程程 (2)求求解解，又又使使 ( )能能满满足足标标准化条件，就得出准化条件，就得出 l 只能取只能取 0，1，2，3 等正整数值。等正整数值。对于一定的对于一定的 m l，必定
4、有必定有 l ml .对于一定的对于一定的 l , ml 的最大值只能取到的最大值只能取到 l ,即即13把一定的把一定的 l 值代入值代入方程方程 (3)对对 R(r)求解，分为两种情况：求解，分为两种情况：式中式中 n 称为主量子数，且只能取称为主量子数，且只能取 n l+1的正整数，的正整数，对于一定的对于一定的 n, (3)(a) E0，电子已不再受氢核的束缚，电子已不再受氢核的束缚，E可取连续值。可取连续值。(b) E 0，求解方程求解方程 （3），并使），并使 R ( r ) 满足标准化条件，满足标准化条件，求得求得 E必等于必等于氢原子处于电离状态。自由电子。氢原子处于电离状态。
5、自由电子。l 只能取只能取 0，1，2 (n-1)共共n个整数值。个整数值。14例例15选用选用能量、角动量的平方、角动量沿能量、角动量的平方、角动量沿Z方向的分量方向的分量 为为体系守恒量完全集体系守恒量完全集通常通常,一个力学量一个力学量A对应多个本征波函数对应多个本征波函数(简并简并),所以一个力学量不所以一个力学量不能完全确定体系状态。完全集的力学量数等于体系的自由度数。能完全确定体系状态。完全集的力学量数等于体系的自由度数。（它们有共同的本征波函数，且同时有确定值）（它们有共同的本征波函数，且同时有确定值）在有心力场中运动在有心力场中运动 的的 粒子粒子，角动量守恒，能量守恒。角动量
6、守恒，能量守恒。在有心力场中运动在有心力场中运动 的的 粒子有三个自由度，应该有三个力学量来粒子有三个自由度，应该有三个力学量来描述其状态描述其状态由不确定关系发现：由不确定关系发现：粒子的能量、角动量的平方、角动量沿粒子的能量、角动量的平方、角动量沿Z方向的方向的分量可以同时精确测定分量可以同时精确测定。角动量的三个分量中的任意两个都不能同时角动量的三个分量中的任意两个都不能同时精确测定。精确测定。能量与能量与r，有关有关角动量的平方和角动量沿角动量的平方和角动量沿Z方向的分量与方向的分量与，有关有关角动量大小角动量大小,角动量在任何方向的投影角动量在任何方向的投影,能量可以完全描述体系状态
7、。能量可以完全描述体系状态。16二二 .量子化条件和量子数量子化条件和量子数1.能量量子化能量量子化和主量子数和主量子数式中式中 n 称称为为主量子数主量子数.求解方程求解方程 ，并使，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得满足标准化条件，求得 E必等于必等于能量是量子化的。能量是量子化的。 n =1时得氢原子的基态能量时得氢原子的基态能量 E1=-13.6eV2.角动量量子化角动量量子化和角量子数和角量子数求解方程求解方程 时，要使方程有确定的解，电子绕核运动的时，要使方程有确定的解，电子绕核运动的角动量角动量必须满足量子化条件，必须满足量子化条件，式中式中 l 称为称为角量子数角量子数
8、或副量子数或副量子数. n =2，3，4， 时，得氢原子的其它激发态能量时，得氢原子的其它激发态能量173.角动量空间量子化角动量空间量子化和磁量子数和磁量子数电子绕核运动的电子绕核运动的角动量的方向角动量的方向在空间的取向只能取一些特定的在空间的取向只能取一些特定的方向，即角动量在外磁场方向的投影必须满足量子化条件：方向，即角动量在外磁场方向的投影必须满足量子化条件：式中式中 ml 称为磁量子数称为磁量子数角动量在空间的取向只有角动量在空间的取向只有 (2l+1) 种可能种可能 l =1OB(z) l =2OB(z)18按光谱习惯按光谱习惯, 把把 l =0，1，2，3，4，5，6，总之，总
9、之，稳定氢原子中电子的状态用一组量子数稳定氢原子中电子的状态用一组量子数 n, l, ml 来描述来描述 各态记作各态记作 s，p，d，f，g，h，i，l=0sl=1pl=2dl=3fl=4gl=5hn=1n=2n=3n=4n=5n=61s2s3s4s5s6s2p3p4p5p6p3d4d5d6d4f5f6f5g6g6h氢原子内电子的状态氢原子内电子的状态19n= n=1n=2n=3n=4n=5赖曼系赖曼系巴尔末系巴尔末系帕邢系帕邢系布喇开系布喇开系30002002000100三三 氢原子能级与光谱氢原子能级与光谱(1) En随随 n 的增加而增高的增加而增高;(2) 能级间距随能级间距随 n
10、增加而减小增加而减小;(3) 当当开始电离，开始电离，基态电子能量基态电子能量其绝对值等于氢原子电离能其绝对值等于氢原子电离能 I(4) 电子跃迁时辐射光频率电子跃迁时辐射光频率201)例如例如 3s 曲线有两个节点曲线有两个节点径向函数的节点数径向函数的节点数 nr为为 0（ l =n-1）的态的态 称为圆轨道：称为圆轨道：1s，2p，3d曲线曲线- 最概然半径最概然半径如基态如基态 1s 1s 态态有有四四. 电子概率分布电子概率分布定义定义径向径向概率密度为概率密度为P(r)，则则例例电子径向概率分电子径向概率分布布2p态有态有3d态有态有213) n不同但不同但 l 相同相同, 其主峰
11、其主峰 按按 n 增加顺序向离核远增加顺序向离核远 的方向依次排列的方向依次排列2）径向位置概率分布曲线径向位置概率分布曲线 有有 个极大个极大 值峰，值峰， n 给定，给定， l 愈小，主峰位愈小，主峰位置离核越远置离核越远, 但峰数增多但峰数增多, 最内层的峰离核越近。最内层的峰离核越近。电子径向概率分布电子径向概率分布224）概率密度分布随角度的变化）概率密度分布随角度的变化 电子概率密度角分布电子概率密度角分布23242526.3 电子自旋电子自旋一一. 电子自旋的假设电子自旋的假设1.正常塞曼效应正常塞曼效应强磁场中的原子所发出的每条光谱线都分裂为三条强磁场中的原子所发出的每条光谱线
12、都分裂为三条2. .电子自旋假设提出电子自旋假设提出 (1) 光谱的精细结构光谱的精细结构 如如: 钠钠 D1 线线: 589.0nm，D2 线线: 589.6nm (2) 反常塞曼效应：弱磁场中，谱线分裂为偶数反常塞曼效应：弱磁场中，谱线分裂为偶数 条条 如如: 钠钠D1 线线 分裂为分裂为 4条，条，D2分裂为分裂为 6条条 - 不可能由轨道运动状态引不可能由轨道运动状态引 起的起的 (3) 乌伦贝克和高斯密特假设乌伦贝克和高斯密特假设 - 电子自旋假设电子自旋假设2627每个电子都有自旋角动量每个电子都有自旋角动量自旋磁矩自旋磁矩: 它在空间任意方向投影它在空间任意方向投影 Sz 只能取
13、两个值只能取两个值, 即：即： 1925 1925年乌伦贝克年乌伦贝克( (G.E.Uhlenbeck) )和古兹米特和古兹米特( (S. Goudsmit) )为为了解释原子光谱的精细结构了解释原子光谱的精细结构( (光谱双线光谱双线) ) 提出了大胆的假设：提出了大胆的假设： 考虑质量为考虑质量为M，处于处于s 态的银原子以速度态的银原子以速度 v 经过狭缝后进入经过狭缝后进入 z方向的磁场，方向的磁场，磁矩与磁场的作用能磁矩与磁场的作用能磁矩与磁场的作用能磁矩与磁场的作用能：作用力：作用力：作用力：作用力：加速度：加速度：加速度：加速度：原子分裂为两束原子分裂为两束原子分裂为两束原子分裂
14、为两束273. 施特恩施特恩盖拉赫实验盖拉赫实验1927年，基态年，基态 100态氢原子态氢原子, 只有一个只有一个 ls 态电子态电子, 其轨道磁矩为其轨道磁矩为 0，实验观测到氢原子束被不均匀磁场分裂成两束实验观测到氢原子束被不均匀磁场分裂成两束28二二 自旋磁量子数自旋磁量子数电子自旋具有角动量的一切性质电子自旋具有角动量的一切性质 自旋角动量平方自旋角动量平方的本征值是的本征值是令令的本征值都是的本征值都是则则 与与比较比较s与与l相当相当s 称为自旋量子数称为自旋量子数自旋磁量子数自旋磁量子数m ms s类比轨道角动量类比轨道角动量与自旋角动量与自旋角动量每个每个有有个取向个取向而每
15、个而每个只有只有个取向个取向所以所以自旋角动量大小自旋角动量大小29玻色子玻色子: :全同粒子的波函数对两个粒子的交换总是对称的全同粒子的波函数对两个粒子的交换总是对称的 如如: : 介子介子( s =0), ( s =0), 光子光子(s =1)(s =1)等等自旋为自旋为的整数倍的整数倍, , 遵守玻色统计遵守玻色统计费米子费米子: :全同粒子的波函数对两个粒子的交换总是反对称的全同粒子的波函数对两个粒子的交换总是反对称的 如电子如电子, , 质子质子, , 中子等中子等自旋为自旋为的半奇数倍的半奇数倍(s =1/2, 3/2.), (s =1/2, 3/2.), 遵守费米统计遵守费米统计
16、全同粒子系的基本特征全同粒子系的基本特征全同粒子全同粒子: : 静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类微观静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子粒子全同粒子系全同粒子系: : 由同类粒子组成的多粒子系由同类粒子组成的多粒子系26.526.5 多电子原子多电子原子泡利不相容原理泡利不相容原理30或或: :不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态1.1.泡利不相容原理泡利不相容原理-泡利不相容原理泡利不相容原理（1925年）年）一个原子内不可能有两个或两个以上一个原子内不可能有两个或两个以上电子具有完全相同的状态电子具有完全相同的状态
17、或或: :一个原子内不可能有两个或两个以上的电子其四个量一个原子内不可能有两个或两个以上的电子其四个量子数完全相同子数完全相同（1945年年 Nobel Prize ）总结总结:泡利原理泡利原理 2.2.全同粒子全同粒子: : 静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子微观粒子 Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it。 Niels Bohr31.26.5.2 原子的壳层结构原子的壳层结构-原子核外电子的排布原子核外电子的排布一个电子有一个电
18、子有4 4个自由度，其运动状态个自由度，其运动状态 由由四个量子数四个量子数 n, l, ml, ms决定决定主量子数主量子数n主要决定电子能量主要决定电子能量角量子数角量子数l主要决定电子云（轨道）形状主要决定电子云（轨道）形状（当当n 相同相同 l 不相同时，能量稍有不同）不相同时，能量稍有不同）轨道磁量子数轨道磁量子数ml决定电子云（轨道）空间取向决定电子云（轨道）空间取向角动量大小角动量大小（与玻尔量子化假设与玻尔量子化假设 不同）不同）自旋磁量子数自旋磁量子数ms决定电子自旋角动量空间取向决定电子自旋角动量空间取向在外磁场方向投影在外磁场方向投影在外磁场方向投影在外磁场方向投影1.
19、四个量子数四个量子数32s , p , d , f , g s , p , d , f , g .把原子中具有相同主量子数把原子中具有相同主量子数 n n 的电子称为同一壳层电子的电子称为同一壳层电子. .最大电子数最大电子数 2 , 8 , 18, 32, 50 . ( 2n2 , 8 , 18, 32, 50 . ( 2n2 2 ) )主量子数主量子数 n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .壳层壳层 K , L , M , N , OK , L , M , N , O . . = 0, 1, 2, 3, 4, = 0, 1, 2, 3,
20、 4, .在每一壳中具有相同量子数在每一壳中具有相同量子数 的电子组成支壳层的电子组成支壳层. .最大电子数最大电子数 2 , 6 , 10, 14, 2 , 6 , 10, 14, . 2(2 +1)2(2 +1)电子态表示如电子态表示如 n=2, n=2, =1 =1 态用态用 2p2p表示表示n=2, n=2, =0 =0 态用态用 2s 2s 表示表示34结论结论: 在泡利不相容原理在泡利不相容原理和和能量取最小值原理能量取最小值原理的两种限制下，的两种限制下，电子的分布的确具有周期性结构电子的分布的确具有周期性结构. 1) 在电子数目在电子数目Z不太大时不太大时, 电子总是在电子总是
21、在泡利不相容原理泡利不相容原理 限制下，限制下， 由由低能级低能级 n=1 的的 k 壳层开始填起，壳层开始填起， 一个壳层填完以后再填另一个一个壳层填完以后再填另一个钾钾: :2) 在电子数目较多时在电子数目较多时, 电子间相互作用不能忽略，电子间相互作用不能忽略，电子能级与电子能级与 n, l 有关有关, 能级交叉能级交叉按按能量最低原理能量最低原理填充填充铜铜: :353.3.外层电子的能级顺序外层电子的能级顺序 原原子子中中外外层层电电子子能能级级的的高高低低以以(n+0.7l )的的值值来来确确定定，电电子子优优先占据先占据(n+0.7l )值小的状态。值小的状态。K19 ： 1s1
22、s 2s2s 2p2p2p2p2p2p4s 1s2s 2p3s 3p 3d4s 4p 4d 4f5s 5p 5d 5f 5g6s 6p 6d 6f 6g 6f7s 7p 7d K19 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1Ar18 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6Ca20 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 Sc21 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d1 4s2 Zn30 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 Rb37 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s24p65s1 3s3s 3p3p3p3p3p3p 4sK19 1
23、s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1n+0.7l = 4n+0.7l = 4.41956年，徐光宪年，徐光宪对对外外层层电电子子，n确确定定时时, , l 越小，能量越低越小，能量越低3d36例例 1. 原子内的量子态由原子内的量子态由n, l, ml, 及及 ms 四个量四个量子数表征。子数表征。当当 n, l, ml 一定时，不同的量子态数目为一定时，不同的量子态数目为；当当 n, l, 一定时，不同的量子态数目为一定时，不同的量子态数目为；当当 n 一定时，不同的量子态数目为一定时，不同的量子态数目为。22 ( 2l+1 )37例例 2. 多电子原子中，多电子原子中， 电子的排列
24、遵循电子的排列遵循原理和原理和原理。原理。泡利不相容泡利不相容能量最小能量最小 例例 3 在氢原子的在氢原子的 L 壳层中，壳层中， 电子可能具有的量子电子可能具有的量子数数 （n , l ,ml , ms ） 是是答案：答案： L 壳层壳层 n=2 , （B）例例 4 . 氩原子氩原子 （ z=18） 原子基态的电子组态是原子基态的电子组态是答案答案 ： (C) 38 例例 5. 一价金属钠原子，核外共有一价金属钠原子，核外共有11个电子，当个电子，当钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其价电钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其价电子可能取的量子态数为子可能取的量子态数为答案：答案：
25、钠原子的价电子处在钠原子的价电子处在 n=3 的主壳层上，故可的主壳层上，故可能的量子态数为能的量子态数为 2n2=18 , (D)39例例6.6.下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电子下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？的状态？(A).n =2, l =2, ml =0, ms=1/2(B). n =3, l =1, ml = 1, ms= 1/2(C). n =1, l =2, ml =1, ms=1/2(D). n=1, l =0, ml =1, ms= 1/2（B）例例. . 原子内电子的量子态由原子内电子的量子态由n,l,mn,l,ml l及及m ms s四个量子数表四
26、个量子数表征。征。当当n,l,mn,l,ml l一定时，不同的量子态数目为（一定时，不同的量子态数目为（ ），），当当n,l,n,l,一定时，不同的量子态数目为（一定时，不同的量子态数目为（ ），），当当n n一定时，不同的量子态数目为（一定时，不同的量子态数目为（ ）. .24l+22n240例例8 8. .锂锂 (Z=3) 原子中含有三个电子，电子的量子态可用原子中含有三个电子，电子的量子态可用 （n, l , ml , ms ）四个量子数来描述，若已知其中一四个量子数来描述，若已知其中一 个的量子态为个的量子态为 （1， 0， 0， 1/2 ），则其余两个电），则其余两个电 子的量子态分
27、别为子的量子态分别为和和 (1, 0, 0, -1/2)第一个电子在第一个电子在 s 支壳层，故第二个电子应填满支壳层，故第二个电子应填满 s 层，量子层，量子数为（数为（1， 0， 0， -1/2 ）。）。第三个电子在第三个电子在 n=2 的的 s 支壳层，即取支壳层，即取 l =0 ，因此有因此有 ml =0,ms=1/2. 故第三个电子的量子数为故第三个电子的量子数为 （2， 0， 0， 1/2 ） 或或（2， 0， 0， -1/2 ）。）。(2, 0, 0, 1/2)。41一一 黑体辐射的实验定律黑体辐射的实验定律2)2)维恩位移律维恩位移律1)1)斯特藩斯特藩- -玻耳兹曼定律玻耳兹
28、曼定律M(T )= T 4 = 5.67 10- -8 W/m2K4MM 0 0(T)(T) 2200K2000K1800K1600K m量子物理量子物理二二 普朗克量子假说普朗克量子假说(1)黑体黑体带电线性谐振子带电线性谐振子(2)能量不连续，能量不连续，(3)能量子能量子42三三 光电效应光电效应1 1 爱因斯坦光电效应方程爱因斯坦光电效应方程2 2 光的光的“波粒二象性波粒二象性”四四 康普顿效应康普顿效应五五 玻尔氢原子量子论玻尔氢原子量子论(1)定态假设定态假设(2)频率条件频率条件(3)轨道量子化轨道量子化氢原子轨道半径氢原子轨道半径能级能级43六六 德布罗意波德布罗意波 波函数
29、波函数及其统计解释及其统计解释波函数的标准条件波函数的标准条件单值、有限、连续、归一单值、有限、连续、归一七七 不确定性关系不确定性关系44八八 薛定谔方程薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程一维无限深方势阱一维无限深方势阱线性谐振子线性谐振子一维方势垒一维方势垒45九九 量子力学中的氢原子问题量子力学中的氢原子问题1.1.主量子数主量子数 n = 1, 2, 3, 决定能量的主要因素决定能量的主要因素2.2.角量子数角量子数 l = 0, 1, 2, , n-1 副量子数副量子数轨道量子数轨道量子数l 有有 n 种取值种取值3.3.磁量子数磁量子数决定电子角动量决定电子角动量z分量分量Lz
30、的大小的大小，空间量子化，空间量子化4.4.自旋磁量子数自旋磁量子数只有只有 2 2 种取值种取值有有 2l +1 种取值种取值决定电子自旋角动量的决定电子自旋角动量的z分量分量Sz的大小的大小46原子的磁矩原子的磁矩电子的自旋电子的自旋(1)(1)电子具有自旋角动量电子具有自旋角动量 , ,它在任它在任意方向上的投影只能取意方向上的投影只能取 。(2)(2)电子具有与自旋角动量相关的磁矩，电子具有与自旋角动量相关的磁矩，自旋磁矩自旋磁矩 , ,十十 电子自旋电子自旋 泡利原理泡利原理一一个个原原子子内内不不可可能能有有两两个个或或两两个个以以上上的的电子具有完全相同的状态。电子具有完全相同的
31、状态。全同性原理全同性原理全同粒子所全同粒子所组成的体系中，二全同粒子成的体系中，二全同粒子相互交相互交换不引起体系物理状不引起体系物理状态的改的改变。47对给定的对给定的次壳层，次壳层，l l = 0 1 2 3 4 s p d f g 可容纳的最多电子数：可容纳的最多电子数： 2 6 10 14 18 各壳层最多能容纳的电子数各壳层最多能容纳的电子数对给定的对给定的壳层壳层, , n n = 1 2 3 4 5 K L M N O 可容纳的最多电子数：可容纳的最多电子数： 2 8 18 32 50 .十一十一 原子的壳层结构原子的壳层结构核外电子分布遵从的两条规律核外电子分布遵从的两条规律
32、1.1.泡利原理泡利原理2.2.能量最低原理能量最低原理 (n+0.7l )1s2s 2p3s 3p 3d4s 4p 4d 4f5s 5p 5d 5f 5g6s 6p 6d 6f 6g 6f7s 7p 7d 原原子子中中外外层层电电子子优优先先占占据据(n+0.7l )值小的状态。值小的状态。48十二十二 量子力学的基本原理量子力学的基本原理原理一原理一 微微观观系系统统的的状状态态用用一一个个波波函函数数 完完全全描描写写。波函数一般为复函数，亦波函数一般为复函数，亦称为态函数。称为态函数。原理二原理二 量量子子力力学学中中，微微观观系系统统的的力力学学量量可可以以用用一一个个线线性性厄厄米
33、米算算符符表表示示。在在坐坐标标表表象象中中，对对有有经经典典对对应应的的力学量力学量 原理三原理三在在状态状态y y下，测量下，测量物理量物理量 A 得到结果得到结果ai的概率为的概率为 系统的状态波函数系统的状态波函数y y 可用力学量可用力学量 的本征函数展开的本征函数展开49原理四原理四 微微观观系系统统的的状状态态 随随时时间间的的变变化化规规律律由由薛薛定谔方程给出定谔方程给出 式中式中 是是微观系统中的哈密顿量。微观系统中的哈密顿量。原理五原理五 全全同同粒粒子子所所组成成的的体体系系中中，二二全全同同粒粒子子相相互互交交换不引起体系物理状不引起体系物理状态的改的改变（全同性原理）全同性原理）。 Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it。 Niels Bohr50祝愿同学们：祝愿同学们： 学业进步学业进步一切顺利！一切顺利！ 51
